2.2 直线的方程 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.2直线的方程 知识归纳与题型总结 考点01 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 注：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 考向01 直线的点斜式方程及辨析 【例1】已知直线过点，求直线的方程． 考向02 直线图象的辨析 【例2】，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【对点1】过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【对点2】在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线． 考点02 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 注：(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 考点03 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 注：(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 考向01 直线的两点式方程及辨析 【例1】经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．( ) 考向02 直线与坐标轴围成图形的面积问题 【例2】已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值． 【对点1】在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【对点2】过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 考点04 直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 注：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 考向01 直线的截距式方程及辨析 【例1】已知直线，则其在轴上的截距为________. 【对点1】过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 考点05 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 考向01 直线的一般式方程及辨析 【例1】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 考向02 直线一般式方程与其他形式之间的互化 【例2】直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 考向03 由一般式方程判断直线的平行 【例3】已知直线，直线，若，则______________. 考向04 由一般式方程判断直线的垂直 【例4】在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考向05 由两条直线平行求方程 【例5】在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 考向06 由两条直线垂直求方程 【例6】若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 考向07 直线过定点问题 【例7】对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【对点1】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【对点2】直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C． D． 【对点3】若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【对点4】与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 【对点5】经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【对点6】求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【对点7】点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 一、单选题 1．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：，：．且，则实数（   ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 6．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设集合．若R表示的平面图形面积为S，则（  ） A． B． C．1 D． 8．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率可能不存在 B．直线的一个方向向量为 C．直线在轴上的截距为 D．当，则直线的倾斜角的取值范围为 11．（多选）下列关于直线的结论中，正确的有（   ） A．直线的倾斜角为 B．经过平面上不同的两点，的直线方程为 C．直线：，：，则的充要条件是或 D．经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 三、填空题 12．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 13．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 14．若与平行，则为__________． 15．过点的直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，为坐标原点，则的内切圆面积的取值范围是________． 四、解答题 16．已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 17．求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程． 18．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程； (3)求的平分线所在直线的方程． 19．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 20．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.2直线的方程 知识归纳与题型总结 考点01 直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. 2．点斜式方程的使用方法 (1)已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 注：(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 考向01 直线的点斜式方程及辨析 【例1】已知直线过点，求直线的方程． 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况，得到直线方程 【详解】当，即时，，直线的方程为； 当，即时，则直线的斜率， 直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 考向02 直线图象的辨析 【例2】，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【对点1】过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 【对点2】在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线． 【答案】   【分析】利用点斜式写出直线方程，然后画图即可. 【详解】经过点，且斜率分别为3的直线，即 化简得： 经过点，且斜率分别为的直线即 化简得： 图像如下：    考点02 直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 2．斜截式方程的使用方法 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 注：(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 考点03 直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. 2．两点式方程的使用方法 (1)已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)当时，直线方程为 (或). (3)当时，直线方程为 (或). 注：(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 考向01 直线的两点式方程及辨析 【例1】经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示．( ) 【答案】正确 【分析】分别检验当两点横坐标相等，两点纵坐标相等，以及两点横、纵坐标均不相等时，方程是否满足即可作出判断. 【详解】解：若两点横坐标相等，即，因两点不重合故，方程化简为，对应垂直于轴的直线，符合要求； 若两点纵坐标相等，即，因两点不重合故，方程化简为，对应垂直于轴的直线，符合要求； 若两点横、纵坐标均不相等，方程等价于直线的两点式，对应斜率存在且不为的直线，符合要求. 因此经过任意两个不同点的直线都可以用该方程表示. 考向02 直线与坐标轴围成图形的面积问题 【例2】已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值． 【答案】， 【分析】根据题意，结合直线平行的结论与三角形的面积公式，解方程组即可. 【详解】∵，∴.① 由题意知，， 直线与轴、轴的交点坐标分别为，， 则，得.② 由①②，得，． 【对点1】在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 【对点2】过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 考点04 直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 2．直线的截距式方程的适用范围 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. 3．截距式方程的使用方法 (1)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. (2)已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 注：(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 考向01 直线的截距式方程及辨析 【例1】已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【详解】令代入直线方程，可得 ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 【对点1】过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 考点05 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 考向01 直线的一般式方程及辨析 【例1】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线斜率，结合斜率与倾斜角关系，即可得到答案. 【详解】设该直线的倾斜角为，且， 由直线，可得直线的斜率为，即，所以. 考向02 直线一般式方程与其他形式之间的互化 【例2】直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线方程，可得，所以直线的斜率. 考向03 由一般式方程判断直线的平行 【例3】已知直线，直线，若，则______________. 【答案】 【分析】由两直线平行，且，即可求出的值. 【详解】因为，则且，所以. 考向04 由一般式方程判断直线的垂直 【例4】在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 考向05 由两条直线平行求方程 【例5】在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由直线方程的两点式得 ，即. （2）设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. （3）设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 考向06 由两条直线垂直求方程 【例6】若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 考向07 直线过定点问题 【例7】对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 【对点1】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般式求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足, 解得. 【对点2】直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得，解得，则直线在轴上的截距为. 【对点3】若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 【对点4】与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线平行的性质判断选项即可. 【详解】直线斜率为，两条直线平行则斜率相等， A：化为，直线斜率为，A选项不符合； B：化为，斜率为， B选项不符合； C：化为，斜率为，C选项不符合； D：化为，斜率为，D选项符合； 故选：D 【对点5】经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 【对点6】求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 【对点7】点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 一、单选题 1．已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 2．已知直线：，：．且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 3．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直斜率间的关系得出实数的值. 【详解】直线可化为，即斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率存在且等于，即. 4．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 6．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 7．设集合．若R表示的平面图形面积为S，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据的范围可得的不等式组，在平面直角坐标系中刻画出后利用对称性可求面积. 【详解】由可得， 若，则或，此时或， 若，则， 令，则或， 综上，在平面直角坐标系中，对应的平面区域如图所示的阴影部分（包括边界）： 其中， 由抛物线的对称性可得阴影部分的面积为. 8．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 二、多选题 9．（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件. 【详解】对于直线和直线. 由可得，解得或者. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 10．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率可能不存在 B．直线的一个方向向量为 C．直线在轴上的截距为 D．当，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据直线的方程得斜率，方向向量，纵截距即可判断ABC，斜率与倾斜角公式即可判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以斜率存在，故A错误； 对于B，直线的方向向量为，所以为直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，令，，所以直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，由，所以，所以，设直线的倾斜角为，所以，所以，故D正确. 11．（多选）下列关于直线的结论中，正确的有（   ） A．直线的倾斜角为 B．经过平面上不同的两点，的直线方程为 C．直线：，：，则的充要条件是或 D．经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有三条 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据直线的倾斜角的定义与性质，求解即可；对于选项B，根据直线的两点式，求解即可；对于选项C，根据直线垂直，斜率相乘为，求解即可；对于选项D，分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，求解即可. 【详解】对于选项A，直线方程化为斜截式得，斜率，但倾斜角范围为，且任意时，不一定在范围内，故A错误； 对于选项B，经过平面上不同两点，的直线方程，无论两点是否在水平线或竖直线上均成立，故B正确； 对于选项C，两直线垂直的充要条件是一般式中，对于：和：，有，解得或，当时，：，：，此时，当时，：，：，此时，故C正确； 对于选项D，截距相等的直线分两种情况： ①截距为：直线过原点，方程为（过）； ②截距不为0：设方程为，代入，解得，所以方程为， 所以经过在两坐标轴上截距相等的直线恰有两条直线，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．过点，且与直线：的夹角为的直线方程为________． 【答案】或 【分析】 先将直线整理为斜截式方程求出其斜率和倾斜角，结合两直线夹角，得到所求直线的倾斜角，进而得到斜率，再根据直线过定点，即可求出直线的方程. 【详解】直线：整理为斜截式：. 可得直线斜率为，倾斜角为， 设所求直线斜率为， 因为两直线的夹角为， 所以所求直线的倾斜角为和， 所以所求直线斜率或. 直线过点， 所以点斜式方程为或， 即直线方程为或. 13．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 14．若与平行，则为__________． 【答案】 0 【详解】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 15．过点的直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，为坐标原点，则的内切圆面积的取值范围是________． 【答案】 【分析】借助直线截距式可设直线的方程为，则可得，，再设的内切圆半径为，分及讨论即可得的取值范围，最后利用圆的面积公式计算即可得. 【详解】设，直线的方程为， 由题可得，故，，设的内切圆半径为， 如图1，则当时，，，轴，与轴间的距离1； 如图2，当时，，，轴，与轴间的距离2， 所以的取值范围是，故的内切圆面积的取值范围是. 四、解答题 16．已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程； （2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程. 【详解】（1）由点得线段的中点为，故，        所以中线所在直线的方程为，即． （2）若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意；                    若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 17．求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程． 【答案】 【分析】由点斜式求解后再化成一般式即可. 【详解】设所求直线的斜率为， 依题意． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． 18．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的方程； (3)求的平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）设，根据中点在，点在上列方程组即可求解； （2）设，根据点在和直线与直线垂直，列方程组即可求出点，求出，利用直线的点斜式方程即可求解； （3）求出，即得到的平分线所在直线的斜率为，利用直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）设， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得， 即点的坐标为． （2）设， 因为边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点C的坐标为． 易知， 故边所在直线的方程为，即． （3）由（1）（2）及已知可知， 易得， 故， 从而可知的平分线所在直线的一个方向向量是， 即角平分线所在直线的斜率为1， 故角平分线所在直线的方程为，即． 19．已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. （3）由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 20．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)证明：整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . (2) 【分析】（1）需将直线方程整理为关于参数的形式，令的系数及常数项为零，解方程组得定点坐标； （2）设该直线倾斜角为，用表示，，将转化为三角函数式，通过换元法求最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）证明略，定点 ； （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $