专题2.3 直线的交点坐标与距离公式讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的交点坐标与距离公式，系统梳理直线交点求法、方程组解与位置关系、距离公式（两点间、点到直线、平行线间）及对称问题（点关于直线、直线关于点），构建从基础计算到综合应用的学习支架。 资料以19大基础题型+4大提高题型分层设计，通过“将军饮马问题”等实例培养几何直观与空间观念，结合参数求解训练推理能力。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生自我检测、查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式重难点题型专训 （4个知识点+19大基础题型+4大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求直线交点坐标 题型二、由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型三、由直线交点的个数求参数 题型四、由直线的交点坐标求参数 题型五、三线能围成三角形的问题 题型六、直线交点系方程及应用 题型七、求平面两点间的距离 题型八、由距离求点的坐标 题型九、用两点间的距离公式求函数最值 题型十、求点到直线的距离 题型十一、已知点到直线距离求参数 题型十二、求到两点距离相等的直线方程 题型十三、求点关于直线的对称点 题型十四、光线反射问题(2)一直线关于直线对称 题型十五、求平行线间的距离 题型十六、由距离求已知直线的平行线 题型十七、求直线关于点的对称直线 题型十八、将军饮马问题求最值 题型十九、直线关于直线对称问题 第二部分·练提高题型 题型一、两条直线的交点坐标 题型二、两点间的距离公式 题型三、点到直线的距离公式 题型四、两条平行直线间的距离 第三部分・自我检测 知识点01 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 （1）两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. （2）两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【即时训练】 1．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解两直线构成的方程组即可. 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 知识点02 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P（x，y）的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 （1）定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. （2）公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 （1）定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. （2）公式 设有两条平行直线，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【即时训练】 1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知点，点，则原点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，， 而，则，即， 在中，原点到直线的距离为. 2．（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 知识点03 点关于直线的对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0，y0)关于直线l的对称点为B(x，y)． （1）直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则． （2）直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则． （3）直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x，y)． 则，由此可求出B(x，y)． （4）几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a，b) x轴 (a，-b) y轴 (-a，b) y=x (b，a) y=-x (-b，-a) x=m(m≠0) (2m-a，b) y=n(n≠0) (a，2n-b) 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 知识点04 直线关于点的对称 1．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a，b)对称的直线l'的步骤： （1）由平行直线系设出直线l'的方程； （2）在l上任取一点P(x，y)，求P关于A的对称点P'(2a-x，2b-y)； （3）将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程． 【即时训练】 1．（25-26高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 2．（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【基础题型一 求直线交点坐标】 【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 2．（24-25高二上·河南驻马店·阶段检测）（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 4．（24-25高二上·山东济宁·阶段检测）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 【答案】 【分析】由三角形面积之比得到点到直线的距离之比，从而得到直线和直线的交点为线段的三等分点，进而得到直线的方程，同理得到直线的方程，最后联立两直线方程求解点的坐标． 【详解】    由，它们有公共边， 故，到直线的距离之比为． 同理，，到直线的距离之比为， 边上靠近的三等分点为，即， 它与点连线的直线方程为． 边上靠近的四等分点为即， 它与点连线的直线方程为． 由，解得点坐标为． 【基础题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 1．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果． 【详解】解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 3．（24-25高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 【答案】-35 【解析】由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解. 【详解】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 4．（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 【基础题型三 由直线交点的个数求参数】 【例3】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【详解】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 1．（2026高三·全国·专题练习）曲线与直线有两个交点，则的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】画出的图象，数形结合得到不等式，求出答案 【详解】曲线，即，所以有如下情形： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 作图如下： 可知只能与，相交， 或与，相交， 与的交点坐标为， 在点的下方，即，解得； 同理与的交点为， 在点上方，即，解得， 因此，或 2．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 【基础题型四 由直线的交点坐标求参数】 【例4】（25-26高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【分析】将点分别代入两直线方程即可解得，. 【详解】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得； 故选：B 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程组，解得， 即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（25-26高二上·山西运城·阶段检测）（多选）(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（    ） A．－ B．－1 C．1 D． 【答案】AC 【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k的值 【详解】解：由，得， 所以三条直线的交点为， 所以，化简得， 解得或， 故选：AC 3．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）直线与直线的交点在第四象限，求的范围． 【答案】 【分析】联立与解出交点坐标，令横坐标大于0，纵坐标小于0，解出的范围即可. 【详解】联立两条直线方程解得， 因此两直线交点坐标为， 因为交点在第四象限，所以， 解得． 【基础题型五 三线能围成三角形的问题】 【例5】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得． 【详解】由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为， 代入可得，此时没有两条直线重合． 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏连云港·开学考试）（多选）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可分、、和三条直线经过一个点，四种情况分类讨论，即可求解. 【详解】由题意， 当三条直线和， 若时，可得； 当时，可得； 当时，则满足，无解； 当三条直线经过一个点时，把和的交点为， 代入直线中，可得，解得或， 综上可得，满足条件的为或或或. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是________． 【答案】[－1，0)∪(0，1] 【解析】求出直线与轴交点的坐标，得出三角形的面积，利用面积不大于1得出的范围，注意需围成三角形． 【详解】令x＝0，得y＝b， 令y＝0，得x＝－2b， ∵△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1， ∴△AOB的面积S＝|b|×|－2b|＝|b|2≤1， ∵b＝0时，A、O、B三点重合，构不成三角形， ∴b≠0， ∴－1≤b＜0或0＜b≤1. 故答案为：[－1，0)∪(0，1]． 【点睛】本题考查直线方程，直线与坐标围成三角形问题．属于基础题． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【详解】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为 【基础题型六 直线交点系方程及应用】 【例6】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 1．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 2．（25-26高二上·全国·课后作业）方程组解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】A 【分析】根据两条直线平行判断解的个数即可. 【详解】因为，所以方程组表示的两条直线平行，则方程组无解． 故选：A 3．（24-25高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点_______ 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·课后作业）直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【答案】 【分析】经过直线与直线的交点的直线可设为： ，把代入求出，即可得到直线方程. 【详解】经过直线与直线的交点的直线可设为： 把代入，得：，解得：， 所以，所求的直线方程为：. 【基础题型七 求平面两点间的距离】 【例7】．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）（多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（    ） A．0 B．5 C．12 D．13 【答案】BCD 【分析】由题可知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求出两点间的距离，可得答案 【详解】易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大， 即，所以，故距离d可能等于5，12，13． 故选：BCD 【点睛】此题考查两点间的距离公式的应用，属于基础题 3．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求点M到原点的距离． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义得到抛物线方程，再求出点的坐标，进一步求点M到原点的距离. 【详解】根据题意，设抛物线方程为 因为点在抛物线上，且到焦点的距离为3， 根据抛物线的定义可以得到，解得， 所以抛物线的方程为， 把点代入上式中，可以解出， 所以M的坐标为， 所以M到原点的距离． 【基础题型八 由距离求点的坐标】 【例8】（25-26高二上·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用两点间得距离公式计算即可. 【详解】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 1．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设所求点的坐标为，然后根据题意列方程组可求得结果. 【详解】设所求点的坐标为，则，且， 两式联立解得或， 所以所求点的坐标为或 故选：BC 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课堂例题）（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式直接计算； （2）利用两点间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】（1）由两点间距离公式， 得； （2）由两点间距离公式， 得， 解得， 故所求实数的值为或． 【基础题型九 用两点间的距离公式求函数最值】 【例9】（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）点到直线的最大距离为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意可得直线恒过定点，题意所求最大距离即为点到定点的距离，结合两点求距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知， 直线即， 所以该直线恒过定点， 则点到直线的最大距离即为点到定点的距离， 即. 故选：C. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）（多选）某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数没有最大值 D．函数有最大值 【答案】BC 【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化求出最小值判断AB，分析无最大值判断CD． 【详解】设，可理解为动点到两个定点，的距离和． 如图： 由三角形三边关系可得,当点P和点B重合时，等号成立， 无最大值， 所以函数的最小值为，没有最大值. 故选：BC 3．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果. 【详解】由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 【基础题型十 求点到直线的距离】 【例10】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）（多选）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题是新定义题，根据题意判断选项中的直线上是否存在符合题意的点，实际上可通过判断点到直线的距离是否不大于作出判断. 【详解】点到直线的距离，故A不符合题意； 点到直线的距离，故B符合题意； 点到直线的距离，C符合题意； 点到直线的距离，故D不符合题意．故选：BC． 3．（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式计算求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 4．（25-26高二上·北京·期中）在三角形中，边所在直线方程分别为和. (1)求点的坐标； (2)若所在直线方程为，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意联立直线方程即可求点的坐标； （2）根据题意结合点到直线的距离公式求点到直线的距离. 【详解】（1）因为边所在直线方程分别为和， 联立方程，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）可知点的坐标为， 且所在直线方程为，即， 所以点到直线的距离. 【基础题型十一 已知点到直线距离求参数】 【例11】（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 2．（24-25高二上·广东佛山·期末）（多选）在平面直角坐标系中，直线过原点，且点和点到直线的距离相等，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析可知，或直线过线段的中点，即可得出直线的斜率. 【详解】因为，，所以，，故、、不共线， 因为直线过原点，且点和点到直线的距离相等， （1）直线，则直线的斜率为； （2）直线过线段的中点，则直线的斜率为. 故选：AC. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点到直线：的距离为1，则＝________． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 4．（25-26高二下·上海静安·阶段检测）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 【基础题型十二 求到两点距离相等的直线方程】 【例12】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 1．（2025·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 2．（25-26高三上·江苏·阶段检测）（多选）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 3．（24-25高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是______. 【答案】（或） 【分析】根据题意，设点，由结合两点间距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设点，由题意可得， 则， 即， 化简可得. 即动点P满足的方程是. 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏·期中）求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案. 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 【基础题型十三 求点关于直线的对称点】 【例13】（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）（多选）光线自点射入，经直线l：反射后经过点，同时还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】计算点关于直线的对称点为，代入数据计算得到答案． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即反射光线过， 斜率为， 所以反射光线所在直线方程为， 当时，； 当时，． 故过点，. 故选：BD． 3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在中，，其中直线，是和的平分线． (1)求点关于的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据及中点在上可构造方程组求得点坐标； （2）根据（1）的方法可求得点关于的对称点，由对称关系可知直线即为直线，由此可得直线方程. 【详解】（1）设，则，解得：，. （2）设点关于的对称点为，则，解得：， ； 是和的平分线，均在直线上， 直线的方程为：，即. 【基础题型十四 光线反射问题(2)一直线关于直线对称】 【例14】（25-26高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即. 故选：A 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 【答案】AD 【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验 【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n）， 则，解得，所以反射光线所在的直线方程为， 所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，， 故选：AD 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【分析】先求出点关于轴的对称点，然后利用两点求出斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为即，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 【基础题型十五 求平行线间的距离】 【例15】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，直线平行， 则直线与间的距离为. 2．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）（多选）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行线间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】由题意可知，所以与间的距离， 解得或. 故选：BC 3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 4．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知、为直线上两点， 直线:. (1)求直线的方程； (2)若 ，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用两点式写出直线的方程. （2）根据两直线平行，利用两平行线的距离公式求直线与之间的距离. 【详解】（1）因为直线过点、，所以直线的方程为： ，即. （2）因为：，也就是， 又，所以直线与之间的距离为： . 【基础题型十六 由距离求已知直线的平行线】 【例16】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 【答案】D 【分析】根据平行线间的距离公式即可求解. 【详解】解：直线可化为， 因为直线与直线间的距离为1， 所以，解得或. 故选：D 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 2．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设与直线平行的直线方程为，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或． 故选：AD 3．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 4．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，在上任取点A，在上任取点B，过线段AB的中点作的平行线. (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两平行线间的距离公式代入计算即可得与之间的距离为； （2）根据题意可知到与的距离相等且为，设出直线方程即可求得结果. 【详解】（1）易知与平行，所以两平行直线与间的距离为 （2）由与平行可知，设的方程为. 由题意知与之间的距离为， 所以有，解得或（舍去） 所以的方程为 【基础题型十七 求直线关于点的对称直线】 【例17】（24-25高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 3．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． 【基础题型十八 将军饮马问题求最值】 【例18】（2025·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得关于x轴的对称点，由此求得直线的方程，进而求得的坐标. 【详解】因为关于x轴的对称点为， 所以所在的直线方程为， 即， 令得，所以. 故选：B 2．（24-25高二上·四川雅安·期中）（多选）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 【答案】BC 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即关于的对称点为，且， 所以，当三点共线时取等号， 故BC选项符合题意， 故选：BC 3．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【答案】，最小值 【分析】求得关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求得的最小值. 【详解】设关于直线的对称点为， 线段的中点为， 所以， 解得，即， 所以的最小值为， 此时直线的方程为， 由解得，所以. 【基础题型十九 直线关于直线对称问题】 【例19】（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 2．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的的最大距离为5 【答案】BCD 【分析】根据点斜式方程的限制条件，截距的定义，对称性，及直线恒过定点逐项分析,即可判断正误. 【详解】点斜式可以表示任何直线，错误，因为当直线斜率不存在时由点斜式不能表达出来； B.直线在y轴上的截距为，正确，因为当时，所以直线在y轴上的截距为 C.直线关于对称的直线方程是 ，正确，将直线中的x用代替，y用代替后得，即为直线关于对称的直线方程； D.点到直线的的最大距离为5，正确，因为整理为，由，解得，所以直线恒过点，则与的距离为，则点到直线的的最大距离为5． 故选：BCD． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 4．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 【提高题型一 两条直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 【提高题型二 两点间的距离公式】 【例2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再根据两点间距离公式结合二次函数性质运算求解. 【详解】因为点在第一象限内， 则，解得， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 则函数在内的最小值为，且， 即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，利用两点的距离公式求解即可. 【详解】由题意，以中点为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系， 设，，，，，其中， 则由题意可得①，②， ③，④， ④①得，③②得，所以， 所以， 故选：D 2．（2025·江苏南京·模拟预测）（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设点，由A，B两点间的距离列出方程，解出点B，得直线的方程. 【详解】因为点B在直线：上，设点， 因为，则，解得或， 则B点坐标为或， 当B点坐标为时，直线的方程为； 当B点坐标为时，直线的方程为，即. 故选：AC. 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为______________. 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）为了树立学生正确的劳动观，培养学生优良的劳动态度和劳动习惯，南充高中计划在劳动教育实践基地新增一块三角形状菜地，如图，经测量，，为方便浇灌菜地，要在菜地内铺设水管安装水龙头，记安装水龙头的地点为点，请你设计点在菜地内的位置，使最小，并求出这个最小值. 【答案】点是 的重心，最小值为 【分析】建立平面直角坐标系，设，利用坐标法求出，再由配方法求最值即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，如图， 由 ，得 ， 则 ， 设， 有 当且仅当 ， 即点 坐标为 ， 点 恰好是 的重心时， 有最 小值. 【提高题型三 点到直线的距离公式】 【例3】（25-26高二上·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由表示到坐标原点的距离即可求解. 【详解】由，即为和，两点间的距离， 所以的最小值为即为到直线的距离， 即， 所以的最小值为1， 故选：D 1．（25-26高二上·北京·期中）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”.下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当点到直线的距离时，直线为点的“相关直线”，据此依次分析选项，计算点到直线的距离，分析可得答案． 【详解】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使，此时直线为点的“相关直线”， 对于A，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故A不符合； 对于B，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故B不符合； 对于C，到直线的距离，则该直线是点的“相关直线”，故C不符合； 对于D，到直线的距离，则该直线不是点的“相关直线”，故D符合. 故选：D. 2．（24-25高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段检测）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为_________. 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况：利用点到平面距离相等列式计算即可求. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为：时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 由于和两点到直线的距离相等， 所以， 解得，此时直线的方程为：， 综上所述，直线的方程为：或. 故答案为：或 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可. 【详解】（1）由，可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为4和2，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时，到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 【提高题型四 两条平行直线间的距离】 【例4】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两平行直线，则之间的距离为，利用这个公式求出之间的距离. 【详解】变形为，， 之间的距离为. 故选：C. 1．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 2．（24-25高二上·山西运城·期中）（多选）下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设所求的直线方程为，再利用平行直线的距离公式即可求解. 【详解】设与直线l：平行的直线方程为， 由题意可得，解得或， 故所求直线的方程为或. 故选：AB 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 2．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出N关于轴对称的点为，再利用对称性可求得的最小值. 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 3．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 4．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·上海·阶段检测）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 6．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 7．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】设点B关于直线l对称的点为， 则，解得，即. 连接，与直线l交于点M，如图所示 当点P与点M重合时，， ， 当点P与点M不重合时，， 综上，的最小值为，故A错误，B正确. 连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示 当点P与点N重合时，， ， 当点P与点N不重合时，， 综上，，即的最大值为，故C正确，D错误. 故选：BC 8．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 9．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 10．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 【答案】BC 【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化，作出图象，利用图象平移可判定B，利用点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D. 【详解】若，由题意可知，令， 则，作出其图象如图． 易知，点的轨迹可由正方形右移1个单位长度， 再上移1个单位长度得到，故B正确； 对于A， ， 结合图象可得的最小值即为点到 直线（即点）的距离， 此时取得最小值3，故A错误； 对于C，的最大值即为点到点的距离中的最大值 ，故的最大值为15，故C正确； 若，则表示正方形及其内部区域，易知其面积为， 故D错误． 故选：BC． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 12．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 13．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 【答案】6 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且， 则由题意可知，点关于点的对称点在上, 可得，解得， 即，则，且直线， 联立的方程得，解得，即的交点坐标为， 则点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：6． 14．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 16．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 17．（2026高三上·全国·专题练习）若函数存在零点，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，结合两点坐标求距离公式和图形可得，即可求解. 【详解】由题意得， ； 表示点与点的距离， 表示点与点的距离， 如图， 结合图象可得，， 即， 故实数的取值范围是． 18．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设，根据高线过点及中线列式求解； （2）先求出交点，再应用两点间距离及点到直线距离计算面积即可. 【详解】（1）设，则的中点， 则解得即. 故点的坐标为. （2）由边上的高线所在的直线方程为， 可设直线的方程为， 将代入可得，即，所以直线的方程为 因为为直线与的交点， 所以联立解得即. 则. 点到直线的距离为. 所以. 故的面积为20. 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 20．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式重难点题型专训 （4个知识点+19大基础题型+4大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求直线交点坐标 题型二、由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型三、由直线交点的个数求参数 题型四、由直线的交点坐标求参数 题型五、三线能围成三角形的问题 题型六、直线交点系方程及应用 题型七、求平面两点间的距离 题型八、由距离求点的坐标 题型九、用两点间的距离公式求函数最值 题型十、求点到直线的距离 题型十一、已知点到直线距离求参数 题型十二、求到两点距离相等的直线方程 题型十三、求点关于直线的对称点 题型十四、光线反射问题(2)一直线关于直线对称 题型十五、求平行线间的距离 题型十六、由距离求已知直线的平行线 题型十七、求直线关于点的对称直线 题型十八、将军饮马问题求最值 题型十九、直线关于直线对称问题 第二部分·练提高题型 题型一、两条直线的交点坐标 题型二、两点间的距离公式 题型三、点到直线的距离公式 题型四、两条平行直线间的距离 第三部分・自我检测 知识点01 直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 （1）两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. （2）两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0，λ∈R，但不包括直线l2. 【即时训练】 1．（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 知识点02 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P（x，y）的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 （1）定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. （2）公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 （1）定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. （2）公式 设有两条平行直线，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式：设平面上两点，线段的中点为，则. 【即时训练】 1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知点，点，则原点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 知识点03 点关于直线的对称 1．两点关于某直线对称 设点A(x0，y0)关于直线l的对称点为B(x，y)． （1）直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则． （2）直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则． （3）直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x，y)． 则，由此可求出B(x，y)． （4）几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a，b) x轴 (a，-b) y轴 (-a，b) y=x (b，a) y=-x (-b，-a) x=m(m≠0) (2m-a，b) y=n(n≠0) (a，2n-b) 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 知识点04 直线关于点的对称 1．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a，b)对称的直线l'的步骤： （1）由平行直线系设出直线l'的方程； （2）在l上任取一点P(x，y)，求P关于A的对称点P'(2a-x，2b-y)； （3）将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程． 【即时训练】 1．（25-26高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【基础题型一 求直线交点坐标】 【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高二上·河南驻马店·阶段检测）（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 4．（24-25高二上·山东济宁·阶段检测）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 【基础题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系】 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 1．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 2．（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 4．（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【基础题型三 由直线交点的个数求参数】 【例3】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2026高三·全国·专题练习）曲线与直线有两个交点，则的取值范围是（　　） A．或 B． C．或 D． 2．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 4．（25-26高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【基础题型四 由直线的交点坐标求参数】 【例4】（25-26高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西运城·阶段检测）（多选）(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（    ） A．－ B．－1 C．1 D． 3．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）直线与直线的交点在第四象限，求的范围． 【基础题型五 三线能围成三角形的问题】 【例5】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 1．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·开学考试）（多选）下列的值中，不能使三条直线和构成三角形的有（    ） A．4 B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是________． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【基础题型六 直线交点系方程及应用】 【例6】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）方程组解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 3．（24-25高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点_______ 4．（25-26高二上·全国·课后作业）直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程． 【基础题型七 求平面两点间的距离】 【例7】．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）（多选）若两平行线分别经过点，则它们之间的距离d可能等于（    ） A．0 B．5 C．12 D．13 3．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求点M到原点的距离． 【基础题型八 由距离求点的坐标】 【例8】（25-26高二上·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 1．（25-26高二上·全国·阶段检测）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 4．（25-26高二·全国·课堂例题）（1）求，两点间的距离； （2）设为实数，已知，两点间的距离是，求的值． 【基础题型九 用两点间的距离公式求函数最值】 【例9】（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）点到直线的最大距离为（    ） A．2 B． C． D．1 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）（多选）某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数没有最大值 D．函数有最大值 3．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）求函数的最大值． 【基础题型十 求点到直线的距离】 【例10】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）（多选）（多选）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 4．（25-26高二上·北京·期中）在三角形中，边所在直线方程分别为和. (1)求点的坐标； (2)若所在直线方程为，求点到直线的距离. 【基础题型十一 已知点到直线距离求参数】 【例11】（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高二上·广东佛山·期末）（多选）在平面直角坐标系中，直线过原点，且点和点到直线的距离相等，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点到直线：的距离为1，则＝________． 4．（25-26高二下·上海静安·阶段检测）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【基础题型十二 求到两点距离相等的直线方程】 【例12】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 1．（2025·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 2．（25-26高三上·江苏·阶段检测）（多选）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川雅安·开学考试）到，的距离相等的动点P满足的方程是______. 4．（25-26高二上·江苏·期中）求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【基础题型十三 求点关于直线的对称点】 【例13】（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）（多选）（多选）光线自点射入，经直线l：反射后经过点，同时还经过点（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 4．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在中，，其中直线，是和的平分线． (1)求点关于的对称点的坐标； (2)求直线的方程． 【基础题型十四 光线反射问题(2)一直线关于直线对称】 【例14】（25-26高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（    ） A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1） 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【基础题型十五 求平行线间的距离】 【例15】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）（多选）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 4．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知、为直线上两点， 直线:. (1)求直线的方程； (2)若 ，求直线与之间的距离． 【基础题型十六 由距离求已知直线的平行线】 【例16】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线与直线间的距离为1，则m的值为（    ） A．3 B．6 C．-7或3 D．-14或6 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 4．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，在上任取点A，在上任取点B，过线段AB的中点作的平行线. (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程. 【基础题型十七 求直线关于点的对称直线】 【例17】（24-25高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【基础题型十八 将军饮马问题求最值】 【例18】（2025·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川雅安·期中）（多选）已知点，，在直线上，则的值可能为（   ） A． B． C． D．3 3．（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知点A（-3，5）和B（2，15），在直线上找一点P，使最小，并求这个最小值． 【基础题型十九 直线关于直线对称问题】 【例19】（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．点到直线的的最大距离为5 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 4．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【提高题型一 两条直线的交点坐标】 【例1】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）（多选）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【提高题型二 两点间的距离公式】 【例2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，点在第一象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2025·江苏南京·模拟预测）（多选）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为______________. 4．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）为了树立学生正确的劳动观，培养学生优良的劳动态度和劳动习惯，南充高中计划在劳动教育实践基地新增一块三角形状菜地，如图，经测量，，为方便浇灌菜地，要在菜地内铺设水管安装水龙头，记安装水龙头的地点为点，请你设计点在菜地内的位置，使最小，并求出这个最小值. 【提高题型三 点到直线的距离公式】 【例3】（25-26高二上·广东广州·期中）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 1．（25-26高二上·北京·期中）已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”.下列直线中不是点的“相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段检测）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为_________. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【提高题型四 两条平行直线间的距离】 【例4】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西运城·期中）（多选）下列直线与直线l：平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为________． 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 3．（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 5．（24-25高二上·上海·阶段检测）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 7．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）已知，，P是直线上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 8．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 9．（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 10．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 12．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为______． 13．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________． 14．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 16．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 17．（2026高三上·全国·专题练习）若函数存在零点，求实数a的取值范围. 18．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 20．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $