第1讲 平行四边形性质及判定 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第1讲 平行四边形性质及判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理 掌握平行四边形的五种判定方法，能灵活选择判定定理 能综合运用平行四边形的性质与判定解决计算和证明问题 理解两条平行线间距离的概念，会进行相关计算 掌握平行四边形中面积法、全等三角形法等常用解题方法 📚 知识梳理 ☆ 1.平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号「▱」表示，记作▱ABCD 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 概念辨析例题：下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）A．对边平行 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对边相等 解析：平行四边形对角相等，但不一定互补（除非是矩形）。故选B。 ☆ 2.平行四边形的性质 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：对角线互相平分 面积：底×高；同底等高的平行四边形面积相等 概念辨析例题：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，则OA=___，OB=___ 解析：平行四边形对角线互相平分，所以OA=AC=4，OB=BD=3。 ☆ 3.平行四边形的判定 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边：两组对边分别相等；一组对边平行且相等 角：两组对角分别相等 对角线：对角线互相平分 概念辨析例题：下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A．AB∥CD，AB=CD B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB=AD，CB=CD D．OA=OC，OB=OD 解析：C选项是两组邻边分别相等，这是筝形的特征，不能判定为平行四边形。故选C。 ☆ 4.两条平行线间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离 平行线间的距离处处相等 夹在两条平行线间的平行线段相等 概念辨析例题：已知直线a∥b，点M到a的距离是3cm，到b的距离是5cm，则a与b之间的距离是___ 解析：点M可能在a、b同侧（5-3=2cm），也可能在a、b之间（5+3=8cm）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形 既是性质也是判定 边的性质 对边平行且相等 常用于证明线段相等 角的性质 对角相等，邻角互补 邻角互补即和为180° 对角线性质 对角线互相平分 交点是对称中心 面积公式 S=底×高 同底等高面积相等 判定方法 边/角/对角线三类共5种 一组对边平行且相等最常用 平行线距离 两平行线间垂线段长度 处处相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行四边形的性质（第1-22题） 直接用性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分 对角线交点将四边形分成两对全等三角形 角平分线+平行线→等腰三角形（「角平分线遇平行必有等腰」） 面积法：底×高，同底等高面积相等 对角线相关计算：利用平分性质，结合勾股定理 1．（2025秋•台江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 2．（2025•海州区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，，则BD的长是（　　） A． B． C．8 D．12 3．（2024春•邹城市期末）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（　　） A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对 4．（2026•吕梁一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若AB＝5，BC＝3，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．4 5．（2025秋•任城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝________ ． 6．（2025春•荷塘区期末）在同一平面内，已知直线a∥b∥c，若直线a与直线b之间的距离为5cm，直线b与直线c之间的距离为2cm，则直线a与直线c之间的距离为 ________ cm． 7．（2023春•古冶区期中）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是3cm，到直线b的距离是5cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ____________ ． 8．（2025秋•莱芜区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，连接AC．下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．CF＝BC C．AC平分∠BCD D．△ABC是等边三角形 9．（2026春•钱塘区校级期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝4，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．x2+y2 D．xy 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，且OE＝OF．若BC＝6，AB＝5，OF＝2，则四边形ABFE的周长为_______ ． 11．（2026春•滕州市期末）如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长_______ ． 12．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE．若AE＝4，DE＝3，DC＝5，则AC的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 13．（2026春•安吉县期中）如图，▱ABCD的面积为12，点E是边AD上的一点，则图中阴影部分的面积为_____ ． 14．（2025春•江都区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝7，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 ________________ ． 15．（2025春•静安区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且F是CD的中点，DG⊥AE，垂足为G，如果DG＝1，那么AE的长是 ________________ ． 16．（2025春•虹口区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分． 17．（2025春•上海校级月考）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G． （1）求证：△AGD≌△CEB； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为48，EF＝8，求▱ABCD的面积． 18．（2026•梁溪区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠ACB＝90°，过点A作AE⊥BD，连接CE，若，BD＝10，则CE的长为 ________________ ． 19．（2025•南山区校级开学）如图，▱ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为_______ cm． 20．（2025春•普陀区校级期中）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC． （1）求证：E为CD的中点； （2）如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G．写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由． 21．（2025春•静安区期末）平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，联结AF、BE交于点G，联结CE、DF交于点H，四边形EGFH是矩形． （1）如图1，联结GH，如果GH∥AD，求证：①AE＝ED；②AD＝2AB； （2）如图2，若AE＝CF＝a，BF＝DE＝b，且a＜b，又EF＝AB，用含a、b的代数式表示AB的长．请直接写出结果：AB＝ ____________________ ． 22．[知识准备] （1）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF； [知识运用] （2）在▱ABCD中，BD是对角线． ①如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ； ②如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使DQ＝BP． 【考点2】平行四边形的判定（第23-36题） 优先证一组对边平行且相等，或对角线互相平分 动点问题：设时间t，根据对边相等列方程 坐标法：已知三点求第四点，利用对角线中点重合 证明思路：先证三角形全等→得到对边平行或相等→判定平行四边形 23．（2026春•邹平市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 24．（2026春•文山市期末）如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（　　） A．∠DAB＝∠ADC B．AD＝BC C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAD＝∠BCD 25．（2024春•广平县期末）如图，平行四边形ABCD中，要在对角线BD上找点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（　　） 甲：只需要满足BE＝DF 乙：只需要满足AE＝CF 丙：只需要满足AE∥CF A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 26．（2026春•珠海期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AO＝DO C．AD＝BC D．AC＝BD 27．（2026春•丹徒区期中）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为（1，0），魔法师B的坐标为（﹣1，3），弓箭手C的坐标为（﹣2，﹣1），游戏中要设置一个新的NPC点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成▱ABCD，则点D的坐标是___________ ． 28．（2025春•于都县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝___________________ 时，四边形PDQB为平行四边形． 29．（2025春•新会区期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，连接AE、CF．要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________ （只需写出一个）． 30．（2025春•许昌校级期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为____________________ 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 31．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的理由是_____________ ． 32．（2025春•金山区期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF⊥AE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 33．（2025春•重庆校级期中）小川在学习平行四边形时发现：在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F，连接DE，BF，则四边形DEBF也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小川的思路将下面证明过程补充完整． 证明：∵O为BD的中点， ∴①__________ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴②__________ ， ∴∠BEO＝∠DFO， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴④__________ ， ∵⑤__________ ，__________ ， ∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 34．（2026春•南郑区期末）已知，如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点，求证：四边形AECF是平行四边形． 35．（2025春•达州期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）比较S△AEF与S四边形BDEF的大小．并说明理由． 36．（2026春•怀远县期末）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 37．（2026春•南关区期中）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠BAD的平分线与BD相交于点E，∠BCD 的平分线与BD相交于点F，连结AF、CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若点E到边AB的距离为3，▱ABCD的面积为27，则▱ABCD的周长为 _______ ． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•余江区期末）如图，在▱ABCD中，BA＝BD，AE⊥BD，若∠C＝70°，则∠DAE的度数为 ________ ． 【练习 2】（2026春•湛江期末）如图，在▱ABCD中、∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，对角线AC，BD交于点O，CE⊥AD，垂足为E，连接OE，则OE的长是_______________ ． 【练习 3】（2026•莱芜区模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且∠DAE＝∠BCF．求证：BE＝DF． 【练习 4】（2024春•新宁县校级月考）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AB＝2AD，点E是边BC的中点．且EF⊥AC，求证：DF＝BE． 💯 课后巩固 复习建议 牢记平行四边形5种判定方法，做题时根据已知条件灵活选择 遇到角平分线+平行线的组合，立刻想到等腰三角形 对角线问题优先用「互相平分」，常结合勾股定理计算 动点问题要分类讨论，注意运动方向和往返 证明题注意书写规范，判定和性质不要混淆 【作业 1】（2025春•玉溪期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AD＝BC，若要证明四边形ABCD为平行四边形，则还需要添加一个条件是（　　） A．AD∥BC B．OA＝OB C．AB∥CD D．AC＝BD 【作业 2】（2026春•锦江区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，已知BD＝8，BC+OC＝5，则▱ABCD面积为 _____ ． 【作业 3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找到一点D，使四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标是（　　） A．（2，5） B．（2，﹣5） C．（5，2） D．（﹣5，﹣2） 【作业 4】（2025秋•坊子区期末）如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为____________________ ． 【作业 5】（2026春•赛罕区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．求证：四边形AECF是平行四边形． 【作业 6】（2025秋•桓台县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD，交BE的延长线于点F，连接DF交AC于点G． （1）判断四边形DBCF的形状，并说明理由； （2）若∠A＝30°，，CF＝6．求AD的长． 【作业 7】（2026•崂山区校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形AODF是平行四边形； （2）从①②中任选一个并证明： ①当△ACD满足AD＝DC时，说明四边形AODF为什么特殊四边形，并证明； ②当△ACD满足∠ADC＝90°时，说明四边形AODF为什么特殊四边形，并证明． 【作业 8】（2026春•临泉县期末）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝3，求BC的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 平行四边形性质及判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理 掌握平行四边形的五种判定方法，能灵活选择判定定理 能综合运用平行四边形的性质与判定解决计算和证明问题 理解两条平行线间距离的概念，会进行相关计算 掌握平行四边形中面积法、全等三角形法等常用解题方法 📚 知识梳理 ☆ 1.平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号「▱」表示，记作▱ABCD 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 概念辨析例题：下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）A．对边平行 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对边相等 解析：平行四边形对角相等，但不一定互补（除非是矩形）。故选B。 ☆ 2.平行四边形的性质 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：对角线互相平分 面积：底×高；同底等高的平行四边形面积相等 概念辨析例题：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，则OA=___，OB=___ 解析：平行四边形对角线互相平分，所以OA=AC=4，OB=BD=3。 ☆ 3.平行四边形的判定 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边：两组对边分别相等；一组对边平行且相等 角：两组对角分别相等 对角线：对角线互相平分 概念辨析例题：下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A．AB∥CD，AB=CD B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB=AD，CB=CD D．OA=OC，OB=OD 解析：C选项是两组邻边分别相等，这是筝形的特征，不能判定为平行四边形。故选C。 ☆ 4.两条平行线间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离 平行线间的距离处处相等 夹在两条平行线间的平行线段相等 概念辨析例题：已知直线a∥b，点M到a的距离是3cm，到b的距离是5cm，则a与b之间的距离是___ 解析：点M可能在a、b同侧（5-3=2cm），也可能在a、b之间（5+3=8cm）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形 既是性质也是判定 边的性质 对边平行且相等 常用于证明线段相等 角的性质 对角相等，邻角互补 邻角互补即和为180° 对角线性质 对角线互相平分 交点是对称中心 面积公式 S=底×高 同底等高面积相等 判定方法 边/角/对角线三类共5种 一组对边平行且相等最常用 平行线距离 两平行线间垂线段长度 处处相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】平行四边形的性质（第1-22题） 直接用性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分 对角线交点将四边形分成两对全等三角形 角平分线+平行线→等腰三角形（「角平分线遇平行必有等腰」） 面积法：底×高，同底等高面积相等 对角线相关计算：利用平分性质，结合勾股定理 1．（2025秋•台江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE＝AB、CD＝CF，再由线段的和差可求得EF． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝9， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝BA＝3， 同理CF＝CD＝3， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝9﹣3﹣3＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得AB＝BE＝CF是解题的关键． 2．（2025•海州区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，，则BD的长是（　　） A． B． C．8 D．12 【分析】由平行四边形的性质推出BD＝2BO，AOAC＝2，由勾股定理求出BO6，得到BD＝2BO＝12． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2BO，AOAC42， ∵AB⊥AC， ∴∠BAO＝90°， ∵AB＝4， ∴BO6， ∴BD＝2BO＝12． 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，关键是平行四边形的性质推出BD＝2BO，AOAC，由勾股定理求出BO的长， 3．（2024春•邹城市期末）已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（　　） A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对 【分析】本题考查平行线间的距离：分①直线c在直线a，b外，②直线c在直线a，b之间两种情况讨论求解． 【解答】解：如图①，直线c在直线a，b外时， ∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm， ∴a与c之间的距离为5+2＝7（cm）； 如图②，直线c在直线a，b之间时， ∵a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm， ∴a与c之间的距离为5﹣2＝3（cm）． 综上所述，a与c之间的距离为3cm或7cm． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离，熟练掌握平行线间的距离是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． 4．（2026•吕梁一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若AB＝5，BC＝3，则BD的长为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】先利用勾股定理求出AC，再由平行四边形对角线互相平分得，接着在Rt△OBC中利用勾股定理求得OB，最后由BD＝2OB即可得出． 【解答】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， 由勾股定理可得，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，BD＝2OB， 由勾股定理可得，， ∴． 故选：B． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据勾股定理得出AC解答． 5．（2025秋•任城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝　55°　 ． 【分析】由平行四边形的对角相等的性质得到∠BCD＝∠A＝125°；然后由邻补角的定义作答． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A＝125°，则∠BCD＝∠A＝125°． 故∠1＝180°﹣∠BCD＝55°． 故答案为：55°． 【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等的性质． 6．（2025春•荷塘区期末）在同一平面内，已知直线a∥b∥c，若直线a与直线b之间的距离为5cm，直线b与直线c之间的距离为2cm，则直线a与直线c之间的距离为 　3或7　 cm． 【分析】依题意有以下两种情况：①当直线c在直线a，b之间时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，根据平行线间距离的定义得AB＝5cm，BC＝2cm，进而得AC＝3cm；②当直线c在直线a，b之外时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，根据平行线间距离的定义得AB＝5cm，BC＝2cm，进而得AC＝7cm，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意有以下两种情况： ①当直线c在直线a，b之间时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，如图1所示： 根据平行线间距离的定义得：AB＝5cm，BC＝2cm， ∴AC＝AB﹣BC＝3cm； ②当直线c在直线a，b之外时，过直线a当的以点A作直线AB⊥直线a，交直线b于点B，交直线c于点C，则AB⊥直线b，AB⊥直线c，如图2所示： 根据平行线间距离的定义得：AB＝5cm，BC＝2cm， ∴AC＝AB+BC＝7cm， 综上所述：直线a与直线c之间的距离为3cm或7cm． 故答案为：3或7． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离，理解平行线间的距离是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 7．（2023春•古冶区期中）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是3cm，到直线b的距离是5cm，那么直线a和直线b之间的距离为 　2cm或8cm ． 【分析】点M的位置不确定，可分情况讨论． （1）点M在直线b的下方，直线a和直线b之间的距离为5cm﹣3cm＝2cm， （2）点M在直线a、b的之间，直线a和直线b之间的距离为5cm+3cm＝8cm． 【解答】解：当M在b下方时，距离为5﹣3＝2（cm）； 当M在a、b之间时，距离为5+3＝8（cm）． 故答案为：2cm或8cm． 【点评】本题需注意点M的位置不确定，解答本题的关键是注意分情况讨论． 8．（2025秋•莱芜区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，连接AC．下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．CF＝BC C．AC平分∠BCD D．△ABC是等边三角形 【分析】由题意可知∠ABF＝∠CBF，结合AB∥CD可得∠ABF＝∠CFB，进而得到∠CBF＝∠CFB，则CF＝BC即可判断B正确，而ACD无法判断． 【解答】解：∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， 又∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CFB， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝BC，故B正确；而ACD无法判断． 故选：B． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，等角对等边，掌握角平分线性质是解题的关键． 9．（2026春•钱塘区校级期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝4，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．x2+y2 D．xy 【分析】过D作DM⊥BC交BC延长线于M，判定△ABE≌△DCM（AAS），由勾股定理得到42﹣（y﹣x）2（x+y）2，因此xy＝8． 【解答】解：过D作DM⊥BC交BC延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DCM， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠M＝90°， ∴△ABE≌△DCM（AAS）， ∴CM＝BE＝x，AE＝DM， ∴MB＝BC+MC＝x+y， ∵AE2＝AC2﹣CE2＝42﹣（y﹣x）2，DM2＝BD2﹣BM2（x+y）2， ∴42﹣（y﹣x）2（x+y）2， ∴xy＝8， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于x、y关系式． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，且OE＝OF．若BC＝6，AB＝5，OF＝2，则四边形ABFE的周长为　15　 ． 【分析】利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，即可求出四边形的周长． 【解答】解：已知AB＝5，BC＝6，OE＝2， 根据平行四边形的性质，AB＝CD＝4，BC＝AD＝5， 在△AEO和△CFO中 ∵， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE＝OF＝2，AE＝FC， 则四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝AB+BC+EF＝5+6+4＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2026春•滕州市期末）如图，▱ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长　20　 ． 【分析】由平行四边形的性质得出OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，求出OA+OB＝16，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OAAC，OBBD，AB＝CD＝4， ∵AC+BD＝32， ∴OA+OB（AC+BD）＝16， ∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝16+4＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 12．（2025秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE．若AE＝4，DE＝3，DC＝5，则AC的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【分析】由线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再由勾股定理的逆定理证明△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，然后由勾股定理即可求解． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，OA＝OC， ∵OE⊥AC ∴CE＝AE＝4， ∵DE＝3， ∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25， ∴CE2+DE2＝CD2， ∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AC4， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明△EDC为直角三角形是解题的关键． 13．（2026春•安吉县期中）如图，▱ABCD的面积为12，点E是边AD上的一点，则图中阴影部分的面积为　3　 ． 【分析】由平行四边形的性质推出AD∥BC，AB＝CD，AD＝CB，AO＝OC，由三角形的面积公式得到△EBC和△ABC的面积相等，判定△ABC≌△CDA（SSS），得到△ABC的面积＝▱ABCD面积的一半＝6，由三角形的面积公式得到△OBC的面积＝△ABC面积的一半＝3，即可得到图中阴影部分的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝CB，AO＝OC， ∴△EBC和△ABC的BC上的高相等， ∴△EBC和△ABC的面积相等， ∵AC＝CA，AB＝CD，AD＝CB， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴△ABC的面积＝▱ABCD面积的一半12＝6， ∵AO＝OC， ∴△OBC的面积＝△ABC面积的一半6＝3， ∴图中阴影部分的面积＝△EBC的面积﹣△OBC的面积＝6﹣3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，三角形的面积公式． 14．（2025春•江都区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝7，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为 　　 ． 【分析】延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH，结合平行四边形的性质利用SAS证明△CDF≌△HCE，根据全等三角形的性质得出CF＝HE，进而求出AE+CF的最小值为AH，过点A作AG⊥BC于点G，解直角三角形求解即可． 【解答】解：如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECH， 在△CDF和△HCE中， ， ∴△CDF≌△HCE（SAS）， ∴CF＝HE， ∴AE+CF＝AE+HE， 当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH， 当A、E、H共线时，AE+HE＝AH， ∴AE+HE的最小值为AH， 即AE+CF的最小值为AH， 过点A作AG⊥BC于点G， ∴∠AGB＝∠AGH＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAG＝30°， ∴BGAB＝2， ∴AG2， ∵CD＝CH＝4， ∴BH＝BC+CH＝11， ∴BH＝BC﹣BG＝9， ∴AH， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟记平行四边形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 15．（2025春•静安区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且F是CD的中点，DG⊥AE，垂足为G，如果DG＝1，那么AE的长是 　4　 ． 【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝4，推导出∠DFA＝∠ABE，∠FAD＝∠E，由∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，得∠DAF＝∠BAE，所以∠DFA＝∠DAF，因为DF＝CFCD＝2，所以DA＝DF＝2，由DG⊥AE于点G，DG＝1，得AG＝FG，求得AG，则AF＝2AG＝2，再证明△AFD≌△EFC，得AF＝EF，则AE＝2AF＝4，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4， ∴CD＝AB＝4，CD∥AB，AD∥BC， ∴∠DFA＝∠ABE，∠FAD＝∠E， ∵∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F， ∴∠DAF＝∠BAE， ∴∠DFA＝∠DAF， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CFCD＝2， ∴DA＝DF＝2， ∵DG⊥AE于点G，DG＝1， ∴∠AGD＝90°，AG＝FG， ∴AG， ∴AF＝2AG＝2， 在△AFD和△EFC中， ， ∴△AFD≌△EFC（AAS）， ∴AF＝EF， ∴AE＝2AF＝4， 故答案为：4． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠DFA＝∠DAF及△AFD≌△EFC是解题的关键． 16．（2025春•虹口区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分． 【分析】由直角三角形的性质可得AE＝BE＝CE，通过题意证明四边形AECD是菱形，即可求解． 【解答】解：如图，连接AD， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∵∠ACB＝90°，E为AB的中点， ∴AE＝BE＝CE， ∴AE＝CD， ∴四边形AECD是平行四边形， 又∵AE＝CE， ∴平行四边形AECD是菱形， ∴AC与DE互相垂直平分． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，证明四边形AECD是菱形是解题的关键． 17．（2025春•上海校级月考）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G． （1）求证：△AGD≌△CEB； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为48，EF＝8，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）由BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G，得∠ADG∠ADC，∠CBE∠ABC，由平行四边形的性质得∠ADC＝∠ABC，AD∥CB，AD＝CB，则∠ADG＝∠CBE，∠DAG＝∠BCE，即可根据“ASA”证明△AGD≌△CEB； （2）作EH⊥BC于点H，则EH＝EF＝8，由平行四边形ABCD的周长为48，得2AB+2BC＝48，则AB+BC＝24，所以S△ABC＝S△ABE+S△CBE8（AB+BC）＝96，因为△ABC≌△CDA，所以S△ABC＝S△CDA＝96，则S▱ABCD＝S△ABC+S△CDA＝192． 【解答】（1）证明：∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G， ∴∠ADG∠ADC，∠CBE∠ABC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB，AD＝CB， ∴∠ADG＝∠CBE，∠DAG＝∠BCE， 在△AGD和△CEB中， ， ∴△AGD≌△CEB（ASA）． （2）解：作EH⊥BC于点H， ∵BE分别平分∠ABC，EF⊥AB于点F， ∴EH＝EF＝8， ∵AB＝CD，BC＝DA，且平行四边形ABCD的周长为48， ∴2AB+2BC＝48， ∴AB+BC＝24， ∴S△ABC＝S△ABE+S△CBEAB•EFBC•EH8（AB+BC）8×24＝96， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴S△ABC＝S△CDA＝96， ∴S▱ABCD＝S△ABC+S△CDA＝96+96＝192， ∴▱ABCD的面积是192． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2026•梁溪区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠ACB＝90°，过点A作AE⊥BD，连接CE，若，BD＝10，则CE的长为 　　 ． 【分析】过点C作CH⊥BD于点H，由平行四边形性质得OA＝OC，OB＝OD＝5，在Rt△OBC中，由勾股定理求出BC，进而由三角形的面积公式可求出CH＝2，再由勾股定理求出OH＝1，证明△AEO和△CHO全等得OE＝OH＝1，则EH＝2，然后在Rt△CHE中，由勾股定理即可求出CE的长． 【解答】解：过点C作CH⊥BD于点H，如图所示： ∴∠CHO＝90°， ∴△CHO和△CHE都是直角三角形， ∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC，BD＝10， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD＝5， ∵∠ACB＝90°， ∴△OBC是直角三角形， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC， 由三角形的面积公式得：S△OBCOC•CHBC•OC， ∴CH2， 在Rt△CHO中，由勾股定理得：OH1， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠AEO＝∠CHO＝90°， 在△AEO和△CHO中， ， ∴△AEO≌△CHO（AAS）， ∴OE＝OH＝1， ∴EH＝OE+OH＝2， 在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 19．（2025•南山区校级开学）如图，▱ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为　30　 cm． 【分析】根据平行四边形的性质，推出EO垂直平分BD，AB+AD＝30cm，进而得到BE＝DE，推出△ABE的周长为AB+AD的长，即可得出结果． 【解答】解：∵▱ABCD的周长为60cm， ∴2（AB+AD）＝60cm，OB＝OD， ∴AB+AD＝30cm， ∵EO⊥BD交AD于点E， ∴EO垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ABE的周长为AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝30cm， 故答案为：30． 【点评】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 20．（2025春•普陀区校级期中）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC． （1）求证：E为CD的中点； （2）如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G．写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形性质得AD＝BC，AB∥CD，则∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE，再根据角平分线定义得，∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，进而得∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB，则DE＝AD，CE＝BC，继而得DE＝CE，据此即可得出结论； （2）设BE的中点为H，连接FH，则BH＝EH，证明FH是△EAB的中位线得FH∥AB，FHAB，进而根据平行四边形性质得FH∥CD，FHCD，由（1）的结论得ECCD，则FH＝EC，由此即可证明△GFH和△GCE全等，则EG＝HG，据此即可得出BG与EG满足的数量关系． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE， ∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC， ∴∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE， ∴∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB， ∴DE＝AD，CE＝BC， 又∵AD＝BC， ∴DE＝CE， ∴点E为CD的中点； （2）解：BG与EG满足的数量关系是：BG＝3EG，理由如下： 设BE的中点为H，连接FH，如图所示： ∴BH＝EH， ∵点F为AE的中点， ∴FH是△EAB的中位线， ∴FH∥AB，FHAB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴FH∥CD，FHCD， 由（1）可知：点E为CD的中点， ∴ECCD， ∴FH＝EC， ∵FH∥CD， ∴∠GFH＝∠GCE，∠GHF＝∠GEC， 在△GFH和△GCE中， ， ∴△GFH≌△GCE（ASA）， ∴EG＝HG， ∴EH＝2EG， ∴BH＝EH＝2EG， ∴BG＝BH+HG＝2EG+EG＝3EG． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 21．（2025春•静安区期末）平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，联结AF、BE交于点G，联结CE、DF交于点H，四边形EGFH是矩形． （1）如图1，联结GH，如果GH∥AD，求证：①AE＝ED；②AD＝2AB； （2）如图2，若AE＝CF＝a，BF＝DE＝b，且a＜b，又EF＝AB，用含a、b的代数式表示AB的长．请直接写出结果：AB＝ 　　 ． 【分析】（1）①根据题意，结合图形，易得到四边形AGHE及EGHD都是平行四边形，即可证得结论； ②根据题意，得到四边形ABFE为平行四边形，结合已知条件，得到四边形ABFE是菱形，即可得到结论； （2）根据题意，结合图形，得到△AEG与△BGF为等腰直角三角形，求出AG和BG，利用勾股定理得到结果． 【解答】（1）证明：①连接EF，如图1所示： ∵四边形EGFH是矩形， ∴FD∥BE，AF∥EC， 即GE∥HD，AG∥EH， 又∵GH∥AD， ∴GH∥AE，GH∥ED， ∴四边形AGHE及EGHD都是平行四边形， ∴AE＝GH，ED＝GH， ∴AE＝ED； ②由①得，E为AD中点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵GH∥AD， ∴GH∥BC， 同理可得F为BC中点， ∴AE＝BF， ∵AE∥BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∵四边形EGFH是矩形， ∴∠EGF＝90°，即AF⊥BE， ∴四边形ABFE是菱形， ∴， ∴AD＝2AB； （2）解：如图所示：过点A作 AM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N， 则AM∥EN， ∵▱ABCD中AE∥MN， ∴四边形AMNE为平行四边形， ∴AM＝EN， ∵AB＝EF， ∴Rt△ABM≌Rt△EFN（HL）， ∴∠ABM＝∠EFN， ∵BF＝FB， ∴△ABF≌△EFB（SAS）， ∴∠AFB＝∠EBF，AF＝BE， ∴GB＝GF， ∴BE﹣BG＝AF﹣GF，即AG＝EG， ∵矩形EGFH中∠EGF＝90°， ∴∠AGE＝∠BGF＝90°， ∴△AEG与△BGF为等腰直角三角形， ∵AE＝a，BF＝b， ∴AG，BG， ∴AB ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形，矩形，菱形的性质应用，熟练掌握相关特殊四边形的性质是解题的关键． 22．[知识准备] （1）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF； [知识运用] （2）在▱ABCD中，BD是对角线． ①如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ； ②如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使DQ＝BP． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AOE≌△COF（ASA），即可得证． （2）①连接AC交BD于O，连接PO并延长交CD于Q，则Q即为所求． ②连接AC交BD于O，延长AP交BC于E，连接EO并延长交AD于点F，连接CF交BD于Q，则Q即为所求． 【解答】（1）证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO． 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF． （2）解：①如图，点Q即为所求． ②如图，点Q即为所求． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，作图，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点2】平行四边形的判定（第23-36题） 优先证一组对边平行且相等，或对角线互相平分 动点问题：设时间t，根据对边相等列方程 坐标法：已知三点求第四点，利用对角线中点重合 证明思路：先证三角形全等→得到对边平行或相等→判定平行四边形 23．（2026春•邹平市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 24．（2026春•文山市期末）如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（　　） A．∠DAB＝∠ADC B．AD＝BC C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAD＝∠BCD 【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由AB∥CD，∠DAB＝∠ADC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 25．（2024春•广平县期末）如图，平行四边形ABCD中，要在对角线BD上找点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（　　） 甲：只需要满足BE＝DF 乙：只需要满足AE＝CF 丙：只需要满足AE∥CF A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【分析】只要证明△ABE≌△CDF，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 甲：在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形，故甲种方案正确； 乙：由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故乙种方案不正确； 丙：∵AE∥CF， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形，故丙种方案正确； ∴正确的方案的个数是2， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 26．（2026春•珠海期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AO＝DO C．AD＝BC D．AC＝BD 【分析】结合平行四边形的判定定理分析各选项：选项A、D中，条件结合AD∥BC时，四边形可能为等腰梯形，不满足；选项B中，AO＝DO，无法推出对角线互相平分或对边相等；选项C中，AD＝BC与AD∥BC结合，符合”一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故可判定．故选：C． 【解答】选项A：（AB＝CD）：已知AD∥BC，再添加AB＝CD．这构成了“一组对边平行且相等”．反例：等腰梯形就满足这个条件，但它不是平行四边形，所以A不正确； 选项B：（AO＝DO）：已知AD∥BC，可得内错角∠DAO＝∠BCO．添加AO＝DO，只能说明△AOD是一个等腰三角形，这无法推导出对角线互相平分（即AO＝CO且BO＝DO），也无法证明AD＝BC．反例：可以构造一个非平行四边形的梯形，使其对角线交点O满足AO＝DO，所以B不正确． 选项C：（AD＝BC）：已知：AD∥BC，添加条件C：AD＝BC，判定：根据平行四边形的判定定理——“一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形”．条件C与已知条件结合，完美符合判定定理，因此可以判定ABCD是平行四边形，故C正确； 选项D：（AC＝BD）：已知AD∥BC，再添加对角线相等AC＝BD，反例：等腰梯形同样满足”一组对边平行且对角线相等”的条件，但它不是平行四边形，所以D不正确． 故选：C． 【点评】题目考查了平行四边形的判定，解题的关键在于灵活运用判定定理，特别是识别出“一组对边平行且相等”这一判定方法，并能通过构造等腰梯形等反例来排除其他干扰选项． 27．（2026春•丹徒区期中）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为（1，0），魔法师B的坐标为（﹣1，3），弓箭手C的坐标为（﹣2，﹣1），游戏中要设置一个新的NPC点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成▱ABCD，则点D的坐标是　（0，﹣4）　 ． 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式计算即可． 【解答】解：设D（x，y）， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴A（1，0）、C（﹣2，﹣1）的中点和B（﹣1，3）、D（x，y）的中点重合． 则，， 解得x＝0，y＝﹣4， 即D（0，﹣4）， 故答案为：（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 28．（2025春•于都县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝　0或4.8s或8s或9.6s 时，四边形PDQB为平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过m秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣tt 此时方程t＝0； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8； ④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t 解得：t＝9.6； 综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0s或4.8s或8s或9.6s． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 29．（2025春•新会区期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，连接AE、CF．要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是AF＝CE （只需写出一个）． 【分析】根据平行四边形判定和性质即可得到结论． 【解答】解：添加AF＝CE， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， 即AF∥CE， ∵AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 故答案为：AF＝CE． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 30．（2025春•许昌校级期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为　s或4s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】分点F在线段BM上，F在线段CM上，两种情形列出方程即可． 【解答】解：当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣4， 解得：t＝4， 当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝4﹣2t， 解得：t； 综上所述，ts或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：s或4s． 【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 31．如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的理由是　两组对边分别相等　 ． 【分析】根据圆的半径相等，得到BC＝AD，CD＝AB，根据判定定理解答即可． 【解答】解：根据作法得到BC＝AD，CD＝AB， 则两组对边分别相等， 那么，四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等． 【点评】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 32．（2025春•金山区期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF⊥AE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，则∠DAE＝∠E，而∠DAE＝∠BAE，所以∠E＝∠BAE，则AB＝BE，即可证明BE＝CD； （2）连接AC、DE，由AD∥BC，点E在BC的延长线上，得AD∥EC，∠D＝∠FCE，由AB＝BE，BF⊥AE，根据等腰三角形的“三线合一”得AF＝EF，而∠AFD＝∠EFC，即可根据“ASA”证明△AFD≌△EFC，得AD＝EC，即可证明四边形ACED是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠E， ∵∠BAD的角平分线AE交BC的延长线于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠E＝∠BAE， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD． （2）连接AC、DE， ∵AD∥BC，点E在BC的延长线上， ∴AD∥EC，∠D＝∠FCE， 由（1）得AB＝BE， ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF， 在△AFD和△EFC中， ， ∴△AFD≌△EFC（ASA）， ∴AD＝EC， ∴四边形ACED是平行四边形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠E＝∠BAE，进而证明AB＝BE是解题的关键． 33．（2025春•重庆校级期中）小川在学习平行四边形时发现：在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F，连接DE，BF，则四边形DEBF也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小川的思路将下面证明过程补充完整． 证明：∵O为BD的中点， ∴①OB＝OD ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴②AB∥CD ， ∴∠BEO＝∠DFO， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴④OE＝OF ， ∵⑤OB＝OD ，OE＝OF ， ∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【分析】利用平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF（AAS），即得OE＝OF，再根据平行四边形的判定即可求解． 【解答】证明：由题意可得：OB＝OD， ∴AB∥CD， ∴∠BEO＝∠DFO， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD，OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故答案为：OB＝OD，AB∥CD，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF，OB＝OD，OE＝OF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 34．（2026春•南郑区期末）已知，如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点，求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】可考虑两种方法，一是由平行四边形的性质得AD∥CB，AD＝CB，OD＝OB，可证明∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，进而证明△ADE≌△CBF，得AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，则AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形；二是由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，由OEOD，OFOD，推导出OE＝OF，则四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于O点， ∴AD∥CB，AD＝CB，OD＝OB， ∵点E，F分别为BO，DO的中点， ∴∠ADE＝∠CBF，OFOD，OEOB， ∴OE＝OF， ∴OD+OE＝OB+OF， ∴DE＝BF， 在△ADE和△CBF， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 证明方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于O点， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OBOD， ∵点E，F分别为BO，DO的中点， ∴OEOD，OFOD， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、线段中点的定义等知识，证明△ADE≌△CBF或推导出OA＝OC，OE＝OF是解题的关键． 35．（2025春•达州期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）比较S△AEF与S四边形BDEF的大小．并说明理由． 【分析】（1）连接EC，证明△BAD≌△CAE（SAS），得到EF∥BC，证明△EFC是等边三角形．则EF＝EC＝FC＝1．即可得到结论； （2）作CH⊥EF于H．求出S平行四边形BDEF和S△AEF，即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接EC， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°． ∴∠BAD＝∠CAE． ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°． ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°． ∴EF＝EC＝FC＝1． ∴四边形BDEF是平行四边形． （2）S△AEF＝S平行四边形BDEF， 作CH⊥EF于H． ∵CH⊥EF，∴∠ECH＝30°，∠CHE＝90°， ∴， ∴在Rt△CEH中，， ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴， 又∵AF＝AC﹣CF＝3﹣1＝2， 又∵△EFC是等边三角形，各边上的高相等都是 ∴． ∴S△AEF＝S平行四边形BDEF． 【点评】此题考查了等边三角形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形BDEF是平行四边形是关键． 36．（2026春•怀远县期末）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝2，由平行四边形的性质得CF＝AD＝2，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3，根据勾股定理得BC． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1， ∴AD＝2EF＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝2， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3， ∴BC， ∴BC的长是． 【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，推导出CF∥AD，进而证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键． 37．（2026春•南关区期中）如图，BD是▱ABCD的对角线，∠BAD的平分线与BD相交于点E，∠BCD 的平分线与BD相交于点F，连结AF、CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若点E到边AB的距离为3，▱ABCD的面积为27，则▱ABCD的周长为 　18　 ． 【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形性质得OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，则∠ABE＝∠CDF，先证明∠BAE＝∠DCF，进而依据“ASA”判定△ABE和△CDF全等得BE＝DF，继而可得OE＝OF，据此可得出结论； （2）过点E作EP⊥AB于点P，EQ⊥AD于点Q，设AD＝a，AB＝b，则平行四边形ABCD的周长为2（a+b），S△ABD，由角平分线性质得EQ＝EP＝3，由三角形面积公式得S△ABD＝S△AED+S△ABE，由此得a+b＝8，据此可得平行四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：连接AC交BD于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD是对角线， ∴OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠BAE∠BAD，∠DCF∠BCD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF， ∵OB＝OD， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， 在四边形AECF中，OA＝OC，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：过点E作EP⊥AB于点P，EQ⊥AD于点Q，如图2所示： 设AD＝a，AB＝b， ∴平行四边形ABCD的周长为：2（a+b）， ∵平行四边形ABCD的面积为27， ∴S△ABD， ∵点E到边AB的距离为3， ∴EP＝3， ∵AE平分∠BAD， ∴EQ＝EP＝3， ∴S△AEDAD•EQ，S△ABEAB•EP， ∴S△ABD＝S△AED+S△ABE， ∴a+b＝8， 平行四边形ABCD的周长为：2（a+b）＝18． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•余江区期末）如图，在▱ABCD中，BA＝BD，AE⊥BD，若∠C＝70°，则∠DAE的度数为 　20°　 ． 【分析】由平行四边形的性质推出CD＝AB，AD∥BC，而BD＝AB，得到CD＝BD，由等腰三角形的性质推出∠DBC＝∠C＝70°，由平行线的性质推出∠ADE＝∠DBC＝70°，于是求出∠DAE＝90°﹣70°＝20°． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD∥BC， ∵BD＝AB， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DBC＝70°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是由平行四边形的性质推出CD＝AB，AD∥BC，由等腰三角形的性质推出∠DBC＝∠C＝70°． 【练习 2】（2026春•湛江期末）如图，在▱ABCD中、∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，对角线AC，BD交于点O，CE⊥AD，垂足为E，连接OE，则OE的长是　　 ． 【分析】作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝∠AFC＝90°，因为∠ABC＝60°，所以∠BAF＝30°，因为AB＝4，BC＝6，所以BFAB＝2，则CF＝4，AF2，求得AC2，由平行四边形的性质得OA＝OC，由CE⊥AD于点E，得∠AEC＝90°，则OEAC，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝∠AFC＝90°， ∵∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴BFAB＝2， ∴CF＝BC﹣BF＝6﹣2＝4，AF2， ∴AC2， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴OA＝OC， ∵CE⊥AD于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC， 故答案为：． 【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【练习 3】（2026•莱芜区模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且∠DAE＝∠BCF．求证：BE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF（ASA）即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，∠B＝∠D， ∵∠DAE＝∠BCF， ∴∠BAD﹣∠DAE＝∠BCD﹣∠BCF， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 4】（2024春•新宁县校级月考）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AB＝2AD，点E是边BC的中点．且EF⊥AC，求证：DF＝BE． 【分析】根据相似三角形的性质和判定以及平行四边形的性质即可得到DF＝AE，再根据直角三角形的性质定理即可得到结论． 【解答】证明：连接AE， ∵∠BAC＝90°，EF⊥AC，BE＝CE， ∴EF∥AB， ∴△CFE∽△CAB， ∴， ∴AD＝EF， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE， 又∵在Rt△ABC中，点E是BC中点， ∴， ∴BE＝DF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 牢记平行四边形5种判定方法，做题时根据已知条件灵活选择 遇到角平分线+平行线的组合，立刻想到等腰三角形 对角线问题优先用「互相平分」，常结合勾股定理计算 动点问题要分类讨论，注意运动方向和往返 证明题注意书写规范，判定和性质不要混淆 【作业 1】（2025春•玉溪期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AD＝BC，若要证明四边形ABCD为平行四边形，则还需要添加一个条件是（　　） A．AD∥BC B．OA＝OB C．AB∥CD D．AC＝BD 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项分析即可判断． 【解答】解：A、添加AD∥BC，能证明四边形为平行四边形，符合题意； B、添加OA＝OB，无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、添加AB∥CD，无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加AC＝BD，无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【作业 2】（2026春•锦江区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，已知BD＝8，BC+OC＝5，则▱ABCD面积为 　9　 ． 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝4，再由勾股定理结合已知条件求出BC•AC＝9，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8， ∴OA＝OC，OB＝ODBD＝4， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2+OC2＝OB2＝42＝16①， ∵BC+OC＝5， ∴（BC+OC）2＝52， 即BC2+2BC•OC+OC2＝25②， ②﹣①得：2BC•OC＝9， ∴BC•AC＝9， ∴▱ABCD面积＝BC•AC＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【作业 3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找到一点D，使四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标是（　　） A．（2，5） B．（2，﹣5） C．（5，2） D．（﹣5，﹣2） 【分析】连接AB，BC，运用平行四边形性质，可知AD∥BC，所以点D的纵坐标是5，再跟BC间的距离即可推导出点D的纵坐标． 【解答】解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5； 又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）＝4，故可得点D横坐标为﹣2+4＝2， 即顶点D的坐标（2，5）． 故选：A． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定，坐标与图形性质，熟知以上知识是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•坊子区期末）如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为　或或　 ． 【分析】当Q从C出发到B的运动过程中，得到8﹣t＝4t，求出t；当Q从C出发到B后返回C的过程中，得到8﹣t＝24﹣4t，求出t；当Q再次从C出发到B的运动过程中，得到8﹣t＝4t﹣24，求出t，于是得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PQCD是平行四边形， 当Q从C出发到B的运动过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝4t， ∴8﹣t＝4t， ∴t； 当Q从C出发到B后返回C的运动过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝12×2﹣4t， ∴8﹣t＝24﹣4t， ∴t； 当Q再次从C出发到B的过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝4t﹣12×2， ∴8﹣t＝4t﹣24， ∴t， 综上所述：在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是要分三种情况讨论． 【作业 5】（2026春•赛罕区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】根据内错角相等，两直线平行可推出AE∥CF，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，即可得出△ABE≌△CDF，进而可证四边形是平行四边形． 【解答】证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴AE∥CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝FC， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 【作业 6】（2025秋•桓台县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD，交BE的延长线于点F，连接DF交AC于点G． （1）判断四边形DBCF的形状，并说明理由； （2）若∠A＝30°，，CF＝6．求AD的长． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，判定△FCE≌△BDE（AAS），推出FC＝BD，而FC∥DB，判定四边形DBCF是平行四边形； （2）由含30度角的直角三角形的性质推出CBAB，由勾股定理得到AB2AB2，求出AB＝8（舍去负值），求出AD＝AB﹣BD＝2． 【解答】解：（1）四边形DBCF是平行四边形，理由如下： ∵FC∥AB， ∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE， ∵E是CD的中点， ∴CE＝DE， ∴△FCE≌△BDE（AAS）， ∴FC＝BD， ∵FC∥DB， ∴四边形DBCF是平行四边形； （2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴CBAB， ∵AB2﹣BC2＝AC2， ∴AB2AB2， ∴AB＝8（舍去负值）， 由（1）知BD＝CF＝6， ∴AD＝AB﹣BD＝2． 【点评】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，关键是判定△FCE≌△BDE（AAS），推出FC＝BD． 【作业 7】（2026•崂山区校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：四边形AODF是平行四边形； （2）从①②中任选一个并证明： ①当△ACD满足AD＝DC时，说明四边形AODF为什么特殊四边形，并证明； ②当△ACD满足∠ADC＝90°时，说明四边形AODF为什么特殊四边形，并证明． 【分析】（1）证明△AEF≌△OEB（ASA），得AF＝OB，再证明AF＝OD，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）①由等腰三角形的性质得出∠AOD＝90°，再由矩形的判定即可得出结论； ②由直角三角形斜边上的中线性质得ODAC＝OA，再由菱形的判定定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AF∥BD， ∴∠EAF＝∠EOB， ∵点E为AO的中点， ∴AE＝OE， 在△AEF和△OEB中， ， ∴△AEF≌△OEB（ASA）， ∴AF＝OB， ∴AF＝OD， 又∵AF∥OD， ∴四边形AODF是平行四边形； （2）解：①四边形AODF是矩形，证明如下： ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴OD⊥AC， ∴∠AOD＝90°， ∵四边形AODF是平行四边形， ∴平行四边形AODF是矩形； ②四边形AODF是菱形，证明如下： ∵∠ADC＝90°，OA＝OC， ∴ODAC＝OA， ∵四边形AODF是平行四边形， ∴平行四边形AODF是菱形． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定是解题的关键，属于中考常考题型． 【作业 8】（2026春•临泉县期末）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝3，求BC的长． 【分析】（1）由点E为AD的中点可得DE＝AE，由两直线平行，内错角相等，得出∠DCE＝∠AFE，利用AAS即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形，从而得到BC＝AD，由点E为AD的中点可得AD＝2AE＝6，即可求得BC的长． 【解答】（1）证明：∵点E为AD的中点， ∴DE＝AE， ∵DC∥AB， ∴∠DCE＝∠AFE， 在△DCE和△AFE中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）； （2）解：∵DC∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD， ∵点E为AD的中点，AE＝3， ∴AD＝2AE＝6， ∴BC＝AD＝6． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $