2026-2027学年人教版数学八年级上册培优压轴题型突破（9类42题）

八年级上册全册 课时同步练习 全册 培优压轴题型突破（9类42题）-2026-2027学年八年级上册数学人教版 第十三章至第十八章 · 几何4类+代数5类 · 每类1例精讲+3道变式 · 易错6题 共 42 题（变式 27 · 易错 6）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．三角形内角和与外角：用∠A表示两内角n等分线的交角，并由特例归纳一般式 2．全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）：动点问题中按对应关系分类求时间t 3．角的平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等→两三角形面积比等于夹边之比 4．等腰三角形：腰上的高在形内/形外两种位置，底角与顶角的多解分类 5．整式的乘法：展开后令指定项系数为0、或令结果与字母取值无关求参数 6．乘法公式：(a+b)²、(a−b)²、a²+b²与ab之间的整体变形求值 7．因式分解：配方后利用平方的非负性判定三角形形状（等腰/等边） 8．分式方程：增根的来源与“无解”两种情形（增根、整式方程无解）求参数 9．分式的化简求值：已知条件整体代入，含整数指数幂的运算 学习重难点 重点：全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）在动点问题中按对应关系分类求时间；角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等，用于面积比转化。 难点：等腰三角形腰上的高在形内/形外两种位置引起的多解分类；分式方程增根与整式方程无解两种情形的参数求法。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　三角形内角和与外角性质 2 知识点 02　全等三角形的判定与对应关系 2 知识点 03　角的平分线的性质与判定 4 知识点 04　等腰三角形的性质与判定 4 知识点 05　幂的运算与整式乘法 5 知识点 06　乘法公式及其变形 5 知识点 07　因式分解的两种方法 6 知识点 08　分式、整数指数幂与分式方程 6 考点 1　两内角n等分线交角的规律探究 7 考点 2　双动点追及中的全等时刻 9 考点 3　角平分线性质与面积比的转化 10 考点 4　等腰三角形腰上的高与多解分类 12 考点 5　整式乘积中缺项与“值与x无关”求参 13 考点 6　乘法公式的整体变形求值 14 考点 7　配方后用非负性判定三角形形状 14 考点 8　分式方程增根与无解的参数分类 15 考点 9　分式化简求值中的整体代入与负整数指数幂 15 易错专练 16 参考答案与解析 17 　知识梳理 知识点梳理　01　三角形内角和与外角性质 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。推论：直角三角形两锐角互余。三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。求角平分线所成夹角时，常先用内角和或外角性质把相关角用已知角（如∠A）表示出来，再列式求解。 ∠A+∠B+∠C=180° 外角=不相邻两内角之和 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90°（∠C=90°时） 知识点梳理　02　全等三角形的判定与对应关系 全等三角形的判定方法有五种：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、ASA（两角及夹边对应相等）、AAS（两角及其中一边非夹边对应相等）、HL（仅用于直角三角形，斜边与一条直角边对应相等）。书写全等式△ABC≌△DEF时，对应顶点必须写在对应位置，即A对D、B对E、C对F。当图形中点的对应关系不唯一（例如等腰三角形被翻折后可能拼出两种不同的图形）时，需先列出各种可能的对应关系，再逐一验证判定条件是否成立，确定哪一种真正成立。 SSS：三边对应相等 SAS：两边夹一角对应相等 ASA：两角夹一边对应相等 AAS：两角及非夹边对应相等 HL：斜边、一条直角边对应相等（仅限直角三角形） 知识点梳理　03　角的平分线的性质与判定 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。判定定理（性质定理的逆命题）：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。这里的“距离”专指点到直线的垂线段长度，证明时通常过该点分别向角的两边作垂线段，构造出两个全等的直角三角形，再由全等得到线段或距离相等。 OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ⟹ PD=PE PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ⟹ OP平分∠AOB 知识点梳理　04　等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的性质：两底角相等（等边对等角）；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等，三个内角都等于60°。需要注意，当顶角是钝角时，两腰上的高会落在三角形外部（需要反向延长底边作垂线），画图和计算时要按顶角是锐角、直角还是钝角分别确定高的位置。 AB=AC ⟹ ∠B=∠C 顶角平分线＝底边中线＝底边上的高（三线合一，AB=AC时） ∠B=∠C ⟹ AB=AC 等边三角形每个内角＝60° 知识点梳理　05　幂的运算与整式乘法 同底数幂乘法：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；同底数幂除法：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数且m>n）；幂的乘方：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；积的乘方：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a+b+c)=ma+mb+mc。多项式乘多项式的法则是：用其中一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，然后把各项积相加，操作时应逐项对齐、不重复也不遗漏，并注意合并同类项。 aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0） (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ (ab)ⁿ=aⁿbⁿ m(a+b+c)=ma+mb+mc (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 知识点梳理　06　乘法公式及其变形 平方差公式：(a+b)(a−b)=a²−b²。完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a−b)²=a²−2ab+b²。由完全平方公式可以推出常用变形：a²+b²=(a+b)²−2ab，也等于(a−b)²+2ab；(a+b)²与(a−b)²相差4ab，即(a−b)²=(a+b)²−4ab。这些变形常用于已知两数的和与积（或差与积）求平方和一类问题，可以把已知的和与积直接代入上述变形算出结果，避免先求出a、b各自的值。 (a+b)(a−b)=a²−b² (a+b)²=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² a²+b²=(a+b)²−2ab a²+b²=(a−b)²+2ab (a−b)²=(a+b)²−4ab 知识点梳理　07　因式分解的两种方法 因式分解的两种基本方法：提公因式法——找出多项式各项的公因式后提取，即ma+mb+mc=m(a+b+c)；公式法——逆用平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)、完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²把多项式化为几个因式的积。分解的一般步骤是“先提公因式，再套公式”，并且必须分解到每一个因式都不能再分解为止，这称为分解彻底。 ma+mb+mc=m(a+b+c) a²−b²=(a+b)(a−b) a²+2ab+b²=(a+b)² a²−2ab+b²=(a−b)² 知识点梳理　08　分式、整数指数幂与分式方程 分式（B中含字母）有意义的条件是分母B≠0；分式的值为0的条件是分子A=0且分母B≠0，两个条件缺一不可。整数指数幂：规定a⁰=1（a≠0），a⁻ⁿ=ⁿ（a≠0，n为正整数），负整数指数幂与正整数指数幂满足相同的运算法则。解分式方程的一般步骤：先把方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程；解出整式方程的根后，必须把它代入最简公分母进行检验——如果最简公分母的值不为0，这个根就是原分式方程的解；如果最简公分母的值等于0，说明这个根使原方程中分母为0，不是原分式方程的解，必须舍去。检验这一步是分式方程区别于整式方程解法的关键。 分式有意义：B≠0 分式的值为0：A=0且B≠0 a⁰=1（a≠0） a⁻ⁿ=ⁿ（a≠0，n为正整数） 整式方程的根代入最简公分母：值为0则舍去，值不为0则是原方程的解 　【题型1】两内角n等分线交角的规律探究 1．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线（各取靠近BC一侧的那一条）相交于点P（图中只画出这两条三等分线）． (1) 若∠A=72°，求∠BPC的度数； (2) 求∠BPC与∠A之间的数量关系式（用含∠A的式子表示∠BPC）． 　题型1　变式 2．在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的二等分线（即角平分线），交于点P．若∠BPC＝124°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．34° C．56° D．112° 3．△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的四等分线中靠近BC的一条，交于点P． (1) 用含∠A的式子表示∠BPC：∠BPC＝________； (2) 当∠A＝80°时，∠BPC＝________°． 4．如图，△ABC中，∠A＝40°，把∠ABC、∠ACB分别n等分，BP、CP是各自靠近BC的一条分角线（n为正整数，n≥2），交于点P． (1) 用含n、∠A的式子表示∠BPC，并说明理由； (2) 若∠BPC比∠A大112°，求n的值． 　【题型2】双动点追及中的全等时刻 5．如图，长方形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm．点P从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC方向以x cm/s的速度向点C运动，P、Q同时出发，设运动时间为t秒（0<t≤5）．当△APD与△BPQ全等时，求t和x的值（对应关系不唯一，需分情况讨论）． 　题型2　变式 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=14cm，BC=16cm。另有固定Rt△DEF，∠F=90°，DF=6cm，EF=8cm。点P从点A出发沿AC边向点C运动，点Q同时从点C出发沿CB边向点B运动，两点运动速度都是2cm/s，设运动时间为t秒（0<t<7）。当△PCQ与△DEF全等时，这样的t值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，BC=20cm，点D在AB上，BD=5cm。点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，点Q从点C出发沿CA方向以v cm/s的速度向点A运动，两点同时出发（P未到达C，Q未到达A）。若△BPD与△CQP全等，则v＝________cm/s。 8．如图，AC⊥CB，AC=6cm，CB=16cm。点P从点C出发沿CB方向以4cm/s的速度运动到点B后，立即沿BC方向以原速度返回点C（在线段CB上往返一次，设总运动时间为t秒，0<t≤8）。连接AP，得到Rt△ACP（∠ACP=90°）。另有固定Rt△A1C1P1，∠A1C1P1=90°，C1A1=6cm，C1P1=8cm。当Rt△ACP与Rt△A1C1P1全等时，求所有满足条件的t的值，并说明理由。 　【题型3】角平分线性质与面积比的转化 9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，BD＝4，DC＝3，AB＋AC＝21，求AB与AC的长。 　题型3　变式 10．在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知S△ABD∶S△ACD＝5∶3，AC＝6，则AB的长为（　　） A．AB＝10 B．AB＝3.6 C．AB＝6 D．AB＝8 11．如图，△ABC三条内角平分线交于点O，点O到三边的距离都等于2．若△ABC的周长为28，则△ABC的面积为________． 12．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12，S△ABC＝54．BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，BD、CE交于点O． (1)求证：点O到AB、BC、AC三边的距离相等； (2)求四边形AEOD的面积． 　【题型4】等腰三角形腰上的高与多解分类 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的高，CE是腰AB上的高（若∠BAC为钝角，则D、E分别在AC、AB的延长线上），BD、CE所在直线相交，所成的锐角为50°．求∠BAC的度数（顶角为锐角、钝角两种情况都要讨论）． 　题型4　变式 14．在某等腰三角形中，两个内角的度数之比为1∶4（暂不确定这两个角具体是顶角还是底角），求该三角形顶角的度数（　　） A．20° B．120° C．20°或120° D．36°或144° 15．等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个三角形的周长分成两部分，这两部分的差为3，则这个等腰三角形的底边长为________。 16．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形底角的度数。 　【题型5】整式乘积中缺项与“值与x无关”求参 17．已知(x²+mx+2)(x−3)展开后不含x²项． (1)求m的值；(6分) (2)求此时展开式中x项的系数．(4分) 　题型5　变式 18．把(x+a)(x−4)展开并合并同类项后，一次项的系数等于−1，据此可求得a的值为（　　） A．a＝−5 B．a＝3 C．a＝−1 D．a＝5 19．若(2x+p)(x²−qx+1)展开合并后不含x²项，也不含x项，则p＝________，q＝________。（写出所有满足条件的值） 20．已知M＝(x+a)(x²−2x+3)−(x²+b)(x−1)。 (1)将M展开合并，用含a、b的式子表示（3分）； (2)若M的化简结果与x的取值无关，求a、b的值（4分）； (3)将(2)中所求的a、b的值代入N＝3a²−2ab+b²+5，求N的值（3分）。 　【题型6】乘法公式的整体变形求值 21．一块长方形空地，周长为20米，面积为21 ㎡。现分别以这块地的长、宽为边，在长方形外侧各建一个正方形花坛。求这两个正方形花坛的面积之和，并求长方形的长与宽之差的平方。 　题型6　变式 22．两块正方形纸片的面积之和为34，边长之和为8，则这两个正方形边长之差的平方是（　　） A．30 B．15 C．4 D．64 23．设两个连续奇数满足它们的平方和等于130，那么这两个数相乘的结果是________。 24．已知(7−x)(x−3)=2，设a=7−x，b=x−3． （1）求a+b的值；（3分） （2）求(7−x)²+(x−3)²的值。（5分） 　【题型7】配方后用非负性判定三角形形状 25．已知等腰三角形两边长a、b满足a²+b²−10a−4b+29=0，求这个三角形的周长。 　题型7　变式 26．若三角形三边a、b、c满足a²−b²+ac−bc=0，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 27．已知实数x、y满足x²+y²+4x−6y+13=0，则xʸ的值为________。 28．已知△ABC的三边长a、b、c满足a²+b²+c²=ab+bc+ca。 (1)（4分）求证：△ABC是等边三角形； (2)（4分）若△ABC的周长为18，求它的边长。 　【题型8】分式方程增根与无解的参数分类 29．已知关于x的方程ax/(x−3) = 2 + 。 (1)（4分）将方程两边乘以(x−3)去分母，化为形如(a−2)x=−7的整式方程，写出化简过程； (2)（6分）分别讨论a=2与整式方程的根恰为增根（x=3）这两种情形，求出使原方程无解的所有a的值。 　题型8　变式 30．关于x的方程＝＋2，若去分母后所得整式方程的解使原方程分母为0（即这个解不是原分式方程的解），则这个解是（　　） A．x＝−1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1 31．分式方程 ＝3只有正数解，则参数m应满足的取值范围是________。 32．已知关于x的方程 －＝ 无解，求a的值。 　【题型9】分式化简求值中的整体代入与负整数指数幂 33．已知2a＝3b＝4c≠0．(1)（4分）请设k为参数，用代入的方法，求 的值；(2)（3分）计算 (−3)⁻²×⁻¹ 的值，并比较它与(1)中所得分式值的大小。 　题型9　变式 34．已知a＋a⁻¹＝5，求a²＋a⁻²的值是（　　） A．25 B．20 C．27 D．23 35．化简：＝________（结果只含正整数指数幂，并注明字母取值范围） 36．已知分式÷。 (1)化简这个分式；（4分） (2)从－2、－1、0、1、2这五个数中选取一个使分式有意义的x的值代入，求化简后分式的值。（4分） 　易错专练 37．在△ABC和△DEF中，下列四组条件中，仍无法据此判定△ABC≌△DEF的一组是（　　） A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AB=DE，BC=EF，AC=DF C．AB=DE，∠B=∠E，BC=EF D．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E 38．小美测量一个等腰三角形模型，量得它的两条边长分别是7cm与15cm，请你求出这个三角形的周长（单位：cm）________。 39．逐项验证下列算式的计算结果，其中正确的一项是（　　） A．(−2a²)³=−6a⁶ B．(−2a²)³=−8a⁶ C．(a²)³=a⁵ D．a⁶÷a²=a³ 40．计算(3−2m)²的结果是（　　） A．9+4m² B．9+12m+4m² C．9−12m+4m² D．9−6m+4m² 41．把x⁴−16分解因式，结果正确的是（　　） A．x²(x²−16) B．(x+4)(x−4)(x²+4) C．(x²−4)² D．(x²+4)(x+2)(x−2) 42．当x=________时，分式的值为0。 　参考答案与解析 　【题型1】两内角n等分线交角的规律探究 1．【答案】(1) ∠BPC=144°；(2) ∠BPC=∠A+120°． 【解析】设∠ABC=β，∠ACB=γ，由三角形内角和定理，β+γ=180°－∠A． 由三等分线定义，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB中靠近BC一侧的三等分角，故∠PBC=，∠PCB=． 在△PBC中，由三角形内角和定理：∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°(β+γ)=180°(180°－∠A)=120°+∠A． (1) 当∠A=72°时，∠BPC=120°+×72°=120°+24°=144°． (2) 由上式可知，无论β、γ具体取值为多少，只要∠A确定，∠BPC就恒等于120°+∠A，故∠BPC与∠A的关系式为∠BPC=120°+∠A． 　题型1　变式 2．【答案】A 【解析】在△BPC中，∠PBC＝∠ABC/2，∠PCB＝∠ACB/2，所以∠BPC＝180°． 又∠ABC+∠ACB＝180°－∠A，代入得∠BPC＝180°＝90°＋∠． 由90°＋∠＝124°，解得∠＝34°，∠A＝68°． 故选A． 3．【答案】135°＋∠；155 【解析】在△BPC中，∠PBC＝∠ABC/4，∠PCB＝∠ACB/4，所以∠BPC＝180°． 又∠ABC+∠ACB＝180°－∠A，代入得∠BPC＝180°＝135°＋∠． 当∠A＝80°时，∠BPC＝135°＋80°/4＝135°＋20°＝155°． 4．【答案】(1) ∠BPC＝180°；(2) n＝5 【解析】设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，则∠A＋β+γ＝180°． 因为把∠ABC、∠ACB分别n等分，BP、CP是各自靠近BC的一条分角线，所以∠PBC＝β/n，∠PCB＝γ/n． 在△BPC中，∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝180°． 又β+γ＝180°－∠A，代入得∠BPC＝180°，命题得证． 当∠A＝40°时，∠BPC＝180°－140°/n． 由∠BPC－∠A＝112°，得180°－140°/n－40°＝112°，即140°/n＝28°，解得n＝5（n为正整数，符合题意）． 　【题型2】双动点追及中的全等时刻 5．【答案】t=2.5，x=4.8 【解析】由题意得AP=2t，BP=AB-AP=10-2t，BQ=x t；长方形对边相等，AD=BC=12． △APD中∠A=90°，两直角边为AP、AD；△BPQ中∠B=90°，两直角边为BP、BQ．两三角形全等时，两组直角边的对应关系不唯一，需分两种情况讨论． 情况①：AP与BP对应，AD与BQ对应，即AP=BP，AD=BQ．由AP=BP得2t=10-2t，解得t=2.5；代入AD=BQ得12=2.5x，解得x=4.8．此时BQ=12=BC，Q恰好运动到点C，仍在边上，t、x均合理． 情况②：AP与BQ对应，AD与BP对应，即AD=BP．由12=10-2t解得t=-1，为负数，不合题意，舍去． 综上，t=2.5，x=4.8． 　题型2　变式 6．【答案】B 【解析】设运动时间为t秒，则CP=AC-2t=14-2t，CQ=2t（0<t<7）。 ∠PCQ=∠ACB=90°，Rt△PCQ与Rt△DEF（∠F=90°，DF=6，EF=8，斜边DE=10）全等需满足HL：斜边PQ=DE=10，且一组直角边对应相等，分两种对应情况讨论。 情形①CP=DF=6，CQ=EF=8：由CQ=2t=8解得t=4，代入得CP=14-8=6，成立；此时6²+8²=10²，即PQ=10=DE，全等成立。 情形②CP=EF=8，CQ=DF=6：由CQ=2t=6解得t=3，代入得CP=14-6=8，成立；此时8²+6²=10²，即PQ=10=DE，全等成立。 两种情形对应的t值互不相同（t=3与t=4），均在0<t<7范围内，故满足条件的t值共有2个，选B。 7．【答案】1或2 【解析】设运动时间为t秒，则BP=2t，CP=BC-BP=20-2t（0<t<10），CQ=vt。 由AB=AC得∠B=∠C，△BPD与△CQP中夹角∠B、∠C相等，按SAS，两组邻边有两种对应方式。 情形①BP=CQ，BD=CP：由BD=CP得5=20-2t，解得t=7.5；代入BP=CQ得2×7.5=v×7.5，解得v=2。 情形②BP=CP，BD=CQ：由BP=CP得2t=20-2t，解得t=5；代入BD=CQ得5=v×5，解得v=1。 t=7.5、t=5均在0<t<10范围内成立，故v的值为1或2。 8．【答案】t=2s或t=6s 【解析】AC⊥CB，AC=6cm为定值，故Rt△ACP中∠ACP=90°恒成立，AC、CP为两直角边，AP为斜边。 固定Rt△A1C1P1中两直角边为C1A1=6cm、C1P1=8cm。因为AC=6=C1A1恒成立，而AC不可能等于C1P1（AC恒为6≠8），所以全等（HL）只能是AC与C1A1对应、CP与C1P1对应，只需CP=8cm这一个条件；此时6²+8²=10²，即AP=10cm，自动等于斜边A1P1，斜边相等的条件同时满足。 P在CB上往返：0≤t≤4为去程（C到B），CP=4t；4≤t≤8为回程（B到C），CP=16-4(t-4)=32-4t。 去程：令4t=8，解得t=2，满足0≤t≤4，成立。 回程：令32-4t=8，解得t=6，满足4≤t≤8，成立。 综上所述，满足条件的t值为t=2s或t=6s。 　【题型3】角平分线性质与面积比的转化 9．【答案】AB＝12，AC＝9 【解析】过点D分别作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F．因为AD平分∠BAC，AD上的点到角两边的距离相等，所以DE＝DF，记为h． S△ABD＝·AB·DE＝·AB·h，S△ACD＝·AC·DF＝·AC·h，所以S△ABD：S△ACD＝AB：AC． △ABD与△ACD有公共顶点A，底边BD、DC在同一直线BC上，即两三角形同高（A到BC的距离相同），所以S△ABD：S△ACD＝BD：DC＝4：3． 由以上两式得AB：AC＝BD：DC＝4：3．设AB＝4k，AC＝3k（k＞0），代入AB＋AC＝21，得4k＋3k＝21，解得k＝3． 所以AB＝4k＝12，AC＝3k＝9． 　题型3　变式 10．【答案】A 【解析】△ABD与△ACD可以看成分别以BD、DC为底、A到BC的距离为公共高的两个三角形，所以S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC． AD平分∠BAC，由角平分线的性质（角平分线定理）可得BD∶DC＝AB∶AC． 所以AB∶AC＝S△ABD∶S△ACD＝5∶3． AC＝6，所以AB＝6×＝10． 11．【答案】28 【解析】连接OA、OB、OC，把△ABC分成△OAB、△OBC、△OCA三个三角形，它们分别以AB、BC、CA为底，以点O到三边的距离（都等于2）为高。 S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＝·AB·2＋·BC·2＋·CA·2＝×2×(AB＋BC＋CA)＝AB＋BC＋CA． 因为AB＋BC＋CA＝28（三角形周长），所以S△ABC＝28。 12．【答案】(1)证明见解析，点O到三边的距离相等，记为r＝3　(2)S四边形AEOD＝12.75 【解析】(1)（4分）因为BD平分∠ABC，且点O在BD上，所以点O到AB的距离等于点O到BC的距离；因为CE平分∠ACB，且点O在CE上，所以点O到BC的距离等于点O到AC的距离．所以点O到AB、BC、AC三边的距离相等，设为r． (2)（6分）连接OA、OB、OC，则S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝·AB＋·BC＋·AC＝(AB＋BC＋AC)． AB＋BC＋AC＝9＋15＋12＝36，且S△ABC＝54，所以×36＝54，解得r＝3． 由角平分线的性质，BD平分∠ABC交AC于D，所以AD∶DC＝AB∶BC＝9∶15＝3∶5，故AD＝12×＝4.5． CE平分∠ACB交AB于E，所以AE∶EB＝AC∶BC＝12∶15＝4∶5，故AE＝9×＝4． 连接AO，四边形AEOD被AO分成△AEO与△ADO，两三角形分别以AE、AD为底，以点O到AB、AC的距离r（相等）为高． S四边形AEOD＝S△AEO＋S△ADO＝·AE·r＋·AD·r＝×3×(4＋4.5)＝12.75． 　【题型4】等腰三角形腰上的高与多解分类 13．【答案】50°或130°． 【解析】情况①：∠BAC为锐角（如图1）．因为BD⊥AC于D、CE⊥AB于E，垂足D、E分别落在边AC、AB上，BD、CE在△ABC内部相交于点O． 在四边形AEOD中，∠BAC＋∠AEO＋∠EOD＋∠ADO＝360°，其中∠AEO＝∠ADO＝90°，所以∠EOD＝360°－90°－90°－∠BAC＝180°－∠BAC． ∠EOD与∠BOC是对顶角，∠BOC＝180°－∠BAC；而与∠BOC相邻的角（即O处另一组对顶角）等于180°－∠BOC＝∠BAC．因为∠BAC＜90°，所以180°－∠BAC＞90°，两条直线在O处所成的锐角就是∠BAC本身，所以∠BAC＝50°． 情况②：∠BAC为钝角（如图2）．此时BD、CE的垂足D、E分别落在AC、AB的延长线上，BD、CE所在直线相交于△ABC外部一点O，∠DAE与∠BAC是对顶角，∠DAE＝∠BAC． 在四边形AEOD中同理有∠DAE＋∠AEO＋∠EOD＋∠ADO＝360°，∠AEO＝∠ADO＝90°，所以∠EOD＝360°－90°－90°－∠BAC＝180°－∠BAC． 因为∠BAC＞90°，所以180°－∠BAC＜90°，即∠EOD（与∠BOC互为对顶角）就是两条直线在O处所成的锐角，所以180°－∠BAC＝50°，解得∠BAC＝180°－50°＝130°． 综上，∠BAC＝50°或130°． 　题型4　变式 14．【答案】C 【解析】设顶角为α，底角为β，等腰三角形两底角相等，则α+2β=180°。 情形一：α:β=1:4，设α=k，β=4k，代入得k+8k=180°，k=20°，即α=20°，β=80°（20°+80°+80°=180°，三角合法，顶角为锐角，腰上的高落在三角形内部）。 情形二：α:β=4:1，设α=4k，β=k，代入得4k+2k=180°，k=30°，即α=120°，β=30°（120°+30°+30°=180°，三角合法，顶角为钝角，腰上的高落在三角形外部）。 故顶角度数为20°或120°，选C。 15．【答案】6或10 【解析】设腰长为a，底边长为b，则2a+b=24。设中线是从底边一个顶点向对边（腰）中点所引的中线，它把三角形的周长分成两部分：一部分是腰长a与半腰之和，即；另一部分是底边b与半腰之和，即+b。 情形一：-+b]=3，化简得a-b=3，即a=b+3。代入2a+b=24：2(b+3)+b=24，解得b=6，a=9。检验三边关系：9、9、6中9+6>9，能构成三角形。 情形二：+b]-=3，化简得b-a=3，即b=a+3。代入2a+b=24：2a+(a+3)=24，解得a=7，b=10。检验三边关系：7、7、10中7+7>10，能构成三角形。 两种情形均合法，故底边长为6或10。 16．【答案】75°或15° 【解析】设腰长为a，过点B向另一腰AC所在直线作垂线，垂足为H，由题意BH=，AB=a，即直角边BH等于斜边AB的一半。 在直角三角形ABH中，一条直角边（BH）等于斜边（AB）的一半，由“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的逆结论可知，这条直角边所对的角∠BAH＝30°。 情形一：顶角∠A为锐角，垂足H落在线段AC上（高在三角形内部），此时∠BAH就是∠A本身，即顶角为30°，底角为＝75°。 情形二：顶角∠A为钝角，垂足H落在CA的延长线上（高在三角形外部），此时∠BAH是∠A的邻补角，即顶角为180°－30°＝150°，底角为＝15°。 故这个等腰三角形的底角度数为75°或15°。 　【题型5】整式乘积中缺项与“值与x无关”求参 17．【答案】m=3；x项系数为−7 【解析】将(x²+mx+2)(x−3)按多项式乘多项式展开：x²·x+x²·(−3)+mx·x+mx·(−3)+2·x+2·(−3)＝x³−3x²+mx²−3mx+2x−6 合并同类项：x³+(m−3)x²+(2−3m)x−6，其中x²的系数为(m−3) 展开式不含x²项，即m−3＝0，解得m＝3 将m＝3代入x的系数(2−3m)，得2−3×3＝−7，故此时x项的系数为−7 　题型5　变式 18．【答案】B 【解析】(x+a)(x−4)＝x²−4x+ax−4a＝x²+(a−4)x−4a。 由一次项系数为−1，得a−4＝−1。 解得a＝3。 19．【答案】p＝2，q＝1或p＝−2，q＝−1 【解析】(2x+p)(x²−qx+1)＝2x³−2qx²+2x+px²−pqx+p＝2x³+(p−2q)x²+(2−pq)x+p。 不含x²项：p−2q＝0，即p＝2q。 不含x项：2−pq＝0，即pq＝2。 将p＝2q代入pq＝2，得2q²＝2，q²＝1，q＝±1。 当q＝1时，p＝2；当q＝−1时，p＝−2。 20．【答案】(1) M＝(a−1)x²+(3−2a−b)x+(3a+b)；(2) a＝1，b＝1；(3) N＝7 【解析】(1) (x+a)(x²−2x+3)＝x³−2x²+3x+ax²−2ax+3a＝x³+(a−2)x²+(3−2a)x+3a； (x²+b)(x−1)＝x³−x²+bx−b； M＝[x³+(a−2)x²+(3−2a)x+3a]−[x³−x²+bx−b]＝(a−1)x²+(3−2a−b)x+(3a+b)。 (2) M与x的取值无关，说明x²项和x项的系数都为0：a−1＝0，3−2a−b＝0。 解得a＝1；代入得3−2−b＝0，即b＝1。 (3) 将a＝1，b＝1代入N＝3a²−2ab+b²+5＝3×1−2×1×1+1+5＝3−2+1+5＝7。 　【题型6】乘法公式的整体变形求值 21．【答案】两个正方形面积之和为58平方米；长与宽之差的平方为16。 【解析】设长方形的长为a米、宽为b米。 由周长为20，得2(a＋b)＝20，即a＋b＝10。 由面积为21，得ab＝21。 以长、宽为边所作两个正方形的面积之和为a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝10²－2×21＝100－42＝58（平方米）。 长与宽之差的平方为 (a－b)²＝(a＋b)²－4ab＝100－4×21＝100－84＝16。 　题型6　变式 22．【答案】C 【解析】设两个正方形的边长分别为a、b，由题意得a²+b²=34，a+b=8。 利用完全平方公式变形：(a−b)²=2(a²+b²)−(a+b)²=2×34−8²=68−64=4。 所以两边长之差的平方为4，选C。 23．【答案】63 【解析】设这两个连续奇数为a、b（b>a），则它们相差2，即b−a=2，且a²+b²=130。 由完全平方公式变形：(b−a)²=a²+b²−2ab，代入得2²=130−2ab，即4=130−2ab。 解得2ab=126，所以ab=63，即这两个数的积为63（这两个数为7和9，或−9和−7）。 24．【答案】(1) a+b=4；(2) (7−x)²+(x−3)²=12 【解析】（1）a+b=(7−x)+(x−3)=7−x+x−3=4，所以a+b=4。 （2）由题意ab=(7−x)(x−3)=2。 利用完全平方公式变形：a²+b²=(a+b)²−2ab=4²−2×2=16−4=12。 所以(7−x)²+(x−3)²=12。 　【题型7】配方后用非负性判定三角形形状 25．【答案】12 【解析】运用完全平方公式，把a²+b²−10a−4b+29恒等变形为(a−5)²+(b−2)²，故原方程可化为(a−5)²+(b−2)²=0。 两个非负数之和为0，则每个数都为0，所以a−5=0，b−2=0，得a=5，b=2。 该三角形是等腰三角形，且a≠b，故第三边只能等于a或b中的一个： 情形一：腰取5，三边为5、5、2，验证：5+2>5，5+5>2，三边关系成立，三角形存在； 情形二：腰取2，三边为5、2、2，验证：2+2=4<5，不满足两边之和大于第三边，三角形不存在，排除此情形。 所以三角形的三边为5、5、2，周长=5+5+2=12。 　题型7　变式 26．【答案】A 【解析】将等式左边分组因式分解：a²−b²+ac−bc=(a−b)(a+b)+c(a−b)=(a−b)(a+b+c)。 因为a、b、c是三角形的三边长，a+b+c＞0，所以由(a−b)(a+b+c)=0可得a−b=0，即a＝b。 所以这个三角形是等腰三角形，选A。 27．【答案】−8 【解析】将等式配方：x²+4x+4+y²−6y+9=0，即(x+2)²+(y−3)²=0。 因为两个平方数之和为0，所以x+2=0且y−3=0，解得x=−2，y=3。 所以xʸ=(−2)³=−8。 28．【答案】(1)证明见解析；(2)边长为6 【解析】(1)将等式两边同时乘以2，得2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca， 移项得2a²+2b²+2c²−2ab−2bc−2ca=0， 配方得(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0。 因为(a−b)²、(b−c)²、(c−a)²均非负，且它们的和为0，所以a−b=0，b−c=0，c−a=0，即a=b=c，所以△ABC是等边三角形。 (2)由(1)知a=b=c，又三角形周长a+b+c=18，所以3a=18，解得a=6，即△ABC的边长为6。 　【题型8】分式方程增根与无解的参数分类 29．【答案】a = 2或a = 【解析】去分母：注意3−x=−(x−3)，原方程两边同乘最简公分母(x−3)得ax = 2(x−3) − 1 = 2x − 7，移项得 (a−2)x = −7。 分类讨论情形一：当a=2时，(a−2)x = 0·x = 0，方程左边为0，化为0 = −7，恒不成立，故此时原方程无论x取何值都无解。 分类讨论情形二：当a≠2时，整式方程的解为x = 。使原方程最简公分母为0的未知数的值叫做原方程的增根；若这个解恰好使x−3=0，即x=3，则它是原方程的增根，原方程无解。令 = 3，得3(a−2) = −7，解得a = 。 验证：把a＝代入，整式方程的解为x＝3，恰好是增根，原方程无解，符合题意。 综上，使原方程无解的a的值为a = 2或a = 。 　题型8　变式 30．【答案】D 【解析】方程中出现两个分母x−1与1−x，注意1−x＝−(x−1)，两者互为相反数，使分母为0的x值都是x＝1； 去分母后所得整式方程的解，如果代入原方程分母得0，说明这个解不是原分式方程的解； 所以使原方程分母为0、因此不是原分式方程解的那个值只能是x＝1，故选D。 31．【答案】m＞−3且m≠−1 【解析】去分母：x+m＝3(x−1)，即x+m＝3x−3； 移项整理：2x＝m+3，解得x＝； 解为正数：由x＞0得＞0，解得m＞−3； 排除使原方程分母为0的解：原方程分母为x−1，x＝1时分母为0，此时＝1，解得m＝−1，此值必须排除； 综上，m的取值范围是m＞−3且m≠−1。 32．【答案】a＝1或a＝或a＝2 【解析】方程两边同乘(x−1)(x+1)（x≠1且x≠−1）去分母：3a(x+1)－(a+2)(x−1)＝8； 展开：3ax+3a－(a+2)x＋(a+2)＝8，合并同类项得(2a−2)x＋(4a+2)＝8，即(2a−2)x＋(4a−6)＝0； 情形一：整式方程一次项系数为0，即2a−2＝0，得a＝1；此时常数项4(1)−6＝−2≠0，方程变为0·x－2＝0，对任何x都不成立，原分式方程无解，故a＝1符合； 情形二：2a−2≠0时，x＝＝。若该解恰使原方程分母为0，即x＝1，则＝1，解得3−2a＝a−1，即3a＝4，a＝； 情形三：若该解恰使原方程分母为0，即x＝−1，则＝−1，解得3−2a＝−(a−1)＝−a＋1，即2＝a，a＝2； 综上，使原方程无解的a的值为a＝1或a＝或a＝2。 　【题型9】分式化简求值中的整体代入与负整数指数幂 33．【答案】(1) ；(2) ，且＞ 【解析】(1)设2a＝3b＝4c＝k（k≠0），则a＝，b＝，c＝； 代入分子：a+b−c＝＋−＝＝； 代入分母：a−b+c＝−＋＝＝； 所以 ＝＝； (2)由负整数指数幂法则a⁻ⁿ＝ⁿ，得(−3)⁻²＝＝； ⁻¹＝； 所以(−3)⁻²×⁻¹＝×＝＝； 比较大小：＝1.4，≈0.17，所以＞。 　题型9　变式 34．【答案】D 【解析】把a＋a⁻¹＝5看作一个整体代入：两边平方得(a＋a⁻¹)²＝5²＝25 展开左边（配方式的完全平方公式）：(a＋a⁻¹)²＝a²＋2·a·a⁻¹＋a⁻²＝a²＋2＋a⁻²（因为a·a⁻¹＝1） 所以a²＋2＋a⁻²＝25，即a²＋a⁻²＝25－2＝23，故选D。 35．【答案】（x≠0，y≠0，x≠y） 【解析】把负整数指数幂化成正整数指数幂：x⁻¹＝，y⁻¹＝ 分子：＋＝；分母：－＝ 原式＝÷＝×＝ 最终结果不含负整数指数幂的项，只含正整数指数幂，符合题目要求 分式有意义需x≠0，y≠0（保证x⁻¹、y⁻¹存在），且y－x≠0即x≠y（保证原分母不为0） 36．【答案】(1)原式＝（x≠－1，x≠1，x≠－3）；(2)取x＝0时，原式的值为3 【解析】(1)因式分解：x²－1＝(x－1)(x+1)，x²+2x+1＝(x+1)² ＝(x－1)(x+1)/(x+1)²＝（此步要求x≠－1） 除法转乘法：÷＝×＝ 此步要求作除式的≠0，即x≠1；其分母x+3≠0即x≠－3 综合：原式有意义需(x+1)²≠0、x+3≠0，且除式≠0，所以x≠－1、x≠－3、x≠1（三个排除值都要去掉） (2)从－2、－1、0、1、2中，x＝－1和x＝1不能取；可选x＝－2、0、2，其中x＝0计算最简便 注意：x＝1虽然能代入化简结果算出数值，但x＝1时除式＝0，原式无意义，所以不能取x＝1；同理x＝－1会使原式分母为0，也不能取 把x＝0代入：＝3 　易错专练 37．【答案】A 【解析】A选项中AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，其中∠A是BC的对角而不是AB、BC的夹角，属于"边边角"（SSA），不能判定两三角形全等； B选项AB=DE，BC=EF，AC=DF，三边对应相等，符合SSS，能判定全等； C选项AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∠B恰是AB与BC的夹角，符合SAS，能判定全等； D选项∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，AB是∠A与∠B的夹边，符合ASA，能判定全等； 故选A。 38．【答案】37 【解析】分两种情况讨论： ①若腰长为7，底边为15，则两腰之和7+7=14＜15，不满足三角形三边关系，此种情况不成立，舍去； ②若腰长为15，底边为7，则15+15＞7，满足三角形三边关系，周长=15+15+7=37； 故周长为37。 39．【答案】B 【解析】A：(−2a²)³应为(−2)³·(a²)³＝−8a⁶，若写成−6a⁶则是把(−2)³误算成−2×3＝−6，错误； B：(−2a²)³=(−2)³·(a²)³＝−8a⁶，正确； C：(a²)³=＝a⁶，误把指数相加算成a⁵，错误； D：a⁶÷a²=＝a⁴，误算成a³，错误； 故选B。 40．【答案】C 【解析】C：(3−2m)²=3²−2×3×2m+(2m)²＝9−12m+4m²，正确，故选C； A只算了首平方9和尾平方4m²，漏掉中间项−12m； B把中间项的符号搞反，误写成+12m； D把中间项2×3×2m=12m误算成6m。 41．【答案】D 【解析】D：x⁴−16=(x²+4)(x²−4)=(x²+4)(x+2)(x−2)，分解到每个因式都不能再分解为止，故选D； A：x²(x²−16)是把x⁴错误地当成含公因式x²的形式提取，展开得x⁴−16x²，与原式x⁴−16不符，错误； B：(x+4)(x−4)(x²+4)展开为x⁴−12x²−64，与原式不符； C：(x²−4)²=x⁴−8x²+16，与原式不符。 42．【答案】−2 【解析】分式的值为0需同时满足分子为0且分母不为0： 由x²−4=0得x=2或x=−2； 又分母x−2≠0，即x≠2，故x=2舍去； 所以x=−2。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册全册 课时同步练习 全册 培优压轴题型突破（9类42题）-2026-2027学年八年级上册数学人教版 第十三章至第十八章 · 几何4类+代数5类 · 每类1例精讲+3道变式 · 易错6题 共 42 题（变式 27 · 易错 6）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．三角形内角和与外角：用∠A表示两内角n等分线的交角，并由特例归纳一般式 2．全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）：动点问题中按对应关系分类求时间t 3．角的平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等→两三角形面积比等于夹边之比 4．等腰三角形：腰上的高在形内/形外两种位置，底角与顶角的多解分类 5．整式的乘法：展开后令指定项系数为0、或令结果与字母取值无关求参数 6．乘法公式：(a+b)²、(a−b)²、a²+b²与ab之间的整体变形求值 7．因式分解：配方后利用平方的非负性判定三角形形状（等腰/等边） 8．分式方程：增根的来源与“无解”两种情形（增根、整式方程无解）求参数 9．分式的化简求值：已知条件整体代入，含整数指数幂的运算 学习重难点 重点：全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）在动点问题中按对应关系分类求时间；角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等，用于面积比转化。 难点：等腰三角形腰上的高在形内/形外两种位置引起的多解分类；分式方程增根与整式方程无解两种情形的参数求法。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　三角形内角和与外角性质 2 知识点 02　全等三角形的判定与对应关系 2 知识点 03　角的平分线的性质与判定 4 知识点 04　等腰三角形的性质与判定 4 知识点 05　幂的运算与整式乘法 5 知识点 06　乘法公式及其变形 5 知识点 07　因式分解的两种方法 6 知识点 08　分式、整数指数幂与分式方程 6 考点 1　两内角n等分线交角的规律探究 8 考点 2　双动点追及中的全等时刻 10 考点 3　角平分线性质与面积比的转化 11 考点 4　等腰三角形腰上的高与多解分类 13 考点 5　整式乘积中缺项与“值与x无关”求参 14 考点 6　乘法公式的整体变形求值 15 考点 7　配方后用非负性判定三角形形状 16 考点 8　分式方程增根与无解的参数分类 17 考点 9　分式化简求值中的整体代入与负整数指数幂 17 易错专练 18 　知识梳理 知识点梳理　01　三角形内角和与外角性质 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。推论：直角三角形两锐角互余。三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。求角平分线所成夹角时，常先用内角和或外角性质把相关角用已知角（如∠A）表示出来，再列式求解。 ∠A+∠B+∠C=180° 外角=不相邻两内角之和 直角三角形两锐角互余：∠A+∠B=90°（∠C=90°时） 知识点梳理　02　全等三角形的判定与对应关系 全等三角形的判定方法有五种：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、ASA（两角及夹边对应相等）、AAS（两角及其中一边非夹边对应相等）、HL（仅用于直角三角形，斜边与一条直角边对应相等）。书写全等式△ABC≌△DEF时，对应顶点必须写在对应位置，即A对D、B对E、C对F。当图形中点的对应关系不唯一（例如等腰三角形被翻折后可能拼出两种不同的图形）时，需先列出各种可能的对应关系，再逐一验证判定条件是否成立，确定哪一种真正成立。 SSS：三边对应相等 SAS：两边夹一角对应相等 ASA：两角夹一边对应相等 AAS：两角及非夹边对应相等 HL：斜边、一条直角边对应相等（仅限直角三角形） 知识点梳理　03　角的平分线的性质与判定 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。判定定理（性质定理的逆命题）：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。这里的“距离”专指点到直线的垂线段长度，证明时通常过该点分别向角的两边作垂线段，构造出两个全等的直角三角形，再由全等得到线段或距离相等。 OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ⟹ PD=PE PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ⟹ OP平分∠AOB 知识点梳理　04　等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的性质：两底角相等（等边对等角）；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等，三个内角都等于60°。需要注意，当顶角是钝角时，两腰上的高会落在三角形外部（需要反向延长底边作垂线），画图和计算时要按顶角是锐角、直角还是钝角分别确定高的位置。 AB=AC ⟹ ∠B=∠C 顶角平分线＝底边中线＝底边上的高（三线合一，AB=AC时） ∠B=∠C ⟹ AB=AC 等边三角形每个内角＝60° 知识点梳理　05　幂的运算与整式乘法 同底数幂乘法：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ；同底数幂除法：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数且m>n）；幂的乘方：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ；积的乘方：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a+b+c)=ma+mb+mc。多项式乘多项式的法则是：用其中一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，然后把各项积相加，操作时应逐项对齐、不重复也不遗漏，并注意合并同类项。 aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0） (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ (ab)ⁿ=aⁿbⁿ m(a+b+c)=ma+mb+mc (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 知识点梳理　06　乘法公式及其变形 平方差公式：(a+b)(a−b)=a²−b²。完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a−b)²=a²−2ab+b²。由完全平方公式可以推出常用变形：a²+b²=(a+b)²−2ab，也等于(a−b)²+2ab；(a+b)²与(a−b)²相差4ab，即(a−b)²=(a+b)²−4ab。这些变形常用于已知两数的和与积（或差与积）求平方和一类问题，可以把已知的和与积直接代入上述变形算出结果，避免先求出a、b各自的值。 (a+b)(a−b)=a²−b² (a+b)²=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² a²+b²=(a+b)²−2ab a²+b²=(a−b)²+2ab (a−b)²=(a+b)²−4ab 知识点梳理　07　因式分解的两种方法 因式分解的两种基本方法：提公因式法——找出多项式各项的公因式后提取，即ma+mb+mc=m(a+b+c)；公式法——逆用平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)、完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²把多项式化为几个因式的积。分解的一般步骤是“先提公因式，再套公式”，并且必须分解到每一个因式都不能再分解为止，这称为分解彻底。 ma+mb+mc=m(a+b+c) a²−b²=(a+b)(a−b) a²+2ab+b²=(a+b)² a²−2ab+b²=(a−b)² 知识点梳理　08　分式、整数指数幂与分式方程 分式（B中含字母）有意义的条件是分母B≠0；分式的值为0的条件是分子A=0且分母B≠0，两个条件缺一不可。整数指数幂：规定a⁰=1（a≠0），a⁻ⁿ=ⁿ（a≠0，n为正整数），负整数指数幂与正整数指数幂满足相同的运算法则。解分式方程的一般步骤：先把方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程；解出整式方程的根后，必须把它代入最简公分母进行检验——如果最简公分母的值不为0，这个根就是原分式方程的解；如果最简公分母的值等于0，说明这个根使原方程中分母为0，不是原分式方程的解，必须舍去。检验这一步是分式方程区别于整式方程解法的关键。 分式有意义：B≠0 分式的值为0：A=0且B≠0 a⁰=1（a≠0） a⁻ⁿ=ⁿ（a≠0，n为正整数） 整式方程的根代入最简公分母：值为0则舍去，值不为0则是原方程的解 　【题型1】两内角n等分线交角的规律探究 1．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线（各取靠近BC一侧的那一条）相交于点P（图中只画出这两条三等分线）． (1) 若∠A=72°，求∠BPC的度数； (2) 求∠BPC与∠A之间的数量关系式（用含∠A的式子表示∠BPC）． 　题型1　变式 2．在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的二等分线（即角平分线），交于点P．若∠BPC＝124°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．34° C．56° D．112° 3．△ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的四等分线中靠近BC的一条，交于点P． (1) 用含∠A的式子表示∠BPC：∠BPC＝________； (2) 当∠A＝80°时，∠BPC＝________°． 4．如图，△ABC中，∠A＝40°，把∠ABC、∠ACB分别n等分，BP、CP是各自靠近BC的一条分角线（n为正整数，n≥2），交于点P． (1) 用含n、∠A的式子表示∠BPC，并说明理由； (2) 若∠BPC比∠A大112°，求n的值． 　【题型2】双动点追及中的全等时刻 5．如图，长方形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm．点P从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC方向以x cm/s的速度向点C运动，P、Q同时出发，设运动时间为t秒（0<t≤5）．当△APD与△BPQ全等时，求t和x的值（对应关系不唯一，需分情况讨论）． 　题型2　变式 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=14cm，BC=16cm。另有固定Rt△DEF，∠F=90°，DF=6cm，EF=8cm。点P从点A出发沿AC边向点C运动，点Q同时从点C出发沿CB边向点B运动，两点运动速度都是2cm/s，设运动时间为t秒（0<t<7）。当△PCQ与△DEF全等时，这样的t值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，BC=20cm，点D在AB上，BD=5cm。点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，点Q从点C出发沿CA方向以v cm/s的速度向点A运动，两点同时出发（P未到达C，Q未到达A）。若△BPD与△CQP全等，则v＝________cm/s。 8．如图，AC⊥CB，AC=6cm，CB=16cm。点P从点C出发沿CB方向以4cm/s的速度运动到点B后，立即沿BC方向以原速度返回点C（在线段CB上往返一次，设总运动时间为t秒，0<t≤8）。连接AP，得到Rt△ACP（∠ACP=90°）。另有固定Rt△A1C1P1，∠A1C1P1=90°，C1A1=6cm，C1P1=8cm。当Rt△ACP与Rt△A1C1P1全等时，求所有满足条件的t的值，并说明理由。 　【题型3】角平分线性质与面积比的转化 9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，BD＝4，DC＝3，AB＋AC＝21，求AB与AC的长。 　题型3　变式 10．在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知S△ABD∶S△ACD＝5∶3，AC＝6，则AB的长为（　　） A．AB＝10 B．AB＝3.6 C．AB＝6 D．AB＝8 11．如图，△ABC三条内角平分线交于点O，点O到三边的距离都等于2．若△ABC的周长为28，则△ABC的面积为________． 12．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12，S△ABC＝54．BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，BD、CE交于点O． (1)求证：点O到AB、BC、AC三边的距离相等； (2)求四边形AEOD的面积． 　【题型4】等腰三角形腰上的高与多解分类 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的高，CE是腰AB上的高（若∠BAC为钝角，则D、E分别在AC、AB的延长线上），BD、CE所在直线相交，所成的锐角为50°．求∠BAC的度数（顶角为锐角、钝角两种情况都要讨论）． 　题型4　变式 14．在某等腰三角形中，两个内角的度数之比为1∶4（暂不确定这两个角具体是顶角还是底角），求该三角形顶角的度数（　　） A．20° B．120° C．20°或120° D．36°或144° 15．等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把这个三角形的周长分成两部分，这两部分的差为3，则这个等腰三角形的底边长为________。 16．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形底角的度数。 　【题型5】整式乘积中缺项与“值与x无关”求参 17．已知(x²+mx+2)(x−3)展开后不含x²项． (1)求m的值；(6分) (2)求此时展开式中x项的系数．(4分) 　题型5　变式 18．把(x+a)(x−4)展开并合并同类项后，一次项的系数等于−1，据此可求得a的值为（　　） A．a＝−5 B．a＝3 C．a＝−1 D．a＝5 19．若(2x+p)(x²−qx+1)展开合并后不含x²项，也不含x项，则p＝________，q＝________。（写出所有满足条件的值） 20．已知M＝(x+a)(x²−2x+3)−(x²+b)(x−1)。 (1)将M展开合并，用含a、b的式子表示（3分）； (2)若M的化简结果与x的取值无关，求a、b的值（4分）； (3)将(2)中所求的a、b的值代入N＝3a²−2ab+b²+5，求N的值（3分）。 　【题型6】乘法公式的整体变形求值 21．一块长方形空地，周长为20米，面积为21 ㎡。现分别以这块地的长、宽为边，在长方形外侧各建一个正方形花坛。求这两个正方形花坛的面积之和，并求长方形的长与宽之差的平方。 　题型6　变式 22．两块正方形纸片的面积之和为34，边长之和为8，则这两个正方形边长之差的平方是（　　） A．30 B．15 C．4 D．64 23．设两个连续奇数满足它们的平方和等于130，那么这两个数相乘的结果是________。 24．已知(7−x)(x−3)=2，设a=7−x，b=x−3． （1）求a+b的值；（3分） （2）求(7−x)²+(x−3)²的值。（5分） 　【题型7】配方后用非负性判定三角形形状 25．已知等腰三角形两边长a、b满足a²+b²−10a−4b+29=0，求这个三角形的周长。 　题型7　变式 26．若三角形三边a、b、c满足a²−b²+ac−bc=0，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 27．已知实数x、y满足x²+y²+4x−6y+13=0，则xʸ的值为________。 28．已知△ABC的三边长a、b、c满足a²+b²+c²=ab+bc+ca。 (1)（4分）求证：△ABC是等边三角形； (2)（4分）若△ABC的周长为18，求它的边长。 　【题型8】分式方程增根与无解的参数分类 29．已知关于x的方程ax/(x−3) = 2 + 。 (1)（4分）将方程两边乘以(x−3)去分母，化为形如(a−2)x=−7的整式方程，写出化简过程； (2)（6分）分别讨论a=2与整式方程的根恰为增根（x=3）这两种情形，求出使原方程无解的所有a的值。 　题型8　变式 30．关于x的方程＝＋2，若去分母后所得整式方程的解使原方程分母为0（即这个解不是原分式方程的解），则这个解是（　　） A．x＝−1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1 31．分式方程 ＝3只有正数解，则参数m应满足的取值范围是________。 32．已知关于x的方程 －＝ 无解，求a的值。 　【题型9】分式化简求值中的整体代入与负整数指数幂 33．已知2a＝3b＝4c≠0．(1)（4分）请设k为参数，用代入的方法，求 的值；(2)（3分）计算 (−3)⁻²×⁻¹ 的值，并比较它与(1)中所得分式值的大小。 　题型9　变式 34．已知a＋a⁻¹＝5，求a²＋a⁻²的值是（　　） A．25 B．20 C．27 D．23 35．化简：＝________（结果只含正整数指数幂，并注明字母取值范围） 36．已知分式÷。 (1)化简这个分式；（4分） (2)从－2、－1、0、1、2这五个数中选取一个使分式有意义的x的值代入，求化简后分式的值。（4分） 　易错专练 37．在△ABC和△DEF中，下列四组条件中，仍无法据此判定△ABC≌△DEF的一组是（　　） A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AB=DE，BC=EF，AC=DF C．AB=DE，∠B=∠E，BC=EF D．∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E 38．小美测量一个等腰三角形模型，量得它的两条边长分别是7cm与15cm，请你求出这个三角形的周长（单位：cm）________。 39．逐项验证下列算式的计算结果，其中正确的一项是（　　） A．(−2a²)³=−6a⁶ B．(−2a²)³=−8a⁶ C．(a²)³=a⁵ D．a⁶÷a²=a³ 40．计算(3−2m)²的结果是（　　） A．9+4m² B．9+12m+4m² C．9−12m+4m² D．9−6m+4m² 41．把x⁴−16分解因式，结果正确的是（　　） A．x²(x²−16) B．(x+4)(x−4)(x²+4) C．(x²−4)² D．(x²+4)(x+2)(x−2) 42．当x=________时，分式的值为0。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $