第11讲 相似三角形的性质与应用（4.5～4.7）专题训练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

数学 · 九年级上册 第4章 相似三角形　第11讲　相似三角形的性质与应用（4.5~4.7） 　A组　 1. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是cm，则实像的高是（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 2. 如图所示的是某家用晾衣架的侧面示意图，已知，根据图中数据，两点间的距离是（　　） A. m B. m C. m D. m 3. 如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上。已知纸板的两条直角边cm，cm，测得边离地面的高度cm，cm，则树高等于（　　） A. cm B. cm C. cm D. 都不对 4. 如图，分别是的边上的点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知中，，用直尺和圆规过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（　　） 6. 如图，与交于点，且。若，则________. 7. 如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为________. 8. 如图，为的重心，过点作，分别交于两点，若的面积为，则的面积为________. 9. 如图，在矩形中，分别为的中点，相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是________. 10. 如图，在中，点分别在边上，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则________. 11. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且。 (1) 求证：。 (2) 为线段延长线上一点，且满足，求证：。 12. 如图，内接于，为的直径，。连结，弦分别交于点，其中是的中点。 (1) 求证：。 (2) 求的值。 13. 如图，已知是的直径，点在圆上，连结与交于点。 (1) 若，求的长。 (2) 若是的平分线，求圆的直径。 　B组　 14. 如图，锐角三角形中，，两动点分别在边上滑动，且得矩形，设的长为，矩形的面积为，则关于的函数图象大致形状是（　　） 15. 如图，在平行四边形中，为边的中点，连结交于点，若的面积为，则四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 16. 如图，在中，，若上的中线垂直相交于点，则可用的代数式表示为________. 17. 如图，是的直径，是一条弦。过点作延长线的垂线，垂足为。连结。 (1) ，求的长。 (2) 延长交于点，是弦上一点，且，求证：。 18. 如图1，在矩形中，为边上不与端点重合的一动点，是对角线上一点，连结交于点，且。 (1) 【模型建立】求证：。 (2) 【模型应用】若，求的长。 (3) 【模型迁移】如图2，若矩形是正方形，，求的值。 19. 如图1，在中，，是的外接圆，连结并延长交于点。 (1) 求证：。 (2) 如图2，是线段上的动点，连结并延长，分别交于点，连结。①当点与重合时(如图3)，求证：；②在①的条件下，若，求的长度；③若，求的最大值，并写出此时的值。 　C组　 20. 如图，点分别在的三边上，，下列结论正确的是（　　） A. 可求，不可求 B. 不可求，可求 C. 均可求 D. 均不可求 21. 如图，在矩形中，对角线交于点，点在边上，。点在线段上，若，则(1)________。(2)________. 22. 如图，正方形的边长是，连结交于点，并分别与边交于点，连结，下列结论：①；②；③；④当时，。其中正确的有________。(填序号) 23. 如图，已知正方形的边长为，是射线上一点(点不与点重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点。 (1) 求证：。 (2) 当点在边上时，如果，求的值。 (3) 当点在边延长线上时，设线段，求关于的函数表达式。 24. 如图1，为的直径，弦于点是上一点，延长交于点，连结与交于点。 (1) 若，用含的代数式表示。 (2) 如图2，连结，若，求证：。 (3) 如图3，在(2)的条件下，作于点与交于点，求的长。 参 考 答 案 1. C　解析：小孔成像是相似三角形，像高与物高之比等于像距与物距之比，故cm。 2. A　解析：由得，到距离为m，到距离为m，故，m。 3. A　解析：，。视线与水平线夹角正切为，故cm，cm。 4. B　解析：与同高，，故。由得。又，面积比。 5. D　解析：A(作)、B(过作的垂线)、C(以为直径作圆交于)都能得到斜边上的高，从而分成两个相似三角形；D作的是的垂直平分线，一般不经过且为中线，不能保证分成相似三角形。 6. 　解析：由得，相似比，故周长比。 7. 　解析：设。小矩形两边为与，与原矩形相似得，即，，故。 8. 　解析：重心在中线上满足，故时，，得。 9. 　解析：建系，。直线，直线，交点。即交于。。 10. 　解析：设，。得；得。平行四边形。由解得，故。 11. (1)设与交于，则。在Rt中；又得，故。结合，得，。因，故。(2)由在延长线上且共线得。因，为等腰三角形，。设，则。由(1)知，在Rt中，故，即。 12. (1)为直径故。为弦中点，为圆心，故，即。因，，即。在Rt中，在Rt中，故。(2)由得。建系，得直线，，，。由共线取横坐标差：。 13. (1)相交弦定理，即，。(2)设半径，建系为原点，，为弧中点。分且，由在轴得，可解得纵坐标为给出纵坐标。由得，结合，得，，直径。 14. B　解析：由得边上高。设矩形高，由得，即。，为开口向下、过、顶点在的抛物线，故选B。 15. C　解析：设，则，。，由得。四边形占。 16. 　解析：以重心为原点，。沿方向、沿方向，得。记，又，，相加得，故。 17. (1)建系。设。由为直径得：得；与联立，解得，故。(2)因，。由且得，从而。于是，结合公共直角得，故，即。 18. (1)矩形中，。由得，在中，故。(2)建系，得，。：得，故。(3)设正方形边长，，由得。，故。 19. (1)知在垂直平分线上，外心也在垂直平分线上，故直线即的垂直平分线，。(2)①与重合时，得，结合对称性可证，故，即。②得。设，由解得，。③（相交弦），而，当时积最大；此时为中点，可算得。 20. A　解析：设，可证各角随自洽但边长受约束。计算得为定值（与无关），而随变化，故可求、不可求，选A。 21. (1)；(2)　解析：(1)设，。由得，可求，，，故。(2)因平分得，又，故，，，。 22. ①③④　解析：建系，。①，故，正确。取算得。②而，不相等，错误。③，，相等，正确。④，正确。故填①③④。 23. (1)正方形中；由且得，故(ASA)。(2)建系，设，则。直线交轴于，。由得，或。，故或。(3)，，，，故。 24. (1)且为直径，故平分弧，弧弧。为弧所对圆周角，弧，弧。为弧所对圆周角，。(2)由弧弧得，且垂直平分，故在上满足。结合可证，得，即。(3)在(2)条件下，由及确定半径，进而由中与相似关系可算得。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $