4.1 指数 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1 指数 知识点梳理 · 人教A版 必修第一册 第四章 根幂互化 · 五级扩容版式 全课分数集中在两处：一是根式的化简求值（判奇偶、定符号），二是指数幂的运算（系数归系数、指数归指数）。这两处练熟，本课就稳了。 这一节只做一件事：把「几个相同的数相乘」这句话一步一步地推广。初中我们已经能说清 a 的平方、立方，本节先把「开平方、开立方」推成「开 n 次方」，再把指数从整数一路放宽 —— 放宽到分数，再放宽到无理数，最后放宽到任意实数。 每放宽一步，都只解决两个问题：新写出来的式子是什么意思（规定），以及老的三条运算性质还成不成立（照旧）。 本课地图 · 五级一览 五级就是五节，每一级都从上一级往外扩一点，横着读就是本课的全部内容。 这一级做什么 一句话结论 关键式子 最容易栽在哪里 在哪一级 把平方根、立方根 推广成 n 次方根 根有几个、是正是负，全由 n 的奇偶和 a 的正负决定 ； n 为偶数时 忘了偶次方根下不能是负数， 或者脱根号时漏掉绝对值 级一 给方根换一件外衣 ——写成分数指数幂 根式与分数指数幂是同一个数的两种写法 （a > 0） 把根式化幂时随便约分， 把底数的取值范围弄宽了 级二 把指数从整数 放宽到有理数 三条运算性质照搬，底数只要是正数就行 把「同底相乘」与「幂的乘方」 两条规矩的指数算法记混 级三 把指数从有理数 放宽到无理数 用有理数指数幂从两头夹，夹出一个确定的数 以为无理数指数幂没有意义， 或者以为运算性质不再适用 级四 用实数指数幂 把三类题做完 化简求值、幂的运算、条件求值三套路 先化成同底数幂， 再把指数合并 算到最后一步，结果里 又混进了根号或负指数 级五 级一 · 把平方根、立方根推成 n 次方根 初中我们用「哪个数的平方等于 9」引出平方根，用「哪个数的立方等于 −8」引出立方根。把「平方」「立方」换成笼统的「n 次方」，问题就变成一句话： 一般地，如果 ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n > 1，且 n ∈ N*。 这个定义里，n 只要求是大于 1 的正整数。于是平方根是 n = 2 的情形，立方根是 n = 3 的情形 —— 它们都是 n 次方根的特例。 1. 根有几个，看 n 的奇偶和 a 的正负 这一步是本级唯一需要分类的地方，四句话背下来比临场推要快得多。 n 的奇偶 a 的正负 有几个 n 次方根 怎么记 n 为奇数 a > 0 1 个，并且是正数 n 为奇数 a < 0 1 个，并且是负数 （此时整个根式小于 0） n 为偶数 a > 0 2 个，互为相反数 ± n 为偶数 a < 0 0 个（没有偶次方根） 不写，因为没有意义 记住两条就够：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0。剩下的都能从这两条推出来。 2. 根式里的三个名字 式子 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3. 脱根号只有两条路 把根号去掉（脱根号）的动作看着多，其实只有两条路，用哪一条由根号包住的是什么决定。 遇到的是 怎么脱 先开方、再乘方，等于 a 本身 n 为奇数时等于 a；n 为偶数时等于 |a| 两条路的分界线只有一处：看 n 是奇数还是偶数。第二条约等于「先乘方再开方，乘方的幂次和开方的次数一样」——奇数次的符号能原样带出来，偶数次的符号不管正负都会被抹平，所以要套绝对值。 例 1（教材 P104 例 1）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）。 解： （1）根号里是三次，外面也是三次，用第一条路，直接得 −8。 （2）n = 2 是偶数，用第二条路的偶次支：。 （3）同样 n = 4 是偶数：。因为 π ≈ 3.14 > 3，所以 3 − π < 0，|3 − π| = π − 3。 （4）。这时 a 与 b 谁大不知道，只能分情况写：当 a ≥ b 时等于 a − b，当 a < b 时等于 b − a。 第（3）小题是本级最常错的一处：写成 3 − π 就错了。判断符号只用问一句「谁是大的」——3 比 π 小，所以 3 − π 是负数，负数的绝对值要翻过来。 本级要诀：先看根指数 n 的奇偶，再看被开方数的正负；偶数次脱根号，必须把结果关进绝对值里，符号没定就分情况写。 级二 · 给方根换一件外衣：分数指数幂 上一级学会了脱根号，可有些根号根本脱不掉，例如 。不过它长得太像幂了 —— 被开方数的指数 2、根指数 3，把这两个数搬到指数位置上，会不会就是它？教材的处理办法是：当被开方数的指数能被根指数整除时，本来就写得成幂（如 ）；整除不了，就规定它也写成分数指数幂。 正分数指数幂：（a > 0，m、n ∈ N*，且 n > 1）。 负分数指数幂：（a > 0，m、n ∈ N*，且 n > 1）。 一个字的记忆法：「子内母外」——根号里面（被开方数）的 m 当分子，根号外面的 n 当分母。 1. 根式与分数指数幂互换表 根式写法 分数指数幂写法 怎么换的 平方根的根指数 2 省略不写，换过来时分母是 2 根指数 3 当分母，被开方数的指数 1 当分子 根号里的 2 当分子，根号外的 3 当分母 分子 3、分母 4 根式跑到分母上，指数就带负号 2. 三条特殊规定 情形 规定 0 的正分数指数幂 等于 0 0 的负分数指数幂 没有意义（0 不能作分母） 底数是负数 n 为奇数时有分数指数幂，如 ；n 为偶数时没有，如 无意义 为什么规定里一直写 a > 0？因为底数为负时，指数取 1/2、1/4 这类分母是偶数的分数，式子就没有意义了。把底数限制成正数，下面所有的运算性质才都能放心用。 3. 一个必须小心的动作：不要随便约分 把根式化成分数指数幂，指数写出来之后不能顺手约分。例如 ：如果约成 ，就默认了 a ≥ 0；可 对一切实数 a 都有意义，等于的是 |a|。再如 ：不约分时它对一切实数 a 都有意义，一旦约成 ，就要求 a > 0 了 —— 约分把底数的范围改小了。 例 2（教材原例）求下列各式的值： （1）； （2）。 解： （1）。 （2）先处理负号，把底数倒过来： 。 第四步用到了 、，所以 81/16 开四次方正好是 3/2。 例 3 用分数指数幂表示下列各式（其中 a > 0）： （1）； （2）。 解： （1）根号里的 5 当分子，根号外的 3 当分母：。 （2）先按「子内母外」写成 ，再把分母搬上去变号：。 本级要诀：根式与分数指数幂是同一件事的两种写法。换的时候照「子内母外」，换完回头看一眼底数的条件有没有被改小 —— 不约分，就不会错。 级三 · 把指数从整数放宽到有理数 级二把指数从整数扩到了分数，也就是扩到了有理数。那么初中背熟的三条整数指数幂的运算性质，换了分数指数还成立吗？教材给出的答案是：原样照搬。 1. 三条运算性质 名字 式子（a > 0，b > 0，r、s ∈ Q） 一句话记忆 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 幂的乘方 底数不变，指数相乘 积的乘方 每个因式各自乘方，再把结果相乘 最容易被记混的是前两条：一个指数相加，一个指数相乘。分辨的办法是看有几个幂在相乘 —— 同底数的两个幂之间是乘号，指数就相加；一个幂的外面再套一层乘方，两个指数就相乘。 2. 从三条性质顺手能推出两条 遇上什么 怎么推出来 同底数幂相除 把除法写成乘法： 商的乘方 把商写成积： 3. 化简求值的三条规矩 规矩 说明 先把负指数化成正指数 写成 ，或者把分母搬到分子上去 再把根式化成分数指数幂 根式不好直接乘除，统一成幂以后才能合并指数 最后把小数化成分数 0.064 写成 64/1000，才能一眼看出它是 0.4 的立方 结果的写法也有讲究：同一个答案里不要同时出现根号和分数指数，也不要既有分母又留负指数。 例 4（教材原例）计算下列各式（式中字母均是正数）： （1）； （2）。 解： （1）先把系数、a、b 三路分开算。 系数：2 × (−6) ÷ (−3) = 4。 a 的指数：。 b 的指数：。 所以原式 = 4a（b 的指数是 0，b 就消掉了）。 （2）把 8 分给括号里的两个因式，各算各的： ；。 所以原式 = 。 第（1）小题的动作可以概括成一句话：系数归系数，指数归指数。同底数的指数之间做加减，系数之间做乘除，两路互不干扰。 例 5 化简 （其中 a > 0）。 解： 先把两个根式都写成分数指数幂： 。 本级要诀：指数放宽到有理数，三条性质一个字都不用改；动笔时先合并底数，再把指数通分相加 —— 底数相同才有资格合并指数。 级四 · 指数再从有理数放宽到无理数 、 现在都说得通了，因为指数是分数，根式把它解释得清清楚楚。可如果指数是 呢？ 是无理数，写不成 m/n 的样子，「几个 a 相乘」也无从说起， 到底该怎么理解？ 教材的处理办法是两头夹：用 的不足近似值和过剩近似值，从左右两侧同时逼近它，同时算出 5 的对应幂，看两边会不会碰头。 1. 用有理数指数幂两头夹 序号 的不足近似值 5 的对应幂 的过剩近似值 5 的对应幂 1 1.4 9.518270 1.5 11.180340 2 1.41 9.672700 1.42 9.829635 3 1.414 9.735171 1.415 9.750852 4 1.4142 9.738305 1.4143 9.739873 5 1.41421 9.738462 1.41422 9.738619 6 1.414213 9.738508 1.414214 9.738525 读表： 左边一列（用不足近似值算出的幂）一路往上走，右边一列（用过剩近似值算出的幂）一路往下走，两列的差迅速变小：第 1 行还差 1.66，到第 6 行只剩 0.000017。被这两列夹在中间的那个数，就是 的值。 2. 教材给的两句话 一般地，无理数指数幂 （a > 0，α 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 要读准「确定的实数」这几个字：它说的是「夹得出一个唯一的结果」，不是「算不出来」。级三的三条运算性质，在无理数指数上照样能用。 3. 指数范围是怎么一步步放宽的 指数的范围 怎么交代的 正整数 初中： 表示 n 个 a 相乘 整数（含 0 与负整数） 初中：（a ≠ 0），（a ≠ 0） 有理数 本课级二的规定：（a > 0） 无理数与实数 本课级四：用有理数指数幂两头夹，夹出一个确定的实数；此后 对一切实数 x 都有意义 把 r、s 的取值范围从「有理数」换成「任意实数」，三条运算性质一个字也不用改 —— 这就是「放宽」这个词的全部含义。 本级要诀：无理数指数幂不是「算不出来的数」，而是「用有理数指数幂夹出来的一个确定的数」；指数一旦放宽到实数，三条运算性质仍然照旧。 级五 · 实数指数幂：把三类题做完 指数放宽到实数之后，本节要做的题目就三类。把这三类的第一个动作记住，剩下的都是计算。 题型 长什么样 第一步做什么 根式的化简求值 带根号的算式，如 先判根指数 n 的奇偶，再定绝对值里的正负 指数幂的运算 一堆幂的乘除，如 系数归系数、同底数的指数归指数 条件求值 给出 ，求与它相关的式子的值 把要求的式子平方，让它长出已知的式子 例 6 已知 a > 0，，求下列各式的值： （1）； （2）。 解： （1）已知式和我们要求的式子只差一个「平方」： ， 所以 。 （2）同样把它平方，看会长出什么： 。 两边开平方得 。又因为 a > 0，所以 、，它们的和一定是正数，故只取 。 整体代换：先平方、再开方 已知什么 要求什么 怎么搭桥 把已知式平方，得 把它平方，长出 ，再开方 同上，反过来用一次 开方那一步必须看正负。本题里 a > 0，两个正数相加一定是正数，所以取 而不取 −；如果要求的是 ，符号就没法定，只能分情况讨论。 例 7 计算 。 解： 逐项处理，先把每一项都算成一个具体数。 因为 ，所以 。 因为 π ≠ 3，即 π − 3 ≠ 0，所以 。 因为 、，所以 。 （4 个 2 相乘等于 16）。 所以原式 = 。 这一类题的通用动作是「逐项化到同一个形式」：小数化成分数、根式化成分数指数幂、负指数翻上去，全部变成有理数再通分。 本级要诀：三类题三条路：根式题先判奇偶，运算题先归指数，条件求值先平方搭桥。做完回头看一眼，答案里不该再留着根号或负指数。 来龙去脉 · 从根号到指数 本课所有的式子都靠两个符号撑着：一个根号，一个指数。这两个符号都不是一天长成现在这样的。 时间 发生了什么 留下来的东西 1525 年 德国数学家鲁道夫（Christoff Rudolff）在《Die Coss》里第一次印出根号，当时这个符号上面还没有那根横线 一个只表示「开方」的记号 1629 年 法国数学家吉拉尔（Albert Girard）第一个把表示「开几次方」的数字写在根号左上方 这一支从此立住 1637 年 笛卡尔在《几何学》里把根号与一根横线接起来，被开方的东西统统圈进横线下方 今天通用的根号的样子 1676 年 牛顿在写给皇家学会秘书奥尔登堡的信里，第一次用分数指数和负指数来表示方根 根式与幂可以互相改写 至于根号为什么长成这个模样，说法并不统一：早年有人猜它是拉丁文 radix（根）的首字母 r 的手写变形；后来的研究多认为，它是德国旧稿里表示根的一个小「点」，写快了拖出一条尾巴，就变成了现在这个带钩的形状。 把这几步连起来看，本课走的路就很清楚了：先把开方写成根式，再把根式改写成分数指数幂，最后把指数一路放宽到实数。我们今天课堂上花一节课走完的过程，实际花了四百多年。 五级扩容速查卡 考前最后一眼，看这一张。 遇到什么 怎么办 一句话提醒 ，n 是偶数 结果写成 |a| 先问一句 a 是正是负 ，n 是奇数 结果直接写 a 负数的奇次方根是负数 根式与分数指数混在一起 全部化成分数指数幂再算 根号里的当分子，根号外的当分母 一堆幂相乘除 系数归系数，同底数的指数归指数 只加指数，不加底数 指数是无理数 用有理数指数幂两头夹 它是一个确定的实数，性质照旧 给出 ，要求别的 先把要求的式子平方 开方时看正负，正数才敢取正根 口诀：根号外的数当分母，根号里的数当分子；同底相乘指数加，幂的乘方指数乘；偶次开方带绝对值，无理指数两头夹。 过关自测（满分 100 分） 一、选择题每小题 5 分，共 30 分；二、填空题每小题 5 分，共 20 分；三、解答题共 50 分（第 11 题 14 分，第 12 题 16 分，第 13 题 20 分）。 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. （a > 0） C. （a > 0） D. （a > 0） 3. 计算 的结果是（ ） A. π − 7 B. 7 − π C. π + 3 D. −π − 3 4. 下列运算正确的是（ ） A. （a > 0，r、s ∈ R） B. （a > 0，b > 0，r ∈ R） C. （a > 0，r、s ∈ R） D. （a > 0，r、s ∈ R） 5. 计算 的结果是（ ） A. B. 13 C. 5 D. 6. 设 ，，，则 a、b、c 的大小关系是（ ） A. c < a < b B. a < b < c C. c < b < a D. b < c < a 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 7. 计算 = ______。 8. 化简 = ______（a > 0）。 9. 已知 （a > 0），则 = ______。 10. 计算 = ______。 三、解答题（共 50 分） 11.（14 分）计算下列各式： （1）； （2）； （3）。 12.（16 分）化简下列各式（式中字母均为正数）： （1）； （2）。 13.（20 分）已知 a > 0，且 ，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）。 参考答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C B D A 选择题答案：第 1—6 题依次为 B、D、C、B、D、A。 一、选择题解析 解析 1：B。n = 4 是偶数，所以 。A 项把偶次方根的结果写成了负数；C 项把 算成 3，负数的奇次方根是负数，应为 −3；D 项 把「开方」与「求平方根的两个值」混为一谈，偶次根式的值取非负的那一个，应等于 3。 解析 2：D。A 项左边 是一个确定的数，右边 里底数是负数、指数又使开方次数为偶数，没有意义；B 项根指数 4 应当作分母、被开方数的指数 3 应当作分子，正确结果是 ；C 项 ，不是 。 解析 3：C。；（因为 π > 2）。两式相加得 5 + π − 2 = π + 3。若把 算成 −5，会得到 A 项 π − 7；若把 |2 − π| 取成 2 − π，会得到 B 项 7 − π。 解析 4：B。同底数幂相乘，指数应当相加，A 项错了；幂的乘方，指数应当相乘，C 项错了；同底数幂相除，指数应当相减，D 项错了。只有 B 项是积的乘方，每个因式各自乘方，正确。 解析 5：D。；。两式相加得 。若把 当成 4（漏掉负指数要取倒数），会得到 B 项 13；若把负指数的负号提到根号外面变成 −4，会得到 C 项 5；若把 里的分子 2 当成系数（算成 2 × 3 = 6），会得到 A 项 。 解析 6：A。三个数的指数不同，先把它们的指数统一成分母是 6 的分数： ； ； 。 同一指数下比较底数：6 < 8 < 9，所以 c < a < b。B、C 两项按底数本身的大小排（2 < 3 < 6），漏掉了指数不同这一步；D 项把 的指数 1/3 通分成 2/6 时，误把底数也算成了 。 二、填空题答案 7. −1。解析：（4 个 2 相乘等于 16），，所以结果是 2 + (−3) = −1。注意负数的奇次方根是负数。 8. 。解析：先算括号里面：；再算幂的乘方：。 9. 27。解析：。这里用的是幂的乘方：，方向反过来用即可。 10. 2。解析：，所以 ；负指数要取倒数，。也可以把 0.125 化成分数 ，得 。 三、解答题答案 11.（14 分） （1）因为 、，所以 ，；又 。故原式 = 。（5 分） （2）因为 、，所以 ，。（4 分） （3）（因为 π > 2）；。故原式 = (π − 2) − 3 = π − 5。（5 分） 12.（16 分） （1）把系数、a、b 三路分开算。系数：。a 的指数：。b 的指数：。所以原式 = 。（8 分） （2）把 −6 分给括号里的两个因式：；。所以原式 = 。结果里不留负指数，把 翻到分母上。（8 分） 13.（20 分） （1）把已知式两边平方： ， 所以 。（6 分） （2）设 ，把它平方： 。 又 a > 0，所以 、，它们的和 t > 0，故 ，即 。（7 分） （3）把要求的式子平方： 。（7 分） 说明：第（3）问答的是平方的值，所以不需要讨论符号。如果问的是 本身，它等于 ，符号由 a 与 1 的大小关系决定，题目没给这个条件，就写不出唯一答案。 学科网（北京）股份有限公司 $