第十五讲 指数函数的图象和性质 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦指数函数的图象和性质，引导学生用描点法或计算工具画出图象，衔接函数概念，为单调性、特殊点等性质探究搭建学习支架。 资料通过定义辨析、定点问题、图象单调性等分层题型，结合分类讨论、图象规律等技巧，培养学生数学思维与应用意识，助力系统掌握知识，提升解题能力。

第十五讲 指数函数的图象和性质 【学习目标】能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 【学习重点】指数函数的图象与性质． 【学习难点】指数函数性质的理解． 必掌握知识点 1.指数函数的图象和性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 2.指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与 的图象关于轴对称． 必考题型全归纳 题型一：指数函数的定义 形如（且）叫做指数函数。 1.底数要求：且； 2.指数只能是自变量，系数必须为； 3.定义域，值域，图像全部在轴上方。 判断题常见坑： 不是指数函数（系数不为 1）；不是指数函数（底数为负）。 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）函数是指数函数．( ) （2）指数函数中，可以为负数．( ) （3）指数函数的图象一定在轴的上方．( ) （4）函数的定义域为．( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 【分析】根据指数函数的定义可判断（1）（2），根据指数函数的基本性质可判断（3）（4）. 【详解】对于（1），函数不是指数函数，（1）错； 对于（2），指数函数中，且，（2）错； 对于（3），指数函数的图象一定在轴的上方，（3）对； 对于（4），函数的定义域为，（4）错. 故答案为：（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）错误. 2．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点.题型二：指数函数过定点问题 对，无论取何有效值，当时，，恒过定点。 变形函数求定点步骤： 1.令指数部分，解出； 2.将代入，算出对应的；得到定点，定点与底数无关。 常考综合：定点坐标代入直线方程，再用基本不等式求最值。 3．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 4（多选）．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 5．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 6．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立， 因此恒过定点； 对于函数（且），令，代入得， 该结果与参数a的取值无关，因此函数的图象恒过定点A，坐标为. 题型三：指数函数图像与单调性 1.当：函数在上单调递增；；。 2.当：函数在上单调递减；；。 图像规律： 全部过；值域恒大于 0； ，底数越大，图像越靠上；，底数越小，图像越靠下。 图像题型：识别图像、比较底数大小、平移变换后的图像判断。 7．函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 8．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 9．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 10（多选）．已知，则指数函数的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】根据指数函数的性质判断即可； 【详解】因为选项中函数单调性相同，所以或， 当，则当时，， 即指数函数①的图象在②的图象的上方，A选项正确，B选项错误； 当，则当时，， 即指数函数①的图象在②的图象的下方，D选项正确，C选项错误； 故选：AD. 题型四：指数型分段函数的单调性 分段函数在全体实数上单调递增（递减），要同时满足 3 个条件： 1.每一段自身是单调增（减）； 2.指数部分底数满足对应条件； 3.分段交界处，左边的终点值 ≤（递增） / ≥（递减）右边起点值（衔接点一定要比较大小，极易漏）。 易错：只看每一段单调，忽略分段点处函数值的大小关系 11．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和二次函数性质，根据分段函数单调性求出各段所满足的条件即可. 【详解】根据题意若函数为单调递增，可得； 若函数为单调递增，可得，即； 若保证在R上单调递增,还需满足，解得； 综上可得，a的取值范围为. 故选：D 12．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 题型五：指数函数与基本不等式综合 两类考法： 1.指数函数定点落在直线，得到线性等式，利用 “1 的代换” 求等代数式最小值； 2.换元之后得到正数变量，用基本不等式求最值，注意一正二定三相等。 13（多选）．已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过指数运算性质，极限思想求解. 【详解】已知，，令， 则，即， 若，则，，，，则，，此时存在实数m，n满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项正确； 若，，则满足，但，选项错误； 由可知，则，由解得，因为，故，即，选项正确； 若时，，选项错误. 巩固提升： 1．已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元后利用基本不等式求解即可. 【详解】换元转化令，由指数函数性质得，原函数可转化为二次函数： 恒成立等价于对任意恒成立， 分离参数求范围对（）移项得：对任意恒成立， 因此只需， 对有： 当且仅当即时取等号，因此， 即，故的取值范围是. 2（多选）．已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而利用的单调性得到，即可得解. 【详解】由指数函数图象可知：， A错误， D正确； 因为在定义域上单调递增，且，所以，B错误，C正确. 故选：CD. 3．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 4．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 5．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 6．将函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为____________，的最大值为____________. 【答案】 3 3 【分析】先得到变换后的函数解析式，得到对恒成立，先分和两种情况求出，再检验，时成立， 即可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为， 因为的函数图象位于图象的上方，所以对于恒成立， 即， 则对恒成立， 令， 若，则， 则对于恒成立， 因为单调递增，所以，所以， 若，则，恒成立， 故， 当时，且时， 则， 由于在上单调递增，所以恒成立， 所以实数的取值范围是， 故的一个取值为3，的最大值为3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五讲 指数函数的图象和性质 【学习目标】能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 【学习重点】指数函数的图象与性质． 【学习难点】指数函数性质的理解． 必掌握知识点 1.指数函数的图象和性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 2.指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时,，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 必考题型全归纳 题型一：指数函数的定义 形如（且）叫做指数函数。 1.底数要求：且； 2.指数只能是自变量，系数必须为； 3.定义域，值域，图像全部在轴上方。 判断题常见坑： 不是指数函数（系数不为 1）；不是指数函数（底数为负）。 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）函数是指数函数．( ) （2）指数函数中，可以为负数．( ) （3）指数函数的图象一定在轴的上方．( ) （4）函数的定义域为．( ) 2．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 题型二：指数函数过定点问题 对，无论取何有效值，当时，，恒过定点。 变形函数求定点步骤： 1.令指数部分，解出； 2.将代入，算出对应的；得到定点，定点与底数无关。 常考综合：定点坐标代入直线方程，再用基本不等式求最值。 3．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 4（多选）．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 6．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 题型三：指数函数图像与单调性 1.当：函数在上单调递增；；。 2.当：函数在上单调递减；；。 图像规律： 全部过；值域恒大于 0； ，底数越大，图像越靠上；，底数越小，图像越靠下。 图像题型：识别图像、比较底数大小、平移变换后的图像判断。 7．函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   8．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10（多选）．已知，则指数函数的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   题型四：指数型分段函数的单调性 分段函数在全体实数上单调递增（递减），要同时满足 3 个条件： 1.每一段自身是单调增（减）； 2.指数部分底数满足对应条件； 3.分段交界处，左边的终点值 ≤（递增） ≥（递减）右边起点值（衔接点一定要比较大小，极易漏）。 易错：只看每一段单调，忽略分段点处函数值的大小关系 11．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 题型五：指数函数与基本不等式综合 两类考法： 1.指数函数定点落在直线，得到线性等式，利用 “1 的代换” 求等代数式最小值； 2.换元之后得到正数变量，用基本不等式求最值，注意一正二定三相等。 13（多选）．已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．已知函数 ，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（多选）．已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 4．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 5．已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 6．将函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为____________，的最大值为____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $