第13讲 投影 优等生讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第13讲 投影 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念及区别 · 掌握中心投影的特点，能利用相似三角形解决中心投影中的计算问题 · 掌握平行投影的规律，能利用同一时刻物高与影长成正比测高 · 理解正投影的含义，能画出简单几何体在平行光下的正投影 · 能运用投影知识解决实际问题（测高、采光、日影变化等） 📚 知识梳理 ☆ 1.投影的基本概念 投影：光线照射物体，在某个平面上得到的影子。照射光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影，如灯泡、手电筒、路灯光下的影子 平行投影：由平行光线形成的投影，如太阳光下的影子。太阳光线可近似看作平行光线 正投影：平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影，是平行投影的特殊情况 概念辨析例题：下列现象中，哪些是中心投影？哪些是平行投影？①小孔成像 ②阳光下的身影 ③放电影 ④皮影戏 解析：关键看光源：点光源（灯、电影放映机、小孔）形成中心投影；平行光（太阳光）形成平行投影。 ☆ 2.中心投影的特点与计算 等高物体垂直地面放置时，离点光源越近影子越短，离点光源越远影子越长 等长物体平行地面放置时，离点光源越近影子越长，越远越短，但不会短于物体本身 物体与投影面平行时，中心投影是放大的位似变换，对应线段比=相似比，面积比=相似比的平方 确定光源位置：分别过两个物体顶端及其影子顶端作直线，交点即为点光源 概念辨析例题：点光源P(4,6)处，木杆AB两端为(0,2)、(4,2)，求AB在x轴上的影长。 解析：AB∥CD，△PAB∽△PDC。P到AB的距离=6-2=4，P到x轴距离=6，相似比=4:6。AB=4，CD=AB×=6。 ☆ 3.平行投影与正投影 平行投影中，同一时刻不同物体的物高与影长成正比（物高:影长=定值） 北半球一天中影子方向：西→西北→北→东北→东，影长由长变短再变长 正投影性质：线段正投影长度=原长×cos(线面夹角)；平面图形正投影面积=原面积×cos(面面夹角) 正方形的正投影可能是线段、矩形、平行四边形，但不可能是梯形（对边投影仍平行） 概念辨析例题：身高15分米，影长24分米，同一时刻一棵树影长6米，求树高。 解析：同一时刻物高与影长成正比。设树高x分米，6米=60分米，=，解得x=37.5。 ☆ 4.投影的实际应用 测高问题：利用同一时刻物高与影长成正比，用竹竿影子测旗杆/树高 采光问题：计算楼间距，判断前楼影子是否遮挡后楼采光 日影变化：一天中影长先短后长（与地球自转有关），一年中正午影长短夏长冬（与公转有关） 中心投影函数图像：人从路灯下走过，影长先变短后变长，呈V型变化 概念辨析例题：高20m的楼影长15m，楼前10m处有5m旗杆，能否看到旗杆顶端影子？ 解析：旗杆影长=5×=3.75m，旗杆距楼10m，10+3.75=13.75<15，旗杆影子落在楼影范围内，被楼挡住。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 中心投影 点光源发出的光线形成，物体与投影面平行时为位似放大 对应线段比=相似比，面积比=相似比的平方 平行投影 平行光线（太阳光）形成，同一时刻物高与影长成正比 物高:影长=定值，可用于测高 正投影 平行投影线垂直于投影面，是平行投影的特例 线段投影长=原长×cos夹角；正方形投影不会是梯形 影长日变化 北半球：西→西北→北→东北→东，影长先短后长 与地球自转有关；中午影最短 影长年变化 北半球：冬至正午影最长，夏至最短 与地球公转有关；冬季看房采光最差 中心投影计算 延长光线交投影面，构造相似三角形列比例 注意坐标法中作高转化为相似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】中心投影（第1-18题） · 判断中心投影：光源是否为点光源（灯、手电、电影、小孔成像） · 坐标计算：延长PA、PB交x轴，作高构造相似三角形，用相似比求影长 · 面积比：中心投影下面积比=相似比的平方，注意看清相似比是OA:OB还是OB:OB1 · 确定光源：过物体顶端和影子顶端作直线，两线交点即为光源位置 1．（2025秋•武侯区期末）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 2．（2025秋•深圳校级期中）下列投影现象属于中心投影的是（　　） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 3．（2025•福田区二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子△A1B1C1，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　） A．∠A1B1C1越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 4．（2026•南明区模拟）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（　　） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 5．（2025秋•安国市期末）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（　　） A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm 6．（2026•鹿城区二模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•金沙县月考）在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，6）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（4，2），则木杆AB在x轴上的影长CD是（　　） A．4.5 B．6 C．8 D．9.6 8．（2024秋•三水区月考）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 _____ ． 9．给出下列现象：①小孔成像；②阳光下的身影；③放电影；④皮影戏．其中是中心投影的是________ ．（填序号） 10．（2025秋•临渭区月考）身高相同的甲，乙两人分别和同一路灯的距离为2米，4米，当路灯亮时，甲站着的影子比乙站着的影子_____ ．（填“长”或“短”） 11．（2023秋•海州区校级期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量OA：OB＝2：5，且三角板的面积为8cm2，则其投影的面积为 _______ cm2． 12．（2025秋•桓台县期末）如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在 _______ （填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 13．（2026•西安校级模拟）如图，一块面积为12cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是__________ ． 14．（2023秋•青岛期末）一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 _____ ．（填写相应的数字序号即可） 15．（2024•满城区开学）同一时间、同一地点，测得数据如图所示： （1）同学的身高与影长的比是多少？ （2）路灯高多少米？ 16．（2025秋•杜尔伯特县期末）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH．确定光源P的位置，并画出影子为EF的竹竿（用线段表示）． 17．（2025秋•淮阳区月考）（1）图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在右边的方格中画出该几何体的三视图； （2）树、旗杆在路灯下的影子如图2所示，请你确定路灯灯泡O的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 18．如图，婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M，设她的影长为y，她与点E之间的距离为x，那么下列图象中，能表示y与x之间函数关系的是哪一个？请从函数的变化趋势方面说明理由． 【考点2】平行投影与正投影（第19-33题） · 判断平行投影：光源是否为太阳光（平行光），物高与影长成正比 · 测高问题：列比例式 =，注意统一单位 · 正投影长度：线段投影长=原长×cos(夹角)，正方形面积投影=原面积×cos夹角 · 影子方向排序：北半球从早到晚西→西北→北→东北→东，影长由长变短再变长 19．一个正方形的正投影不可能是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．线段 20．（2024春•单元）下列投影是正投影的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．都不是 21．（2025秋•城关区期末）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 22．（2023•宜兴市二模）如图，在平面直角坐标系中，点（2，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为 （﹣1，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　） A． B． C．5 D．6 23．（2026•市南区校级一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 24．（2025秋•贵阳校级月考）孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（　　） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变长，后逐渐变短 D．先逐渐变短，后逐渐变长 25．（2023秋•东台市月考）太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是 ________ ． 26．如图，在平面直角坐标系中，点P（3，6）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2），则木杆AB在x轴上的投影长为_____ ． 27．（2025秋•神木市期末）凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于_______ 投影．（填“中心”或“平行”） 28．如图，将一块含30°角的三角板AMC的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若AM＝10，，则AM在直线n上的正投影的长是 __________________ ． 29．（2024秋•莱阳市期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 _________ ． 30．（2024•柘城县三模）日晷仪也称日晷，是观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与CD的延长线交于点B，连接AC、OC、CE，OC与⊙O交于点F，测得此时∠ACB＝60°，BD＝CD＝3，OA⊥AC． （1）求证：∠B＝∠ACO． （2）求CE的长． 31．已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示，其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，如果∠ABB1＝30°，求投影面A1B1C1D1的面积． 32．（2026•沭阳县校级开学）小娟的身高是15分米，她的影长是24分米．如果同一时间、同一地点测得一棵树的影长是6米，这棵树有多高？（用方程解） 33．如图，把一根木棒AB的一个端点放在平面P上，木棒AB在平面P上的正投影为A1B，若AB长为15cm，影长A1B为9cm，试求AA1的长． 【考点3】创新与压轴题（第34-37题） · 楼影采光：计算前楼影子在后楼墙上的高度，判断是否遮挡采光 · 树倾倒影长最值：当树与太阳光线垂直时影长最大，用直角三角形求解 · 日影地理综合：影长日变化对应自转，年变化对应公转；北京在北回归线以北，正午影子朝北 · 中心投影函数：人经过路灯时影长先减小后增大，图像呈V型 34．（2023•盐都区三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实验小组，在某天下午3时，同时进行了两项实验： 实验一：测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m． 实验二：探究长方体的影子．如图1是该长方体在当天下午3时阳光下投影，图2是图1中长方体的俯视图． （1）该长方体的高AB＝39cm，宽BE＝22cm． ①此时AB的影长BC为 _______ cm； ②此时测得CE＝40cm，求tan∠BCD； （2）某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上． 35．（2025秋•揭阳校级期末）如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9m，并测出此时太阳光线与地面成30°角（计算结果精确到0.1m，参考数据：）． （1）求树AB的高度． （2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 36．如图，投影面上有一根直立的木棒AB，长为2cm． （1）当平行光线垂直照射投影面时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图①中画出来． （2）当光源在木棒AB的左侧，且平行光线与投影面的夹角为60°时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图②中画出投影示意图，并求出投影的长． （3）上面（1）（2）中的投影都是正投影吗？为什么？ 37．（2025春•哈尔滨期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图1是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是 _______ （填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是 ___________ （填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的 _______ 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变 _____ （填“长”或“短”），白昼时间变 _____ （填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图2中的 _____ （填序号），此过程太阳的直射点向 _____ 移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的 _______ 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是 ________ 前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是 _______ （填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 📝 随堂检测 【练习 1】在直角坐标平面内，一点光源位于（0，4）处，点P的坐标为（3，2），则点P在x轴上的影子的坐标为 __________ ． 【练习 2】（2023•湖里区模拟）小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 _____ （填“甲”或“乙”）． 【练习 3】（2021秋•清远期末）如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 _________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 判断投影类型关键看光源：点光源=中心投影（灯），平行光=平行投影（太阳光） · 中心投影计算用相似三角形，注意面积比是相似比的平方 · 平行投影测高记住物高:影长=定值，列比例式前先统一单位 · 北半球影子方向从早到晚：西→西北→北→东北→东，中午影最短朝北 · 中心投影函数图像：人经过路灯正下方时影长最短，前后变长，呈V型 【作业 1】（2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为（　　） A．2.1m B．2.4m C．5.6m D．5.8m 【作业 2】（2026•上栗县模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（1，1），（4，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为__________________ ． 【作业 3】（2025秋•漳州校级期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少___________________ 米． 【作业 4】（2025秋•宁德期末）“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于_________ ．（填“中心投影”或“平行投影”） 【作业 5】（2025秋•金凤区校级期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子． 其中属于平行投影的是_____ （填序号）． 【作业 6】下列投影，是正投影的有 ________ ．（只填序号） 【作业 7】（2026秋•同步）平地上立有三根等高的木杆，从上面看如图所示，图中画出了其中一根木杆在路灯灯光下的影子．你能分别在图中画出另外两根木杆在同一路灯灯光下的影子吗？ 【作业 8】（2026秋•同步）设计一个方案，利用人和旗杆的影子，估计旗杆的高度． 【作业 9】如图，高20m的教学楼（AC）某一时刻在地面上的影子（CB）长15m，在教学楼前10m处有一高为5m的旗杆（DF）．问：在同一时刻你能看到旗杆顶端的影子吗？通过计算说明． 【作业 10】（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_______ ，反映中心投影的情形图是_______ ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为_____ ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 投影 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念及区别 · 掌握中心投影的特点，能利用相似三角形解决中心投影中的计算问题 · 掌握平行投影的规律，能利用同一时刻物高与影长成正比测高 · 理解正投影的含义，能画出简单几何体在平行光下的正投影 · 能运用投影知识解决实际问题（测高、采光、日影变化等） 📚 知识梳理 ☆ 1.投影的基本概念 投影：光线照射物体，在某个平面上得到的影子。照射光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影，如灯泡、手电筒、路灯光下的影子 平行投影：由平行光线形成的投影，如太阳光下的影子。太阳光线可近似看作平行光线 正投影：平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影，是平行投影的特殊情况 概念辨析例题：下列现象中，哪些是中心投影？哪些是平行投影？①小孔成像 ②阳光下的身影 ③放电影 ④皮影戏 解析：关键看光源：点光源（灯、电影放映机、小孔）形成中心投影；平行光（太阳光）形成平行投影。 ☆ 2.中心投影的特点与计算 等高物体垂直地面放置时，离点光源越近影子越短，离点光源越远影子越长 等长物体平行地面放置时，离点光源越近影子越长，越远越短，但不会短于物体本身 物体与投影面平行时，中心投影是放大的位似变换，对应线段比=相似比，面积比=相似比的平方 确定光源位置：分别过两个物体顶端及其影子顶端作直线，交点即为点光源 概念辨析例题：点光源P(4,6)处，木杆AB两端为(0,2)、(4,2)，求AB在x轴上的影长。 解析：AB∥CD，△PAB∽△PDC。P到AB的距离=6-2=4，P到x轴距离=6，相似比=4:6。AB=4，CD=AB×=6。 ☆ 3.平行投影与正投影 平行投影中，同一时刻不同物体的物高与影长成正比（物高:影长=定值） 北半球一天中影子方向：西→西北→北→东北→东，影长由长变短再变长 正投影性质：线段正投影长度=原长×cos(线面夹角)；平面图形正投影面积=原面积×cos(面面夹角) 正方形的正投影可能是线段、矩形、平行四边形，但不可能是梯形（对边投影仍平行） 概念辨析例题：身高15分米，影长24分米，同一时刻一棵树影长6米，求树高。 解析：同一时刻物高与影长成正比。设树高x分米，6米=60分米，=，解得x=37.5。 ☆ 4.投影的实际应用 测高问题：利用同一时刻物高与影长成正比，用竹竿影子测旗杆/树高 采光问题：计算楼间距，判断前楼影子是否遮挡后楼采光 日影变化：一天中影长先短后长（与地球自转有关），一年中正午影长短夏长冬（与公转有关） 中心投影函数图像：人从路灯下走过，影长先变短后变长，呈V型变化 概念辨析例题：高20m的楼影长15m，楼前10m处有5m旗杆，能否看到旗杆顶端影子？ 解析：旗杆影长=5×=3.75m，旗杆距楼10m，10+3.75=13.75<15，旗杆影子落在楼影范围内，被楼挡住。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 中心投影 点光源发出的光线形成，物体与投影面平行时为位似放大 对应线段比=相似比，面积比=相似比的平方 平行投影 平行光线（太阳光）形成，同一时刻物高与影长成正比 物高:影长=定值，可用于测高 正投影 平行投影线垂直于投影面，是平行投影的特例 线段投影长=原长×cos夹角；正方形投影不会是梯形 影长日变化 北半球：西→西北→北→东北→东，影长先短后长 与地球自转有关；中午影最短 影长年变化 北半球：冬至正午影最长，夏至最短 与地球公转有关；冬季看房采光最差 中心投影计算 延长光线交投影面，构造相似三角形列比例 注意坐标法中作高转化为相似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】中心投影（第1-18题） · 判断中心投影：光源是否为点光源（灯、手电、电影、小孔成像） · 坐标计算：延长PA、PB交x轴，作高构造相似三角形，用相似比求影长 · 面积比：中心投影下面积比=相似比的平方，注意看清相似比是OA:OB还是OB:OB1 · 确定光源：过物体顶端和影子顶端作直线，两线交点即为光源位置 1．（2025秋•武侯区期末）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 【分析】根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离越小，影子越大． 【解答】解：当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是：越来越大， 故选：C． 【点评】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键． 2．（2025秋•深圳校级期中）下列投影现象属于中心投影的是（　　） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可． 【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有D选项得到的投影为中心投影． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影与平行投影，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 3．（2025•福田区二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板ABC形成影子△A1B1C1，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　） A．∠A1B1C1越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【分析】根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离越小，影子越大． 【解答】解：由题意可知，∠A1B1C1不变，影子是直角三角形，影子越来越大． 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键． 4．（2026•南明区模拟）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（　　） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【解答】解：如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子是圆． 故选：A． 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义． 5．（2025秋•安国市期末）一块三角形板ABC，BC＝12cm，AC＝10cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则AC边的中心投影A1C1的长为（　　） A．5cm B．15cm C．20cm D．25cm 【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，BC＝12cm，B1C1＝24cm， ∴A1C1：AC＝B1C1：BC＝2：1， ∵AC＝10cm， ∴A1C1＝20cm， 故选：C． 【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． 6．（2026•鹿城区二模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用“在同一时刻同一地点路灯下的影子的方向应不一致”对各选项进行判断． 【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点评】本题考查中心投影的特点是： ①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长． ②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 7．（2025春•金沙县月考）在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，6）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（4，2），则木杆AB在x轴上的影长CD是（　　） A．4.5 B．6 C．8 D．9.6 【分析】证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长． 【解答】解：∵木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（4，2）， ∴AB∥CD， ∴， ∵P（4，6），A（0，2），B（4，2）． ∴PB＝4，PD＝6，AB＝4， ∴， ∴CD＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 8．（2024秋•三水区月考）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 　6　 ． 【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长． 【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图， ∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）． ∴PD＝1，PE＝2，AB＝3， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴，即， ∴A′B′＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 9．给出下列现象：①小孔成像；②阳光下的身影；③放电影；④皮影戏．其中是中心投影的是　①③④　 ．（填序号） 【分析】中心投影：把光由一点向外散射形成的投影；根据小孔成像、皮影戏、手影、放电影都是由光向外散射形成的，进而解答即可． 【解答】解：①小孔成像；③放电影；③手影；④皮影戏都属于中心投影． ②阳光下的身影属于平行投影． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查的是中心投影的知识，熟练掌握中心投影定义是关键． 10．（2025秋•临渭区月考）身高相同的甲，乙两人分别和同一路灯的距离为2米，4米，当路灯亮时，甲站着的影子比乙站着的影子　短　 ．（填“长”或“短”） 【分析】根据中心投影特点即可求解． 【解答】解：根据中心投影的特点可得：身高相同的甲、乙站立时，离点光源（路灯）越近的人影子越短， ∵身高相同的甲，乙两人分别和同一路灯的距离为2米，4米， ∴甲离路灯更近， ∴甲的影子比乙的影子短． 故答案为：短． 【点评】本题考查的知识点是中心投影，熟知中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身短是解题的关键． 11．（2023秋•海州区校级期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量OA：OB＝2：5，且三角板的面积为8cm2，则其投影的面积为 　50　 cm2． 【分析】易得三角板与它的投影成相似图形，再根据面积比等于相似比的平方，进行列式作答． 【解答】解：依题意，三角板与它的投影成相似图形， ∵OA：OB＝2：5，三角板的面积为8cm2， ∴三角板的面积：其投影的面积， 即其投影的面积为50cm2， 故答案为：50． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025秋•桓台县期末）如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在 　灯光　 （填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 【分析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【解答】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光． 【点评】本题考查了中心投影和平行投影，熟知以上知识是解题的关键． 13．（2026•西安校级模拟）如图，一块面积为12cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是　75cm2 ． 【分析】根据平行投影性质得△ABC与△A1B1C1是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【解答】解：∵OB：BB1＝2：3，△ABC∽△A1B1C1， ∴OB：OB1＝2：5， ∴△ABC与△A1B1C1相似比是2：5， ∴， ∵△ABC的面积为12cm2， ∴△A1B1C1的面积为：1275（cm2）， 故答案为：75cm2． 【点评】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 14．（2023秋•青岛期末）一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 　3　 ．（填写相应的数字序号即可） 【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口． 故答案为：3． 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是正确作出投影中心的位置，属于中考常考题型． 15．（2024•满城区开学）同一时间、同一地点，测得数据如图所示： （1）同学的身高与影长的比是多少？ （2）路灯高多少米？ 【分析】（1）根据身高与影长的比解答即可； （2）根据题意得出比例得出比例式解答即可． 【解答】解：（1）同学的身高与影长的比是：， （2）设路灯高为x米，可知：， 解得：x＝5.6， 答：路灯高5.6米． 【点评】此题考查中心投影和比的应用，关键是根据身高与影长的比解答． 16．（2025秋•杜尔伯特县期末）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH．确定光源P的位置，并画出影子为EF的竹竿（用线段表示）． 【分析】首先作出光源点O，连接OF，过点E作EK⊥EF交OF于点K，线段EK即为所求． 【解答】解：如图，线段EK即为所求． 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 17．（2025秋•淮阳区月考）（1）图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在右边的方格中画出该几何体的三视图； （2）树、旗杆在路灯下的影子如图2所示，请你确定路灯灯泡O的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形； （2）延长AB，CD交于点O，点O即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，三视图即为所求． （2）如图2中，点O即为所求． 【点评】本题考查作图﹣中心投影，三视图，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18．如图，婷婷从点E出发，经过路灯OD正下方沿直线走到点M，设她的影长为y，她与点E之间的距离为x，那么下列图象中，能表示y与x之间函数关系的是哪一个？请从函数的变化趋势方面说明理由． 【分析】婷婷的影长为y，开始是逐渐减小，后来逐渐增大．由此判断即可． 【解答】解：婷婷从点A经过路灯OD的正下方沿直线走到点B，她的影长为y，开始是逐渐减小，后来逐渐增大． 故y与x之间函数关系的是④． 【点评】本题考查中心投影，函数等知识，解题的关键是理解中心投影的性质，属于中考常考题型． 【考点2】平行投影与正投影（第19-33题） · 判断平行投影：光源是否为太阳光（平行光），物高与影长成正比 · 测高问题：列比例式 =，注意统一单位 · 正投影长度：线段投影长=原长×cos(夹角)，正方形面积投影=原面积×cos夹角 · 影子方向排序：北半球从早到晚西→西北→北→东北→东，影长由长变短再变长 19．一个正方形的正投影不可能是（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．线段 【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案． 【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形． 故正方形纸板ABCD在投影面Q上的正投影不可能是梯形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键． 20．（2024春•单元）下列投影是正投影的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．都不是 【分析】根据正投影的意义进行判断即可． 【解答】解：由正投影的意义可知， 正投影是平行投影线垂直于投影面所形成的投影， 因此（3）中的投影符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查正投影，理解正投影的意义是正确判断的前提． 21．（2025秋•城关区期末）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【分析】根据平行投影的定义判断即可． 【解答】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影，故此选项符合题意； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 22．（2023•宜兴市二模）如图，在平面直角坐标系中，点（2，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为 （﹣1，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　） A． B． C．5 D．6 【分析】如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（﹣1，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图， ∵P（2，3），A（﹣1，1），B（3，1）． ∴PD＝2，PE＝3，AB＝4， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴，即， ∴A′B′＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 23．（2026•市南区校级一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】点O为地心，OB所在平面为赤道所在平面，即∠AOB＝40°，延长OA至点C，GE⊥OA，即GE所在平面为A处的水平面，HD过点A且平行于OB，即HD为晷面，AF⊥HD，即AF为晷针，晷针与点A处的水平面所成的角即为∠GAF． 【解答】解：如图所示，点O为地心，OB所在平面为赤道所在平面，即∠AOB＝40°，延长OA至点C，GE⊥OA，即GE所在平面为A处的水平面，HD过点A且平行于OB，即HD为晷面，AF⊥HD，即AF为晷针，晷针与点A处的水平面所成的角即为∠GAF． 晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°， 因为OB∥HD， 所以∠CAD＝∠AOB＝40°． 因为AF⊥HD， 所以∠CAD+∠CAF＝90°． 因为GE⊥OA， 所以∠GAF+∠CAF＝90°． 所以∠GAF＝∠CAD＝40°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键． 24．（2025秋•贵阳校级月考）孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子长度的变化情况是（　　） A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变长，后逐渐变短 D．先逐渐变短，后逐渐变长 【分析】根据太阳光照射角度随时间的变化而变化，得出影子的长短随时间的变化而变化，早晨和傍晚影子长，中午影子短据此即可求解． 【解答】解：∵早晨太阳逐渐升高，下午太阳逐渐变低， ∴在晴天的日子里，从早到晚在太阳光下孟母像的影子变化是先逐渐变短，后逐渐变长． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行投影，熟知由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影是解题的关键． 25．（2023秋•东台市月考）太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是 AAS ． 【分析】根据AAS证明三角形全等即可． 【解答】解：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）． 故答案为：AAS． 【点评】本题考查全等三角形的判定，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．如图，在平面直角坐标系中，点P（3，6）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2），则木杆AB在x轴上的投影长为　9　 ． 【分析】利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【解答】解：连接PA、PB并延长分别交x轴于点C、D， 线段CD就是木杆AB在x轴上的投影． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交AB于点N， ∵点P（3，6），A（0，2），B（6，2）， ∴OM＝AN＝3，AB＝6，PN＝4，PM＝6， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC， ∴△PAB∽△PDC， ∴，即， ∴CD＝9． 故木杆AB在x轴上的投影长为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法． 27．（2025秋•神木市期末）凯歌楼是神木古城的标志性建筑，凯歌楼在太阳光下的影子属于　平行　 投影．（填“中心”或“平行”） 【分析】根据太阳光可视为平行光，得到影子是平行投影作答即可． 【解答】解：∵太阳光光线近似平行， ∴凯歌楼在太阳光下的影子属于平行投影， 故答案为：平行． 【点评】本题考查平行投影和中心，熟知太阳光可视为平行光，得到影子是平行投影是解题的关键． 28．如图，将一块含30°角的三角板AMC的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若AM＝10，，则AM在直线n上的正投影的长是 　　 ． 【分析】由含30°角的直角三角形的特征得AC＝5，30°的余弦得，由勾股定理得，求出CN，由余弦的定义可求cos∠CMN，即可求解； 【解答】解：由题意得： ， ， ∴， ∴， ∵∠ACD+∠MCN＝90°，∠MCN+∠CMN＝90°， ∴∠ACD＝∠CMN， ∴ ∴， 解得：CD＝3， ∴， ∴AM在直线n上的正投影的长是． 故答案为：． 【点评】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理，理解正投影，将正投影的长转化为DN的长是解题的关键． 29．（2024秋•莱阳市期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 　④②①③　 ． 【分析】根据不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向的改变规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 【解答】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：④②①③． 故答案为：④②①③． 【点评】本题考查平行投影，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 30．（2024•柘城县三模）日晷仪也称日晷，是观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与CD的延长线交于点B，连接AC、OC、CE，OC与⊙O交于点F，测得此时∠ACB＝60°，BD＝CD＝3，OA⊥AC． （1）求证：∠B＝∠ACO． （2）求CE的长． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质的OD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACO； （2）根据直角三角形的性质得到∠B＝30°，求得∠AOC＝60°，得到OAAC，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵BC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥BC， ∵BD＝CD， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵OD⊥BC， ∴∠ODC＝∠OAC＝90°， 在Rt△AOC与Rt△DOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL）， ∴∠ACO＝∠DCO， ∴∠B＝∠ACO； （2）解：∵∠BAC＝90°， AC＝CD＝BD＝3， ∴， ∴∠B＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴OAAC， ∴AE＝2OA＝2， ∴CE． 【点评】本题考查了切线的性质，平行投影，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 31．已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示，其边长为10厘米，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，如果∠ABB1＝30°，求投影面A1B1C1D1的面积． 【分析】作AH⊥BB1于H，由∠ABB1＝45°得AH＝sin45°AB，从而求出A1B1；因为AD、BC与投影面β平行，所以AD＝A1D1；将数据代入投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1，计算即可． 【解答】解：作AH⊥BB1于H． ∵正方形ABCD边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行， ∴AD＝A1D1＝10厘米． ∵∠ABB1＝30°， ∴AH＝sin30°•AB＝5厘米， ∴A1B1＝AH＝5厘米， ∴投影面A1B1C1D1的面积＝A1D1•A1B1＝10×5＝50（cm2）， 答：投影面A1B1C1D1的面积为50cm2． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了正方形的性质． 32．（2026•沭阳县校级开学）小娟的身高是15分米，她的影长是24分米．如果同一时间、同一地点测得一棵树的影长是6米，这棵树有多高？（用方程解） 【分析】同一时间、同一地点，物体高度与影长的比值为定值，先统一单位，再列方程求解． 【解答】解：设这棵树的高度为x分米，6米＝60分米， ∵同一时间、同一地点物体高度与影长的比值相等， ∴， 解得：x＝37.5， 答：这棵树高37.5分米． 【点评】本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解答本题的关键． 33．如图，把一根木棒AB的一个端点放在平面P上，木棒AB在平面P上的正投影为A1B，若AB长为15cm，影长A1B为9cm，试求AA1的长． 【分析】利用勾股定理求出AA1即可． 【解答】解：在Rt△ABA1中，AA112（cm）． 【点评】本题考查平行投影，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用勾股定理解决问题． 【考点3】创新与压轴题（第34-37题） · 楼影采光：计算前楼影子在后楼墙上的高度，判断是否遮挡采光 · 树倾倒影长最值：当树与太阳光线垂直时影长最大，用直角三角形求解 · 日影地理综合：影长日变化对应自转，年变化对应公转；北京在北回归线以北，正午影子朝北 · 中心投影函数：人经过路灯时影长先减小后增大，图像呈V型 34．（2023•盐都区三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实验小组，在某天下午3时，同时进行了两项实验： 实验一：测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m． 实验二：探究长方体的影子．如图1是该长方体在当天下午3时阳光下投影，图2是图1中长方体的俯视图． （1）该长方体的高AB＝39cm，宽BE＝22cm． ①此时AB的影长BC为 　26　 cm； ②此时测得CE＝40cm，求tan∠BCD； （2）某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上． 【分析】（1）①根据同一时刻，楼高与楼影长的比等于竹竿长与竹竿的影长的比求解即可；②延长EB交CD于点H，设BH＝x，在Rt△EHC和Rt△BHC中，利用勾股定理求得BH＝10，HC＝24，进而即可求解； （2）过点G作GM⊥BE，根据楼高与影长的比求得EG＝28，再利用三角函数即可得解． 【解答】解：（1）①∵AB＝39cm，测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m．AB的影长是BC， ∴， 即， 解得BC＝26cm， 故答案为：26； ②延长EB交CD于点H， 设BH＝x，则有： 在Rt△EHC中，HC2＝402﹣（22+x）2， 在Rt△BHC中，HC2＝262﹣x2， 则有：402﹣（22+x）2＝262﹣x2， 解得：x＝10，即BH＝10， ∴HC24， ∴tan∠BCD． （2）如图所示，过点G作GM⊥BE于点M， 由题意得：， ∴EG＝28， Rt△EGM中，tan∠EGM＝tan∠BCH， ∴设EM＝5x，GM＝12x， ∴GE13x， ∴cos∠EGM，sin∠EGM， ∴MG＝28，EM． ∵24，15， ∴甲楼的影子落在乙楼的墙上． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角函数与投影，熟练掌握三角函数即勾股定理的内容是解题的关键． 35．（2025秋•揭阳校级期末）如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9m，并测出此时太阳光线与地面成30°角（计算结果精确到0.1m，参考数据：）． （1）求树AB的高度． （2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 【分析】（1）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可设AB＝x，BC＝2x，通过勾股定理得到关于x的方程，进行求解即可； （2）过点A作AD⊥太阳光线于点D，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝30°，∴． 设AB＝xm，则BC＝2xm． 由勾股定理，得AB2+AC2＝BC2， 即x2+92＝（2x）2， 解得（负值已舍去）． 故树AB的高度约为5.2m； （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作AD⊥太阳光线于点D，且AD＝AB， ∵AD＝5.2m，∠ADE＝90°，∠AED＝30°， ∴AE＝2AD＝10.4m． 故树影的最大长度为10.4m． 【点评】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当树与光线垂直时，树影最长是解题的关键． 36．如图，投影面上有一根直立的木棒AB，长为2cm． （1）当平行光线垂直照射投影面时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图①中画出来． （2）当光源在木棒AB的左侧，且平行光线与投影面的夹角为60°时，木棒在投影面上的投影是什么图形？请在图②中画出投影示意图，并求出投影的长． （3）上面（1）（2）中的投影都是正投影吗？为什么？ 【分析】（1）根据正投影得到木棒在投影面上的投影是B点； （2）作∠BAC＝30°，则BC为木棒在投影面上的投影，然后利用正切的定义求出BC即可； （3）根据正投影的定义求解． 【解答】解：（1）如图①，木棒在投影面上的投影是点B； （2）如图②，木棒在投影面上的投影为线段BC， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝2cm， ∵tan∠ACB， ∴BC（cm）， 即AB的投影的长为cm； （3）（1）的投影是正投影，（2）中的投影不是正投影，因为正投影要求投影线垂直于投影面，（1）中当平行光线垂直照射投影面，所以它为正投影，（2）中平行光线与投影面的夹角为60°，不垂直投影面，所以它不是正投影． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影；在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 37．（2025春•哈尔滨期末）北京某中学开展了测量日影变化规律的实践活动．请结合实践过程，读图完成下列各题． 实践活动材料：1米长的竹竿1根、量尺1个、绘图工具1套． 【物影日变化】 活动1：如图1是同学们记录的一天中9点、12点、15点竹竿影子的方向和长度． （1）正午12点，竹竿影子的朝向是 　正北　 （填“正北”或“正南”）． （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是 　先变短再变长　 （填“先变长再变短”或“先变短再变长”）；此现象与地球的 　自转　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影年变化】 活动2：9月8日至9月20日，每隔6天测一次，竹竿影长测量时间为正午．如图是太阳直射点一年当中的回归运动． 日期 影长/厘米 朝向 白昼时长 9.8 73 朝北 12小时28分钟 9.14 77 朝北 12小时17分钟 9.20 81 朝北 12小时11分钟 （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变 　长　 （填“长”或“短”），白昼时间变 　短　 （填“长”或“短”），测量期间太阳直射点最接近图2中的 　③　 （填序号），此过程太阳的直射点向 　南　 移动（填“北”或“南”）． （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的 　公转　 有关（填“自转”或“公转”）． 【物影与生活】 （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是 　夏至日　 前后（填“夏至日”或“冬至日”），假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是 　冬季　 （填“春季”，“夏季”，“秋季”或“冬季”）． 【分析】根据平行投影，即根据太阳光的照射下，杆高与影长的变化规律进行解答即可． 【解答】解：（1）正午12点，竹竿影子的朝向是正北， 故答案为：正北； （2）一天中竹竿影子长度的变化规律是先变短再变长，此现象与地球的自转有关， 故答案为：先变短再变长，自转； （3）根据记录可知，9月8日至20日，竹竿影子长度变长，白昼时间变短，测量期间太阳直射点最接近图2中的③，此过程太阳的直射点向南移动， 故答案为：长，短，③，南； （4）一年中，物体的影长会随着季节变化而变化，此现象与地球的公转有关， 故答案为：公转； （5）图3中A、B两图分别为某同学所绘夏至日、冬至日正午竹竿影子的方向和长度．B图测绘的时间可能是夏至日前后，假如想在北京市买房，为了保证房屋采光，推荐看房的最佳季节是冬季， 故答案为：夏至日，冬季． 【点评】本题考查平行投影，掌握在太阳光的照射下，杆高与影长的变化规律是正确解答的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】在直角坐标平面内，一点光源位于（0，4）处，点P的坐标为（3，2），则点P在x轴上的影子的坐标为 　（6，0）　 ． 【分析】如图，点光源A位于（0，4）处，P在x轴上的影子是点B，过P作PH⊥OB于H，由P的坐标是（3，2），得到OH＝3，PH＝2，由△BPH∽△BAO，推出BH：（BH+OH）＝PH：AO，代入有关数据即可求出BH＝3，于是得到OB＝OH+BH＝3+3＝6，即可得到B的坐标是（6，0）． 【解答】解：如图，点光源A位于（0，4）处，P在x轴上的影子是点B， 过P作PH⊥OB于H， ∵P的坐标是（3，2）， ∴OH＝3，PH＝2， ∵PH∥AO， ∴△BPH∽△BAO， ∴BH：OB＝PH：AO， ∴BH：（BH+OH）＝PH：AO， ∵A的坐标是（0，4）， ∴OA＝4， ∴BH：（BH+3）＝2：4， ∴BH＝3， ∴OB＝OH+BH＝3+3＝6， ∴B的坐标是（6，0）， ∴P在x轴上的影子的坐标是（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，中心投影，坐标确定位置，关键是由△BPH∽△BAO，得到BH：OB＝PH：AO． 【练习 2】（2023•湖里区模拟）小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 　甲　 （填“甲”或“乙”）． 【分析】由平行光线形成的投影是平行投影，由此即可判断． 【解答】解：∵太阳光线是平行光线， ∴下午的影子随时间的变化，由短变长， ∴她参加400米比赛的照片是甲． 故答案为：甲． 【点评】本题考查平行投影，关键是掌握平行投影的定义． 【练习 3】（2021秋•清远期末）如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 　②①④③　 ． 【分析】根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是②①④③． 【解答】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：影长由长变短再变长． 故答案为：②①④③． 【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 💯 课后巩固 复习建议 · 判断投影类型关键看光源：点光源=中心投影（灯），平行光=平行投影（太阳光） · 中心投影计算用相似三角形，注意面积比是相似比的平方 · 平行投影测高记住物高:影长=定值，列比例式前先统一单位 · 北半球影子方向从早到晚：西→西北→北→东北→东，中午影最短朝北 · 中心投影函数图像：人经过路灯正下方时影长最短，前后变长，呈V型 【作业 1】（2024秋•市南区期末）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m，则表高为（　　） A．2.1m B．2.4m C．5.6m D．5.8m 【分析】设表高为xm．根据冬至线与夏至线之间的距离为4m，构建方程求解． 【解答】解：设表高为xm． 由题意2xx＝4， 解得x＝2.4． ∴表高为2.4m． 故选：B． 【点评】本题考查平行投影，一元一次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【作业 2】（2026•上栗县模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，3）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（1，1），（4，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为　　 ． 【分析】连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D，待定系数法求出直线PA的解析式为y＝2x﹣1，求出，D（5，0）即可求解． 【解答】解：连接PA并延长交x轴于C，连接PB并延长交x轴于D， 设直线PA的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得， ∴直线PA的解析式为y＝2x﹣1， 当y＝0时，2x﹣1＝0， 解得， ∴， 同理可求D（5，0）， ∴， ∴木杆AB在x轴上的投影长为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标确定位置，中心投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2025秋•漳州校级期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少　　 米． 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD，则， ∵EF＝1米，OE＝4米，则OF＝5米， ∴， 设AB＝4k，CD＝5k， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即AB＝4k，C′D′＝10k，E′F′＝1米，△AO′B∽△C′O′D′， ∴， 则（米）， ∴米， ∴在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离变化为：（米）， 故答案为：． 【点评】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【作业 4】（2025秋•宁德期末）“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于　中心投影　 ．（填“中心投影”或“平行投影”） 【分析】根据光源进行判断即可． 【解答】解：“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于中心投影． 故答案为：中心投影． 【点评】本题考查了中心投影和平行投影，熟知由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•金凤区校级期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子． 其中属于平行投影的是　②　 （填序号）． 【分析】根据平行投影的定义判断即可． 【解答】解：①∵灯是点光源，光线发散， ∴孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是中心投影，不符合题意； ②∵太阳光近似平行光线， ∴朱买臣“负薪”在日光下读书的影子是平行投影，符合题意； ③∵萤火虫为点光源，光线发散， ∴车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子是中心投影，不符合题意； ④∵灯光为点光源，光线发散， ∴匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是中心投影，不符合题意． 故答案为：②． 【点评】本题考查了平行投影与中心投影，熟知平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）是解题的关键． 【作业 6】下列投影，是正投影的有 　③④⑤　 ．（只填序号） 【分析】根据正投影的意义进行判断即可． 【解答】解：由正投影的意义可知， 正投影是平行投影线垂直于投影面所形成的投影， 因此③④⑤的投影符合题意； 故答案为：③④⑤． 【点评】本题考查平行投影，理解正投影的意义是正确判断的前提． 【作业 7】（2026秋•同步）平地上立有三根等高的木杆，从上面看如图所示，图中画出了其中一根木杆在路灯灯光下的影子．你能分别在图中画出另外两根木杆在同一路灯灯光下的影子吗？ 【分析】利用中心对称变化的性质作出图形即可． 【解答】解：图形如图所示： 【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义，属于中考常考题型． 【作业 8】（2026秋•同步）设计一个方案，利用人和旗杆的影子，估计旗杆的高度． 【分析】测量出同一时刻人影子长a，旗杆的影子长b，以及人的身高h即可解决问题． 【解答】解：测量出同一时刻人影子长a，旗杆的影子长b，以及人的身高h． 设旗杆的高度为x，则有，， ∴x． 【点评】本题考查平行投影，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 9】如图，高20m的教学楼（AC）某一时刻在地面上的影子（CB）长15m，在教学楼前10m处有一高为5m的旗杆（DF）．问：在同一时刻你能看到旗杆顶端的影子吗？通过计算说明． 【分析】利用同一时刻物高与影长成正比求得旗杆的影长，然后与楼距的和比较即可说明． 【解答】解：不能看到国旗的影子，理由如下： ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴设旗杆的影长为x，则， 解得：x＝3.75， ∵旗杆距离教学楼10米， ∴10+3.75＜15， ∴不能看到国旗的影子． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，能够求得旗杆的影长是解答本题的关键，难度不大． 【作业 10】（2025秋•抚州月考）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD＝DF＝6米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是　图2　 ，反映中心投影的情形图是　图1　 ；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O；【数学思考】 （3）在（2）中，小明从点P向右沿地面走，经过光源O的正下方沿直线走到点M，小明的影长y随小明与点P之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为D ． A． B．．C． D． 【解决问题】 （4）在图2中，学习小组经测量：竹竿AB＝3.6米，竹竿CD＝2.25米，竹竿EF＝1.5米，竹竿AB、CD的影长BG＝DH＝4米，求竹竿EF的影长． 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【解答】解：（1）反映平行投影的情形图是图2，反映中心投影的情形图是图1， 故答案为：图2，图1； （2）根据中心投影的定义画出图形，的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM及光源O如图所示： ； （3）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：D； （4）如图，过点O作OR⊥BG于点R，设OR＝y米，BR＝x米， ∵AB⊥BG，OR⊥BG， ∴AB∥OR， ∴△ABG∽△ORG， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴OR＝9米，BR＝6米， 又同理可得：， 即， 解得FM＝3.6， 答：EF的影长为3.6米． 【点评】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $