专题 14.9 全等三角形几何模型（倍长中线）【三大模型四类题型】- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过“模型梳理-题型精析-同步检测”三阶架构系统构建全等三角形倍长中线专题知识体系，用表格清晰呈现基本型、中点型、中点+平行线型三大模型的图示与证明思路，突出辅助线添加方法与全等转化的内在联系。 讲义亮点在于四类题型分层设计，从基本型求中线取值范围到综合探究题，结合例题与变式题强化推理意识和几何直观，同步检测包含选择、填空、解答题，适配不同层次学生练习需求，助力教师实施精准分层教学与学生自主复习提升。

专题 14.9 全等三角形几何模型（倍长中线）【三大模型四类题型】 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型 1】倍长中线——基本型 2 【题型2】倍长中线——中点型 3 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 4 【题型4】倍长中线——综合题型探究 6 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.模型梳理与解读 （一）定义： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. （二）常见的模型及证法 类型 基本图示 证明思路 基本型 延长AD至点E，使得AD=DE，若连接 BE，则;若连结EC, 则; 中点型 若延长EC至点F，使得CF=CE，连结 AF，则若延长 EC点G,使得CG=CD，连结BG，则 中点+平行线型 延长CE交AB点F或交BA延长线于点F，则. 二.题型精析 【题型 1】倍长中线——基本型 【例题1】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，是△的中线，，，则的取值范围是________． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【题型2】倍长中线——中点型 【例题2】（12.3（培优课）倍长中线（题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版））（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．    【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，且． （1）请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论． （2）在（1）的条件下，若，请确定的值范围． 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________． （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：． 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 【例题3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）阅读材料，解决问题： （1）【方法探究】数学课上，老师提出如下问题：“如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围”，同学们经过思考、讨论，提出如下解决方法：延长到点，使，再连接，利用三角形全等及三角形三边的关系即可求出中线的取值范围，请你帮助同学们写出完整的解题过程． （2）【问题解决】如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，则__________．（填“＝”、“＞”或“＜”号） （3）【拓展应用】如图③，、都是等腰直角三角形，其中，分别连接，作，垂足为，延长交于点． ①求证：点是中点； ②若，则__________．（直接写出答案） 【题型4】倍长中线——综合题型探究 【例题4】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【变式1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形________； 【理解与应用】 （2）如图2，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图3，是的中线，且，求证；． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． （1）【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； （3）【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·河北·阶段检测）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）已知在中，，中线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）在中，，如果边上的中线，那么线段的取值范围是_________． 11．（24-25八年级上·重庆永川·阶段检测）如图，在中，点E是的中点，，的长为m，则m的取值范围是 __________． 12．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，点D是的中点，连接，设的长度为x，则x的取值范围是______． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD为中线，． （1）若，AD长度为a，则a的取值范围为________； （2）若，，则AC的长度为________． 14．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 16．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD的度数为__________________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 18．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． （1）__________； （2）判断并证明和的数量关系． 19．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 20．（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.9 全等三角形几何模型（倍长中线）【三大模型四类题型】 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型 1】倍长中线——基本型 2 【题型2】倍长中线——中点型 6 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 12 【题型4】倍长中线——综合题型探究 21 三.同步检测 33 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 33 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 42 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 51 一.模型梳理与解读 （一）定义： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. （二）常见的模型及证法 类型 基本图示 证明思路 基本型 延长AD至点E，使得AD=DE，若连接 BE，则;若连结EC, 则; 中点型 若延长EC至点F，使得CF=CE，连结 AF，则若延长 EC点G,使得CG=CD，连结BG，则 中点+平行线型 延长CE交AB点F或交BA延长线于点F，则. 二.题型精析 【题型 1】倍长中线——基本型 【例题1】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【答案】 【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得． 解：如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，是△的中线，，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．延长至H，使，连接，证明，推出，再利用三角形三边关系即可求解． 解：如图，延长至H，使，连接， ， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得； （2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可． 解：（1）证明：如图延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即； （2）解：∵，， 由（1）可得， ∴， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键． 【题型2】倍长中线——中点型 【例题2】（12.3（培优课）倍长中线（题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版））（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．    【答案】（1）①证明：是的中线， ， 在和中， ， ； ②； （2）证明：如图2，延长，截取，连接，，     ，， 即，， ∴， ， 是中线， ， ，， ∴， ， ∵， ． 【分析】（1）①根据三角形的中线得出，再由对顶角相等得出，即可得出结论； ②先由，得出，再由，得出，最后用三角形的三边关系，即可求出答案； （2）先根据判断出，得出，再根据判断出，得出，即可求出答案． 解：（1）①略 ②解：由①知，， ， ， ， ，， ， 在中，， 根据三角形的三边关系得，， ， 故答案为：； （2）略 【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，且． （1）请你判断是的中线还是角平分线？并证明你的结论． （2）在（1）的条件下，若，请确定的值范围． 【答案】（1）是的中线，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，不等式的性质等知识点． （1）根据证明即可； （2）延长至点，使得，证明，则，在中，由三角形三边关系求解即可． （1）解：是的中线， 证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴是的中线． （2）解：延长至点，使得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________． （2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明：如图，延长到点，使，连接． 是的中线， ． 在与中， ， ，． ， ． ， ， ， 即． 【分析】本题考查了倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三边关系，等边对等角，等角对等边．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解是边上的中线，得，再结合，，证明，根据三角形三边关系进行列式计算，即可作答． （2）与（1）同理，证明，得出，．因为，得，又因为，即，所以，即可作答． （1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 即， 即． （2） 略 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 【例题3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 解：略 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 解：略 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在中，，，求中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长到E，使，连接，则有，得，利用三角形三边之间关系得的取值范围为_______；（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在中，，D，E为边上的点，，连，过点E作的平行线交于F点，若，求证：． 举一反三：（3）在中，D为中点，E为延长线上一点，过点C作的平行线，并在其上取一点F，连，使，若，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴点是的中点， 如图所示，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵过点E作的平行线交于F点，即， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题主要考查倍长中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是解题的关键． （1）延长到E，使，连接，根据题意可证，由三角形三边数量关系即可求解； （2）如图所示，延长到点，使得，连接，可证，得到，，结合题意得到，再根据平行线的性质，角度的和差计算即可求解； （3）如图所示，延长交于点，可证，得，，结合题意，运用等角对等边即可求解． 解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （2）略 （3）如图所示，延长交于点， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）阅读材料，解决问题： （1）【方法探究】数学课上，老师提出如下问题：“如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围”，同学们经过思考、讨论，提出如下解决方法：延长到点，使，再连接，利用三角形全等及三角形三边的关系即可求出中线的取值范围，请你帮助同学们写出完整的解题过程． （2）【问题解决】如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，则__________．（填“＝”、“＞”或“＜”号） （3）【拓展应用】如图③，、都是等腰直角三角形，其中，分别连接，作，垂足为，延长交于点． ①求证：点是中点； ②若，则__________．（直接写出答案） 【答案】（1）l；（2）；（3）①证明：过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点是中点； ②8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用． （1）先证明，得出，再根据求出结论即可； （2）延长至点M，使，连接，同（1）证明得出，再根据得出结论； （3）①过点作交的延长线于点，利用等角的余角相等求得，，证明，推出，，再证明，据此即可得到点是中点； ②利用，即可得到结论． （1）解：是边上的中线， ． 在和中， ， ， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ，即， ． 故答案为：； （2）证明：如图，延长至点M，使，连接， 同（1）得， ∴． ∵， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ∴； （3）①略 ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 【题型4】倍长中线——综合题型探究 【例题4】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）； （3）证明：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 解：（1）略 （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）略 【变式1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中一组全等三角形________； 【理解与应用】 （2）如图2，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图3，是的中线，且，求证；． 【答案】（1）；（2）证明：延长至点，使，如图所示： 是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ，即； （3）证明：延长至点，使，如图所示： 是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ，即． 【分析】（1）根据题意，由两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案； （2）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得，由全等三角形性质得到，，再结合等腰三角形的性质，通过角的等量代换得到，从而由等腰三角形的判定与性质确定即可得证； （3）根据题意，倍长中线，由两个三角形全等的判定定理证得，由全等三角形性质得到，，再结合等腰三角形的性质、三角形外角性质得到，利用三角形全等的判定定理证得，结合全等性质即可证得． 解：（1）是的中线， ， 在和中， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点拨】本题考查三角形全等综合，涉及倍长中线模型、三角形中线性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质等知识，根据题意，掌握倍长中线模型，构造辅助线，运用全等三角形的判定与性质求证是解决问题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． （1）【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； （3）【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 （1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·河北·阶段检测）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： AI∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． （1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3） 略 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 解：如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）已知在中，，中线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，作倍长中线法，证明，得，，结合三角形三边关系，即可作答． 解：依题意，延长至点E，使得，连接，如图所示： 因为中线 所以 因为， 所以 则， 在中， 即 那么 故选：D 5．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题； 解：如图，延长到使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 7．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，如图 ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）在中，，如果边上的中线，那么线段的取值范围是_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定与性质，延长到E，使得，连接，用证明，得出，又，再用三边关系即可得出的取值范围． 解：如下图：延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ， ， 即：， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·重庆永川·阶段检测）如图，在中，点E是的中点，，的长为m，则m的取值范围是 __________． 【答案】/ 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、一元一次不等式组的求解等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点F，使，连接，可证得，根据即可求解． 解：延长到点F，使，连接， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，且， ∴ ∴解得 故答案为： 12．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，点D是的中点，连接，设的长度为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】延长，使，连接，证明得到，再根据三角形的三边关系求解即可． 解：如图，延长，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，即， 故答案为：. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD为中线，． （1）若，AD长度为a，则a的取值范围为________； （2）若，，则AC的长度为________． 【答案】 3 【分析】（1）延长中线AD到E，使，可证△ACD≌△EBD（SAS），得，根据三角形的三边关系可得，求解即可； （2）延长AD，使，连接CF，可证△ABD≌△FCD（SAS），得，，在Rt△AFC中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得，从而可求． 解：（1）如图1，延长中线AD到E，使， ∵AD是三角形的中线， ∴， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴， ∵，，第三边上的中线为a， ∴， 即， ∴． 故答案为：． （2）如图2，延长AD，使，连接CF， ∵AD为中线， ∴， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了延长中线构成全等三角形，及全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是延长中线作辅助线构造全等三角形． 14．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 15．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD的度数为__________________． 【答案】10°/10度 【分析】根据题目中的图形和已知条件，可以求得∠FBE和∠FBD的度数，从而可以得到∠EBD的度数． 解：延长AD到F，使得DF=AD，连接BF，如图， ∵点D为BC的中点， ∴BD=CD 在△BDF和△CDA中， ∴△BDF≌△CDA（SAS） ∴∠F=∠DAC，∠FBD=∠C，AC=FB， ∵∠C=70°，∠DAC=50°，BE=AC ∴∠FBD=70°，∠F=50°，BE=BF ∴∠F=∠BEF ∴∠BEF=50° ∴∠FBE=80° ∴∠EBD=∠FBE-∠FBD=80°-70°=10° 故答案为∶10°． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用三角形全等的判定和性质、数形结合的思想解答． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 18．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． （1）__________； （2）判断并证明和的数量关系． 【答案】（1）；（2）解：， 证明如下：如图，延长至H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． （1）可证明，利用等角对等边即可得出； （2）延长至H，使，连接，由可证，可得，结合，可证，可得结论． （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 19．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）证明：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，        ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）略 （3）略 20．（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $