第3章 勾股定理 综合测试卷(2) 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 第3章勾股定理单元复习卷，以《九章算术》等古代数学文化及实际情境为载体，覆盖定理应用、折叠与动点问题，适配单元复习，发展数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|勾股定理基础应用、古代问题（如葭生池中）|文化传承，基础巩固| |填空题|10题20分|折叠问题、动点分类讨论（如Rt△中动点形成等腰三角形）|能力提升，分层设计| |解答题|10题64分|拼图证明（27题拼直角梯形证定理）、实际应用（23题车速检测）、综合探究（28题折叠与动点综合）|创新应用，逻辑推理与模型意识|

第3章勾股定理 综合测试卷(2) 考试时间：120分钟 满分：100分 成绩：________ 一、选择题(每题2分，共16分) 1.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何?”(丈、尺是长度单位，1丈尺)其大意如下：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，那么它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？则水深为（ ） A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 2.如图，在中，，为边上的高，为边上的中线.若，，则的长是（ ） A.2 B.3 C.4 D.4.8 3.在中，，高，则的周长为（ ） A.48 B.36 C.48或36 D.44或36 4.《九章算术》是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ） A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25 5.阅读理解：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方和，即，那么称为广义勾股数.给出下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是（ ） A.②④ B.①②④ C.①② D.①④ 6.如图，在Rt中，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点恰好落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于两点，则线段的长为（ ） A.1.2 B.1.6 C.2 D.1.5 7.如图，在Rt中，，动点从点出发沿射线以每秒2个单位长度的速度运动.设运动的时间为，则当为等腰三角形时，的值为（ ） A.或 B.或12或4 C.或12或 D.或12或4 8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小的两个正方形重叠部分的面积 D.最大的正方形与直角三角形的面积和 二、填空题(每题2分，共20分) 9.在中，已知分别为所对边的长.若，则最长边上的高为________. 10.勾股数是指能成为直角三角形三边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数，其中均小于，且，则________.(用含的代数式表示) 11.如图，，垂足分别为，，相交于点，.若，则________. 12.如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1h后两船分别位于点，处，且相距20海里.若知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿________方向航行. 13.如图，是的中点.若，则________. 14.如图，在长方形纸片中，，折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点也随之移动.若限定点分别在边上移动，则点在边上可移动的最大距离为________. 15.如图，是的高，是的中线，.若，则________，(用含的代数式表示) 16.如图，在中，，过内一点向三边作垂线，垂足分别为.若，则________. 17.如图，在和中，，，，点，在同一条直线上，连接.给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的是________.(填序号) 18.如图，在Rt中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，连接，过点作的垂线，垂足为，分别交于点.若，则四边形的面积是________. 三、解答题(共64分) 19.(6分)如图，在中，，，，. (1) 求的长； (2) 求的面积. 20.(4分)如图，已知，点在边上，，，点从点出发，沿着方向匀速运动，点同时从点出发，以相同的速度沿方向匀速运动.若两点恰好在点处相遇，求的长. 21.(6分)如图，在中，，射线交于点，. (1) 作图：只用圆规在射线上作出点，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2) 在(1) 的条件下，连接.若，求的长. 22.(6分)如图，在中，是的中点，，交于点，且. (1) 求证：； (2) 若，求的长. 23.(6分)某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该路段上直行，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪正前方的点处，2s后，小汽车行驶到点处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为. (1) 求的长； (2) 这辆小汽车超速了吗？ 24.(6分)如图①，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，动点，分别从点，同时出发向右运动，点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒0.5个单位长度，当点运动到点时，两个点都停止运动，设运动的时间为s. (1) 请在图②中画出时的线段，并求其长度； (2) 当为何值时，是以为底的等腰三角形？ 25.(6分)如图，小明站在距离教学楼的点处操控一架无人机进行摄像.已知无人机在点处显示距离地面，随后无人机沿直线匀速飞行到点处悬停拍摄，此时显示距离地面，随后又沿着直线匀速飞行到点处悬停拍摄(两次飞行速度相等)，此时正好位于小明的头顶正上方，且显示距离地面.若无人机从点匀速飞行到点所用的时间与它从点匀速飞行到点所用的时间相同，求无人机从点到点再到点一共飞行了多少米. 26.(8分)如图，在中，，，，点在边上，.点从点出发，沿匀速运动；点从点出发，沿的路径匀速运动.两点同时出发，在点处首次相遇后，点的速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动；点的速度保持不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在点处再次相遇后停止运动.设点原来的速度为. (1) 点的速度为________；(用含的代数式表示) (2) 求点原来的速度. 27.(8分)如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为，，斜边长为，图②是以为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1) 画出拼成的这个图形的示意图，并指出它是什么图形； (2) 利用这个图形证明勾股定理； (3) 假设图①中的直角三角形有若干个，你能仅用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图并证明. 28.(8分))在四边形ABCD中，，. (1) P为边上一点，将沿直线翻折至的位置(点落在点处). ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出此时________； ②如图②，若为的中点，连接，则与之间有何位置关系？请说明理由； (2) 已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长. 答案 1.C 2.C 3.C 4.C 解析：当时，，故选项不合题意；当时，13，故选项B不合题意；当时，，，故选项D不合题意. 5.C 解析：因为7不能表示为两个正整数的平方和，所以7不是广义勾股数，故①正确；因为，所以13是广义勾股数，故②正确；因为，所以5和10都是广义勾股数.因为，且15不是广义勾股数，所以两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，故③错误；因为，所以2是广义勾股数.因为，且4不是广义勾股数，所以两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，故④错误. 6. 解析：因为，所以.由折叠的性质，得，所以，所以，所以3.6.因为，所以，即，所以.又，所以，即，所以4.8，所以. 7.C 解析：由题意，得.因为，所以.当为等腰三角形时，分类讨论如下：①若，则，解得：；②若，则，所以，解得；③若，则.因为，所以，解得.综上所述，的值为或12或. 8.C 解析：设题图①中直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则.题图②中阴影部分的面积可表示为，较小的两个正方形重叠部分的面积可表示为，所以较小的两个正方形重叠部分的面积等于阴影部分的面积. 9. 10. 11. 10 12.北偏东 解析：因为(海里)，(海里)，海里，所以，所以为直角三角形，且.因为甲船沿北偏西方向航行，所以乙船沿北偏东方向航行. 13. 12 解析：延长交于点.因为是的中点，所以.因为，所以，所以.又，所以(ASA)，所以，所以.因为，所以，所以. 14. 2 解析：因为四边形为长方形，所以.如图①，当点与点重合时，的长最小.由折叠的性质，得，所以，所以.如图②，当点与点重合时，的长最大，且，所以点在边上可移动的最大距离为. 15. 解析：设.因为，所以.因为是的中线，所以.因为是的高，所以，所以，所以，所以，所以.因为，所以. 16. 18 解析：连接.设.因为，所以.因为，所以，所以，所以，即①.同理，得②，③.①＋②＋③，得，所以④.因为，即，所以⑤.④一⑤，得，所以 17.①②③ 解析：因为，所以，所以.又，所以(SAS)，所以，故①正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以，故②正确；因为，所以，所以，所以，故③正确；因为，所以.因为，所以.因为，所以.因为，所以，故④错误. 18. 80 解析：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，则.因为四边形、四边形、四边形都为正方形，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以(AAS)，所以.同理可证(AAS)，所以，所以.又，所以(AAS)，所以.因为，所以，所以，所以3，所以，所以.因为四边形为长方形，所以.故四边形的面积是80. 19.(1) 因为，所以，所以为直角三角形，且，所以.因为，所以. (2) 因为，所以21.因为，所以.因为12，所以.故的面积为126. 20.由题意，得.设.因为，所以.因为，所以.因为，所以，解得，即的长为. 21.(1) 以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，则点即为所求.图略. (2) 因为，所以.设，则.因为，所以，即，解得，即的长为7. 22.(1) 连接.因为是的中点，，所以 垂直平分，所以.因为，所以，所以，所以是直角三角形，且. (2) 设.因为，所以.因为，所以，所以，.因为，所以.因为，所以，解得，即的长为. 23.(1) 由题意，得，所以. (2) 因为，所以小汽车的行驶速度为.因为，且70，所以这辆小汽车超速了. 24.(1) 如图，线段即为所求.当时，.过点作于点，则，所以，所以. (2) 由题意，得，则.过点作于点，则，所以，所以.当是以为底的等腰三角形时，，所以，即，解得.故当时，是以为底的等腰三角形. 25.如图，过点作于点于点，延长交于点.因为，所以.易得四边形是长方形，所以.因为，所以.设，则.在中，，在Rt中，.由题意，得，所以，所以，所以，解得，所以，所以，所以.故无人机从点到点再到点一共飞行了. 26.(1) (2) 因为，所以.因为，所以.因为点从首次相遇到再次相遇，点运动的路程为，点运动的路程为，所以点运动的路程为点运动路程的2倍，所以点后来的速度为点速度的2倍，所以，解得，即点原来的速度为. 27.(1) 如图，这是一个直角梯形. (2) 根据梯形的面积公式可知梯形的面积.又梯形的面积等于三个小三角形面积的和，即，所以，所以. (3) (答案不唯一)如图，用4个题图①中的直角三角形拼成一个大正方形.证明：设大正方形的面积为.由图可知大正方形的边长为，所以.又大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个边长为的小正方形面积的和，所以，所以. 28.(1) ①以点为圆心，为半径作弧，交于点；连接，作的平分线交于点，连接，则即为所求.图略.6 ②.理由如下：由折叠的性质，得.因为为的中点，所以，所以，所以.因为，，所以，所以，所以. (2) 设.分类讨论如下：如图①，当点在点左侧时，.由折叠的性质，得.因为10，所以，所以.因为，所以，即，解得4，即；如图②，当点在点右侧时，，所以.因为，所以，即，解得，即.综上所述，的长为4或16. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $