精品解析：2025-2026学年九年级上学期第三次学情自测数学试题

2025−2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（ ） A. 7 B. C. 3 D. 4. 图中的影子是中心投影的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 6. 如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 8. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 12. 已知，则代数式的值为________． 13. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 14. 如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形，连接BB′，若AB＝2，则线段的长度为_______． 三．解答题：（本大题共11个小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 解一元二次方程：． 16. 解方程： 17. 如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形． 18. 魔术师在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，很多对此兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的四张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是方块6是______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用画树状图法或列表法，求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率． 19. 如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离（B，F，C在同一条直线上，结果精确到，参考数据：，，） （1）求教学楼的高度； （2）请你求出点A，E之间的距离． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． （3）①点的坐标为 ．②求的面积． 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． （1）求k与m的值： （2）直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 22. 一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． （1）求关于的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 23. 阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得． 当时，，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想； （2）仿照上面的方法，解方程． 24. 我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； （2）如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； （3）若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 25. 如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴负半轴于点；直线交轴正半轴于点，且这两条直线与轴交于同一点A． （1）求的长． （2）作的垂直平分线交线段于点，交轴于，连接交轴于点，若的长为，求与的函数关系式． （3）在（2）的条件下，过点作轴的平行线，连接交于，连接，若当时，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线． 故选：B． 2. 观察如图每组图形，是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，理解相似图形的形状相同是解答本题的关键，本题中只要判断两个图形的形状是否相同，即可得到答案． 【详解】A．两图形形状不同，不符合题意； B．两图形形状相同，符合题意； C．两图形形状不同，不符合题意； D．两图形形状不同，不符合题意． 故选：B． 3. 用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（ ） A. 7 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 先将常数项移至等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：A． 4. 图中的影子是中心投影的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的概念区分，解题的关键是明确中心投影的光源为点光源，平行投影的光源为平行光线（如太阳光）． 【详解】解：判断每个场景的光源类型：投影仪、手影戏、皮影戏的光源是点光源，形成中心投影；阳光下的影子由平行光线形成，属于平行投影． 符合题意共有3个． 故选：D． 5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 6. 如图，与位似，点是它们的位似中心，若，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，根据推知两个三角形的相似比为，根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与位似， ∴位似比等于， ∵的面积为，设的面积为， ∴根据位似图形的性质， 解得：． 故选：C． 7. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵可化为， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设尺，根据题意得出尺，尺，再结合勾股定理列方程，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设尺， 则尺，尺，尺． 在中，，即， 故选：B． 9. 如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，即可证明△△；根据相似三角形的判定与性质、解一元二次方程判断；根据三角形内角和定理和三线合一定理得到． 【详解】解：，． ， 由作图可知：，，， ， ， 由平行线的性质可知：，，故③正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； 设，， 则，， ， ， ， ， ，将方程配方可得：， ， ，， ， （负值舍去）， 即，故①正确； ， ， ，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质． 10. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：连接，         四边形是菱形，，， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ， 四边形为矩形， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 12. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是根据比例设参数． 由已知比例关系设参数表示和，再代入代数式化简． 【详解】解：由，设，（）， 则 ． 故答案为：． 13. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形，连接BB′，若AB＝2，则线段的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】BB'交AE于M，作E⊥AB'于，连接B'E，如图，利用黄金矩形的定义得到BC＝＋1，再利用正方形的性质得到AG＝AB＝2，DE＝DG＝−1，则利用勾股定理得到AE＝2，接着利用折叠的性质得到C'B'＝CB＝＋1，EC'＝EC＝3−，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，则E＝C'B'＝＋1，然后利用面积法求出B'M，从而得到BB'的长． 【详解】BB'交AE于M，作E⊥AB'于，连接B'E，如图， ∵四边形ABCD为黄金矩形， ∴AB＝BC， ∴BC＝×2＝＋1， ∵四边形ABFG、GHED均为正方形， ∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝＋1−2＝−1， 在 中，AE＝＝2， ∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'， ∴C'B'＝CB＝＋1，EC'＝EC＝3−，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM， 易得四边形B'C'E为矩形，则E＝C'B'＝＋1， ∵B'M×AE＝AB'×E， ∴B'M＝ ， ∴BB'＝2B'M＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．也考查了正方形、矩形和折叠的性质． 三．解答题：（本大题共11个小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 解一元二次方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据公式法进行求解方程即可． 【详解】 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ∴，． 17. 如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：在中，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再结合平行线的性质和垂直定义得到，进而根据矩形的判定可得结论． 【详解】证明：略． 18. 魔术师在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，很多对此兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的四张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是方块6是______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用画树状图法或列表法，求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率和事件的分类，画树状图法求概率是解题的关键； （1）根据事件的分类和题意即可求解； （2）根据画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：∵把一副普通扑克牌中的四张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上． ∴从中随机抽取一张牌是方块6是不可能事件； 故答案为：不可能 【小问2详解】 树状图如下： 所有可能出现的结果有，，，，，，，，，，，，由表格(或树状图)可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种．它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种． ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为． 19. 如图，育才学校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子，而当光线与地面夹角是时，教学楼顶点A在地面上的影子点F与墙角点C有的距离（B，F，C在同一条直线上，结果精确到，参考数据：，，） （1）求教学楼的高度； （2）请你求出点A，E之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，正确使用锐角三角函数是解答的关键． （1）过点E作于点M，证明四边形为矩形得到，，设，分别在和中，利用锐角三角函数求解即可； （2）在中，利用余弦函数定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E作于点M， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， 在中，∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ， ∴， 解得 ， 答：教学楼的高度约为． 【小问2详解】 解：在中，∵， ∴， 答：A，E之间的距离约为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． （3）①点的坐标为 ．②求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所作图形． （2） 解：如图所示，即为所作图形． （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①点的坐标为． 的面积为． 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． （1）求k与m的值： （2）直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 【小问2详解】 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 22. 一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为(单位：小时)． （1）求关于的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】（1） （2）平均每小时至少要卸货吨 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据实际问题建立反比例函数模型，并利用函数性质解决不等式问题． （1）根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型； （2）利用反比例函数的增减性解决实际最值问题，根据反比例函数的性质可知，在的范围内，随的增大而减小；因此要使卸货速度最小，需取的最大值，将代入函数解析式计算，即可得到平均每小时至少要卸货的吨数． 【小问1详解】 解：根据题意，卸货总量为吨，卸货速度为吨/小时，时间为小时， 由“卸货总量=卸货速度×时间”，得，变形可得， 因此关于的函数解析式为； 【小问2详解】 已知卸货时间不超过小时，即， 由，可知随的增大而减小， 因此当取最大值时，取得最小值， 将代入，得， 所以平均每小时至少要卸货吨． 23. 阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得． 当时，，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想； （2）仿照上面的方法，解方程． 【答案】（1）降次 （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【小问1详解】 解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想， 故答案为：降次． 【小问2详解】 解： 设， ∴原方程化为： ∴ 解得： 当时，，即， ∴ 解得：； 当时，，即 ∵ ∴此方程无解， ∴原方程的根为 24. 我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； （2）如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； （3）若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】（1） （2） 如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【小问1详解】 解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 25. 如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴负半轴于点；直线交轴正半轴于点，且这两条直线与轴交于同一点A． （1）求的长． （2）作的垂直平分线交线段于点，交轴于，连接交轴于点，若的长为，求与的函数关系式． （3）在（2）的条件下，过点作轴的平行线，连接交于，连接，若当时，，求点的坐标． 【答案】（1）； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得，进而得出，得出直线解析式为，从而求得的坐标，即可求解； （2）根据中点坐标公式求得点的横坐标为，代入直线解析式求得，进而得出直线的解析式为，进而求得的坐标，即可求解； （3）根据已知得出，证明得出，过点作轴的垂线，垂足分别为，得出，根据，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与直线交于同一点， ∴当时，，即． ∴，解得． ∴直线解析式为． 令，解得，∴； 令，解得，∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴的中点为，点的横坐标为 ∵直线的解析式为， ∴，即． 设直线的解析式为， 代入和，得，解得， ∴直线的解析式为． 令，得，即． ∵且， ∴，即，． 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴． ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵，，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $