专题4.5 相似三角形的应用（9大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的应用这一核心知识点，系统梳理相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）和性质（对应边成比例、周长比等于相似比等），构建从基础理论到实际应用的学习支架，涵盖测量高度、距离、影长等场景，通过即学即练和分题型典例帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料特色在于融合现实情境与传统文化，如《墨经》小孔成像、《周髀算经》测量方法，引导学生用数学眼光抽象模型，通过推理相似关系培养数学思维，借助比例计算发展数学语言。课中助力教师分层教学，课后通过变式练习和综合题帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.5 相似三角形的应用 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01相似三角形的性质的应用涉及的知识 2.知识清单 题型01利用三角形相似求建筑物高问题 题型02利用三角形相似求影长问题 题型03利用三角形相似求河宽问题 相似三角形的应用 题型04利用三角形相似求树高问题 题型05利用三角形相似求杠杆问题 3.题型精讲 题型06利用三角形相似求镜面问题 题型07利用三角形相似求古文问题 题型08利用三角形相似求现实生活相关问题 题型09利用三角形相似求三角形内接矩形问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 进一步巩固相似三角形的判定定理和性质，清晰理解其适用条件。 2. 熟练运用相似三角形知识，解决诸如测量物体长度和高度、计算距离等无法直接 教学目标 测量的实际问题。 3.经历将实际问题转化为相似三角形数学模型的过程，增强数学建模思维，提升分 析和解决问题的能力。 1.重点 (1)能够准确识别实际问题中相似三角形的模型，熟练运用相似三角形对应边成比 教学重难点 例等性质求解相关问题。 (2)掌握利用相似三角形解决常见实际测量问题的方法，如测高、测距。 2.难点 1/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)从复杂的实际情境中抽象出相似三角形模型，准确找出对应边和对应角。 (2)灵活运用相似三角形知识，对实际问题进行全面分析，选择合适的条件和方法 进行求解。 知识清单 知识点01相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的 两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于 相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度)、计算距离（如河宽测量）、工 程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【即学即练】1.据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验， 阐释了光沿直线传播的原理.如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4m,蜡烛火焰的像的高 度是8cm,物距为l5cm,则像距是() 像距 物距 A.18cm B.20cm C.24cm D.30cm 2.如图，A、B两地被假山阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C,连接CA、CB,分别 在CA、CB上取点D、E,使得CD:AD=CE:BE=I:2,量得DE的长为8m,则AB两地的距离为 m. 2/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 3.小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为 DM,小美测量出DM=lm,当小丽移动至点F时，她的影子为FN,小美测量出FM=FN=1.5m.已知 CD=EF=l.5m,AB⊥BN,CD⊥BN,EF⊥BN,点B、D、M、R、N在同一水平直线上，图中所有的点都 在同一平面内，请你求出路灯的高度AB. B F MD 题型精讲 题型01利用三角形相似求建筑物高问题 【典例1】元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期.2013年被定为第七批 全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动.记录如下：如图、AB 表示塔的高度，CD表示竹竿项端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD,EF在同一平面 内，点A、C、E在一条水平直线上，己知AC=20m,CE=10m,CD=9.2m,EF=1.2m.人从点F 远跳塔顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D.根据以上信息，计算塔的高度为() 2 A.12m B.24m c.25.2m D.20m 【变式1】如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE=8米，然后沿着直线 BE后退到点D处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A,并测得DE=2米，眼睛到地面的距离 CD=1.7米（此时∠AEB=∠CED),那么凉亭AB的高为米 3/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产，小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”， 想用直角曲尺测量大雁塔高度.如图，点A,B,N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM 交BC于点D.测得AB=50cm,BD=30cm,BN=107m,则大雁塔MN的高度为. m. M 【变式3】如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水 塔的影子遮住.已知小亮的身高BC=1.6m,此时，他的影子的长AC=lm,他距水塔的底部E处11.5m, 水塔的顶部为点D.根据以上数据，你能算出水塔的高度DE是多少吗？ B A 题型02利用三角形相似求影长问题 【典例2】如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种 测量方案： 777777777777777 任务一：你选取的工具是 (可选工具：小镜子、标杆、皮尺)； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）， 4/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测量数据：①小星与旗杆的距离为l8m,②小星到镜子的距离为2m,③镜子到旗杆的距离为l6m,④同 一时刻，小星的影长为2m,旗杆的影长为l6m,⑤小星的身高为l.7m(眼睛到头顶的距离忽略不计)， ⑥标杆长3.lm,⑦小星与标杆的距离为2m. 【变式1】如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为 1.5m,在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不一定落在地面上，有一部分落在墙上， 测得落在地面上的影长BD为l8m,留在墙上的影高CD为3m,AB⊥BD,CDL BD,点A,B,C,D 在同一平面内，求旗杆的高度AB A太阳光线 【变式2】数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔AB高度，并给出测量设计方案.测量 工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺.请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔 高；若认为两个方案均不可行，则说明理由 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式.如图1，第一次测量某一时刻木 棍CD与塔影一端重合在点M,测得棍影CM为1米；第二次测量另一时刻棍影EN与塔影BN一端重合在 点N,测得EN=1.5米，木棍移动距离CE=12米， 小河组：采用固定木棍分次测量方式.如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影BE的位置并测量出 棍影QG长为1.5米.第二次测量在某一时刻，标记塔影BF的位置并测量出棍影QH长为2米，两次塔影 顶端EF的距离为12.4米 (注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光) HGO B 图1 图2 题型03利用三角形相似求河宽问题 【典例3】如图，ED为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即 CE=3米)，因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上己经建好一座 5/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半 圆（直径MN=1米），绳子QM=QN=1.3米，钢架高度2.2米(AB=2.2米)，距离防洪堤边缘为0.5米 (BC=0.5米). (1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为米： (2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C,则DP的长度应大于 米. ◇ P 西岸东岸 【变式1】如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,使AB与河 岸垂直，在近岸取点C,E,使BC⊥AB,CE⊥BC,AE与BC交于点D.已测得BD=30米，DC=10米， EC=12米，求河宽AB的长. 【变式2】如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m,在距离岸边 16的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树B、C的树干恰好被这岸的两棵树ED的树干遮住，又知这岸 的两棵树D,E之间有一棵树，对岸的两棵树B、C之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽. 题型04利用三角形相似求树高问题 【典例4】樱花红陌上，杨柳绿池边.每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园 增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质.高新区某中学的 6/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架(E℉) 放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着 直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF,观测者目 高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F, AB⊥BD于点B,BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，那么这棵樱花树的高度(AB的长) 是多少米？ 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中 的∠ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,Q在同一 水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=50cm,BD=25cm,AQ=16m 求树高Pg D B 【变式2】小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知 CD和地面成30°角，CD=4m,BC=10m,且此时刻得lm高的标杆在地面的影长为2m. E G 1米杆 2米 4米 2米影 B 10米 C (1)点D到地面的距离为米 (2)求电线杆AB的高（结果保留根号） (3)若CG是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线AD上，在山坡上有一建筑物EF高2m,求此时 它落在坡面上的影长FK(结果保留根号). 7/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05利用三角形相似求杠杆问题 【典例5】桔棉俗称“吊杆”（如图1），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械. 桔棉示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OA:OB=2:1,当点A运动到点A 处时，物体B运动到B处.若A4=3.6m,则B,B两点之间的距离为 m. B A B M 地面 图1 图2 【变式1】如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知BO=2AO,则要使该圆球向上抬升（竖直高度） 12cm,杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是一cm B A 【变式2】我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”，如图，杠杆CD以P为支点，当 C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面DD'是l20cm;当工人用力按压D端，直至点D着地落到D 时，C端的重物被送到C处，此时重物距离地面CC为8OCm,求支点P到地面的距离PM. 用力点阻力点 支点 题型06利用三角形相似求镜面问题 【典例6】如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点C处水平放置一平面镜，然后 向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离 地面的高度AB=1.6m,同时量得小明与镜子的水平距离BC=2m,镜子与旗杆的水平距离CD=12m, 8/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：△ABC∽aEDC; (2)求旗杆ED的高度. 【变式1】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米.如图①，现因房间两面墙的距离为3米， 因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理， 作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处. 如果视力表的全长为O.8米，求镜长MM'的长. 平 一3米 视 镜 B B ① ② 【变式2】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智 和古塔之间，直线BM上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C,镜子不动，小安看着镜面上的 标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地 面的高度ED=1.6米，CD=2.8米.同时，在阳光下，古塔AB的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测 得大智身高FG为1.8米，影长FH为3.6米，已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,DH=21.2米，A、H G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔AB的高 度 -M 题型07利用三角形相似求古文问题 【典例7】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），由于使用时安 放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令BG=x(单位：m), 9/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ EG=y(单位：m),若a=10cm,b=20cm,AB=1.55m,则'关于x的函数解析式为() E A 铅 锤 G 图1 图2 A.y=0.5x+1.55B.y=0.5x+1.60 C.y=2x+1.55 D.y=x+1.55 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中 的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,Q在同一水 平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=0.4m,BD=0.2m,A0=12m,求 树高P№ B 【变式2】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆， 合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线BAC), 小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度E℉ 测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边BC保持水平(BC∥DF), 并且边AB与点E在同一直线上，BD、EF均与DF垂直. 测量结果：AB=0.3m,AC=0.2m,∠BAC=∠DFE=90°，BD=1.6m,DF=21.6m. 解决问题：求西岳庙内古柏的高度EF, E 测量工具“矩” D 图1 图2 题型08利用三角形相似求现实生活相关问题 【典例8】如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA,OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置， 10124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD⊥OA,垂足为D,DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,且铁夹的剖面图是轴对称图形，则 A,B两点间的距离为() B 24 4.30mm B.32.5mm C.60mm D.65mm 【变式1】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m.当BC=2.5m时，点B到地面的距离 BE=1.5m,则点A到地面的距离AD为() B D E A.2.6m B.2.5m c.2.46m D.2.22m 【变式2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三 角形，因而把它形象的称为“人字梯”，如图②，是其工作示意图，拉杆 EF‖BC,AE=号BE,EF=0.4米，则两梯杆跨度B、C之间距离为」 3 米 B 图① 图② 题型09利用三角形相似求三角形内接矩形问题 【典例9】有一块锐角三角形余料△ABC,边BC为15cm,BC边上的高为12cm,现要把它分割成若干 个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方 形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 11/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】如图，有一块三角形余料ABC,它的边BC=18cm,高AD=12cm,现在要把它加工成长与宽 的比为3：2的矩形零件EFCH,要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则矩形EFGH 的周长为 E M H B F D G 【变式2】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那 部分区域.预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力，小明在学习了交通安全知 识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员 的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5m,车宽AF=1.8m,车头FACD近似看成一个矩形，且满足 3DF=2AF,求汽车盲区EB的长度. p R D 图1 图2 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026山西晋中·二模)无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三 角形模型.如图所示，地面上的目标线段AB在相机传感器上的成像为线段CD,△DCO∽△BAO.目标线 段AB的长度为72m,CD的长度为6.4mm,若此时该相机镜头O距离成像传感器CD的距离ON为8mm 则无人机镜头O距地面的垂直高度OM为() 12/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D中C O B M A.100m B.90m C.80m D.57.6m 2.(25-26九年级上江苏无锡·期末)图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后 如图2所示，此时液面AB的宽度为() 6cm、 15cm 不 9cm 6cm 水平线 图1 图2 A.3cm B.2cm C.1.5cm D.Icm 3.(2026河北石家庄·一模)如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得 点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm,15cm.若CD长为6cm,则AB长为() 光屏 15 B.cm 15 18 C.10cm D.5cm 4.(2026安徽宿州·二模)在物理课上的小孔成像实验是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经挡板OC上的小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B',已知蜡烛 AB=36cm,A,A到挡板OC的距离分别为30cm,20cm.则蜡烛AB的成像A'B'的长为() 13/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.16cm B.18cm C.24cm D.28cm 5.(25-26九年级上广东河源阶段检测)为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点A,B,C, 并且分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC,经测量，BC=6m,DE=9m,且点E到河岸 BC的距离为5m,则河宽AF为() A.10m B.9m C.6m D.5m 二、填空题 6.(2026安徽滁州·一模)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了 杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见，如图 甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂 OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=12cm,则AC的长度是 cm 甲 乙 7.(25-26九年级上河北保定·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两 条边呈直角的曲尺（即图中的ABC)，“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如 图，点A,B,E在同一水平线上，∠ABC=∠AEF=90°，AF与BC相交于点D.测得AB=60cm, BD=20cm,AE=9m,则树高EF是 14124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 8.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点 C,使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作CD1AB,垂足为D,测得AD=I0m,AC=20m, 根据所测得的数据可算出A,B两点之间的距离是 m. 9. (2026河北保定·二模)手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的.一次游戏中，小明的手BE 距离墙壁2米（即BE与DC之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到BE的距 离)，如图所示.若在光源不动的情况下，小明的手BE=12Cm,则手影CD的长为cm A 光源 手 影 B 墙 10.(25-26九年级上·宁夏银川期末)大约在两千四百多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成 倒像的实验（如图①），小明用一根高6cm的蜡烛、一个刻有小孔的木板和一个白板做了类似的实验（如 图②)，己知蜡烛、木板和白板均垂直于水平面，蜡烛到木板的距离为l8cm,木板到白板的距离为30cm, 点燃蜡烛后，蜡烛火焰呈现在白板上倒立的像的高度是I0©m,则点燃后蜡烛火焰的高度是 cm 图① 图② 三、解答题 11.(26-27九年级上·全国单元复习)《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深， 卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF), 15124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 小南同学利用“矩”可测量大树AB的高度，如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜 边DF保持水平（即DF∥AM),并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为 EF=0.4m,DE=0.6m,小南的眼睛到地面的距离DM为l.5m,测得AM=21m,求树AB的高度. 77777777777777777 12.(25-26九年级上广东茂名阶段检测)【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O,经测量， 得到AB=CD=136cm,OA=OC=5lcm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF成一条线段， 测得EF=32cm 图1 图2 (I)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC‖EF: (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 13.(2026河南平顶山三模)悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正 午时分，日照塔无影，故又名无影塔.某数学小组测量该塔MW的高度，如图，先在点A处放一平面镜， 沿NA方向前进lm到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M,再沿NA方向前进8m,将另一平面镜 放在D处，此时在距离该平面镜1.6m的E处恰好再次看到塔的顶部M,已知观察者眼睛到地面的距离 CB=FE=1.7m,点E,D,B,A,N在同一条直线上，求悟颖塔MN的高度（结果保留整数） E D BA 14.(2026陕西渭南·二模)作为西安市文化新地标，长安书院（如图1)主体建筑以“翻开的书”为造型， 展现出“写意长安”的韵味.小美和小艺同学某次去长安书院读书时，设计了如下测量方案，以测量檐口 16124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某处距离地面的高度；如图2，小美在地面上的点C处测得檐口A的仰角∠ACB=45°，小艺在点H处放置 一面平面镜（大小不计），站在点D处，眼睛位于点E处时，恰好从平面镜中看到檐口A的像，已知 DE=1.8米，DH=2.1米，CH=8米，AB⊥BD,ED⊥BD,B、C、H、D在一条水平直线上，图中 所有的点都在同一平面内.请你计算檐口A距离地面的高度AB. C HD 图1 图2 15.(26-27九年级上全国·课后作业)某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小 组欲测量塔的高度，测量过程见表 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：×× 测量方案及示意图 图1 图2 步骤1：把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标 杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q,测得D=3m, 测量步骤 步骤2：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，塔尖点A 和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P,测得PF=4m FD=17.5m」 数学运算 根据表格信息，求塔的高度AB. 能力提升 17124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26九年级上福建三明期中)如图，小明在A时测得某树的影长为3m,B时又测得该树的影长为 2m.若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为() A时 B时 A.2m B.√6m C.3m D.6m 2.(25-26九年级上河南郑州期中)如图，小南利用三角板测量大树AB的高度.他通过不断调整自己的 姿势和三角板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长 分别为EF=0.2m,DE=0.3m,小南的眼睛到地面的距离DM为l.6m,测得AM=2lm,则树高AB的长 为() ● A.14 B.15.6 C.14.6 D.15 3.(25-26九年级上广东佛山阶段检测)九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地 面上的一座寺庙AB的高度.如图，小明在距B点10米F处竖立了一根高为2米的标杆EF,然后小明向 后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛D、标杆项端E、寺庙项端A在同一直线上， 已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为() D B F C A.4米 B.4.4米 C.5.6米 D.6米 4.(25-26九年级上江苏镇江阶段检测)如图，树AB在路灯O的照射下形成影子AC,已知路灯高 P0=5m,树影AC=3m,树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m,点C、AP在同一水平线上，则树的高 度AB长是() 18/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2 10 A.3m B.2m C.3m D.3m 5.(25-26九年级上广西贵港期中)如图，小林身高AB=1.6m,在路灯O的照射下，影子不全落在地面 上.小林AB离路灯的距离AP=6.6m,落在地面上影长AC=0.9m,留在墙上的影高CD=lm,则路灯 OP高为() 00 0 y 00 A.6m B.7m C.8m D.9m 二、填空题 6.(25-26九年级上山西吕梁期末)凸透镜成像的原理如图所示，AD∥HG∥BC,若焦点乃到物体的距 CG 离与到凸透镜中心线DB的距离之比为2：1，则的值是一 物体 缩小的 实像 7.(25-26九年级上·上海闵行阶段检测)如图，小王同学周末晚上陪父母在绿道上散步，他由灯下A处 前进2m到达B处时，测得影子BC长为lm,已知小王身高l.6m,他若继续往前走2m到达D处，此时影 子DE长为」 19124 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D C B A 8 (25-26九年级上江苏南京期末)《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开 门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，M、N分别是正方形ABCD边 BC和DC的中点，正方形的边长为200步，出东门M继续往东走16步有一树木（点E),问出南门N继续 往南走多少步恰好能看到位于点E处的树木（即点C在直线EF上）？则根据以上信息，算出FN的长是 步 A,--------,B 东门M7树E 南门N 9.(25-26九年级上吉林长春·期末)如图，小明打网球时，在距离球网4.5米的位置击球，使球恰好打过 网，已知球网高为0.92米，球沿直线前进且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h约为 米.（精确到0.01米） h m 0.92m 4.5m 5m 10.(25-26九年级上河北石家庄·期中)汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线 被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避 险能力.小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2，是他研究的一个汽车盲区的示 意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m,车宽AF=1.8m,车头 FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF,点A,F分别在PB,PE上，点C,D在EB上，则汽车盲 区EB的长度为 m. 20124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 三、解答题 11.(25-26八年级下·江苏苏州·期末)如图，小明站在离路灯9m处（即BC=9m),这时测得他的影长 为3m(即CE=3m),已知小明的身高为l.5m(即CD=1.5m),求路灯AB的高度. 12.(2026陕西西安·三模)刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数 学遗产.某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度AB.因其在 墙外，底部不可直接到达，故在校园内的E，G两点处分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH(如图)， 两标杆间隔EG为28m,并且建筑物AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略 不计)放在标杆EF右侧3m远的点D处，此时测得点D,F,A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆 GH右侧5m远的点C处，测得点C,H,A在同一条直线上.己知点B,E,D,G,C在同一条直线上， AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,求该建筑物的高度AB. F H B ED GC 13.(25-26九年级上四川成都期末)某数学兴趣小组开展综合实践活动.如图，他们发现一间房屋前有 一堵围墙AB,同学们想测量围墙AB的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A 经窗户点C处射进房间地面落在点E时，测得PE=3米；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点 D处射进房间地面落在点F时，测得PF=1米.此外，还测得窗高CD=1.2米，窗户距地面的高度PD=12 米，AB垂直于BE,DP垂直于BE.请根据以上信息求出围墙AB的高. C D B F 14.(25-26九年级上安徽合肥期末)综合实践：照明节能改造方案调研与设计 21/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研. 目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路 灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案. 二、实践任务 任务一基础测量一一两种方法测灯高 情境：校园主干道上的路灯由主杆AB和悬臂AC构成，悬臂与地面平行.为了获取准确数据，小组分别设 计了两种测量方案。 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯CD旁竖直立一根MN=2m的标杆，测得标杆影长WP=3m,标杆底部到路灯底部的水平 距离DW=4.5m 问题1：请计算路灯CD的高度. 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为2m的标杆MN竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M地面点P三 点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线.已知EP=lm,路灯悬臂底部D到主杆底部 B的水平距离BD=1.5m,且B、D、N、E、P在同一水平线上 问题2：求主杆AB的高度 任务二：节能分析一一改造前后对比 原路灯使用0.25千瓦高压钠灯，改造后拟使用0.16千瓦的LED灯，LED灯的照明效率更高 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费0.6元/千瓦时，估算改造后每学期（按100 天计算)节约的电费. E 图1 图2 15.(25-26九年级上山西吕梁期末)阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务 “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程 中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相 似三角形的相关知识解决问题.“A”字形是其中最基本的模型。 22124 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【基本模型积累】 如图1，在△ABC中，：DE∥BC, E .(依据1) B 图1 .△ADE∽△ABC .AD-AE DE AB AC BC· (依据2) 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接BE,过点A作DE的平行线，交BE的延长线于点F,如图2，通 111 过探究发现，线段B,DE,BC之间的关系满足F+BCDE A E 证明： B C 图2 ,DE∥BC DEDE_AD.BD-AD+BD=4B-1. BC AF AB BA AB AB DEDE 11 将式子BCAF l两边同时除以DE得BC+作DE·即 1 +1=1 AF BC DE 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的 直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体MN,光屏PQ竖直放置在桌面上， 物体MN经小孔O在光屏上形成倒立的实像NM'(点M'与点Q重合).若已知物体 MN的高度和小孔O到桌面的距离OH,可求出实像NM'的高度. 23124 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ P M N 0 N 桌面H O(M) 图3 任务： (1)材料中的“依据1”是指」 “依据2”是指 (2)补全【基本模型拓展】的证明过程. (3)在图3中，若已知物体MN的高度为15cm,小孔O到桌面的距离OH为6cm,则实像NM'的高度为 cm 24124 专题4.5 相似三角形的应用 教学目标 1. 进一步巩固相似三角形的判定定理和性质，清晰理解其适用条件 。 2. 熟练运用相似三角形知识，解决诸如测量物体长度和高度、计算距离等无法直接测量的实际问题。 3. 经历将实际问题转化为相似三角形数学模型的过程，增强数学建模思维，提升分析和解决问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）能够准确识别实际问题中相似三角形的模型，熟练运用相似三角形对应边成比例等性质求解相关问题。 （2）掌握利用相似三角形解决常见实际测量问题的方法，如测高、测距 。 2.难点 （1）从复杂的实际情境中抽象出相似三角形模型，准确找出对应边和对应角 。 （2）灵活运用相似三角形知识，对实际问题进行全面分析，选择合适的条件和方法进行求解 。 知识点01 相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度）、计算距离（如河宽测量） 、工程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【即学即练】1．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 2．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 3．小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，再由，可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 解得：， 答：路灯的高度为． 题型01 利用三角形相似求建筑物高问题 【典例1】元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物、为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图、表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点、、在一条水平直线上，已知，，，．人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定及其性质的运用是关键，根据题意，四边形，四边形是矩形，证明，得到，即，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意，， ∴，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心知识点是“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形对应边成比例的性质．首先根据垂直关系得到两个直角相等，结合已知的角相等，证明与相似；再利用相似三角形对应边成比例的关系，计算出凉亭的高度． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得(米)； 故答案为：． 【变式2】大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，从而证得，进而得到，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住．已知小亮的身高，此时，他的影子的长，他距水塔的底部E处，水塔的顶部为点D．根据以上数据，你能算出水塔的高度是多少吗？ 【答案】水塔的高度是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意得，进而得，可得，最后，代入相关数据计算即可． 【详解】解：能算出水塔的高度，；理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得：， ∴水塔的高度是． 题型02 利用三角形相似求影长问题 【典例2】如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一）；任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一）；任务三：（答案不唯一），如选取数据①，⑤，⑥，⑦．学校旗杆的高度约为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：根据测量需要选择即可； 任务二：根据题意画图即可； 任务三：选取数据①，⑤，⑥，⑦．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出旗杆的高度． 【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一） 任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一） 任务三：（答案不唯一） 如图3，选取数据①，⑤，⑥，⑦． 得， ， ． ， ， ， ． ， ． 答：学校旗杆的高度约为． 【变式1】如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不一定落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，，，点，，，在同一平面内，求旗杆的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出的长，即可求出旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 根据题意可得，即， 解得， ． 答：旗杆的高度为． 【变式2】数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 【答案】两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查利用相似三角形测高，小天组：证，可得，再证，可得，根据即可求解；小河组：小河组：由题意得，证明，，推出，求出，即可解答． 【详解】解：小天组：由题意得， ∴， ∴，， ∴，， ∵米，米，米， ∴米， ∴，， ∴， ∴，即， ∴米； 小河组：由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴米，与米非常接近，可视作测量或记录误差所致， 综上，两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米． 题型03 利用三角形相似求河宽问题 【典例3】如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2.2米（米），距离防洪堤边缘为0.5米（米）． （1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为 米； （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于 米． 【答案】 5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点C到滑轨的距离不小于1.7，再利用可得，设，根据比例关系即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接， 由题意可知， 则由勾股定理可得：， 故答案为：5； （2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交与点W． 则， ， ， ， 即， ∴， 则至少为米， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊盒的总长度是解题的关键． 【变式1】如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 【变式2】如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 【答案】河宽为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 题型04 利用三角形相似求树高问题 【典例4】樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 【变式2】小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度； （3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N， ∵， ∴． 故答案为：2． （2）解：由勾股定理得， ∵得高的标杆在地面的影长为， ∴， ∴的影长， ∴电线杆的高为． （3）解：由题意得∶，， ∴， ∴，即，解得：， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 题型05 利用三角形相似求杠杆问题 【典例5】桔棉俗称“吊杆”（如图），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械．桔棉示意图如图所示，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，，当点运动到点处时，物体运动到处．若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明即可得解． 【详解】解：连接，， 由题意可知：，， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：． 【变式1】如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可． 【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点, ,， , , , , ，， ， ， 故答案为：. 【变式2】我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 【答案】支点到地面的高度为为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：依题意得： ，， ， ， ， 又，， ， ， 同理可证： ， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 题型06 利用三角形相似求镜面问题 【典例6】如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)9.6米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 答：旗杆的高度9.6米． 【变式1】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图①，现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上下边沿上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为米，求镜长的长． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确做出辅助线构造相似三角形成为解答本题的关键． 如图：作，垂足为D，并延长交于E，然后证明，可得，最后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为点D，并延长交于点E． ， ， ， ． （米），米，米， ， ． 答：镜长的长为米． 【变式2】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【答案】古塔的高度为96米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 米，米， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义， 故米． 答：古塔的高度为96米． 题型07 利用三角形相似求古文问题 【典例7】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图所示的位置，令（单位：），（单位：），若，，，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，根据题意，则，又四边形是矩形，可得，，则，再根据，由此即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意可知，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【详解】解：， ， ， ， 代入，，，解得， ． 答：树高为． 【变式2】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线）． 小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度． 测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（），并且边与点在同一直线上，、均与垂直． 测量结果：，，，，． 解决问题：求西岳庙内古柏的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形（相似三角形实际应用），由题意发现是解题的关键． 延长交于点，易得四边形为矩形，于是可得，，，由，可证得，于是可得，即，进而可得，然后根据即可求出西岳庙内古柏的高度． 【详解】解：如图，延长交于点， 易得四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 即：， ， ， 西岳庙内古柏的高度是． 题型08 利用三角形相似求现实生活相关问题 【典例8】如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 【变式2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 题型09 利用三角形相似求三角形内接矩形问题 【典例9】有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可. 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键 【变式1】如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设 ，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为： ． 故答案为：． 【变式2】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2026·山西晋中·二模）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：， 第二个高脚杯盛液体的高度为：， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】注意相似三角形的对应高之比等于相似比． 3．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（   ） A．cm B．cm C．10cm D．cm 【答案】D 【分析】运用相似三角形的性质可得结论 【详解】如图，过点作，， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ． 4．（2026·安徽宿州·二模）在物理课上的小孔成像实验是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经挡板上的小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，已知蜡烛，A，到挡板的距离分别为，．则蜡烛的成像的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， 根据题意得， ，，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点E到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上的高，则为的边上的高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 二、填空题 6．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 7．（25-26九年级上·河北保定·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C，使点C在点B正南方，在点A正东方，过点C作，垂足为D，测得，，根据所测得的数据可算出A，B两点之间的距离是____________． 【答案】40 【分析】本题主要考查相似三角形的应用：证明，得到即可求解． 【详解】解：∵在点正南方，在点正东方， ， ， ， ， ， ，即，解得， 故答案为：40． 9．（2026·河北保定·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手距离墙壁2米（即与之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手，则手影的长为_____． 【答案】20 【分析】利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∵中边上的高为米，中边上高为米， ∴， ∴若在光源不动的情况下，小明的手，则手影． 10．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）大约在两千四百多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图①），小明用一根高的蜡烛、一个刻有小孔的木板和一个白板做了类似的实验（如图②），已知蜡烛、木板和白板均垂直于水平面，蜡烛到木板的距离为，木板到白板的距离为，点燃蜡烛后，蜡烛火焰呈现在白板上倒立的像的高度是，则点燃后蜡烛火焰的高度是_________． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得， 故答案为：6． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 12．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 13．（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 【答案】 【分析】根据，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴ 解得：， 即悟颖塔的高度为． 14．（2026·陕西渭南·二模）作为西安市文化新地标，长安书院（如图1）主体建筑以“翻开的书”为造型，展现出“写意长安”的韵味．小美和小艺同学某次去长安书院读书时，设计了如下测量方案，以测量檐口某处距离地面的高度；如图2，小美在地面上的点处测得檐口的仰角，小艺在点处放置一面平面镜（大小不计），站在点处，眼睛位于点处时，恰好从平面镜中看到檐口的像，已知米，米，米，，，、、、在一条水平直线上，图中所有的点都在同一平面内．请你计算檐口距离地面的高度． 【答案】48米 【分析】根据题意得到为等腰直角三角形，证明，再根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． ， ， ， 即， 解得米， 檐口距离地面的高度为48米． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 即树的高度为； 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（　　） A．14 B．15.6 C．14.6 D．15 【答案】B 【分析】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键． 根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴, ∵，，， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键． 过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G， 由题意可知：， ∴， ∴， ∵米，米，米 米，米， ∴， ∴米， ∴米． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，树在路灯的照射下形成影子，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，点在同一水平线上，则树的高度长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，因此可求出，然后证明，得，，求的值，最后根据计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于， ∴四边形和为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）凸透镜成像的原理如图所示，，若焦点到物体的距离与到凸透镜中心线的距离之比为，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证四边形为矩形，得到，再根据，即可求出． 【详解】解：由题意知，， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，小王同学周末晚上陪父母在绿道上散步，他由灯下处前进到达处时，测得影子长为，已知小王身高，他若继续往前走到达处，此时影子长为________． 【答案】/2米 【分析】本题考查了相似三角形的应用；依据，即可得到，再依据，即可得到长． 【详解】解：如图， 由可得，， ∴，即， 解得， 由可得，， ，即， 解得， 故答案为． 8．（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 ______ 步 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ∴， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 _________米．（精确到米） 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解决本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ，，， ， ， 解得：． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【答案】 【分析】先求出的长，再证出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 12．（2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 【答案】 【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 答：该建筑物的高度为． 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）某数学兴趣小组开展综合实践活动．如图，他们发现一间房屋前有一堵围墙，同学们想测量围墙的高度，进行了如下操作：在某一时刻，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面落在点E时，测得米；过了一会，当阳光恰好从围墙最高点A经窗户点D处射进房间地面落在点F时，测得米．此外，还测得窗高米，窗户距地面的高度米，垂直于，垂直于．请根据以上信息求出围墙的高． 【答案】围墙的高为米 【分析】根据垂直定义可得，然后证明∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ∽，∽， ，， ，， 解得：，， 解得：， 解得：， 米， 围墙的高为米． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）综合实践：照明节能改造方案调研与设计 一、项目背景 为响应“绿色校园、智慧城市”的建设倡议，数学实践小组计划开展校园道路照明系统的节能改造调研．目前，校园内部分路灯因设计年代较早，存在光照不均匀、能耗较高等问题，小组成员需要先测量现有路灯的各项参数，再结合相似三角形、比例关系等数学知识，分析改造方案． 二、实践任务 任务一 基础测量——两种方法测灯高 情境：校园主干道上的路灯由主杆和悬臂构成，悬臂与地面平行．为了获取准确数据，小组分别设计了两种测量方案． 方案1（影子比例法） 如图1，在路灯旁竖直立一根的标杆，测得标杆影长，标杆底部到路灯底部的水平距离． 问题1：请计算路灯的高度． 方案2（共线投影法） 如图2，将一根长为的标杆竖直立于地面，调整位置使得：主杆顶端A、标杆顶端M、地面点P三点共线；路灯悬臂端点C、标杆顶端M、地面点E三点共线．已知，路灯悬臂底部D到主杆底部B的水平距离，且B、D、N、E、P在同一水平线上． 问题2：求主杆的高度． 任务二：节能分析——改造前后对比 原路灯使用千瓦高压钠灯，改造后拟使用千瓦的灯，灯的照明效率更高． 问题3：若校园内共有此类路灯20盏，每晚点亮3小时，电费元/千瓦时，估算改造后每学期（按100天计算）节约的电费． 【答案】问题1：路灯的高度为；问题2：主杆的高度为；问题3：改造后，每学期可节约324元的电费． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，得到，进而根据已知条件计算即可； （2）证明，，得到，，进而根据已知条件计算即可； （3）求出用电量的变化，再乘以电费、点亮时间、路灯数、天数即可． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， ∴． 又，，， ∴， ∴． 答：路灯的高度为； （2）解：由题意知：，，， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴． 又， ∴，即． 答：主杆的高度为； （3）解：（元） 答：改造后，每学期可节约324元的电费． 15．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： (1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． (2)补全【基本模型拓展】的证明过程． (3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【答案】(1)依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 依据2：相似三角形的对应边成比例． (2) 解： ①， ， ②， ∴， (3)10 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质回答； （2）可得，得，可得，得，得，即得； （3）先证明，得；再证明，得．得，得，将代入解得． 【详解】（1）解：材料中的“依据1”是指平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； “依据2”是相似三角形的对应边成比例． 故答案为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴①； ∵， ∴， ∴②． ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $