精品解析：甘肃定西市临洮县椒山初级中学2026-2027学年上学期九年级数学 学情自测卷

2026秋季九年级数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 2. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 3. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）． 11. 把一元二次方程化为一般式是________________________. 12. 函数是二次函数，则________． 13. 若m是方程的根，则的值等于________． 14. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____． 15. 在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为___． 16. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 三、解答题：本大题共11小题，共72分． 17. 解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 18. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值． 19. 已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 20. 已知是一元二次方程的两个实数根，且，求m的值． 21. 已知关于x的方程．求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 22. 已知抛物线二次函数． （1）该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）画出该抛物线的图象； （3）若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 23. 要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）． (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 24. 如图为抛物线，图像经过点．直线与抛物线交于B，C两点，点A，B在x轴上． （1）求抛物线与直线的函数解析式． （2）求的面积． 25. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 26. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 27. 如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季九年级数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵ 含两个未知数，∴ A不符合一元二次方程要求． B、∵ 是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，∴ B符合要求． C、∵分母含未知数，∴ C不符合一元二次方程要求． D、∵未知数最高次数为1，∴ D不符合一元二次方程要求． 2. 二次函数图象的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. y轴 D. x轴 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 3. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即； 故选：A． 4. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移．根据平移的规律：左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：D． 5. 已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”、一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、由方程得：，，则此项符合题意； B、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； C、由方程得：，，则此项不符合题意； D、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； 故选：A． 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 7. 某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 8. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图像与各系数的关系，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 根据二次函数的图像特征判断的正负，再依据的正负确定一次函数的图像所经过的象限，从而对各选项进行判断． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象开口向上，， 一次函数的图象应经过一、二、三象限，故A、B选项错误，不符合题意； C、D、由二次函数的图象开口向下，， 一次函数的图象应经过二、三、四象限，故D选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意； 故选：． 9. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 10. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得： ， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去），， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）． 11. 把一元二次方程化为一般式是________________________. 【答案】 【解析】 【分析】把已知方程化为一般形式即可． 【详解】解：方程整理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12. 函数是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，得到x的次数为2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是二次函数， ∴ 需同时满足两个条件：x的次数为，即，二次项系数不为，即， 解方程，得或， 由，得， ∴ ． 13. 若m是方程的根，则的值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值．解题的关键利用整体思想求解．根据题意得到，再将其整体代入到中求解，即可解题． 【详解】解： m是方程的根， ， 即， 则， 故答案为：8． 14. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是_____． 【答案】50+50(1+x)+50 (1+x)2=196 【解析】 【分析】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，三个月之和即为总产量. 【详解】因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，所以根据第三季度生产零件196万个可列方程为： 50+50（1+x）+50（1+x）2=196． 【点睛】本题考查一元二次方程应用中的增长率问题，需要注意第三季度产量是三个月之和. 15. 在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为___． 【答案】 【解析】 【分析】先证明推出方程有实数根，设方程的实数根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有实数根， 设方程的实数根为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴这个方程必有一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键． 16. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 三、解答题：本大题共11小题，共72分． 17. 解一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ，； （2） ，； （3） ，． 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解方程即可； （2）运用公式法解方程即可； （3）运用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 左右两边同除以5，得， 开平方，得， 解得； 【小问2详解】 解：， 这里， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 移项，得，即， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得． 18. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及m的值． 【答案】另一根为-3，m=2 【解析】 【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出a+1=﹣m，a×1=﹣3，解方程组即可． 【详解】设方程的另一个根为a， 则由根与系数的关系得：a+1=﹣m，a×1=﹣3， 解得：a=﹣3，m=2， 答：方程的另一根为﹣3，m=2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键． 19. 已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 20. 已知是一元二次方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】 的值为 【解析】 【分析】利用根与系数的关系将已知条件转化为关于的方程，求解即可． 【详解】∵ ，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 解得 ． 21. 已知关于x的方程．求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行分析判断即可． 【详解】略 22. 已知抛物线二次函数． （1）该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）画出该抛物线的图象； （3）若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 【答案】（1）向下，直线， （2）图象如下： （3） 【解析】 【分析】（1）先化为顶点式，根据二次函数的性质求解即可； （2）列表、描点、连线可得函数图象； （3）根据二次函数的对称性和坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：由，， ∴该抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 描点、连线，图略； 【小问3详解】 解：∵该抛物线的对称轴是直线，点A、B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点A、B关于直线对称， ∵点， ∴点B的坐标为． 23. 要建一个如图所示的面积为300m2的长方形围栏，围栏总长50m，一边靠墙（墙长25m）． (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为400m2的长方形围栏？如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 【答案】（1）围栏长为20米，宽为15米； （2）不能，理由： 根据题意，假设能围成，则 x(50-2x)=400， ∴， ∴， ∴原方程无解. 故不能围成面积为400m2的长方形围栏. 【解析】 【分析】（1）设围栏的宽为x米，则围栏的长为（50-2x）米，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后由墙的长度得到x的取值范围，由此即可得出结论； （2）假设能围成，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】解:（1）设与墙相垂直的一边长为x米，则围栏的长为（50-2x）米， ∴x(50-2x)=300， 解得：x=10 或x=15， ∵当x=10时， ，故舍去； ∴围栏的宽为15米，长为：米； （2）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程以及一元一次不等式组；（2）由根的判别式的正负得出方程解得情况． 24. 如图为抛物线，图像经过点．直线与抛物线交于B，C两点，点A，B在x轴上． （1）求抛物线与直线的函数解析式． （2）求的面积． 【答案】（1）抛物线的解析式为，一次函数解析式为 （2）15 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数交点问题； （1）把代入即可求出抛物线解析式，再求出A，B坐标，最后代入计算即可； （2）联立二次函数与一次函数求出点C坐标，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，图像经过点， ∴把代入代入的，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，解得， ∴，， 把代入得，解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ∵直线与抛物线交于，C两点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【小问1详解】 解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， 【小问2详解】 解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 26. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 27. 如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线l于点P，连接，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，当点A、P、C共线时，周长最小，最小值为，求得即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，将，，代入中， 得，解得 ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接交直线l于点P，连接，，则， 由题意，，， ∵周长为， ∴当点A、P、C共线时，最小，最小值为，此时周长最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $