4.5 相似三角形的性质及其应用 强化练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 练习聚焦相似三角形性质及应用，分层设计从基础概念到综合应用，通过生活及跨学科情境构建知识巩固路径，培养几何直观与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|三角形重心等单一概念|选择1直接考查重心定义，强化概念理解| |应用理解|相似性质的简单测量计算|填空10旗杆影长测量，体现物高与影长比例模型| |综合提升|多情境跨学科综合应用|解答14结合镜面反射、连通器原理测高，发展推理能力与应用意识|

4.5 相似三角形的性质及其应用 强化练习 一、选择题 1．如图，小星用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，他支起的这个点是三角形的(　　) A．三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 3．如图，某内空零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径AB.，量得，若此零件外围材质厚度均匀，则零件的厚度为（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm 4．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）． A． B． C． D． 5．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，则河的宽度PQ为（　　） A．30m B．60m C．90m D．120m 6． 四分仪是一种十分古老的测量仪器． 其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》． 图 1 是古代测量员用四分仪测量一方井的深度， 将四分仪置于方井上的边沿， 通过窥衡杆测望井底点 、窥衡杆与四分仪的一边 交于点 ． 图 2 中， 四分仪为正方形 ， 方井为矩形 ． 若测量员从四分仪中读得 为 为 0.5 ， 实地测得 为 2.5 ， 则井深 为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD和CB相交于点O，A，B之间的距离为1.2米，AB∥CD，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　） A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米 8．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（　　）米. A． B． C． D． 二、填空题 9．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图，若拍摄远的物体，其在底片上的图象的宽是，焦距是，则物体的宽是　 　． 10．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆 的高度， 把标杆 直立在同一水平地面上 （如图 ）． 同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 ． 已知 ， 在同一条直线上， ， 则 　 　m． 11．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为　 　米． 12．如图，在长沙一小区内拐角处的一段道路上，有一小朋友在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离　 　米时，才能发现C处的小朋友． 三、解答题 13．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，米，米. （1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，求AG （2）投石车投石瞬间，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE=5：1，则点G的上升高度为米. 14．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为　 　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 15．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米． （1）小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； （2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】三角形的重心及应用 【解析】【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故答案为：A 【分析】根据题意得到支撑点为三角形的重心，进而即可得到是三条中线的交点。 2．【答案】A 【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的. 故答案为：A. 【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答. 3．【答案】C 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴AB：CD=2， ∴AB：5=2， ∴AB=10cm， ∵外径为12cm， ∴10+2x=12， ∴x=1cm. 故答案为：C. 【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB再根据外径的长度解答. 4．【答案】A 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm， 则有， 解得=4， 即蜡烛火焰的高度是4cm. 故答案为：A. 【分析】根据小孔成像以及相似三角形的性质可知，蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立像的高度的比值，等于物距与像距的比值.根据小孔成像以及相似三角形的性质可知，蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立像的高度的比值，等于物距与像距的比值. 5．【答案】C 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：根据题意得QR∥ST， ∴△PQR∽△PST ∴，即， 解得：PQ=90m 故答案为：C. 【分析】根据相似三角形的性质得出，代数计算求解即可. 6．【答案】A 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由题意得， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得， ∴ 故答案为：A 【分析】由题意得，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而结合题意代入即可求出EF，再结合题意即可得到BG. 7．【答案】C 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴， ∴CD=0.96， 故答案为：C. 【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等即可求解. 8．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥EB于点M，交FA于点N，设FA=x米，则MN=FD=， ∵车头近似看成一个矩形， ∴FA∥CD， ∴△PFA∽△PEB， ∴， ∴， 解得：x=， 即FA的长度为米。 故答案为：D。 【分析】如图，过点P作PM⊥EB于点M，交FA于点N，设FA=x米，则MN=FD=，然后根据△PFA∽△PEB，可得，即可得出，解方程即可得出FA的长度。 9．【答案】24 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：， ， ，即， ， 故答案为：24． 【分析】证明，根据相似三角形的性质求解即可。 10．【答案】9.88 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：由题意可知AC∥DF， ∴ ∠C= ∠ F， 由题意可知 ∠ B= ∠ E=90°， ∴△ABC∽△DEF， ∴即 解之：AB=9.88. 故答案为：9.88. 【分析】利用在相同时刻物高与影长成正比，可得到比例式，然后求出AB的长. 11．【答案】 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴（米）， 故答案为：. 【分析】本题根据相似三角形的预备定理：得出，再根据相似三角形的性质：对应边成比例，列出比例式：，求出QB，再通过计算出AB即可. 12．【答案】5.75 【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：米，米，， 由勾股定理求得CM=3米， 解得BD=2.25米， ，米， 由勾股定理求得米， 米， 故答案为：5.75. 【分析】先利用勾股定理求得CM=3米，再证明由相似三角形的性质求得BD=2.25米，再利用勾股定理即可求解. 13．【答案】（1）解：如图，连接AB，过A点作AF⊥BC于F， ∵AD=AC=3米，CD=3.6米， CF=DF=1.8米， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AG的长为4米， （2）过点G作GF⊥DC于点F，过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHE=∠GFE=90°，如图所示： ∵CD=3.6米，DE：CE=5：1， ∴CE=0.6米， ∴EH=1.8-0.6=1.2米， ∴AE=米， ∵∠AEH=∠GEF， ∴△EAH∽△EGF， ∴， ∴， 解得：GF=， ∴点G上升的高度为（）米， 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】（1）连接AB，过点A作AF⊥CB于点F，用勾股定理求出AF的长，证△AFB∽△CFA，根据对应线段成比例求出BF的长，再用勾股定理求解即可； （2）过点G作GF⊥DC于点F，过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHE=∠GFE=90°，先证出△EAH∽△EGF，可得，再将数据代入求出GF的长即可. 14．【答案】（1）11.3 （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用 【解析】【解答】解：（1）依题意，DE=EF，即△DEF是等腰直角三角形， ∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE=45°， ∴△ABC也是等腰直角三角形， ∴AB=BC=11.3 【分析】（1）根据已知条件信息结合光照射角度平行推出特殊直角三角形，即求得旗杆高度； （2）根据题意，由镜面反射原理推出两直角三角形相似，进而利用相似性质求边，即旗杆高度； （3）同相似原理，利用两组已知信息的小三角形与目标AB边构成相似三角形建立等量关系，为便于表达关系可以设BG，并以公共边AB建立等量关系求出边长即可求得AB高. 15．【答案】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：古树的高度是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7m． 【知识点】相似三角形的实际应用 【解析】【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出，最后利用线段的和差求出DE的长即可； （2）先证明，可得，将数据代入可得，求出，最后求出即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $