集合与常用逻辑用语：Venn图的应用、容斥原理的应用、集合新定义问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合三大核心应用，通过Venn图直观表示、容斥原理计数、新定义问题创新，构建从直观到抽象的递进训练体系，培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |Venn图的应用|3例+3变式|结合集合交并补运算的图形表示，含单选、多选|从集合关系直观表示到抽象符号转化，培养几何直观| |容斥原理的应用|3例+2变式|实际情境中的集合计数，含单选、填空|基于集合运算推导计数公式，强化模型意识与运算能力| |集合新定义问题|4例+3变式|自定义集合性质的判断与证明，含多选、解答|延伸集合概念，通过新规则考查抽象能力与推理能力|

集合与常用逻辑用语：Venn图的应用、容斥原理的应用、集合新定义问题专项训练 集合与常用逻辑用语：Venn图的应用、容斥原理的应用、集合新定义问题专项训练 考点目录 Venn图的应用 容斥原理的应用 集合新定义问题 考点一 Venn图的应用 例1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 例2．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 例3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测·多选）如图所示的Venn图中，对阴影部分表示错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合运算直接判断即得. 【详解】依题意，图中阴影部分在集合中，不在集合中， 因此该阴影部分表示的集合为或，故BC正确，AD错误. 故选：AD 变式1．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得阴影部分为，再进行求解即可. 【详解】由图可得阴影部分可表示为. 故选：D 变式3．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测·多选）如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据交集、并集、补集的含义求解. 【详解】对于选项A：阴影部分的元素属于集合，但不属于集合， 阴影部分的元素组成的集合不是，A选项错误； 对于选项B：阴影部分的元素属于集合，但不属于， 根据补集的含义可知阴影部分的元素组成的集合为，B选项正确； 对于选项C和D：阴影部分的元素不属于集合， 根据补集的含义可知阴影部分的元素属于， 又阴影部分的元素属于集合， 根据交集的含义可知阴影部分的元素组成的集合为， C选项正确，D选项错误. 故选：BC. 考点二 容斥原理的应用 例1．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 例2．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 例3．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 变式1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 变式2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为_______. 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设参加傣族孔雀舞的学生集合为，参加傣族泼水节的学生集合为，参加傣族织锦技艺的学生集合为. 由题意：，，，， ，，， 又， 所以. 即三项活动都参加的人数为17. 故答案为：17 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测·多选）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 例2．（25-26高一上·山西运城·期中·多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 例3．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合P为非空数集，定义 (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求n的最小值； (3)若集合，且，求证：． 【答案】(1)； (2)675； (3)证明：因为 所以，且． 显然中不包含负数，且一定包含0， 因为，所以． 再由知，即． 由，知，即． 由，知，即． 所以， 综上，原命题得证． 【分析】 （1）直接根据和的定义即可得到结果； （2）先说明当时条件不满足，再说明当时条件满足，即可得到n的最小值是． （3）先由﹣P的性质确定，然后反复讨论的取值，即可得到所要证明的结论． 【详解】（1） 由和的定义，得 （2） 当时，因为，所以． 所以由题中新定义知，，，这与矛盾； 当时，对任意，此时，所以，． 所以满足． 综上可得，满足题意的n的最小值是． （3） 略. 例4．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1) 且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. (2) 取， 知不一定是闭集合. (3) 若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式1．（25-26高一上·浙江宁波·期中·多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（    ） A．集合是封闭集 B．若集合是封闭集，则也是封闭集 C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 【答案】AD 【分析】根据封闭集的定义判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，记，由，设，， 则，，可知，， 则集合是封闭集，故A正确； 对于B，取集合{有理数}， 若，则都有，成立，故集合是封闭集． {无理数}，取，可知，， 故不是封闭集，故B错误； 对于C，取，是封闭集． 取，由，设，， 则，， 则，，可知是封闭集，且， 取，则，但， 因此不是封闭集，故C错误； 对于D，设，则，， 若集合，为封闭集，且， 则，；，； 从而，，则也是封闭集，故D正确. 故选：AD. 变式2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“长度”的定义进行分析，从而确定正确答案. （2）根据“长度”的定义列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）依题意可知集合不是空集， 要使、都是集合的子集， 则需且， 解得且， 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 变式3．（25-26高一上·浙江温州·期中）对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. (1)已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； (2)证明：. 【答案】(1)①；；②4 (2) 由（1）可知：对于两个数集， 综上所述：当元素与数集的关系相同时，则， 可得； 当元素与数集的关系不同时，则， 可得； 综上所述：. 【分析】（1）分析可知当元素与数集的关系相同时，，不同时.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案； （2）结合（1）中结论分析证明即可. 【详解】（1）对于两个数集， 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时. ①因为集合， 且，所以， 又因为，所以； ②对任意， 若元素与数集的关系相同时，且； 若元素与数集的关系不相同时，或； 若取到最小值，则， 当为的子集与的并集时，此时取到最小值4. （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $集合与常用逻辑用语：Venn图的应用、容斥原理的应用、集合新定义问题专项训练 集合与常用逻辑用语：Venn图的应用、容斥原理的应用、集合新定义问题专项训练 考点目录 Venn图的应用 容斥原理的应用 集合新定义问题 考点一 Venn图的应用 例1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测·多选）如图所示的Venn图中，对阴影部分表示错误的是（   ）    A． B． C． D． 变式1．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏苏州·期中）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测·多选）如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是（   ） A． B． C． D． 考点二 容斥原理的应用 例1．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 例2．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 变式1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 变式2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为_______. 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测·多选）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 例2．（25-26高一上·山西运城·期中·多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 例3．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合P为非空数集，定义 (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求n的最小值； (3)若集合，且，求证：． 例4．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 变式1．（25-26高一上·浙江宁波·期中·多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（    ） A．集合是封闭集 B．若集合是封闭集，则也是封闭集 C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 变式2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 变式3．（25-26高一上·浙江温州·期中）对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. (1)已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； (2)证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $