2.3 直线的交点坐标与距离公式 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.3直线的交点坐标与距离公式 知识归纳与题型总结 考点01 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 考向01 求直线交点坐标 【例1】若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 【答案】 【详解】时，两直线不垂直，不合题意，所以直线的斜率为， 又直线的斜率为3，且两条直线互相垂直，所以，解得． 由，解得，即这两条直线的交点坐标为． 考向02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 【例2】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 考向03 由直线交点的个数求参数 【例3】直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 考向04 由直线的交点坐标求参数 【例4】已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 考向05 三线能围成三角形的问题 【例5】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 考向06 直线交点式方程及应用 【例6】（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 考向07 坐标法的应用——交点坐标 【例7】直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 考点02 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 考向01 求平面两点间的距离 【例1】在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长； （2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算. 【详解】（1）由已知点坐标可得：， 因为四边形为平行四边形，所以对角线， 因此； （2） 设，则， 由得：，解得，即， 进而得，根据向量夹角公式： . 考向02 由顶点坐标判断三角形的形状 【例2】已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 考向03 由距离求点的坐标 【例3】已知数轴上的三点的坐标分别为. (1)点到两点的距离都是2时，求，此时与线段是什么关系? (2)在线段上是否存在一点，使得到和的距离都是3?若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，为的中点 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用数轴上两点的距离公式，以及点的位置关系求解分析即可； （2）利用数轴上两点的距离公式求解分析即可. 【详解】（1）由题意知或或或， 即或或或，解得：， 所以点的坐标为，由，且，所以为的中点. （2）不存在这样的，理由如下： 因为， 所以在线段上找一点使是不可能的． 考向04 用两点间的距离公式求函数最值 【例4】菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 【答案】/ 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，以对角线交点为原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系，这样可以直接求出的坐标，因为在上移动且，设，则，将线段和的长度用两点间距离公式转换为关于的代数式，利用“将军饮马”模型，可求出代数式的最小值，再加上与这两个固定值，即可得出周长最小值. 【详解】已知，且为中点， 因为菱形对角线，，它们互相垂直平分， 所以菱形的边长：， 由于是中点，所以， 因此，四边形的周长， 要使周长最小，只需使的值最小， 建立平面直角坐标系：以对角线交点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则各点坐标为：，，，， 点是的中点，所以， 因为在上，且，设点的坐标为，则点的坐标为， 故， ， 所以，， 这个式子的几何意义是：在轴上求一点， 使它到点和点的距离之和最小， 作点关于轴的对称点， 根据对称性，到的距离等于到的距离， 因此，， 当三点共线时，距离之和最小，即为线段的长度： ， 此时求得，在线段范围内，符合题意， 所以的最小值为， 四边形周长的最小值为： . 考向05 距离新定义 【例5】十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即， 所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为. 故答案为：. 考向06 求点到直线的距离 【例6】已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. （2）解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积 . 考向07 直线围成图形的面积问题 【例7】已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 考向08 已知点到直线距离求参数 【例8】写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【答案】或(答案不唯一) 【分析】利用点到线的距离公式求解即可. 【详解】将直线方程化成一般式，得， 设点到直线的距离为1， 则有， 即有， 解得或， 所以所求点的坐标为或. 考向09 求到两点距离相等的直线方程 【例9】已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 考向10 求点关于直线的对称点 【例10】点关于直线：的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意得到，求解可得. 【详解】因为点关于直线：的对称点为， 设点的坐标为，则，的中点为， 由题意得，即，解得：， 即对称点的坐标为. 考向11 求两点的对称轴 【例11】（多选）下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 考向12 光线反射问题——直线关于直线对称 【例12】（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 考向13 坐标法的应用——点到直线的距离 【例13】在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，由边BC的中点在轴上，点在轴上，可得D坐标，据此可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，由到直线AB，BC的距离相等，验证后可得答案. 【详解】（1）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以．则． （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知． 直线BC的方程为，即． 直线AB的方程为，即． 由到直线AB，BC的距离相等，可得，即． 即，解得或． 则交点可能为或， 将坐标代入，，可得， 将坐标代入，，可得， 则在BC，AB 之间满足题意，在BC，AB 同侧，不满足题意. 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 考点14 求平行线间的距离 【例14】平行线与之间的距离为____. 【答案】 【分析】根据两平行线间的距离公式计算直接求解. 【详解】因为两直线平行，所以两平行线之间的距离为 考向15 由距离求已知直线的平行线 【例15】已知直线经过直线与的交点． (1)若点到的距离为，求的方程； (2)若直线经过原点，且与直线平行，求与的距离最大值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）解法一：设直线方程为，利用点到直线距离公式求出，再讨论直线不符合，即可求出答案；解法二：求出交点，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式进行求解即可求出答案； （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大，求出的斜率即可得到的斜率，即可求出答案. 【详解】（1）解法一： 设经过两已知直线交点的直线方程为， 即， 所以．即， 所以，解得或． 故的方程为或． 当直线为时，到的距离为，不符合题意， 综上所述的方程为或． 解法二： 由，解得交点． 当直线斜率不存在时，方程为：，此时点到的距离为，故符合题意； 当直线斜率存在时，设其方程为：，即， 所以点到的距离为：，解得， 所以直线的方程为：，即． 综上，直线的方程为或． （2）当两条平行直线，与，两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 又，所以两条平行直线的斜率为， 所以直线的方程是，即． 考向16 求关于平行直线对称的直线 【例16】若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 考向17 求直线关于点的对称直线 【例17】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 考向18 将军饮马问题求最值 【例18】著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 考向19 直线关于直线对称问题 【例19】（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 【答案】AD 【分析】对于A，直接代入可得定点坐标；对于B，根据两直线垂直列出方程即可求出；对于C，先根据两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式即可求解；对于D，根据满足条件的直线是两条角平分线即可判断． 【详解】对于A，将代入的方程，解得， 所以恒过定点，故A正确； 对于B，由得，解得，故B错误； 对于C，由得，解得，此时 所以与的距离，故C错误； 对于D，如图所示，设分别是直线上的一点， 则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确． 一、单选题 1．已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 2．已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 3．如图，正方形的顶点和顶点恰好在反比例函数（）的图象上，点为轴负半轴上一点，边与第二象限内反比例函数图象交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过反比例函数与正方形的性质求出的直线方程，再与反比例函数联立即可求出点的坐标. 【详解】由题可知点和顶点在反比例函数（）的图象上，则，即， 又为正方形，即， ，则， 从向轴作垂线，垂足为， 则，解得，则， 设所在直线方程为，代入点坐标得：，解得， 故所在直线方程为， 联立直线与反比例函数解析式得： ， 解得或， 点的坐标为， 点的坐标为． 4．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 5．已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 6．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 7．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】将转化成，由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，则题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，分类讨论即可得出答案. 【详解】将转化成， 由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等， 题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等， 设直线，，， 易得解析式为， 因为，所以直线不过原点， ， 若，则直线为线段的垂直平分线或者与平行， 若直线为线段的垂直平分线，设，中点为，则， 因为，，所以， ，即； 若直线与平行，则，令，， 则， 由点到直线距离公式可得， 解得或，代入得或， 恰有三个不同的实数对满足关系式； 若，如图所示，对于固定的，存在四条不同的直线使得条件成立， 要排除掉其中一种情况，则某一条直线过原点， 若直线过原点且过，则解析式为，则，符合题意； 若直线过原点且与平行，则解析式为，则，符合题意； 将，以及进行比较得. 8．关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成两点间距离的平方，再利用点到直线距离求解. 【详解】由，得. 设，当时为增函数，而， 所以. 所以方程转化为. 而即为点到点的距离的平方， 而点满足， 则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值， 即的最小值.而， 设，则在为增函数， 所以，则. 所以最小值为. 二、多选题 9．（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 【答案】ABC 【分析】本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可. 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 10．（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 11．（多选）函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（     ） A． B． C． D．对于任意，点到直线与的距离之积为 【答案】BCD 【分析】通过赋值法求出、，推导与的奇偶性及核心恒等式；利用递推关系分析的指数型性质验证B选项；通过函数方程展开推导三倍角形式验证C选项；利用点到直线距离公式结合核心恒等式验证D选项. 【详解】令，代入，得. 令，代入，得，即. 由，得. 结合得，又，得，故A错误. 令，代入， 得，即. 令，代入， 得，由、， 得，结合，得，即为奇函数. 因此，即. 由与，得， 解得. ， 因此 ，，故B正确. ， 代入 ，得，故C正确. 点到直线的距离为， 到直线的距离为， 距离之积为：，故D正确. 三、填空题 12．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将题中所给的问题转化为几何问题，再进行求解即可. 【详解】由题可知，，表示边长为1的正方形区域内点的集合. 表示动点到定点四点的距离之和, 于是题目转化为求该距离的最小值. 因为两点之间线段最短，所以到的距离之和的最小值为正方形对角线长度. 同理，到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.此时原式最小值为. 当且仅当为正方形对角线交点，即时等号成立. 13．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先设，再根据勾股定理，用表示出，再通过式子中的几何意义，根据“将军饮马”模型解决即可. 【详解】设， 在长方形中，,， ，又， ∴， ∴， 这个式子的几何意义是轴上的动点， 到点与点的距离之和，如图， 作关于轴对称点，则， 则，∵两点之间线段最短， ∴最小值就是线段的长， 即. 14．如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 【答案】 【分析】求出射线方程，易得直线斜率不存在时不满足题意；再讨论斜率存在时，设，求得的中点．再结合点在直线上，且三点共线得，最后根据点斜式方程求解即可. 【详解】由题意，可得， 所以直线． 当直线斜率不存在时，，的中点不在上，不满足； 当直线斜率存在时，设， 所以的中点． 由点在直线上，且三点共线得解得 所以．又，所以， 所以，直线的点斜式方程表示为：，即直线的方程为或． 15．函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 四、解答题 16．已知直线l的方程为 ． (1)若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； (2)若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； (3)已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 【答案】(1) (2)或. (3)2或 【分析】（1）根据直线垂直求得，进而将方程化为截距式； （2）根据方程求截距，结合题意运算求解即可； （3）根据点到直线的距离相等求直线方程，进而对比求解即可. 【详解】（1）若直线l： 与直线m：垂直， 则，解得， 此时直线l：，即 . （2）因为直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍， 若，则直线l：与x轴无交点，不合题意； 若，则直线l： 在x轴、y轴上截距分别为、， 则，整理可得，解得或， 所以直线l的一般式方程为或. （3）设到直线：，：的距离相等， 则，整理可得或， 可知直线l的方程为或， 若直线l的方程为，则，解得； 若直线l的方程为，则 ，解得； 综上所述：a的值为2或. 17．已知坐标平面内四点，，，． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用两点坐标计算斜率，根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角； （2）根据平行四边形对边平行且相等，转化为直线斜率相等，根据两点坐标公式计算两点距离，由此计算点的坐标； （3）分析所求的式子为与连线的斜率，根据直线与线段有交点的条件下计算斜率的范围． 【详解】（1）因为，； 因为直线的斜率为． 设直线的倾斜角为， 则；所以直线的倾斜角为； （2）如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； （3）由题意得为直线的斜率． 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 18．已知，求(均写出一般式方程); (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得中点坐标为，又， 则，从而中线方程为：； （2）当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则， 则可为：. 综上可得：为或. （3）因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 19．已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)4 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【详解】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 20．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.3直线的交点坐标与距离公式 知识归纳与题型总结 考点01 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2. 考向01 求直线交点坐标 【例1】若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 考向02 由方程组的解的个数判断直线位置关系 【例2】若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 考向03 由直线交点的个数求参数 【例3】直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 考向04 由直线的交点坐标求参数 【例4】已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 考向05 三线能围成三角形的问题 【例5】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 考向06 直线交点式方程及应用 【例6】（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 考向07 坐标法的应用——交点坐标 【例7】直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 考点02 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 考向01 求平面两点间的距离 【例1】在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 考向02 由顶点坐标判断三角形的形状 【例2】已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 考向03 由距离求点的坐标 【例3】已知数轴上的三点的坐标分别为. (1)点到两点的距离都是2时，求，此时与线段是什么关系? (2)在线段上是否存在一点，使得到和的距离都是3?若存在，求，若不存在，请说明理由. 考向04 用两点间的距离公式求函数最值 【例4】菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 考向05 距离新定义 【例5】十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 考向06 求点到直线的距离 【例6】已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 考向07 直线围成图形的面积问题 【例7】已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 考向08 已知点到直线距离求参数 【例8】写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 考向09 求到两点距离相等的直线方程 【例9】已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 考向10 求点关于直线的对称点 【例10】点关于直线：的对称点的坐标为______． 考向11 求两点的对称轴 【例11】（多选）下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 考向12 光线反射问题——直线关于直线对称 【例12】（多选）下列说法中错误的有（    ） A．点斜式 可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的最大距离为 考向13 坐标法的应用——点到直线的距离 【例13】在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 考点14 求平行线间的距离 【例14】平行线与之间的距离为____. 考向15 由距离求已知直线的平行线 【例15】已知直线经过直线与的交点． (1)若点到的距离为，求的方程； (2)若直线经过原点，且与直线平行，求与的距离最大值时直线的方程． 考向16 求关于平行直线对称的直线 【例16】若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 考向17 求直线关于点的对称直线 【例17】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 考向18 将军饮马问题求最值 【例18】著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 考向19 直线关于直线对称问题 【例19】（多选）已知直线，直线，则（   ） A．恒过定点 B．时， C．时，与的距离 D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条 一、单选题 1．已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 2．已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的顶点和顶点恰好在反比例函数（）的图象上，点为轴负半轴上一点，边与第二象限内反比例函数图象交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 7．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（     ） A． B． C． D．3 8．关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（   ） A．点A的坐标为 B．当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C．直线的方程可以是 D．直线的方程可以是 10．（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 11．（多选）函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（     ） A． B． C． D．对于任意，点到直线与的距离之积为 三、填空题 12．已知，，则的最小值为__________． 13．如图，在长方形中，,,分别是边上的动点，且，则的最小值为______． 14．如图，射线分别与轴的正半轴成角，过点作直线分别交于两点，当线段的中点恰好落在直线上时，则直线的方程为___________． 15．函数的最大值是__________. 四、解答题 16．已知直线l的方程为 ． (1)若直线l与直线m：垂直，求直线l的截距式方程； (2)若直线l在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线l的一般式方程； (3)已知两条直线：，：恰好关于直线l对称，求a的值． 17．已知坐标平面内四点，，，． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围． 18．已知，求(均写出一般式方程); (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标. 19．已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 20．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $