第03讲 第一章集合与常用逻辑用语单元复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“集合-常用逻辑用语”双线体系构建单元知识框架，通过表格梳理8大核心题型，框架图呈现集合三要素、逻辑用语判定等核心知识，突出互异性检验、充要条件判定等重难点及内在联系。 讲义亮点在于“7易错辨析+分层变式”设计，如集合互异性遗漏、充要条件逻辑颠倒等易错点解析，配合“小充分大必要”等口诀培养数学思维，典例与变式满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第03讲 第一章集合与常用逻辑用语单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲） 【题型一】集合元素的互异性问题 【题型五】充要条件的判定 【题型二】集合交、并、补综合运算 【题型六】利用充分必要条件求参数范围 【题型三】集合基本运算的参数问题 【题型七】根据命题的真假求参数 【题型四】空集的分类讨论 【题型八】全称量词与存在量词命题的否定 【知识点01】集合 1. 集合三要素 确定性（判定能否构成集合）、互异性（求值必检验）、无序性（集合与元素顺序无关）。 2. 符号层级规则（必考） 元素与集合从属关系： 集合与集合包含关系： 3. 常用数集 （自然数集）、（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集） 4. 集合三大运算 交集： 并集： 补集： 5. 子集个数公式（秒杀结论） 若集合含个元素：子集个，真子集个，非空真子集个。 6. 空集核心性质 是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，。 【知识点02】常用逻辑用语 1. 四种命题等价关系 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。 2. 充分、必要条件判定 ：充分、必要 ：互为充要条件 集合法秒杀：充分不必要；必要不充分。 3. 量词命题分类 全称量词：（全真才真，一假则假） 存在量词：（一真即真，全假才假） 4. 量词命题否定（固定公式） 规则：改量词、否结论，取值范围不变。 易错1：符号混用（单元最基础失分点） 元素用，集合用，禁止出现等错误写法。 易错2：集合互异性遗漏 含参集合求解参数后，必须回代检验，避免集合元素重复，是90%学生高频丢分点。 易错3：描述法集合混淆 为定义域集合，为值域集合，代表元素不同，集合完全不同。 易错4：充分必要条件逻辑颠倒 熟记口诀：小范围推大范围，小充分、大必要，区间题型切勿主观判断。 易错5：否命题与命题的否定混淆 否命题：条件、结论同时否定；命题的否定：只否定结论，条件不变，二者完全不同。 易错6：量词否定书写不规范 否定量词命题必须互换，仅否定结论不换量词，属于根本性错误。 易错7：含参题型忽略空集与端点 集合包含、充要含参问题，需单独讨论空集情况，端点取值逐一验证，避免漏解、多解。 【题型一】集合元素的互异性问题 【典例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性即可判断得解. 【详解】由，，，为集合中的4个元素，得，，，两两不相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等， 则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，ABD不是； 又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，C是. 故选：C 【变式1-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解. 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 【变式1-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 【题型二】集合交、并、补综合运算 【典例2-1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 则. 【变式2-1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知全集，集合，集合，则______________； 【答案】. 【分析】先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解. 【详解】全集，集合，则； 集合，则； 故答案为：. 【变式2-2】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 【变式2-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）直接由交集及并集的定义并结合数轴可得； （2）由补集及交集的定义并结合数轴可得. 【详解】（1）因为， 由交集的定义得，如图：    ， 又由并集的定义得，如图：  ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： .   【题型三】集合基本运算的参数问题 【典例3-1】（25-26高一上·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的结果可得出关于的等式，然后检验即可. 【详解】因为，集合，，则，解得， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，则， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【题型四】空集的分类讨论 【典例4-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 【变式4-1】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）若，且，则实数a的值组成的集合为______． 【答案】 【分析】分类讨论：、及，从而可求解. 【详解】由得或，即， 又， 当，即时，符合题意； 当，即时，符合题意； 当，即时，符合题意； 综上所述，实数a的值组成的集合为. 故答案为：. 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·湖北·阶段检测）设，若，则实数的取值可以是 （    ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 【变式4-3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【题型五】充要条件的判定 【典例5-1】（25-26高一上·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【典例5-2】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：当时，，充分性不成立； 必要性：当时，，所以若成立，则必须有，必要性成立. 【典例5-3】（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分与两种情况讨论充分性，取说明必要性不成立即可得答案. 【详解】先讨论充分性： 当时，，故能推出； 当时，，由得，故，即能推出， 所以“”是“”充分条件成立； 再讨论必要性： 取，此时满足，但不满足， 所以必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故：A 【变式5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【答案】 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据条件间的推出关系逐一判断即可. 【详解】A：因，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【分析】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 【题型六】利用充分必要条件求参数范围 【典例6-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值不可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件得到两个范围的包含关系，求出参数范围判断即可. 【详解】因等价于， 因“”是“”的充分不必要条件， 则可得是的真子集，故有，从而a的值不可能为1. 故选：D. 【典例6-2】（24-25高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【典例6-3】（24-25高一上·江西赣州·阶段检测）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 【变式6-1】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）关于的方程的解为的充要条件是_________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用是的必要条件，得出，进而构造不等式求解． 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以，解得，故实数的取值范围为． 【变式6-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先通过全集与补集的定义，将给定条件转化为具体不等式的解集，再根据交集运算规则求出两个集合的共同部分； （2）利用充分条件的集合解释，将条件转化为子集关系，再根据数轴分析端点值的大小关系确定参数范围. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. 又因为集合，，所以. 即的取值范围为. 【题型七】根据命题的真假求参数 【典例7-1】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 【变式7-1】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 【变式7-2】（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为____________ 【答案】 【分析】由题意可得，利用单调性可求在的最小值. 【详解】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，分集合为空集和非空集合两种情况讨论，即可求解； （2）根据存在性命题为真命题得出集合交集非空，同样结合集合非空进行分析即可. 【详解】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型八】全称量词与存在量词命题的否定 【典例8-1】（25-26高一上·河北邯郸·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选：C 【变式8-1】（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】当时，，此时对任意，均有，不满足， 因此命题为假命题，故为真命题. 已知，对因式分解可得：. 由得，，因此，即，故命题为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题 【变式8-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）命题“，”的否定是______． 【答案】， 【分析】根据存在量词命题否定的形式即可写出答案. 【详解】易知命题“，”的否定是“，”. 故答案为：， 【变式8-3】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： (1)平行四边形的对角线互相平分； (2)一元二次方程不总有实数根. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）将其写成全称量词命题，它的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定； （2）将其写成存在量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】（1）该命题为全称量词命题：任意一个平行四边形，它的对角线互相平分， 命题的否定：存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分. （2）该命题为存在量词命题：存在一个一元二次方程没有实数根， 命题的否定：任意一个一元二次方程都有实数根. 1. 单元知识双线体系 主线一（集合）：三要素→符号规范→集合运算→子集公式→含参集合求解，核心是互异性检验+集合包含关系； 主线二（逻辑用语）：四种命题等价→充要条件判定→量词真假与否定，核心是集合法秒杀充要问题。 2. 核心解题思想 数形结合：所有区间集合、充要含参问题，优先使用数轴分析端点范围； 等价转化：复杂命题真假转化为逆否命题判断，充要关系转化为集合包含关系； 分类讨论：含参题型必须讨论空集、端点特殊情况，杜绝漏解。 3. 考场满分避坑准则 集合求值必验互异性，符号书写严格分层；充要判断不颠倒逻辑，熟记小充分大必要；量词否定必改量词、只否结论；含参题型必验端点与空集。 4. 单元核心二级结论 若，则； 全称命题找反例证假，特称命题找特例证真； 充分不必要对应子集，必要不充分对应父集。 一、单选题 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】直接判断和成立的充要条件，进而可得结果. 【详解】因为由，得，即. 而要使有意义，则且，所以，得. 所以成立必有成立，而成立不一定有成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用集合的互异性来写出集合，再得出元素个数即可. 【详解】因为集合，所以集合A中的元素有4个. 故选：A. 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）若，命题，，则（    ） A．命题是真命题，且命题的否定是：， B．命题是真命题，且命题的否定是：， C．命题是假命题，且命题的否定是：， D．命题是假命题，且命题的否定是：， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可； 【详解】，， 命题，，为假命题，命题的否定是：，． 故选：C 5．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C 6．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出两命题都是真命题时的取值范围，再由两个命题中为一真一假，得真假或假真，进行求解． 【详解】若命题为真命题时，则， 若命题为真命题时，则，得或， 由两个命题中为一真一假，得真假或假真， 则，或， 得或， 故选：C 7．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 8．（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 二、多选题 9．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 10．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．“每个整数的平方都是整数”是真命题 B．“每个整数的平方都是整数”是存在量词命题 C．“，”是假命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】ACD 【分析】由全称量词命题的定义及真假判断AB选项，由存在量词命题的真假及否定判断CD选项. 【详解】“每个整数的平方都是整数”是真命题，且是全称量词命题，故A正确，B错误； 若，则，所以“，”是假命题，故C正确； “，”的否定是“，”，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）若“”是假命题，则实数的取值范围是___________.（用集合表示） 【答案】 【分析】由题意转化为命题“，”是真命题，即恒成立，故可求解实数的取值范围. 【详解】若“，”是假命题，则“，”是真命题， 所以，对恒成立，所以，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)，； (2)，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据集合的交集与并集的概念计算即可； （2）根据交并补混合运算即可得结论. 【详解】（1）因为集合，集合， 所以； （2）由于全集， 则，则， 又，所以. 16．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【详解】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 18．（24-25高一上·四川遂宁·阶段检测）设全集为，，. (1)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围；（若多个选择，只对第一个选择给分.） (2)命题均有，若为真命题，求的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）选①，根据交集的定义，分别在，条件下根据关系列不等式求的取值范围；选②由可得，分别在，条件下列不等式求的取值范围；选③由可得，结合已知列不等式求的取值范围； （2）首先根据全称命题的否定求出，由为真命题，可得，再根据（1）中①可得时的范围，求其补集即为时的范围. 【详解】（1）若选①，因为，． 当时，，即，此时满足； 当时，由可得，或， 解得，或， 综上所述：实数的取值范围为. 若选②，因为，所以， 又，， 当时，，即，此时满足； 当时，由可得，化简可得方程组无解， 综上所述，实数的取值范围为； 若选③，因为，所以， 又，， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. （2）由题意若为真命题，即使得成立，则， 根据（1）①时实数的取值范围为, 所以时，则的取值范围为. 19．（25-26高一上·河南南阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得； （2）由可得，分为空集、非空两种情况，列不等式组求解的范围. 【详解】（1）已知， 当时，． 因为，所以， （2）选条件①：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件②：因为，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件③：因为是的充分条件，所以． 当时，满足，即，解得. 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 第一章集合与常用逻辑用语单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲） 【题型一】集合元素的互异性问题 【题型五】充要条件的判定 【题型二】集合交、并、补综合运算 【题型六】利用充分必要条件求参数范围 【题型三】集合基本运算的参数问题 【题型七】根据命题的真假求参数 【题型四】空集的分类讨论 【题型八】全称量词与存在量词命题的否定 【知识点01】集合 1. 集合三要素 确定性（判定能否构成集合）、互异性（求值必检验）、无序性（集合与元素顺序无关）。 2. 符号层级规则（必考） 元素与集合从属关系： 集合与集合包含关系： 3. 常用数集 （自然数集）、（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集） 4. 集合三大运算 交集： 并集： 补集： 5. 子集个数公式（秒杀结论） 若集合含个元素：子集个，真子集个，非空真子集个。 6. 空集核心性质 是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，。 【知识点02】常用逻辑用语 1. 四种命题等价关系 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。 2. 充分、必要条件判定 ：充分、必要 ：互为充要条件 集合法秒杀：充分不必要；必要不充分。 3. 量词命题分类 全称量词：（全真才真，一假则假） 存在量词：（一真即真，全假才假） 4. 量词命题否定（固定公式） 规则：改量词、否结论，取值范围不变。 易错1：符号混用（单元最基础失分点） 元素用，集合用，禁止出现等错误写法。 易错2：集合互异性遗漏 含参集合求解参数后，必须回代检验，避免集合元素重复，是90%学生高频丢分点。 易错3：描述法集合混淆 为定义域集合，为值域集合，代表元素不同，集合完全不同。 易错4：充分必要条件逻辑颠倒 熟记口诀：小范围推大范围，小充分、大必要，区间题型切勿主观判断。 易错5：否命题与命题的否定混淆 否命题：条件、结论同时否定；命题的否定：只否定结论，条件不变，二者完全不同。 易错6：量词否定书写不规范 否定量词命题必须互换，仅否定结论不换量词，属于根本性错误。 易错7：含参题型忽略空集与端点 集合包含、充要含参问题，需单独讨论空集情况，端点取值逐一验证，避免漏解、多解。 【题型一】集合元素的互异性问题 【典例1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【变式1-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________. 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【题型二】集合交、并、补综合运算 【典例2-1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知全集，集合，集合，则______________； 【变式2-2】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【题型三】集合基本运算的参数问题 【典例3-1】（25-26高一上·山西吕梁·期末）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【变式3-3】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【题型四】空集的分类讨论 【典例4-1】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）若，且，则实数a的值组成的集合为______． 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·湖北·阶段检测）设，若，则实数的取值可以是 （    ） A．0 B． C．1 D．3 【变式4-3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【题型五】充要条件的判定 【典例5-1】（25-26高一上·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5-2】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5-3】（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【题型六】利用充分必要条件求参数范围 【典例6-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值不可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【典例6-2】（24-25高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例6-3】（24-25高一上·江西赣州·阶段检测）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）关于的方程的解为的充要条件是_________． 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）设全集，集合，. (1)当时，求; (2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围. 【题型七】根据命题的真假求参数 【典例7-1】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为____________ 【变式7-3】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【题型八】全称量词与存在量词命题的否定 【典例8-1】（25-26高一上·河北邯郸·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式8-2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）命题“，”的否定是______． 【变式8-3】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： (1)平行四边形的对角线互相平分； (2)一元二次方程不总有实数根. 1. 单元知识双线体系 主线一（集合）：三要素→符号规范→集合运算→子集公式→含参集合求解，核心是互异性检验+集合包含关系； 主线二（逻辑用语）：四种命题等价→充要条件判定→量词真假与否定，核心是集合法秒杀充要问题。 2. 核心解题思想 数形结合：所有区间集合、充要含参问题，优先使用数轴分析端点范围； 等价转化：复杂命题真假转化为逆否命题判断，充要关系转化为集合包含关系； 分类讨论：含参题型必须讨论空集、端点特殊情况，杜绝漏解。 3. 考场满分避坑准则 集合求值必验互异性，符号书写严格分层；充要判断不颠倒逻辑，熟记小充分大必要；量词否定必改量词、只否结论；含参题型必验端点与空集。 4. 单元核心二级结论 若，则； 全称命题找反例证假，特称命题找特例证真； 充分不必要对应子集，必要不充分对应父集。 一、单选题 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ） A．4 B．5 C．3 D．2 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）若，命题，，则（    ） A．命题是真命题，且命题的否定是：， B．命题是真命题，且命题的否定是：， C．命题是假命题，且命题的否定是：， D．命题是假命题，且命题的否定是：， 5．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 7．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 二、多选题 9．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 10．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．“每个整数的平方都是整数”是真命题 B．“每个整数的平方都是整数”是存在量词命题 C．“，”是假命题 D．“，”的否定是“，” 11．（25-26高一上·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 三、填空题 12．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 14．（25-26高一上·安徽·阶段检测）若“”是假命题，则实数的取值范围是___________.（用集合表示） 四、解答题 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)，； (2)，． 16．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·四川遂宁·阶段检测）设全集为，，. (1)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围；（若多个选择，只对第一个选择给分.） (2)命题均有，若为真命题，求的范围. 19．（25-26高一上·河南南阳·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $