专题3.1.2 函数的表示法（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的表示法及分段函数核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示形式，涵盖配凑法、待定系数法等解析式求法，构建从基础表示到分段函数性质应用的递进学习支架，衔接函数概念与后续性质学习。 资料以13类题型分层设计，例题与变式结合，通过推选代表、行程问题等实例培养数学眼光，用换元法、方程组法求解析式锻炼数学思维，图象分析与分段函数问题提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

专题3.1.2 函数的表示法（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 解析法表示函数】 2 【题型2 列表法表示函数】 2 【题型3 图象法表示函数】 3 【题型4 已知函数类型求解析式】 5 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 6 【题型6 函数方程组法求解析式】 7 【题型7 求解析式中的参数值】 8 【题型8 求分段函数的函数值】 8 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 9 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 9 【题型11 分段函数的性质及应用】 10 【题型12 分段函数图象的画法及应用】 11 【题型13 解分段函数不等式】 13 考点1 函数的表示法 知识点1 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 解析法表示函数】 【例1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为____________． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）年月日，王兵买了一辆手动挡的家庭汽车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：；市郊工况：；综合工况：.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为，汽油价格按平均价格元来计算，当年行驶里程为时燃油费为元. (1)判断是否是关于的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式； (2)王兵一年的燃油费估计是多少？ 【题型2 列表法表示函数】 【例2】（25-26高一上·广西·期中）根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【变式2-1】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【题型3 图象法表示函数】 【例3】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式3-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏徐州·开学考试）中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 已知函数类型求解析式】 【例4】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·湖南·期中）求下列函数的解析式： (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【变式4-3】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 【例5】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知，求的解析式和定义域； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【题型6 函数方程组法求解析式】 【例6】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 【变式6-3】（25-26高一上·云南大理·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【题型7 求解析式中的参数值】 【例7】（25-26高一上·河北张家口·期中）如图所示为函数的图象，则（    ） A． B．2 C． D．0 【变式7-1】（25-26高二上·全国·开学考试）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【变式7-2】（25-26高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则__________． 【变式7-3】（2026·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数__________． 考点2 分段函数 知识点2 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型8 求分段函数的函数值】 【例8】（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）若函数则（   ） A． B． C．0 D．4 【变式8-1】（25-26高一上·河南·期中）若函数则（    ） A． B． C．0 D．4 【变式8-2】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．4 D．6 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例9】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）设函数，，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式9-1】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式9-2】（25-26高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式9-3】（2026·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 【例10】（25-26高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式10-2】（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【变式10-3】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数. (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【题型11 分段函数的性质及应用】 【例11】（25-26高一上·安徽·期中）已知在R上是单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·江西景德镇·期中）若函数为R上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数，且． （1）求的解析式； （2）写出的单调增区间和单调减区间． 【变式11-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知. (1)在所给的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出的单调区间和值域． 【题型12 分段函数图象的画法及应用】 【例12】（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数.    (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【变式12-1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象； (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【变式12-2】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【变式12-3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 【题型13 解分段函数不等式】 【例13】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【变式13-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值； (3)解不等式. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.2 函数的表示法（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 解析法表示函数】 2 【题型2 列表法表示函数】 4 【题型3 图象法表示函数】 5 【题型4 已知函数类型求解析式】 9 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 11 【题型6 函数方程组法求解析式】 13 【题型7 求解析式中的参数值】 15 【题型8 求分段函数的函数值】 16 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 18 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 19 【题型11 分段函数的性质及应用】 22 【题型12 分段函数图象的画法及应用】 25 【题型13 解分段函数不等式】 29 考点1 函数的表示法 知识点1 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型1 解析法表示函数】 【例1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】计算出，；，；，，找到规律，得到答案. 【解答过程】，，故， 所以，， 所以，， ……， ，. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解答过程】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为____________． 【答案】， 【解题思路】根据正比例关系即可求解. 【解答过程】根据题意可得， 故答案为：，. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）年月日，王兵买了一辆手动挡的家庭汽车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：；市郊工况：；综合工况：.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为，汽油价格按平均价格元来计算，当年行驶里程为时燃油费为元. (1)判断是否是关于的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式； (2)王兵一年的燃油费估计是多少？ 【答案】(1)是，定义域是， (2)元 【解题思路】（1）根据函数的概念可判断出是关于的函数，结合题意可得出该函数的解析式以及定义域； （2）将代入函数解析式计算可得结果. 【解答过程】（1）解：根据函数的概念可知，是关于的函数， 因为王兵的汽车一年的行驶里程约为，故该函数的定义域为， 函数解析式为，其中. （2）解：当时，（元）， 所以王兵一年的燃油费估计是元. 【题型2 列表法表示函数】 【例2】（25-26高一上·广西·期中）根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【答案】A 【解题思路】根据表先计算出，然后可得的结果. 【解答过程】由表中数据可知，，所以， 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用表格计算即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据对应法则找到对应的值即可. 【解答过程】由表可知：， 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解答过程】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【题型3 图象法表示函数】 【例3】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【解答过程】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【解答过程】由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【解答过程】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏徐州·开学考试）中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解. 【解答过程】易知当时，， 当时，交于，交于，如图， 因为，则，在中，， 所以为等腰直角三角形，所以，得到， 所以，故 所以， 故选：C. 【题型4 已知函数类型求解析式】 【例4】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法可求答案. 【解答过程】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·湖南·期中）求下列函数的解析式： (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【解答过程】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 【变式4-3】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）（1）已知是二次函数，且满足，求解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解题思路】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【解答过程】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 【题型5 已知f(g(x))求解析式】 【例5】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用换元法求解函数解析式即可. 【解答过程】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用配凑法求函数解析式． 【解答过程】因为， 所以，则. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知，求的解析式和定义域； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式. 【答案】（1），定义域为； （2） 【解题思路】（1）利用换元法求出函数的解析式和其定义域即可； （2）根据已知式的特征，利用构造方程组法求得函数的解析式. 【解答过程】（1）设，因，则，且， 于是， 故函数的解析式为，其定义域为； （2）记 ①， 将①中的用替换，可得②， 由①与②联立，解得. 故的解析式为. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【解答过程】（1）用代入法，因为， 所以 ； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 【题型6 函数方程组法求解析式】 【例6】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用方程组法求解出的解析式. 【解答过程】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【解答过程】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 【答案】（1）或； （2） 【解题思路】（1）由题意，是一次函数，则设，代入复合函数解析式，令对应系数相等，即可求解参数值； （2）将x替换为，得，方程思想，求出解析式. 【解答过程】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或． （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：， 消去，可得. 【变式6-3】（25-26高一上·云南大理·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】(1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【题型7 求解析式中的参数值】 【例7】（25-26高一上·河北张家口·期中）如图所示为函数的图象，则（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【解题思路】根据函数的定义域、特殊点的函数值求得，进而求得. 【解答过程】由图可知，的定义域为， 且经过点，而，解得，所以， 所以，解得，所以. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·全国·开学考试）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【解题思路】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【解答过程】因为，取，可得， 即， 因为，取，则， 因为，所以，解得， 因为，取，则， 所以，解得，则. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·海南海口·期中）已知函数，且，则__________． 【答案】 【解题思路】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解答过程】令 . 故答案为：. 【变式7-3】（2026·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数__________． 【答案】1 【解题思路】根据推导出，即可得到，解得即可. 【解答过程】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 考点2 分段函数 知识点2 分段函数 1．分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况. 2．分段函数问题 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【题型8 求分段函数的函数值】 【例8】（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）若函数则（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【解题思路】根据函数的定义，从里往外代入求值即可． 【解答过程】由题意可得． 故选：C． 【变式8-1】（25-26高一上·河南·期中）若函数则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【解题思路】将自变量代入分段函数解析式求解函数值. 【解答过程】因为，所以. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·上海·期中）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【解答过程】依题意，. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】根据已知函数解析式的性质，结合所求函数式的特点计算求解． 【解答过程】函数， ，， ，故A正确． 故选：A． 【题型9 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例9】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）设函数，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的分段函数，分段判断代入计算得解. 【解答过程】函数，则，因此， 所以. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【解答过程】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·湖南永州·期末）设，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解答过程】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 【变式9-3】（2026·江西上饶·一模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况解方程即可求解. 【解答过程】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 【题型10 求分段函数的定义域、值域（最值）】 【例10】（25-26高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【解答过程】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.    故选：D. 【变式10-1】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据分段函数的最值计算求参. 【解答过程】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 【变式10-2】（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【答案】(1)， (2) 最大值为4 【解题思路】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可； （2）根据图象最高点即可写出最大值. 【解答过程】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 【变式10-3】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数. (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【解题思路】（1）根据分段函数的解析式求函数值； （2）作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 【解答过程】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 【题型11 分段函数的性质及应用】 【例11】（25-26高一上·安徽·期中）已知在R上是单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分段函数的单调性建立关于a的不等式组，解之即可求解. 【解答过程】因为为R上单调函数， 则或， 解得或． 故选：D． 【变式11-1】（25-26高一上·江西景德镇·期中）若函数为R上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分段函数的解析式，先判断每一段函数的单调性，然后根据二次函数的性质，结合分段函数的单调性条件，即可求得结果. 【解答过程】当时，单调递增， 当时，，因为在上是单调函数， 所以在上也单调递增. 若，则单调递减，不合题意，所以， 二次函数的对称轴为，要使其单调递增， 需满足且，解得. 为保证函数在上单调递增，需满足， 即，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式11-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数，且． （1）求的解析式； （2）写出的单调增区间和单调减区间． 【答案】（1）； （2）函数的减区间是，，增区间是. 【解题思路】（1）直接根据列方程求解即可； （2）作出函数的图像即可得单调区间. 【解答过程】（1）因为，且， 所以 解得， 所以； （2）画出函数的图象，如图所示： 函数的单调减区间是，， 单调增区间是. 【变式11-3】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知. (1)在所给的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出的单调区间和值域． 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递减区间为，，；单调递增区间为，； 值域为． 【解题思路】(1)结合解析式在平面直角坐标系内分别作出对应区间上的函数图象即可求解； (2)结合图象即可求解. 【解答过程】（1）画出的函数的图象如图： （2）由图可知函数的单调递增区间为，； 单调递减区间为，，； 值域为． 【题型12 分段函数图象的画法及应用】 【例12】（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数.    (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) (2)或0 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据分段函数计算函数值； （2）分段应用函数值得出自变量； （3）根据解析式作出函数图象. 【解答过程】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：    【变式12-1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象； (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是；值域为. 【解题思路】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【解答过程】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 【变式12-2】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【解题思路】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【解答过程】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 【变式12-3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 【答案】(1)图象见解析 (2)定义域为，值域为 (3)或 (4) 【解题思路】（1）根据函数解析式画出函数图象； （2）由解析式得到定义域，结合图象求出值域； （3）由解析式分段计算； （4）根据解析式由内到外依次计算即可. 【解答过程】（1）因为，所以函数的图象如下所示： （2）因为，所以的定义域为， 由的图象可知，当时取得最大值，即， 所以的值域为； （3）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （4）因为， 所以，则，， 所以. 【题型13 解分段函数不等式】 【例13】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先以分段点 划分 的讨论区间，再在每个区间代入对应函数表达式化简不等式，求解后取交集得到各区间有效解，最后合并所有解即可得到 的取值范围. 【解答过程】当 即 时， ，函数表达式为 ， 则， 所以， 所以，即， 所以 . 当 即 时，，， 所以，， 即，解得 或 ， 结合 ，得 . 当时，，函数表达式为 ，该函数单调递减， 所以，即， 所以，因为，所以此式恒成立，故满足条件. 综上所述：或或，即或. 所以的取值范围是 . 故选：B. 【变式13-1】（25-26高一上·安徽池州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】由题意可得或 解得或，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式13-2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【答案】(1)，； (2)或1或； (3). 【解题思路】（1）根据给定分段函数，判断代入计算即得. （2）根据给定分段函数，分类讨论求得值. （3）根据给定分段函数，分类讨论求得不等式的解集. 【解答过程】（1）由，得，. （2）当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得或，则， 所以的值为或1或. （3）当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，，即，解得，则， 所以不等式的解集为． 【变式13-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为. (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值； (3)解不等式. 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【解答过程】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $