2.4.2分式方程 同步作业 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 练习以分式方程解法为核心，分层设计从基础计算到综合应用，覆盖增根、无解等核心考点，梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础型|基本解法、含整式项、分母互为相反数|直接应用去分母步骤，巩固运算能力，体现转化思想| |提高型|增根求参数、解的正负范围|结合分类讨论，强化逻辑推理，发展推理意识| |综合型|新定义运算、解法正误辨析|创新情境与易错点分析，培养创新意识与批判性思维|

2.4.2 分式方程 同步作业 一、解分式方程（计算） 去分母→解整式方程→检验；含分母互为相反数、可分解二次分母、增根取舍 （一）基本型——两边均为分式，直接交叉相乘或一次去分母 1. 解方程 2. 解方程 （二）含整式项型——方程一侧为常数/整式，去分母时常数项也要乘最简公分母 1. 解方程 2. 解方程 3. 解方程 。 （三）分母互为相反数型——出现 (a−b) 与 (b−a)，需先统一符号再去分母 1. 解方程 。 2. 解方程 （四）需先因式分解型——分母含平方差，先分解再找最简公分母 1. 解方程 。 2. 解方程 （五）综合提高型——因式分解+整式项/相反数，含增根、无解、根的取舍 1. 解方程 。 2. 解方程 。 （六）新定义运算/阅读理解型 1. 对于实数 、，定义新运算“”为 （如 ）。解方程 。 二、增根相关问题 增根的概念与产生原因；已知有增根求参数值；解后判断增根 （一）增根的概念与判断 1. 若关于 的分式方程 （ 为常数）有增根，则增根是 ______。 2. 解方程：，并指出所得的根是否为增根。 （二）有增根求参数——去分母→令最简公分母为0→代入求参 1. 若关于 的分式方程 有增根，则 ______。 2. 关于 的分式方程 有增根，则 ______。 3. 若关于 的分式方程 有增根，则 的值是 ______。 （三）有增根求参数值（含相反数分母/多增根分类讨论） 1. 关于 的方程 有增根，则 的值是 ______。 2. 已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ______。 三、分式方程无解问题 已知分式方程无解求参数值/取值范围（含整式方程无解、增根两种情形） （一）无解的两种情形——整式方程本身无解 ∪ 解为增根，需分类讨论 1. 若关于 的方程 无解，则 的值为（　） A. 　　B. 或 　　C. 或 　　D. 或 2. 若关于 的方程 无解，则 的值为（　） A. 　　B. 或 　　C. 　　D. 或 3. 如果关于 的方程 无解，则 的值为＿＿＿。 （二）含平方差分母的多值无解——增根可能为两个值，需逐一代入 1. 关于 的分式方程 无解，则 的值为＿＿＿。 2. 若关于 的分式方程 无解，则 的值为＿＿＿。 四、已知解为正/负求参数取值范围 解为正数/负数/非负，求参数范围；须同时排除增根 （一）已知解为正数——解出x>0，同时排除使分母为零的参数值 1. 若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是＿＿＿。 2. 若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是（　） A. 　　B. 　　C. 且 　　D. 且 3. 若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是＿＿＿。 （二）已知解为负数——解出x<0，同时排除增根对应的参数值 1. 已知关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围是＿＿＿。 2. 若分式方程 的解为负数，则 的取值范围是（　） A. 且 　　B. 且 　　 C. 且 　　D. 且 （三）已知解为非负数——解出x≥0，同时排除增根对应的参数值 1. 若关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是（　） A. 且 　　B. 且 　　C. 且 　　D. 且 2. 关于 的方程 的解为非负数，则 的取值范围是＿＿＿。 五、解法正误判断与易错辨析 给出同学解题过程指出错误、漏乘常数项、漏检验、两人解法分类讨论辨析 1. 以下是小明同学解方程 的过程： 解：方程两边同时乘 ，得 ， ……第一步 解得 ， ……第二步 检验：当 时，，……第三步 所以，原分式方程的解为 。 ……第四步 ① 小明的解法从第 ___ 步开始出现错误；出错的原因是 ___。 ② 解分式方程的思想是利用 的数学思想，把分式方程化为整式方程。 A. 数形结合　B. 特殊到一般　C. 转化　D. 类比 ③ 写出解方程 的正确过程。 2. 在解分式方程 时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘 ，得 ，……第一步 解这个整式方程得：。……第二步 任务一：填空。 在上述小亮所解方程中，第 ___ 步有错，错误的原因是：___。 任务二：请写出解这个方程的正确过程。 任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项再提出一条建议。 3. “若关于 的方程 无解，求 的值。” 尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖：去分母得 ， 移项得 ， 合并同类项得 。 原方程无解， ， 。 丹丹：去分母得 ， 移项、合并同类项得 ， 解得 。 原方程无解， 为增根， ，解得 ， ，解得 。 下列说法正确的是（ ） A. 尖尖对，丹丹错 B. 尖尖错，丹丹对 C. 两人都对 D. 两人的答案合起来才对 参考答案与解析 一、解分式方程（计算） （一）基本型——两边均为分式，直接交叉相乘或一次去分母 1. 【答案】 【解析】 两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 2. 【答案】 【解析】 两边同乘 ，得 ，即 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 （二）含整式项型——方程一侧为常数/整式，去分母时常数项也要乘最简公分母 1. 【答案】 【解析】 方程即 。两边同乘 ，得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 2. 【答案】 【解析】 两边同乘 ，得 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 3. 【答案】 【解析】 最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，去括号 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，，故 是原方程的解。 （三）分母互为相反数型——出现 与 ，需先统一符号再去分母 1. 【答案】 【解析】 注意 ，最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，去括号 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 2. 【答案】 【解析】 注意 ，最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 （四）需先因式分解型——分母含平方差，先分解再找最简公分母 1. 【答案】 【解析】 ，最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，去括号 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 2. 【答案】 【解析】 ，最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，去括号 ，化简得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 （五）综合提高型——因式分解·整式项·相反数，含增根、无解、根的取舍 1. 【答案】 【解析】 最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，去括号 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 2. 【答案】 【解析】 ，最简公分母为 。两边同乘 ，得 ，去括号 ，整理得 ，即 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 （六）新定义运算/阅读理解型 1. 【答案】 【解析】 由定义得 ，原方程化为 。两边同乘 ，得 ，解得 。检验：当 时，，故 是原方程的解。 二、增根相关问题 （一）增根的概念与判断——求增根是谁、解方程后指出增根 2. 【答案】 【解析】 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0。令最简公分母 ，得 ，故增根为 。注意：本题只问”增根是谁”，不需代入求 。 3. 【答案】 是增根，原方程无解 【解析】 。去分母，两边同乘 ，得 即 ，解得 。 检验：当 时，，使原分式分母为 0，故 是增根，原方程无解。 （二）有增根求参数值（基础·单增根）——去分母→令最简公分母为0→代入求参 1. 【答案】 【解析】 去分母，两边同乘 ，得 ，即 。由方程有增根知 ，即 。代入 ，得 ，故 。 2. 【答案】 【解析】 注意 。去分母，两边同乘 ，得 ，即 。由方程有增根知 ，即 。代入 ，得 。 3. 【答案】 【解析】 去分母，两边同乘 ，得 ，即 。由方程有增根知 ，即 。代入 ，得 。 （三）有增根求参数值（提高·含相反数分母/多增根分类讨论） 1. 【答案】 【解析】 注意 。去分母，两边同乘 ，得 ，即 。由方程有增根知 ，即 。代入 ，得 。 2. 【答案】 或 （即 或 ） 【解析】 最简公分母为 。去分母，两边同乘 ，得 ，即 。 增根可能为 或 ： - 把 代入 ，得 ，； - 把 代入 ，得 ，。 故 或 。 三、分式方程无解问题 （一）无解的两种情形——整式方程本身无解 ∪ 解为增根，需分类讨论 1. 【答案】 B 【解析】 去分母：，整理得 。无解分两种情况：①整式方程无解，，即 ；②解为增根 （使 ），代入 ，得 。综上 或 。 2. 【答案】 D 【解析】 去分母（两边同乘 ）：，整理得 。无解分两种情况：①整式方程无解， 且 ，即 ；②解为增根，增根可能是 或 。 时 不成立； 代入 ，得 。综上 或 。 3. 【答案】 或 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。无解分两种情况：①整式方程无解，，即 ；②解为增根 ，代入 ，得 。综上 或 。 （二）含平方差分母的多值无解——增根可能为两个值，需逐一代入 1. 【答案】 或 或 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。①整式方程无解：，即 ；②增根为 。当 时，，；当 时，，。综上 或 或 。 2. 【答案】 或 或 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。①整式方程无解：，即 ；② 为增根，令 。：，；：，。综上 或 或 。 四、已知解为正/负求参数取值范围 （一）已知解为正数——解出x>0，同时排除使分母为零的参数值 1. 【答案】 且 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。解为正数：，得 ；又分母不为零 ，即 ，得 。故 且 。 2. 【答案】 D 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。解为正数：，得 ；又 （分母不为零），即 ，得 。故选 D。 3. 【答案】 且 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。解为正数：，得 ；又分母不为零 ，即 ，得 。 （二）已知解为负数——解出x<0，同时排除增根对应的参数值 1. 【答案】 且 【解析】 两边同乘 ：，解得 。解为负数：，得 ；又分母不为零 且 ，即 （，已含于 ）与 （）。故 且 。 2. 【答案】 D 【解析】 去分母（两边同乘 ）：，解得 。解为负数：，得 ；又分母不为零 ，即 ，得 。故选 D。 （三）已知解为非负数——解出x≥0，同时排除增根对应的参数值 1. 【答案】 A 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。解为非负数：，得 ；又分母不为零 ，即 ，得 。故选 A。 2. 【答案】 且 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。解为非负数：，得 ；又分母不为零 ，即 ，得 。故 且 。 3. 【答案】 且 【解析】 注意 ，两边同乘 ：，整理得 。解为非负数：，得 ；又分母不为零 ，即 ，得 。 五、解法正误判断与易错辨析 1. 【答案】 ① 一；去分母时常数项 漏乘 。 ② C（转化思想）。 ③ 正确过程：方程两边同时乘 ，得 ，去括号、移项、合并得 ；检验：当 时，，所以原分式方程的解为 。 【解析】 易错点：去分母时右边的常数项 也必须乘最简公分母 ，否则会导致符号/系数错误。 2. 【答案】 任务一：一；去分母时常数项 没有乘 。 任务二：方程两边同时乘 ，得 ，解得 ；经检验，当 时，， 是增根，所以原分式方程无解。 任务三：解分式方程一定要检验（或：去分母时注意括号前面的负号要变号）。 【解析】 本题与题10形似但结果不同：本题右边分母为 ，去分母后正确解得 ，恰为增根，原方程无解——警示学生即使计算正确也必须检验。 3. 【答案】 D 【解析】 分式方程无解有两种情形：① 去分母后的整式方程本身无解（一次项系数为 0 且常数项不为 0），即 ，得 ；② 整式方程有解，但解是增根，即 使 ，代入得 。两种情形都要讨论，故 或 ，两人各自只说对了一半，合起来才完整。 学科网（北京）股份有限公司 $