3.1函数的概念及其表示知识清单-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册

3.1 函数的概念及其表示 知识点梳理 2026—2027学年 高一上学期 人教A版数学必修第一册 第三章 函数的概念与性质 版式：双集一桥 · 五器验工版式 初中我们是这样认识函数的：在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，就说 y 是 x 的函数。这句话没有错，但说得太松——x 究竟可以在哪个范围内取值？y 又究竟在哪个范围内出现？本章起，函数要用集合与对应的语言重新刻画一遍：两个非空的实数集 A 与 B，一套确定的对应关系 f，再加上「唯一确定」四个字，才构成一个完整的函数。本课要做的，就是把 A、f、y 这三样东西一一认下来，再学会用三副不同的面孔把它写出来。 ★ 本课的分数集中在两处：① 求定义域时限制条件找不全——分母不为 0 与偶次根式的被开方数非负同时出现时，只找到一条就下结论（器二）；② 区间的端点开闭写错，把 [1, 3) 写成 [1, 3]，端点归属悄悄变了（器三）。这两处各设专节。 本课地图 · 七件事各归哪一器 先把全课要认下的东西列成一张表。这张表当目录用：做题时卡在哪一件事上，直接翻回对应的那一器。 要认下的事 一句话说清它 记号 / 写法 在哪一器 函数是什么 两个非空的实数集，靠一套确定的对应关系，把每个 x 唯一地送到一个 y y = f(x)，x ∈ A；f: A → B 器一 定义域 自变量 x 可以取的全部数，就是集合 A 写成集合或区间，如 {1, 2, 3}、[0, 0.5] 器二 对应关系与函数值 把 x 加工成 y 的那套规矩；f(a) 就是 x = a 时算出来的那个数 y = f(x)；f(−3)、f(a − 1) 器二 值域 所有函数值凑成的集合，它是集合 B 的子集 {f(x) | x ∈ A} 器二 区间 一类连续数集的简写记号，把描述法压缩成一对括号 [a, b]、(a, b)、[a, +∞)、(−∞, +∞) 器三 三种表示法 解析法、列表法、图象法，同一个函数的三副面孔 写出式子 / 列出表格 / 画出图象 器四 分段函数 同一个函数，在定义域的不同段上使用不同的对应关系 分几行写，每行标清自己管哪一段 器五 ★ 这七件事里，前四件讲的是函数本身的构件——第 3 件说的是一个函数值，第 4 件说的是这些函数值凑成的集合，两者是一件事的两端；第 5 件是数集的简写；最后两件是两种常见的函数面孔。看清它们的关系，比把七行背下来有用得多。 器一 · 从四桩实事里长出一句话 函数不是从定义开始讲的，是从问题开始的。教材先摆出四桩实实在在的事，再让我们从里面挑出共同点。先把四桩事摊开看。 四桩实事的完整面貌 这桩事是什么 自变量与它的范围（集合 A） 函数值与它的范围（集合 B） 对应关系怎么给出的 复兴号列车加速到 350 km/h 后匀速行驶半小时，行进路程 s 与运行时间 t 运行时间 t，A = {t | 0 ≤ t ≤ 0.5} 路程 s，B = {s | 0 ≤ s ≤ 175} 解析式 s = 350t 某电气维修公司每周付一次工资，每天 350 元，每周至少工作 1 天、至多 6 天，工资 w 与工作天数 d 工作天数 d，A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 工资 w，B = {350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100} 解析式 w = 350d，但 d 只能取 1 到 6 某市某日的空气质量指数变化图，指数 I 与时刻 t 时刻 t，A = {t | 0 ≤ t ≤ 24} 指数 I，B = {I | 0 < I < 150} 一条曲线——图象法 某省城镇居民恩格尔系数变化表，系数 r 与年份 y 年份 y，A = {2016, 2017, …, 2023} 系数 r，B = {r | 0 < r < 1} 一行年份对一行系数——列表法 四个例子的外表差别很大：有的给出式子，有的给出图象，有的给出表格；自变量有的连续取值，有的只能取整数；范围有大有小。但它们在做同一件事——两个数集之间，靠一套确定的规矩发生联系，而且这种联系是「一个对一个」的。把这件事写成一句严格的话，就是函数的定义。 一般地，设 A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f(x)，x ∈ A。其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 相对应的 y 叫做函数值，函数值的集合 {f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域。 定义里每一个词都在防一种错 「非空」——A 与 B 都不能是空集，否则谈不上对应；「实数集」——限定了我们研究的是数，不是别的对象；「任意一个」——A 里的数一个都不能漏，漏了一个就不是函数；「唯一确定」——一个 x 只能派出一个 y，多派一个也不行。四条里最容易出事的是最后一条，看下面这张对照表。 给一个对应关系 一个 x 会算出几个 y 算不算函数 原因 y = 3x + 1 只有一个 算 任何实数代进去都得一个数，规规矩矩 某日的气温曲线（以时刻为自变量） 只有一个 算 每个时刻只对应一个气温，这是气温曲线本身的性质 = x（x > 0） 给出 x = 4，y 可以是 2 或 −2 不算 一个 x 算出两个 y，违背「唯一确定」 x 的平方根（x > 0） 给出 x = 4，平方根是 2 与 −2 不算 与上一行是同一件事的两种说法，换名字救不了 ★ 反面只要出现一处就够：哪怕 A 里只有一个数 x 对上了两个 y，整个对应关系就不配叫函数。考试里这类题常把「y = ±x」伪装成图形或表格，判断时只问一句话——有没有哪个 x 派出了两个 y。 器末小结：四桩实事里挑出的共同点，浓缩成一句带「任意」和「唯一」的话，就是函数的定义。定义不是要背的，是要拿来当尺子用的。 器二 · 三件零件，缺一不成 有了定义，接下来要弄清楚：判断一个函数，究竟要看哪几件事？答案是三件——定义域、对应关系、值域。它们不是并列的三样东西，前两件由人指定，第三件是前两件共同算出来的结果。 函数的三个要素 零件 它管什么 从哪里来 少写了会怎样 定义域 管「哪些 x 可以进机器」 由问题的实际背景确定；题目只给解析式时，取使式子有意义的所有实数 函数不算完整——同一个式子在两个不同的范围上是两个不同的函数 对应关系 f 管「x 进去以后怎么变成 y」 解析式、表格、图象都可以；符号 f 只是给这套规矩起个名字，换用 g、h 也一样 说不出 y 由 x 怎么来，函数就无从谈起 值域 管「机器能出哪些 y」 由定义域与对应关系共同算出，记作 {f(x) | x ∈ A} 它不靠人写而是算出来的——由定义域与对应关系共同决定，改定义域它就跟着变 值域与集合 B 是什么关系 定义里说的是「在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应」。注意 y 确实落在 B 里，但 B 里未必每个数都能被取到——能取到的那些凑起来才是值域。所以值域是 B 的子集，可能真包含于 B。 例子 定义里给出的集合 B 实际算出的值域 两者的关系 f(x) = ，x ∈ {−1, 0, 1} B = R {0, 1} 值域是 B 的真子集，B 里绝大多数数都取不到 f(x) = 2x，x ∈ {1, 2, 3} B = {2, 4, 6} {2, 4, 6} 值域恰好等于 B，此时两者重合 两个函数是同一个函数吗 教材里说：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数。这句话拆开来就是两步比较。 先比什么 怎么比 不同会怎样 定义域 看两个函数里 x 能取的数是不是完全一样 定义域不同，直接判定不是同一个函数，式子化简得再像也没用 对应关系 在定义域相同的前提下，把式子化简，看是否完全一致 定义域相同而对应关系不同，同一个 x 算出的 y 就不一样 ★ 顺序不能反。定义域不同是最干脆的判据，先比它能省掉大量计算；很多同学拿到题就直接化简式子，两个式子除完一模一样，就以为相等，偏偏除的过程中把某个使分母为 0 的点丢掉了——那个点正是定义域里少掉的那个数。 教材 P65 例 1：求定义域 题：求函数 f(x) = 的定义域。 规范解答： 要使式子有意义，需要同时满足两个条件： ① 偶次根式的被开方数非负：x + 3 ≥ 0，即 x ≥ −3； ② 分式的分母不为零：x + 2 ≠ 0，即 x ≠ −2。 两个条件必须同时成立，取它们的公共部分，得 x ≥ −3 且 x ≠ −2。用区间把结果写出来，定义域为 [−3, −2) ∪ (−2, +∞)。 方法提炼： 定义域是「让式子有意义的实数全体」，所以求定义域就是把式子里每一处限制都翻译成一个不等式（或不等式组），最后取交集。两个条件缺一不可——只写 x ≥ −3 就漏掉了 x ≠ −2，只写 x ≠ −2 就漏掉了 x ≥ −3，两种情况都会把整个结果的范围写错。 拿同一个函数练一练求值 求出定义域之后，这个函数就可以放心地代值了。注意代进去的 x 必须在定义域里，否则那个 f(x) 根本不存在。 要算的 代入与计算 结果 f(−3) f(−3) = + = 0 − 1 −1 f(1) f(1) = + = 2 + f(a − 1)（a ≥ −2 且 a ≠ −1） 把式子里的 x 整体换成 a − 1： + + ★ 第三行是本课的一个关键动作：f(a − 1) 不是把 a 减 1 得一个数，而是把对应关系里的 x 整体换成 a − 1。题目里凡是要求 f(a)、f(a − 1) 这类带字母的函数值，做法都一样；而且别忘了先说明 a 取什么值时它们才有意义。 求定义域的三条守则 式子里出现什么 要求什么 写成什么条件 分式 分母不能等于零 g(x) ≠ 0 偶次根式 被开方数不能是负数 g(x) ≥ 0 题目带实际背景 还要服从实际背景的限制（天数是正整数、边长取正数） 按题目背景另外写出，再与前两条一起取交集 ★ 三条同时出现才是最难的地方。遇到又带根式又带分母的式子，一定先把每一条单独写成条件，最后再取交集——不要一边看一边心算，那是最容易漏的地方。 器末小结：定义域、对应关系、值域，前两件是人指定的，第三件是算出来的。求定义域的全部功夫在于「把限制条件找齐，再取交集」。 器三 · 区间：给数集换一把新尺子 前面写定义域时用的都是描述法，比如 {x | 0 ≤ x ≤ 0.5}。这种写法严谨，但写多了太啰嗦，而且一眼看不出范围的宽窄。数学给它准备了一个简写——区间。区间不是新东西，它只是同一类数集的另一种记法。 一般区间：四种开闭组合 集合写法 名称 区间记号 读作 {x | a ≤ x ≤ b} 闭区间 [a, b] a 到 b 的闭区间（两头都含） {x | a < x < b} 开区间 (a, b) a 到 b 的开区间（两头都不含） {x | a ≤ x < b} 半开半闭区间 [a, b) 左闭右开 {x | a < x ≤ b} 半开半闭区间 (a, b] 左开右闭 这里 a 与 b 都叫做相应区间的端点。既然是「从左到右」，就永远有 a < b，左端点一定比右端点小。 特殊区间：有一头没有边 ∞ 读作「无穷大」，它是一个符号，不是一个数，所以取不到。 集合写法 区间记号 说明 R (−∞, +∞) 全体实数，一头一尾都没有边界 {x | x ≥ a} [a, +∞) 从 a 起向右无限延伸，含 a {x | x > a} (a, +∞) 从 a 起向右无限延伸，不含 a {x | x ≤ a} (−∞, a] 向左无限延伸直到 a，含 a {x | x < a} (−∞, a) 向左无限延伸直到 a，不含 a 书写区间的四条规矩 规矩 这样写是对的 这样写是错的 左端点必须小于右端点 [1, 3] 表示 1 ≤ x ≤ 3 [3, 1] 不是一个区间，因为 3 > 1 含端点用方括号，不含用小括号 [1, 3) 表示 1 ≤ x < 3 把 [1, 3) 写成 [1, 3]，端点从「不含」变成了「含」 以 ∞ 为端点的那一侧一律用小括号 [1, +∞)、(−∞, 2) [1, +∞] 不写，因为 ∞ 不是数，取不到 两个端点之间用逗号隔开 [−1, 2)、(−∞, 0) [−1 2] 中间没有逗号，读不成区间 ★ 第二行是本课最容易丢分的一处。写定义域时，端点究竟该用方括号还是小括号，唯一可靠的判断办法是回到集合写法看一眼：条件里如果是「≤」，这一头就含端点；如果是「<」，这一头就不含。凭印象写括号，十次里错三次。 区间表示不了的三类数集 表示不了的数集 例如 怎么办 只含一个数的集合 {0} 仍写 {0}。区间描述的是一段连续的范围，装不下孤零零的一个数 不连续的数集 {x | x = 0 或 1 ≤ x ≤ 5} 写成 {0} ∪ [1, 5]——把那个孤立的点单独写出来，再与区间取并集 只含整数的数集 N、Z 仍写 N、Z。区间里的数都是连续的，中间不能断 区间与数轴是一对好搭档：画数轴时，含端点的位置画实心点，不含端点的位置画空心点。不过判断一个数究竟在不在区间里，最稳的办法不是背括号，而是把它与两个端点比一比——比它该在的区间写出来，一看就知道。 器末小结：区间只是换了一种写法，集合本身没有变。凡是拿不准端点含不含的，回到集合写法看一眼，比背括号可靠。 器四 · 三副面孔，各干各的活 同一个函数可以有三种写法，这就像同一个人可以拍正脸照、侧脸照、全身照——照的是同一个人，能看清的东西却不一样。 三种表示法的长处与短处 表示法 怎么表示 长处 短处 解析法 用式子把 y 与 x 的关系写出来，例如 y = 5x 一个式子就能算出任何一个 x 对应的 y，便于计算与推导 有些函数的对应关系写不出式子 列表法 把 x 与它对应的 y 列成一张表 对应关系一目了然，查值最快 只能列出有限个值，表以外的取不到 图象法 把每一对 (x, y) 作为点的坐标画在坐标平面上 整体变化趋势看得最清楚，上升、下降、起伏都在图上 从图上只能读个大概，得不到精确值 教材 P67 例 4：一个函数，三种写法 题：某种笔记本的单价是 5 元，买 x（x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}）个笔记本需要 y 元。试用函数的三种表示法表示函数 y = f(x)。 规范解答： 这个函数的定义域是数集 {1, 2, 3, 4, 5}。 解析法：y = 5x，x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}。 列表法： 笔记本数 x（个） 1 2 3 4 5 钱数 y（元） 5 10 15 20 25 图象法：把 (1, 5)、(2, 10)、(3, 15)、(4, 20)、(5, 25) 这五对坐标对应的点标在坐标平面上。注意这五个点是分开的五个点，不要用线段把它们连起来。 ★ 最后这句话是本课最容易被忽略的一处：这个函数的定义域只有五个数，所以它的图象只能由这五个孤立的点组成。x = 2.5 不在定义域里，对应的 y = 12.5 也就不是函数值，图上根本不该有这个点。凡定义域是有限几个数的，图象都是一串离散的点。 教材 P69 例 7：从表格里读不出的东西 题：某校高一(1)班三名同学在高一年度六次数学测试中的成绩与班级平均分如下表，请对这三位同学的数学学习情况作一个分析。 姓名 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 规范解答： 从表中可以知道每位同学在每一次测试中的成绩，但比较难看出成绩的变化。如果把每位同学的「成绩」与「测试序号」之间的对应关系画成图（横轴是测试序号，纵轴是成绩，每位同学一条由 6 个点连成的折线，班级平均分也画成一条折线作参照），趋势就清晰了： 王伟的成绩始终在班级平均分之上，六次之间起伏不大，学得比较稳； 张城的成绩在班级平均分上下反复穿越，六次里三次高于平均分、三次低于平均分，稳定性最差； 赵磊的起点最低，第 1 次只有 68 分，但六次成绩整体在往上升，到第 6 次已到 82 分，是三个人里进步最明显的。 方法提炼： 同一份数据，列成表格能查数，画成图象能看趋势。表格给你精确值，图象给你整体面貌，两者不是谁替代谁，而是各管一段。 器末小结：三种表示法不是三种函数，而是同一个函数的三副面孔。要算就写式子，要查就列表，要看趋势就画图。 器五 · 分段：一架机器几套规矩 现实里的不少规则本身就是「分档」的：用水不超过 10 吨是一个价，超过了又是另一个价；坐车 5 公里以内是一个票价，超过 5 公里再往上加。这类规则翻译成函数，就得到分段函数。 在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数。 关于分段函数，三处最容易误解 常见的误解 正确认识 为什么 分段函数是几个函数凑成的 它是一个函数，不是几个函数 它只有一个定义域，只是在这个定义域的几段上用了不同的对应关系 定义域就是各段里的某一段 定义域是各段自变量取值范围的并集 x 落在哪一段就用哪一段的式子，段与段之间既不重叠也不遗漏 值域只取其中一段算出的结果 值域是各段算出的函数值的并集 每一段各自能产出一批 y，合起来才是这个函数能出的全部 y 教材 P68 例 6：取两个函数中的较大者 题：给定函数 f(x) = x + 1，g(x) = ，x ∈ R。用 M(x) 表示 f(x) 与 g(x) 中的较大者，记为 M(x) = max{f(x), g(x)}。例如当 x = 2 时，M(2) = max{f(2), g(2)} = max{3, 9} = 9。请用解析法表示函数 M(x)。 规范解答： 两个函数谁大谁小，分界点出现在它们相等的地方。解 = x + 1，移项得 − (x + 1) = 0，提公因式得 (x + 1)(x + 1 − 1) = 0，即 x(x + 1) = 0，所以 x = −1 或 x = 0。这两个点把整个实数轴切成三段，逐个检验： x 落在哪一段 这一段里谁大 M(x) 的表达式 x ≤ −1 g(x) 不小于 f(x)，例如 x = −2 时 g = 1、f = −1 −1 < x ≤ 0 f(x) 不小于 g(x)，例如 x = −0.5 时 f = 0.5、g = 0.25 x + 1 x > 0 g(x) 大于 f(x)，例如 x = 2 时 g = 9、f = 3 所以 M(x) 是一个分段函数：当 x ≤ −1 时 M(x) = ；当 −1 < x ≤ 0 时 M(x) = x + 1；当 x > 0 时 M(x) = 。 方法提炼： 写分段函数的第一步永远是「找分界点」。分界点就是把两个式子令为相等解出来的根，它们把定义域切成几段，然后在每一段里各取一个试验值检验大小关系，最后把结论拼起来。检验这一步不能省——光靠感觉猜谁大，最容易在中间那一段翻车。 教材 P72 习题 2：招手即停的公交车 题：某市「招手即停」公共汽车的票价按下列规则制定：5 公里以内（含 5 公里）票价 2 元；5 公里以上，每增加 5 公里票价增加 1 元（不足 5 公里的按 5 公里计算）。如果某条线路的总里程为 20 公里，请写出票价 y 与里程 x 之间的函数解析式。 规范解答： 里程 x 与票价 y 的对应关系如下表： 里程 x（公里） 票价 y（元） 说明 0 < x ≤ 5 2 起步价 5 < x ≤ 10 3 在 2 元的基础上加 1 元 10 < x ≤ 15 4 在 3 元的基础上再加 1 元 15 < x ≤ 20 5 线路终点，到此为止 方法提炼： 解题时有两处必须回到实际去确认。第一处是定义域的左端：里程不能为 0，不坐车就没有票价，所以定义域是 (0, 20] 而不是 [0, 20]。第二处是分界点的归属：「含 5 公里」说明 5 这个数归第一段，于是第一段写成 0 < x ≤ 5，第二段只能从 5 之后接着写 5 < x ≤ 10。分界点写重或写漏，整个函数的对应关系就乱了。 分段函数的四类常见考法 考法 怎么做 最容易错在哪 求函数值 先看自变量落在哪一段，再代入那一段的式子 代入了错误的段；遇到 f(f(a)) 这种嵌套要从内到外一层层算，每算完一层都要重新判断落点 求解析式 按分界点把定义域切成几段，逐段写出式子，再把各段合起来 分界点归属写重或写漏；各段之间不重叠、不遗漏才是完整的函数 解方程或不等式 按 x 所在的段分情况讨论，每一种情况算完都要检验结果是否落在这一段里 算出结果不检验，把不属于本段的值留下来当答案 实际问题建模 先按实际意义确定分界点，再逐段列出式子，最后回到实际范围检验 忽略实际限制（里程不能为 0、天数必须是整数），把数学解当成了实际解 器末小结：分段函数只有一个定义域。无论是求值、写式、解方程还是建模，第一件事永远是先问一句「现在这个 x 落在哪一段」。 来龙去脉 · 「函数」两个字打磨了一百多年 现在课本上的一句话「对于任意一个 x，都有唯一确定的 y 与之对应」，并不是哪个人一拍脑袋想出来的，它前后打磨了一百多年。 1692 年，德国数学家莱布尼茨（1646—1716）第一次用拉丁词 function 表示「随着曲线上的点变动而变动的量」。那时候函数还附在曲线上，是几何的附属品；它表示的是切线长、纵坐标这类跟着点跑的线段。 1718 年，瑞士数学家约翰·伯努利（1667—1748）给出了第一个正式的定义，强调函数要用公式表示。这条规矩把函数与解析式牢牢绑在了一起，此后很长一段时间，数学家默认「写不出式子的就不是函数」。 1755 年，欧拉（1707—1783）在《微分学》里换了个说法：如果某些量以某种方式依赖于另一些量，当前者变化时后者随之变化，那么前面的量称为后面量的函数。定义里终于出现了「依赖关系」，但欧拉仍然认为这种依赖要能用式子写出来。 1807 年，法国数学家傅里叶（1768—1830）在研究热传导时，用三角级数表示了一类更一般的函数，函数与「必须写成式子」之间的绳索开始松动。二十多年后，罗巴切夫斯基也提出：函数值可以由解析式给出，也可以由条件给出，条件提供了找出对应值的方法就够了。 1837 年，德国数学家狄利克雷（1805—1859）走出了决定性的一步：如果对于 x 的每一个值，总有一个完全确定的值 y 与之对应，那么 y 是 x 的函数。这一句话把「对应」本身放到了函数的中心，能不能写出式子已经不重要了。我们今天所学的函数定义，正是这个意思——只不过又补上了集合的语言：把对应关系说成从集合 A 到集合 B 的确定关系，把「每一个 x」说成「A 中的任意一个数」。 「函数」这个中文名字出自清代数学家李善兰。1859 年，他与英国传教士伟烈亚力合译《代微积拾级》，把 function 译作「函数」——「函」是包含的意思，指一个量里包含着另一个量，一个量随另一个量而变。这个译名一直沿用至今。 收束 · 双集一桥速查卡 遇到要问的事 答法 最容易错在哪 这个对应关系是不是函数 看 A 里每个 x 是否都有 B 中唯一确定的 y 与之对应 只顾着「能不能算出 y」，忘了「一个 x 只能出一个 y」 这个函数的定义域是什么 把式子里所有限制条件找齐再取交集；实际问题还要服从实际背景 分母不为 0 与偶次根式被开方数非负，只找到其中一条 怎么写得更简洁 连续数集用区间，含端点用方括号，含 ∞ 的一侧用小括号 把 [1, 3) 写成 [1, 3]，端点的归属悄悄变了 两个函数是不是一个 先比定义域，定义域相同了再化简式子比对应关系 化简后式子一样就下结论，忽略了定义域里少掉的那个点 碰上分段函数怎么办 先判断 x 落在哪一段，用那一段的式子算 把分段函数当成几个函数，或者漏掉分界点该归给哪一段 一句话记全课：一个 x 只出一个 y，这是函数的底线；定义域、对应关系、值域，前两件人定、第三件算出来；连续数集换区间，左小右大写规矩；分段函数看落点，一段一段各算各的。 过关自测（满分 100 分） 选择题 6 小题，每小题 5 分，共 30 分；填空题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；解答题 3 小题，共 50 分。 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1. 下列对应关系中，能构成从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ） A. A = R，B = R，按对应关系 = x B. A = {1, 2, 3}，B = {1, 4, 9}，按对应关系 y = C. A = R，B = R，按对应关系 y = D. A = {x | x ≥ 0}，B = R，按对应关系 |y| = x 2. 函数 f(x) = 的定义域是（ ） A. [−1, +∞) B. (−1, +∞) C. [−1, 2) ∪ (2, +∞) D. (−1, 2) ∪ (2, +∞) 3. 集合 {x | −1 < x ≤ 3} 用区间表示为（ ） A. [−1, 3] B. (−1, 3) C. [−1, 3) D. (−1, 3] 4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. f(x) = 与 g(x) = B. f(x) = x 与 g(x) = C. f(x) = 与 g(x) = 1 D. f(x) = |x| 与 g(x) = 5. 已知函数 f(x) = 2x + 1，则 f(f(1)) = （ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 函数 y = − 2x 的值域是（ ） A. [−1, +∞) B. [−2, +∞) C. [1, +∞) D. R 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 7. 若 [a, 3a − 1] 是一个确定区间，则实数 a 的取值范围是 ______。 8. 设函数 f(x) 满足：当 x < 0 时，f(x) = x + 1；当 x ≥ 0 时，f(x) = 。则 f(−2) + f(2) = ______。 9. 已知函数 f(x) = + mx + 1，且 f(0) = f(2)，则实数 m = ______。 10. 一个长方形的周长是 20，设它的一边长为 x，面积为 y，则 y 关于 x 的函数解析式是 ______，它的定义域是 ______。 三、解答题（共 50 分） 11.（15 分）求下列函数的定义域： （1）f(x) = ； （2）f(x) = ； （3）f(x) = 。 12.（15 分）某市居民生活用水按阶梯收费：每户每月用水量不超过 10 吨的部分，每吨 2 元；超过 10 吨但不超过 20 吨的部分，每吨 3 元。设某户某月用水量为 x 吨（0 < x ≤ 20），应缴水费为 y 元。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式（用分段形式表示）； （2）若该户某月缴水费 32 元，求该户这个月的用水量。 13.（20 分）已知函数 f(x) = − 2x + 3（0 ≤ x ≤ 3）。 （1）求 f(0)、f(1)、f(3) 的值； （2）求 f(a) 的表达式； （3）求这个函数的值域。 参考答案与解析 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D D C A 解析 1：B 函数要求 A 中每一个 x 都对应 B 中唯一确定的 y。A 项中由 = x 得 y = ±，取 x = 4 时 y 是 2 或 −2，一个 x 派出两个 y，不是函数；B 项中 1、2、3 分别对应 1、4、9，每一个 x 都只有一个 y，是函数；C 项中 x = 0 时 没有意义，A 中的数 0 在 B 中没有对应的数，不是函数；D 项中由 |y| = x 得 y = ±x，取 x = 4 时 y 是 4 或 −4，同样不满足「唯一确定」。 解析 2：C 要使式子有意义，需要两个条件同时成立：偶次根式的被开方数非负，得 x + 1 ≥ 0，即 x ≥ −1；分式的分母不为零，得 x − 2 ≠ 0，即 x ≠ 2。取公共部分得 x ≥ −1 且 x ≠ 2，写成区间是 [−1, 2) ∪ (2, +∞)。选项 A 漏掉了 x ≠ 2 这个条件，是本题最主要的干扰项。 解析 3：D 条件 −1 < x 说明左端点 −1 取不到，用左圆括号；条件 x ≤ 3 说明右端点 3 取得到，用右方括号。所以 {x | −1 < x ≤ 3} = (−1, 3]，是左开右闭的半开半闭区间。 解析 4：D A 项两个函数的定义域都是 R，但对应关系不同：x = 1 时前者是 1、后者是 4，不是同一个函数；B 项前者定义域是 R，而 g(x) = 要求 x ≥ 0，定义域是 [0, +∞)，两边不同；C 项 g(x) = 1 的定义域是 R，而 要求 x ≠ 0，定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)，两边不同；D 项两个函数的定义域都是 R，且当 x ≥ 0 时 = x、当 x < 0 时 = −x，合起来正是 |x|，对应关系完全一致，所以是同一个函数。 解析 5：C 先算内层：f(1) = 2×1 + 1 = 3。再把 3 当作自变量代入：f(3) = 2×3 + 1 = 7。注意 f(f(1)) 表示的是两次使用同一套对应关系，把第一次算出的函数值继续送进机器算第二次，不是相乘。 解析 6：A 配方得 y = − 2x = − 1。平方项 对任意实数 x 都不小于 0，所以 y 不小于 −1；又当 x = 1 时平方项取到 0，此时 y 恰好等于 −1。所以这个函数能取到 −1 及其以上的所有数，值域是 [−1, +∞)。选项 D 错在把值域当成了定义域。 二、填空题答案 7. a > 区间 [a, 3a − 1] 的左端点必须小于右端点，即 a < 3a − 1，移项得 2a > 1，所以 a > 。若 a ≤ ，会出现左端点不小于右端点的情形，那就不成其为区间了。 8. 3 先判断落点：−2 < 0，用第一段的式子，f(−2) = −2 + 1 = −1；2 ≥ 0，用第二段的式子，f(2) = = 4。所以 f(−2) + f(2) = −1 + 4 = 3。 9. −2 f(0) = + m×0 + 1 = 1；f(2) = + 2m + 1 = 5 + 2m。由 f(0) = f(2) 得 1 = 5 + 2m，解得 m = −2。 10. y = x(10 − x)；定义域是 (0, 10) 周长为 20，相邻两边之和就是 10，设一边长为 x，另一边长就是 10 − x，所以面积 y = x(10 − x)。定义域要回到实际：边长必须是正数，所以 x > 0；另一边长也要是正数，所以 10 − x > 0，即 x < 10。两个条件合起来得 0 < x < 10，写成区间是 (0, 10)。若只写 y = x(10 − x) 而丢掉定义域，连 x = 15 都会被当成可以取的值。 三、解答题答案 11.（15 分） （1）需要偶次根式的被开方数非负：x − 1 ≥ 0，即 x ≥ 1；同时分式的分母不为零：x + 3 ≠ 0，即 x ≠ −3。由于 x ≥ 1 时 x ≠ −3 自然成立，这个条件不产生额外的剔除，所以定义域是 [1, +∞)。 （2）需要 4 − x ≥ 0，即 x ≤ 4；同时 x − 1 ≠ 0，即 x ≠ 1。前一个条件是从 −∞ 到 4，后一个条件把 x = 1 这一个点挖掉，所以定义域是 (−∞, 1) ∪ (1, 4]。 （3）只要分母不为零： − 1 ≠ 0，即 ≠ 1，解得 x ≠ 1 且 x ≠ −1。这两个点把实数轴切成了三段，所以定义域是 (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞)。 小结：三个小题都在做同一件事——把式子里的限制条件逐条写成不等式，再取交集。第（1）题的两个条件里有一个自动成立，第（2）（3）题的条件则都真的切掉了一部分，所以结果必须用并集把被挖掉的部分表示出来。 12.（15 分） （1）分界点是 10 吨。逐段写式子： 当 0 < x ≤ 10 时，全部水量都按每吨 2 元计费，所以 y = 2x。 当 10 < x ≤ 20 时，前 10 吨按每吨 2 元收费，是 20 元；超过的 (x − 10) 吨按每吨 3 元收费，是 3(x − 10) 元。两部分相加得 y = 20 + 3(x − 10) = 3x − 10。 所以 y = 2x（0 < x ≤ 10）；y = 3x − 10（10 < x ≤ 20）。 （2）先判断 x 落在哪一段。若 0 < x ≤ 10，则 y = 2x ≤ 20，最多只能缴 20 元，达不到 32 元，所以 x 必定在 10 < x ≤ 20 这一段。解 3x − 10 = 32，得 3x = 42，x = 14。检验：10 < 14 ≤ 20，符合这一段的范围，所以这个解是有效的。 答：该户这个月的用水量是 14 吨。验证一下：14 吨里前 10 吨缴 20 元，后 4 吨缴 3×4 = 12 元，合计 32 元，与题意相符。 13.（20 分） （1）f(0) = − 2×0 + 3 = 3；f(1) = − 2×1 + 3 = 1 − 2 + 3 = 2；f(3) = − 2×3 + 3 = 9 − 6 + 3 = 6。 （2）把式子里的 x 整体换成 a，得 f(a) = − 2a + 3。这里 a 只是一个字母，写法与 f(x) 完全一样，也可以写成 f(t)、f(m)，表示的是同一套对应关系。 （3）配方得 f(x) = − 2x + 3 = + 2。因为定义域是 0 ≤ x ≤ 3，平方项 的最小值出现在 x = 1 处，等于 0。 再看平方项能大到什么程度：x = 1 到定义域两个端点的距离分别是 1 和 2，距离越大平方越大，所以当 x = 3（离 1 距离是 2）时平方项达到最大，等于 4。又因为 随 x 变动时是连续变化的，中间的每个值都能取到，所以 0 ≤ ≤ 4。 于是 2 ≤ f(x) ≤ 6，这个函数的值域是 [2, 6]。 提醒：如果不先看定义域 0 ≤ x ≤ 3，直接说平方项不小于 0，就会误得值域是 [2, +∞)——那是把定义域当成全体实数才会有的结论。值域由定义域与对应关系共同决定，两件都不能少。 学科网（北京）股份有限公司 $