第二章 一元二次函数、方程和不等式复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式复习 不等式 1.理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质，能做大小比较： 2.掌握作差、作商比较法，会利用不等式性质推理： 3.理解一元二次不等式，掌握二次、方程、函数三者关系： 4.掌握基本不等式，会求简单最值，理解一正二定三相等； 5.运用不等式解决简单实际问题。 课标要点 学习重难 重点： 点 1.不等式的8条基本性质； 2.一元二次不等式解法，三个二次关系： 3. 基本不等式少丽，求最值： 难点： 1.不等式性质的灵活推理，易错的同向/异向变换； 2.含参一元二次不等式分类讨论： 3.基本不等式“一正二定三相等”条件识别，凑定值技巧。 知识点1：不等式的概念与基本性质 1.实数大小关系： a>ba-b>0;a=b÷a-b=0;a<b÷a-b<0 作差比较法核心就是变形判断差的符号。 2.不等式基本性质 a.对称性：a>b台b<a b.传递性：a>b,b>c=a>C c.可加性：a>b=a+c>b+c d.可乘性：a>b,c>0=ac>bc:a>b,c<0=ac<bg e.同向相加：a>b,c>d一a+c>b+d f.同向同正可乘：a>b>0,c>d>0一ac>bd g.乘方：a>b>0a”>b(n∈IN h.开方：a>b>0一ya>b(n∈N) 1.不等式两边乘负数，不等号方向一定要改变： 2.同向不等式只可以相加，不能直接相减：只有全部正数才能相乘： 3.只有正数才能直接开方、乘方放大不等关系。 随学随练 1.已知a<b<0,下列不等式成立的是() A.a<b2 B.ac<bc c6 1、1 D.a+c>b+c 2.（多选)给出命题，正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b>0,则 b+1、b a+l a D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 知识点2：一元二次不等式与三个二次关系 对于一元二次ax+bx+c>0(a≠0)，结合二次函数y=ax2+bx+c、方程 ax+bx+c=0的根求解。 记判别式△=b2-4ac. △>0 △=0 △<0 ax2+bx+c=0(a>0)根 X1,x2（两不等实根) b X0=- 重根 无实根 2a ax2+bx+c>0(a>0)解集 -00,X1)U(x2,+0 {x|x≠x} R ax+bx+c<0(a>0)解集 (X1,X2)】 0 0 1.如果二次项系数Q<0,先两边乘以-1，翻转不等号再求解： 2.含参二次不等式：讨论顺序：①二次项系数是否为0：②判别式△；③两根 大小关系。 随学随练 3.不等式-x2+2x+3>0的解集为 4.不等式x2-4x+4>0的解集为 知识点3：基本不等式 若a>0,b>0,则 a+b≥ab 2 a+b 当且仅当a=b取等号。2算术平均数：ab几何平均数。 使用三条件：一正，二定，三相等。 。一正：a,b均为正数； ·二定：求和最值，积定值：求积最值，和定值： ·三相等：验证等号可以取到，取不到则不能用基本不等式。 常见变形： ab≤ a+b ,a2+b2≥2ab 2 1.如果为负数，不能直接套基本不等式，需要变形转换为正数： 2.做题必须检验等号成立条件：等号取不到改用函数单调性求最值。 随学随练 5.已知X>0,则x+是的最小值为 6.已知0<x<3,求x(3-x)的最大值为 题型 题型1：不等式性质与大小比较（作差比较） 例1设a>0,b>0,比较a3+b3与a2b+ab2的大小。 解题贴士 作差比较法步骤：①作差；②因式分解、配方变形；③判断差正负；④下结论。 注意：遇到代数式不能直接看出符号，因式分解是主要手段。 对点练1-1比较（x+3)(x-5)与（x+2)(x-4)的大小。 对点练1-2（多选）已知a<b<0,下面成立的() A.a'>b2 &合片 C.a<b D.a bl 题型2：一元二次不等式求解 例2解不等式2x-3x-2>0。 解题贴士 解一元二次不等式步骤：①看二次项系数正负；②求对应方程根：③结合图像写解 集。 对点练2-1解不等式-3x2+5x-2≥0。 对点练2-2已知不等式x+ax+b<0的解集是(2,3)，求a,b的值。 题型3：含参一元二次不等式 例3解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1>0。 解题贴士 含参二次不等式讨论顺序：1.二次项系数是否等于0，退化成一次不等式：2. a≠0，求根：3.比较两根大小，分情况写解集。 对点练3-1解不等式x2-(2+m)x+2m≤0。 题型4：基本不等式求最值 例4已知x>1,求y=x+1 的最小值。 解题贴士 凑定值技巧：对代数式变形，拆分、配凑，构造和或者积为定值：求出最值一定要 检验等号条件。 对点练41已知X>0,求y=2x+是的最小值。 对点练4-2已知0<x<2,求y=x(4-2x)的最大值。 题型5：不等式综合应用（恒成立问题） 例5若对于x∈[1,2]，x-ax+1≥0恒成立，求实数a的取值范围。 解题贴士 恒成立常见转化： 。Vx,fx)≥k恒成立~fx)mim≥k 。Hx,f(x)≤k恒成立f(x)max≤k 对点练5-1不等式x-2x+m>0在R恒成立，求m范围。 基础通关 1.已知a>b,则下列正确() A.ac>bc B.a2>b2 C.a-c>b-c n.。方 1<1 2.不等式x2-5x+6<0的解集是) A.（2,3 B.（-00,2)U(3,+oo C.[-2,-3] D.IR 3.若X0,x+2的最小值0 A.3 B.6 C.9 D.18 4.不等式~x2+x+2≥0的解集为 1 5.已知x>2,求y=x+ X-2 的最小值 11 6.已知一元二次不等式ax2+bx+2>0解集 23, 求a+b= 素养提升 1.（多选)下列说法正确（) A.a>b>O-Yabgtb 22 B.x>0,y>0,x+y=4,则y最大值4 c.x<0,x+≥2 X D.a+b≥2ab对任意实数成立 2.若x>0,y>0,2x+y=1,求+的最小值 3.不等式mx2-2x+1>0的解集为R,求m取值范围 迁移创新 已知ab>0,a+6=1求+日b+号 的最小值。 参考答案与详细解析 随学随练解析 1.选。a<b<0,两边除以b>0特后：A出d>:B正负不确定：D不等 号反向。 2.(多选)BC。A中c=0不成立；D同向不能相减。 3.填空1：-x2+2x+3>0→x2-2x-3<0→(x-3)(x+1)<0,解集(-1,3)。 4.x-4x+4>0→(x-22>0,解集{x|x≠2}。 X 6.0<x<3,x(3-x≤ 题型例题解析 例1 a3+b3-(a2b+ab2)&=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2) &=(a-b2(a+b) a>0,b>0一a+b>0,(a-b)2≥0；∴.a3+b3≥a2b+ab2,当且仅当a=b取等。 对点练1-1 (x+3)(x-5)-(x+2)(x-4)=(x2-2x-15)-(x2-2x-8)=-7<0 .（x+3)(x-5)<(x+2)(x-4) 对点练1-2 选ACD。a<b<0,Ia>bl,a2>b2,a3<b3;B错。 例22x-3x-2>0→2x+10x-2>0解集0，引u(2+ 对点练2-1 -3x+5x-2≥0→3X-5x+2≤0→3x-2(x-1)s0,解集 对点练2-2 x2+ax+b<0解集(2,3)，则x1=2,x2=3,韦达定理：a=-(2+3)=-5,b=2×3=6。 例3ax2-(a+1)x+1>0→(ax-1)(x-1)>0 ●a=0,-x+1>0→x<1: 。a>0,两根x日x=1: 。a>1,日1，解类，u1,+o； oa=1,（x-1)2>0,解集{xx≠1}： 。0a<1,君1，解失-x,1u日+： 。a<0,ax-1x-1>0=xx-10,后0<1，解21月 对点练3-1 x2-(2+m)x+2m≤0→(x-2)(x-m)≤0 。m>2,解集[2，m]: 。m=2,解集{2}； 。m<2,解集[m,2]。 例4x>1→x-1>0, y=x+-x-1+x+122x11=3 当x1s1 1→X=2,最小值3。 对点练4-1 x0,y-2x+22x22,最小值22,2x=x=2 2 对点练4-2 0<x<2→4-2X>0, y=4-2x2x4-2x刘2经24=2 当2x=4-2x→x=1,最大值2。 例5Yx∈[1,2]，X-ax+1≥0一a≤x+又。f(x=x+又在1,2]单调递增， fmm=f(1)=2,.a≤2。 对点练5-1 x2-2x+m>0恒成立，△=4-4m<0=m>1。 基础通关解析 1.C。C符号未知，AB错；D正负不确定。 2.A。（x-2)x-3)<0解集(2,3). 3.B。x+9≥25x9=6. 4.-x2+x+2≥0→x2-x-2≤0→(x-2)(x+1)≤0，解集[-1,2]。 5.x>2→x-2>0,y=(x-2+2+2≥2+2=4，最小值4. x-2 6。解集-2号，ax2+br+2=0两根=片韦达： 1+1=.b.1.1-2 23a’23a 得a=-12,b=-2,a+b=-14。 素养提升解析 1.ABD:CX<0时x+s-2 X 2.2x+y=1,x>0,y>0 1++2x+y)=3+出+2≥3+22 X yx y 最小伯3+22，取吟保件- m>0 3.mX-2x+1>0解集为R,要求4=4-4m<0,得m>1。 迁移创新解析 Q+b=1,a>0,b>0。ab≤atb=22 2 a+b+2&=ab+1+9+b a八 ”b ab b a &=ab+L+g+b=ab+[a+bP-2ab ab ab ab &=ab+1-2 ab 令t=be0,ft=t*日20，单调递诚，t-子，m子+4-2 4 a=b=取等。