2.1.2分式及其基本性质 同步作业 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

2.1.2 分式及其基本性质 同步作业 一、分式的基本性质与等式变形 分式基本性质：分子分母同乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式值不变；挖掘隐含”不等于0”条件 1. 在括号内填入适当的整式，使分式值不变：，括号内应填入＿＿＿。 2. 若 ，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）； （3）； （4）。 5. 对分式 的变形，甲、乙两位同学分别给出如下解法： 甲：； 乙：。 请判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由。 二、分式化简（约分） 单项式约分、多项式先因式分解再约分、分数系数化整、互为相反数因式处理 1. 约分 。 2. 约分 。 3. 约分 。 4. 约分 。 5. 化简： ______ 6. 不改变分式的值，把分式 的分子、分母中各项系数都化为整数。 7. 不改变分式的值，把分式 的分子、分母中各项系数都化为整数。 8. 先化简分式 ，再讨论：当整数 取何值时，能使分式的值是正整数？ 9. 先化简，再求值：，其中 ，。 三、最简分式的判断 判断分子分母是否还有公因式；易错：未约干净 1. 下列分式中，最简分式是（ ） A. 　B. 　C. 　D. A. ，不是最简； B. 分子分母没有公因式，是最简分式； C. ，不是最简； D. ，不是最简。 2. 下列各式是最简分式的是（ ） A. 　B. 　C. 　D. A. ，不是最简； B. ，不是最简； C. 分子分母没有公因式，是最简分式； D. ，不是最简。 3. 下列约分正确的是（ ） A. 　B. 　C. 　D. 4. 在化简分式 时，小红和小明分别得出了如下不同的结果： - 小红：； - 小明：。 你对他们的解法有何看法？谁对谁错？ 四、分式的符号变化 “三变二值不变”：分子、分母、分式本身三处符号，改变其中两处，分式值不变 1.根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不改变分式的值，使分式 的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ） A. B. C. D. 5. 填上分母，使等式成立： 五、化简求值 先约分再代入；含互为相反数因式、负号处理、比例关系代入 1. 先约分，再求值：，其中 ，。 2. 若 ，则计算 的结果是________。 3. 先化简分式 ，再判断：当整数 取何值时，分式的值是正整数？ 4. 化简下列分式：。 参考答案与解析 一、分式的基本性质与等式变形 1. 【答案】 【解析】 分母由 变为 ，即分母乘了 ；根据分式基本性质，分子也要同乘 ，故 。题中已注明 ，体现”同乘同一非零整式”的前提条件。 2. 【答案】 D 【解析】 由 知：，A 错；，B 错；，C 错； 是分子、分母同除以 （非零），值不变，等于 ，D 正确。本题考查”分子分母同乘/同除同一非零整式值不变”，A、B 是”同加/同减”的典型错误干扰项。 3. 【答案】 D 【解析】 A：分子分母同时加 1，分式值一般改变，错；B：（分子分母同变号），原式写成 错误，为符号法则干扰项；C：，错；D： 分子分母同除以 （），得 ，正确。 4. 【答案】 （1）将左边分式的分子与分母都乘以 （已注明 ）； （2）将左边分式的分子与分母都除以 ； （3）将左边分式的分子与分母都乘以 （已注明 ）； （4）将左边分式的分子与分母都除以 （）。 【解析】 观察每一分式分子、分母的变化倍数，依据”分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变”作答。其中（1）（3）属于课本例 2”“的同乘型变式，（2）（4）属于同除（约分）型变式。 5. 【答案】 甲同学的解法正确；乙同学的解法不正确。 【解析】 甲同学约去的是分母中已有的因式 ，而原式有意义即隐含 ，故同除以 合法；乙同学在分子、分母上同乘的是 ，而 并非分母中已有的因式，它可能等于 （当 时），违反了”同乘的整式必须不等于 0”这一前提，故乙同学的解法不正确。 二、分式化简（约分） 1. 【答案】 【解析】 先确定系数最大公因数 ，再取相同字母最低次幂 为公因式： 2. 【答案】 【解析】 分子用平方差、分母用完全平方公式先分解： 3. 【答案】 （即 ） 【解析】 分子先提取公因式再用完全平方公式： 4. 【答案】 【解析】 分子提取公因式 ： 5. 【答案】 ** 【解析】 分子用完全平方公式分解：（平方后符号消失）。 分母用平方差公式分解：。 约去公因式 ： 6. 【答案】 【解析】 分子、分母同乘 （ 与 化为整数所需最小公倍数）： 7. 【答案】 【解析】 分子、分母同乘 （ 的最小公倍数）： 8. 【答案】 化简结果为 ；当 时，分式的值为正整数。 【解析】 要使 为正整数，需 是 的正约数：，即 。 9. 【答案】 化简为 ；原式 。 【解析】 分母是完全平方式： 代入 ，：，原式 。 三、最简分式的判断 1. 【答案】 B 2. 【答案】 C 3. 【答案】 D 4. 【答案】 小明正确，小红约分不彻底。 【解析】 小红只约去了分子分母中的 ，得到 ，但分子、分母中仍有公因式 ，没有约干净；小明找出了全部公因式 ： 结果 的分子、分母已没有公因式，是最简分式。约分一般要约去分子和分母所有公因式，使结果成为最简分式或整式。 四、分式的符号变化 1. 【答案】 B 【解析】 符号法则：分子、分母、分式本身三处符号，改变其中两处值不变。 - A：只改变分式本身符号，得 ，错； - B：分子、分母同时变号（改变两处），，正确； - C：只改变分母符号，，错； - D：，错。 2. 【答案】 C 【解析】 A：，错；B：，错；C：分母带负号，把它提到分式本身前：（改变分母与分式本身两处符号），正确；D： 不能约分，错。 3. 【答案】 C 【解析】 A：分子分母同减 2，值一般改变，错；B：，错；C：（同除非零整式 ），正确；D：，而选项写成 ，分母括号变号漏项，符号变形错误。 4. 【答案】 B 【解析】 分子、分母同乘 （改变两处符号，值不变），并注意添括号变号： 。 分子最高次项 变正，分母最高次项 变正；括号前添”“时括号内各项要变号，故选 B。 5. 【答案】 【解析】 左边分子 变为右边分子 ，是乘了 （变号一处）。为保持分式值不变，分母必须同步乘 ：。即”分子变号、分母同步变号”，变两处，值不变。 五、化简求值 1. 【答案】 【解析】 先分别对分子、分母因式分解： 分子 ； 分母 。 约去公因式 ，得 。 代入 ，： 原式 。 2. 【答案】 【解析】 由 得 ，即 。 先约分：（）。 代入 ：。 3. 【答案】 当 或 时，分式的值是正整数（ 时值为 ； 时值为 ）。 【解析】 （）。 要使 为正整数，需 是 的正因数。 当 时，原式 ；当 时，原式 。 故整数 或 。 4. 【答案】 【解析】 分子用平方差公式、分母用完全平方公式分解： 。 学科网（北京）股份有限公司 $