2026-2027学年北师大八年级上册第一次月考数学模拟试卷

2026—2027 学年第一学期八年级数学第一次月考试卷 考试范围：北师大版八年级上册第一章《勾股定理》、第二章《实数》（参照 2023—2025 年福建省中考数学试卷命制） 满分：150 分 考试时间：120 分钟 班级：____________　　姓名：____________　　座号：______　　成绩：____________ 注意事项：全卷共三个大题 25 个小题；解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） 　A. 3.14　　B. 　　C. 　　D. 22/7 2. 4 的算术平方根是（　　） 　A. ±2　　B. 2　　C. −2　　D. 3. 估计 的值在（　　） 　A. 1 和 2 之间　　B. 2 和 3 之间　　C. 3 和 4 之间　　D. 4 和 5 之间 4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。若 AC = 5，BC = 12，则 AB 的长为（　　） 　A. 13　　B. 14　　C. 15　　D. 17 5. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） 　A. x ≥ 2　　B. x ＞ 2　　C. x ≤ 2　　D. x ＜ 2 6. 下列计算正确的是（　　） 　A. + = 　　B. 2 + 3 = 5 　C. × = 4　　D. = −3 7. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） 　A. 1，2，3　　B. 4，5，6　　C. 6，8，10　　D. 5，11，12 8. −8 的立方根是（　　） 　A. −2　　B. 2　　C. ±2　　D. 不存在 9. 已知一个直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则第三边长为（　　） 　A. 10　　B. 2　　C. 10 或 2　　D. 14 10. 如图，第 1 个正方形的边长为 1；第 2 个正方形以第 1 个正方形的对角线为边；第 3 个正方形以第 2 个正方形的对角线为边……依此规律继续作下去，则第 10 个正方形的面积为（　　） 　A. 2⁸　　B. 2⁹　　C. 2¹⁰　　D. 2¹¹ 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案填在题中横线上。 11. 的平方根是＿＿＿＿＿。 12. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 9，BC = 12，则斜边 AB 上的高为＿＿＿＿＿。 13. 计算： − =＿＿＿＿＿。 14. 比较大小：2＿＿＿＿＿3（填“＞”“＜”或“=”）。 15. 如图，圆柱的底面周长为 24 cm，高为 5 cm。在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想从点 A 沿圆柱侧面爬行到上底面上与 A 相对的点 B 处（即点 A、B 在同一轴截面上且分居圆柱两侧），则蚂蚁爬行的最短路程为＿＿＿＿＿cm。（右图为其侧面展开图） 16. 在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC 边上的高 AD = 12，则 BC 的长为＿＿＿＿＿。 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（8 分）计算： 　(1) + (−2)² − + |1 − |； 　(2) ( + 1)( − 1) − ÷ . 解： 18.（8 分）已知 2a − 1 的平方根是 ±3，3a + b − 9 的立方根是 2。 　(1) 求 a，b 的值； 　(2) 求 a + 2b 的算术平方根。 解： 19.（8 分） 　(1) 计算： − 3 + (1/2)； 　(2) 先化简，再求值：x² + 2x + 2，其中 x = − 1。 解： 20.（8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上。 　(1) 直接写出 AB，BC，AC 的长； 　(2) 判断 △ABC 的形状，并说明理由； 　(3) 求 △ABC 的面积。 解： 21.（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13。求四边形 ABCD 的面积。 解： 22.（10 分）一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，梯子底端 B 到墙脚 C 的距离为 0.7 m。 　(1) 求梯子顶端 A 到地面的距离； 　(2) 如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m（即梯子顶端到达点 A′），那么梯子底端将向外滑动多少米？ 解： 23.（10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处。已知 AB = 8，BC = 10。 　(1) 求 BF 的长； 　(2) 求 EC 的长。 解： 24.（12 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，且 b ＜ c ＜ 0 ＜ a。 　(1) 用“＞”“＜”或“=”填空：a − b＿＿0；　c − a＿＿0；　b − c＿＿0； 　(2) 化简：|a| + |a − b| + |c − a| + 。 解： 25.（14 分）我国古代数学家赵爽利用“弦图”巧妙地证明了勾股定理。如图，用 4 个全等的直角三角形拼成一个大正方形 ABCD，两直角边长分别为 a，b（b ＞ a），斜边长为 c，中间恰好留出一个小正方形 EFGH。 　(1) 用两种不同的方法表示大正方形 ABCD 的面积，证明：a² + b² = c²； 　(2) 若大正方形的面积为 169，小正方形的面积为 49，求 a + b 的值。 解： 参考答案与评分标准 说明：以下给分点为参考，学生用其他正确解法同样给分；只写出最后结果而无必要过程，酌情扣分。 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A A C C A C B 考点 无理数 算术平方根 估算 勾股定理 二次根式意义 根式运算 勾股数 立方根 分类讨论 规律探究 易错提示：第 1 题 = 3 是有理数；第 2 题“4 的算术平方根”是 2，“4 的平方根”才是 ±2；第 8 题负数没有平方根但有立方根；第 9 题须分 8 是直角边与 8 是斜边两类讨论。 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 ±2 36/5（7.2） ＞ 13 14 或 4 考点 平方根 面积法求高 根式化简 实数比大小 最短路径 分类讨论 易错提示：第 11 题 = 4，再求 4 的平方根得 ±2，切勿只填 2 或填 ±4；第 16 题须分高 AD 在三角形内部与外部两种情况。 三、解答题（共 86 分） 17.（8 分）计算（对标 2025 年福建卷第 17 题：实数混合运算） (1) 原式 = 2 + 4 − (−3) + ( − 1) （3 分，每化简正确两项得 1 分） = 8 + （1 分） (2) ( + 1)( − 1) = 5 − 1 = 4（2 分）； ÷ = = 2（1 分），原式 = 4 − 2 = 2（1 分） 18.（8 分）平方根与立方根的定义 (1) 由 2a − 1 的平方根是 ±3 得 2a − 1 = 9（2 分），a = 5（1 分）；由 3a + b − 9 的立方根是 2 得 3a + b − 9 = 8（2 分），b = 2（1 分） (2) a + 2b = 9（1 分），9 的算术平方根是 3，故 a + 2b 的算术平方根为 3（1 分） 19.（8 分）二次根式的化简与求值 (1) = 4，3 = 3 × (/3) = ，(1/2) = （各 1 分），原式 = 4 − + = 4（1 分） (2) x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1（2 分）；当 x = − 1 时，原式 = ()² + 1 = 4（2 分）（直接代入展开同样给分） 20.（8 分）网格中的勾股定理与逆定理（福建中考常考“网格”题型） (1) AB = = ，BC = = ，AC = = （各 1 分） (2) △ABC 是等腰直角三角形（1 分）；因为 AB² = 10，AC² + BC² = 5 + 5 = 10，即 AB² = AC² + BC²，由勾股定理的逆定理得 ∠ACB = 90°，又 AC = BC，故为等腰直角三角形（2 分） (3) S = (1/2) × × = 5/2（2 分，算式 1 分，结果 1 分） 21.（8 分）勾股定理及其逆定理的综合应用 连接 AC（1 分）；Rt△ABC 中，AC = = = 5（2 分）；在 △ACD 中，AC² + CD² = 25 + 144 = 169 = 13² = AD²（2 分），由勾股定理的逆定理得 ∠ACD = 90°（1 分）；S = (1/2)×3×4 + (1/2)×5×12 = 6 + 30 = 36（2 分） 22.（10 分）梯子滑动问题（福建中考“实际应用”常考题型） (1) AC = = = （3 分） = 2.4 m（2 分） (2) 下滑后 A′C = 2.4 − 0.4 = 2.0 m（1 分），B′C = = = （3 分），BB′ = 1.5 − 0.7 = 0.8 m（1 分） 23.（10 分）矩形中的折叠问题（本章高频综合题） (1) 由折叠得 AF = AD = BC = 10（2 分），Rt△ABF 中 BF = = = = 6（2 分） (2) FC = 10 − 6 = 4（1 分）；设 EC = x，则 EF = DE = 8 − x（2 分）；在 Rt△EFC 中 x² + 4² = (8 − x)²（2 分），解得 x = 3，即 EC = 3（1 分） 24.（12 分）数轴、绝对值与 = |a|（实数核心性质综合） (1) 由 b ＜ c ＜ 0 ＜ a 得：a − b ＞ 0，c − a ＜ 0，b − c ＜ 0（每空 2 分，共 6 分） (2) 原式 = |a| + |a − b| + |c − a| + |b − c|（1 分） = a + (a − b) + (a − c) + (c − b)（4 分，每项 1 分） = 3a − 2b（1 分） 25.（14 分）赵爽弦图与勾股定理的证明（北师大版第 1 章阅读材料，压轴题） (1) 大正方形边长为 c，S = c²（2 分）；又 S = 4 × (1/2)ab + (b − a)²（2 分），所以 c² = 2ab + b² − 2ab + a² = a² + b²，即 a² + b² = c²（2 分） (2) c² = 169，(b − a)² = 49（2 分）；由 a² + b² = 169 及 a² + b² − 2ab = 49 得 2ab = 120（3 分）；(a + b)² = a² + b² + 2ab = 289（2 分）；因 a + b ＞ 0，故 a + b = = 17（1 分）（讲评拓展：此时 a = 5，b = 12，c = 13，恰为一组勾股数） 四、命题双向细目表 题号 考查内容（对应教材章节） 题型 难度 分值 1 无理数的识别（2.1 认识无理数） 选择 易 4 2 算术平方根的概念（2.2 平方根） 选择 易 4 3 无理数的估算（2.4 估算） 选择 易 4 4 勾股定理求斜边（1.1 探索勾股定理） 选择 易 4 5 二次根式有意义的条件（2.7 二次根式） 选择 易 4 6 二次根式运算辨析（2.7 二次根式） 选择 中 4 7 勾股数的识别（1.1） 选择 易 4 8 立方根的概念（2.3 立方根） 选择 易 4 9 勾股定理（分类讨论） 选择 中 4 10 勾股定理 + 探索规律（1.1、2.1） 选择 中 4 11 的平方根（2.2 平方根） 填空 易 4 12 斜边上的高（面积法 + 勾股定理，1.1） 填空 中 4 13 二次根式加减化简（2.7） 填空 易 4 14 实数比较大小（2.6 实数） 填空 中 4 15 圆柱侧面展开最短路径（1.3 勾股定理的应用） 填空 中 4 16 双直角三角形模型（分类讨论，1.3） 填空 中偏难 4 17 实数混合运算（2.6、2.7） 解答 易 8 18 平方根、立方根、算术平方根的定义（2.2、2.3） 解答 易 8 19 二次根式化简、整体代入求值（2.7） 解答 易偏中 8 20 网格中勾股定理、逆定理与面积（1.1、1.2） 解答 中 8 21 勾股定理 + 逆定理求四边形面积（1.1、1.2） 解答 中 8 22 梯子滑动问题（1.3 勾股定理的应用） 解答 中 10 23 折叠问题（勾股定理 + 方程思想，1.3） 解答 中偏难 10 24 数轴、绝对值化简、 = |a|（2.6、2.7） 解答 中偏难 12 25 赵爽弦图证明勾股定理 + 面积法综合（1.1） 解答 难 14 难度结构：易 : 中 : 难 ≈ 7 : 2 : 1，与福建省中考数学试卷相当。 五、命题说明（对标 2023—2025 年福建省中考真题） 　1. 试卷结构完全采用近三年福建省中考数学卷（全省统一命题，各地市同卷）的固定框架：选择题 10 小题 × 4 分 = 40 分；填空题 6 小题 × 4 分 = 24 分；解答题 9 小题共 86 分（第 17—21 题各 8 分，第 22—23 题各 10 分，第 24 题 12 分，第 25 题 14 分），满分 150 分，考试时间 120 分钟。 　2. 第 17 题对标 2025 年福建卷第 17 题（原题 2⁰ + |1 − | − ，考查绝对值、算术平方根、二次根式运算），本题将幂的运算控制在已学范围内。 　3. 第 1 题对标 2024 年福建卷第 1 题（无理数识别）；第 14 题对标 2025 年福建卷第 15 题（实数比较大小）。 　4. 估算（选 3）、 = |a| 与绝对值综合（解 24）、二次根式化简求值（解 19）、网格题（解 20）、实际应用题（解 22）、分类讨论（选 9、填 16）、规律探究（选 10）、教材母题赵爽弦图（解 25），均为近三年福建卷及各地市质检卷的高频题型。 　5. 中考压轴题（圆、二次函数、几何变换）尚未学到，故第 24、25 题以“绝对值化简 + 弦图证明”压轴，难度控制在章内综合的中上水平，适合八年级上学期第一次月考。 1 学科网（北京）股份有限公司 $