第二章 一元二次函数、方程和不等式 题型精讲（讲义）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学一元二次函数、方程和不等式核心内容，构建“作差比较实数大小—推导不等式性质—证明并应用基本不等式—解一元二次不等式及拓展”的递进学习支架，系统梳理从基础比较到实际应用的知识脉络。 资料以课标为纲，通过题型精讲（含11类题型及变式）、易错专练和分层作业设计，培养数学思维与应用意识。如用几何解释基本不等式发展数学眼光，通过含参不等式分类讨论提升推理能力，结合面积、造价等实际问题强化数学语言表达，助力教师高效授课与学生课后查漏补缺。

人教A版·必修一·第二章 一元二次函数、方程和不等式 题型精讲讲义 第二章 一元二次函数、方程和不等式 题型精讲（讲义）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 人教A版（2019）高中数学必修第一册　第二章 一元二次函数、方程和不等式　2.1 等式性质与不等式性质　2.2 基本不等式　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．会用不等式（组）表示限速、配比、盈亏这类现实中的不等关系；掌握两个实数大小关系的基本事实——a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，并能用它比较两个代数式的大小。 2．能由等式的五条基本性质类比出不等式的性质1～7，会说明性质2、5的推导依据，特别是掌握“两边同乘正数不变号、同乘负数要变号”，并能用这些性质由已知不等式推出新的不等式或求代数式的取值范围。 3．掌握重要不等式+≥2ab（a，b∈R）与基本不等式≤(a+b)/2（a＞0，b＞0），会用完全平方公式法和分析法两条路径给出证明，能说出它的几何解释，并按“一正、二定、三相等”求和定积最大、积定和最小这两类最值。 4．理解一元二次不等式的概念与二次函数零点的意义，会按Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种情形借助二次函数图象写出a+bx+c＞0与a+bx+c＜0（a＞0）的解集；会把二次项系数为负的不等式先化正，并能用一元二次不等式解决面积、收益、刹车距离等实际问题；（拓展）会把分式不等式化为整式不等式，会按二次项系数与两根大小讨论含参不等式。 学习重难点 重点：作差比较法与不等式性质1～7的使用；基本不等式的两种证明与“一正、二定、三相等”三个前提；Δ三种情形下一元二次不等式解集的对应关系表，以及“图象在x轴上方还是下方”这一读解集的依据。 难点：含参一元二次不等式按二次项系数的正负与两根的大小分类讨论；用基本不等式求最值时的配凑与常数代换，以及等号能否取到的检验。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　两个实数大小关系的基本事实与作差比较法 数轴上的点与实数一一对应，所以可以用数轴上点的位置关系规定实数的大小关系：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b，反过来也成立。于是比较两个实数的大小，就转化为比较它们的差与0的大小。用这条基本事实比较两个代数式的大小，通常按“作差—变形—定号—下结论”四步走：变形时把差式整理成常数、完全平方式、几个因式的积或商这类符号一眼可辨的形式。例如比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)：作差得(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)＝(+5x+6)－(+5x+4)＝2＞0，所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)。 a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0 作差比较四步：作差→变形→定号→下结论 小提示：变形没有变到“符号一眼可辨”就不要急着下结论；差式里出现平方项时要记得平方只保证非负，等于0的那一刻正是两式相等的时候。 知识点　02　等式的基本性质与不等式的性质1～7 等式有五条基本性质：如果a＝b，那么b＝a；如果a＝b，b＝c，那么a＝c；如果a＝b，那么a±c＝b±c；如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么a/c＝b/c。前两条刻画相等关系自身的特性，后三条是从运算的角度提出的，反映等式在运算中保持的不变性。类比过来，不等式有下面七条性质，它们都可以由这条基本事实出发逐条推证得到（性质1～4由作差直接得出，性质5、6、7由前面的性质推出）。等号没有方向而不等号有方向，所以两边同乘一个数时，这个数的符号会影响不等号的方向，这是不等式与等式最大的差别。 移项法则：a+b＞c⇔a＞c－b（任何一项改变符号后可移到另一边） 同向可加、正数同向可乘；同向不可减，也不可除 性质 条件 结论 说明 性质1 a＞b b＜a 对称性，反过来也成立 性质2 a＞b，b＞c a＞c 传递性，由(a－b)+(b－c)＞0得 性质3 a＞b a+c＞b+c 两边同加实数，同向；由它得移项法则 性质4 a＞b，c＞0；a＞b，c＜0 ac＞bc；ac＜bc 同乘正数同向，同乘负数反向 性质5 a＞b，c＞d a+c＞b+d 同向不等式可以相加 性质6 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd 两边都为正的同向不等式可以相乘 性质7 a＞b＞0 ＞（n∈N，n≥2） 两边都为正才能乘方 小提示：性质5、6只能顺着同向用：由a＞b与c＞d推不出a－c＞b－d，也推不出a/c＞b/d；性质6、7都要求两边为正，去掉“＞0”就不再成立。 知识点　03　重要不等式+≥2ab与基本不等式的两种证明 由完全平方公式得+－2ab＝，对任意实数a，b都有≥0，当且仅当a＝b时取等号，于是+≥2ab（a，b∈R），这就是重要不等式。若a＞0，b＞0，用，分别代替上式中的a，b，即得≤(a+b)/2，通常称它为基本不等式；其中(a+b)/2叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。另一条常见证法是分析法：要证≤(a+b)/2，只要证2≤a+b，只要证a+b－2≥0。因为a＞0，b＞0，所以a+b－2正是与的差的平方，而任何实数的平方都不小于0，故末式成立；把这一串推理倒过来写，就得到了原不等式。 +≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成立 ≤(a+b)/2（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立 常用变形（a＞0，b＞0）：a+b≥2；ab≤，当且仅当a＝b时等号成立 小提示：重要不等式对一切实数成立，基本不等式只对两个正数成立；写结论时“当且仅当a＝b时等号成立”一句不能省，它说明这个界是能够取到的。 知识点　04　基本不等式的几何解释与“一正、二定、三相等” 设圆O的直径为AB，半径为(a+b)/2。点C在AB上，使AC＝a，BC＝b。过点C作AB的垂线，与圆交于点D，连接AD，BD。因为AB是直径，所以∠ADB是直角，于是△ACD∽△DCB，得C＝AC·BC＝ab，即CD＝。半弦CD不超过半径OD，用式子写出来正是≤(a+b)/2；当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，CD与OD重合，等号成立。用基本不等式求最值必须同时满足三个前提：所涉及的两个式子都是正的（一正），它们的和或积是一个定值（二定），取等号的条件在给定范围内能够达到（三相等）。由此得到两条常用结论：两个正数的积为定值P时，和有最小值2；两个正数的和为定值S时，积有最大值()。 积定和最小：xy＝P（x＞0，y＞0）⇒x+y≥2，x＝y时取到 和定积最大：x+y＝S（x＞0，y＞0）⇒xy≤()，x＝y时取到 小提示：三个前提缺一不可：只验证了不等式成立而没有验证等号能取到，得到的只是一个界，不一定是最值；若等号在给定范围内取不到，就要另找办法。 知识点　05　一元二次不等式的概念与二次函数的零点 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，它的一般形式是a+bx+c＞0或a+bx+c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0。对于二次函数y＝a+bx+c，把使a+bx+c＝0的实数x叫作这个二次函数的零点。函数的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标，也就是相应一元二次方程的根，这正是把二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者联系起来的纽带：先求出方程的根，再看图象在x轴的上方还是下方，就能把不等式的解集读出来。例如y＝－12x+20的两个零点是2与10，它们把x轴分成三段，图象在x＜2与x＞10时位于x轴上方，在2＜x＜10时位于x轴下方。 一般形式：a+bx+c＞0或a+bx+c＜0（a≠0） 零点⇔方程a+bx+c＝0的根⇔图象与x轴交点的横坐标 小提示：“最高次数是2”要求二次项系数a≠0；带参数的不等式若没有声明a≠0，就必须把a＝0的一次情形单独拿出来讨论，那时它已不是一元二次不等式。 知识点　06　Δ的三种情形与一元二次不等式解集对应表 设Δ＝－4ac，一元二次方程a+bx+c＝0（a＞0）的根按Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0分为三种情形，相应地二次函数y＝a+bx+c（a＞0）的图象与x轴的位置关系也分为三种，于是对应的一元二次不等式的解集也分三种情形。下表是本章最核心的一张表，读表的口诀是“大于取两边、小于取中间”，而这两句话的前提是二次项系数为正、图象开口向上。 口诀：a＞0时，大于取两边、小于取中间（Δ＞0） Δ≤0时先看不等号方向：“＞0”型多为R或去掉一点，“＜0”型多为∅ 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图象与x轴 交于两点 只有一个公共点 没有公共点，图象全在x轴上方 a+bx+c＝0的根 两个不相等的根x₁＜x₂ 两个相等的根x₁＝x₂＝－b/(2a) 没有实数根 a+bx+c＞0的解集 {x|x＜x₁或x＞x₂} {x|x≠－b/(2a)} R a+bx+c≥0的解集 {x|x≤x₁或x≥x₂} R R a+bx+c＜0的解集 {x|x₁＜x＜x₂} ∅ ∅ a+bx+c≤0的解集 {x|x₁≤x≤x₂} {x|x＝－b/(2a)} ∅ 小提示：二次项系数为负时，先在两边同乘－1把它化成正的，同时不等号要变向，再套这张表；直接拿a＜0的式子套表是最典型的错误。 知识点　07　分式不等式化为整式不等式与简单高次不等式（拓展） （教材以习题与复习参考题的形式接触这两类不等式，2.3节正文并未给出系统解法，本讲作方法归纳，属拓展内容。）形如f(x)/g(x)＞0的分式不等式，不能直接给两边乘g(x)，因为g(x)的正负未知，同乘后不等号方向无法确定。正确的办法是利用“两数之商与两数之积同号”把它化为整式不等式：f(x)/g(x)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；f(x)/g(x)＜0⇔f(x)·g(x)＜0；f(x)/g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0。对于几个一次因式相乘的高次不等式，可先把各因式的零点标在数轴上，把数轴分成若干段，再逐段判断乘积的符号；当每个因式的系数都为正且零点互不相同时，最右边一段取正号，向左逐段变号。 f(x)/g(x)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；f(x)/g(x)＜0⇔f(x)·g(x)＜0 f(x)/g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0（分母不为零必须单独写） 小提示：写解集时分母的零点永远取不到，端点开闭要逐个核对；移项通分是第一步，见到“f(x)/g(x)＞1”这类式子先化成右边为0再说。 知识点　08　含参一元二次不等式的讨论框架（拓展）与实际问题建模 （含参不等式的系统讨论在教材中以复习参考题的形式出现，本讲作方法归纳，属拓展内容；实际问题建模则是2.3节的正课要求。）解含参的不等式a+bx+c＞0时，按下面三层依次讨论：第一层看二次项系数，分a＝0（化为一次不等式）、a＞0、a＜0三种；第二层在a≠0时看Δ的符号，分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种，确定方程有没有根，其中Δ＝0（两根相等）这一支必须单独成支；第三层在Δ＞0时比较由参数表示出的两根x₁与x₂的大小，分x₁＜x₂与x₁＞x₂两种，确定解集的写法——Δ＞0已保证两根不相等，所以这一层只有两支。讨论完毕要写一句“综上”，把各种情形的结论按参数取值从小到大整理成一段。用一元二次不等式解决实际问题则按“设—列—解—答”四步：设出未知量并写出它的实际取值范围，根据题意列出不等式，用知识点06的对应表求出解集，最后把数学解与实际范围求交集并按实际意义取舍。 讨论三层：先看二次项系数的正负→再看Δ的符号（Δ＝0单独成支）→最后在Δ＞0时比较两根的大小（只有x₁＜x₂与x₁＞x₂两支） 建模四步：设未知量并写实际范围→列不等式→解不等式→与实际范围取交集后作答 小提示：使两根相等的那个参数值恰好对应Δ＝0，它必须在第二层单独作为一支，不能并入两根大小的任何一支；实际问题的解集一定要回到背景里检验：长度、速度、件数都要为正，件数还必须取整数，端点能不能取到由“不低于、超过、至少”这些词决定。 【题型1】作差比较两个代数式的大小 作差比较的难点从来不在作差，而在变形：把差式整理成常数、完全平方式或几个因式的积，符号才一眼可辨。 例1　用作差比较法判断(x+5)(x+7)与的大小。 【分析】两式都是二次多项式，直接看不出大小。按作差比较法，先把两式相减，展开合并后看差式的符号。 【解答】(x+5)(x+7)－＝(+12x+35)－(+12x+36)＝－1。因为－1＜0，由两个实数大小关系的基本事实，得(x+5)(x+7)＜。 【方法小结】两个多项式相减后若一次项、二次项全部抵消，只剩一个常数，那么大小关系与x无关，这是本类题最干脆的一种结果。 例2　已知a＞0，比较+1与+a的大小。 【分析】差式是三次的，展开后先分组提取公因式，争取化成几个因式的积，再逐个判断因式的符号。 【解答】(+1)－(+a)＝－－a+1＝(a－1)－(a－1)＝(a－1)(－1)＝(a+1)。因为a＞0，所以a+1＞0；又≥0，当且仅当a＝1时等号成立。所以当a＝1时(a+1)＝0，两式相等；当a＞0且a≠1时(a+1)＞0，即+1＞+a。 【方法小结】差式含平方因式时，结论要分“等号成立”与“严格大于”两段写，不能笼统地写成一个大于号。 题型1　变式：定号、选项判断与配方定号 三道题的差式分别落在完全平方、常数与二次三项式上：第一道要配方，第二道只剩常数，第三道要把差式凑成平方加正数。 变式1　设x∈R，则+3与3x的大小关系是+3（　　）3x（在括号内填“＞”“＝”或“＜”）。 变式2　设a∈R，则(a+3)(a－5)与(a+2)(a－4)的大小关系是（　　）。 A．前者较大　　B．前者较小　　C．两者相等　　D．随a的取值而改变 变式3　比较2－4x+5与－2x+3的大小（x∈R），并写出判断过程。 【题型2】利用不等式的性质作判断与求取值范围 判断题的要害是找反例，求范围的要害是“同向才能相加、都为正才能相乘”，减法与除法一律先转化成加法与乘法。 例1　下列四个命题中，正确的是（　　）。 A．若a＞b，则a＞b B．若a＞b，则1/a＜1/b C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 【分析】判断这类命题，先想能不能直接引用某条性质，不能引用就找一组具体的数作反例。 【解答】A中取c＝0，则a＝b＝0，不等号不成立；B中取a＝1，b＝－1，则1/a＝1，1/b＝－1，此时1/a＞1/b，不成立；D中取a＝5，b＝1，c＝4，d＝0，则a－c＝1，b－d＝1，两者相等，不成立；C正是不等式的性质6，两个两边都为正的同向不等式可以相乘，成立。故选C。 【方法小结】A缺的是“c≠0”，B缺的是“a与b同号”，D错在把同向不等式相减。凡是要相乘的性质，先确认每一项都是正的。 例2　已知－1＜x＜4，2＜y＜3，求x－y与3x+2y的取值范围。 【分析】减法要先化成加法：由2＜y＜3先推出－y的范围，再与x的范围相加；乘以正数用性质4，相加用性质5。 【解答】由2＜y＜3，两边同乘－1，不等号变向，得－3＜－y＜－2。又－1＜x＜4，两式同向相加，得－1+(－3)＜x+(－y)＜4+(－2)，即－4＜x－y＜2。再由－1＜x＜4两边同乘3，得－3＜3x＜12；由2＜y＜3两边同乘2，得4＜2y＜6。两式同向相加，得－3+4＜3x+2y＜12+6，即1＜3x+2y＜18。 【方法小结】求范围只能用同向相加与乘正数这两步，中途一旦用了“两式相减”，得到的范围就会失真。 题型2　变式：反例判断、性质填号与糖水型证明 第一道在四个选项里找恒成立的那个，第二道按性质给两个空填号，第三道用作差把一个熟悉的不等式证出来。 变式1　若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是（　　）。 A．＜ B．1/a＜1/b C．a+b＜ab D．|a|＜|b| 变式2　已知a＞b＞0，则＿＿＿＿，1/a＿＿＿＿1/b（两空均填“＞”或“＜”）。 变式3　设a＞b＞0。证明a/b＞(a+1)/(b+1)。 【题型3】用基本不等式直接求最值 直接型的标志是两个正的式子相乘恰好是一个常数。写解答时“一正、二定、三相等”三句都要落到纸面上。 例1　已知x＞0，求x+4/x的最小值，并指出取得最小值时x的值。 【分析】x与4/x都是正数，而它们的积x·(4/x)＝4是定值，正好符合基本不等式“积为定值求和的最小值”的模型。 【解答】因为x＞0，所以4/x＞0，且x·(4/x)＝4为定值。由基本不等式得x+4/x≥2＝2＝4，当且仅当x＝4/x，即＝4，又x＞0，得x＝2时，等号成立。所以x+4/x的最小值为4，此时x＝2。 【方法小结】书写顺序固定为：先说明两式为正，再指出积为定值，再写不等式，最后解出等号成立时的x并说明它在定义范围内。 例2　已知x＞0，y＞0。（1）若xy＝9，求x+y的最小值；（2）若x+y＝8，求xy的最大值。 【分析】两小问正是基本不等式的两条常用结论：积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值。 【解答】（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式得x+y≥2＝2＝6，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与xy＝9得x＝y＝3。所以x+y的最小值为6。（2）由基本不等式得≤(x+y)/2＝＝4，两边平方得xy≤16，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与x+y＝8得x＝y＝4。所以xy的最大值为16。 【方法小结】（2）中由≤4推出xy≤16要用到两边都为正才能平方这一条，正是不等式性质7的用法。 题型3　变式：填空、选项与x为负数时的最值 前两道是直接套模型，第三道的变量是负的，要先把它取相反数变成正数再用基本不等式。 变式1　当a＞0时，a+9/a的最小值是＿＿＿＿，此时a＝＿＿＿＿。 变式2　已知x＞0，则2x+8/x的最小值是（　　）。 A．4　　B．6　　C．8　　D．16 变式3　已知x＜0，求x+1/x的最大值。 【题型4】配凑与“1”的代换求最值 积不是定值时就要人工把它凑成定值：分母是x－1就把分子也拆出一个x－1；已知条件是一个等于1的式子，就把要求的式子乘上它。 例1　设x＞1，试求代数式x+4/(x－1)的最小值。 【分析】x与4/(x－1)的积不是定值，但x－1与4/(x－1)的积是定值4。把x拆成(x－1)+1，就凑出了定值。 【解答】因为x＞1，所以x－1＞0，4/(x－1)＞0。x+4/(x－1)＝(x－1)+4/(x－1)+1。由基本不等式得(x－1)+4/(x－1)≥2＝2＝4，所以x+4/(x－1)≥4+1＝5。当且仅当x－1＝4/(x－1)，即＝4，结合x－1＞0得x－1＝2，即x＝3时等号成立。所以最小值为5。 【方法小结】配凑的口诀是“分母是什么，就在分子里拆出什么”，拆完务必检查剩下的那部分是常数，否则定值凑不出来。 例2　已知x＞0，y＞0，且1/x+9/y＝1，求x+y的最小值。 【分析】条件给出的式子等于1，于是可以把x+y乘上这个等于1的式子，展开后出现一对互为倒数关系的项，再用基本不等式。 【解答】因为1/x+9/y＝1，所以x+y＝(x+y)(1/x+9/y)＝1+9x/y+y/x+9＝10+9x/y+y/x。因为x＞0，y＞0，所以9x/y＞0，y/x＞0，由基本不等式得9x/y+y/x≥2＝2＝6，所以x+y≥10+6＝16。当且仅当9x/y＝y/x，即＝9，结合x＞0，y＞0得y＝3x；代入1/x+9/y＝1得1/x+3/x＝1，解得x＝4，此时y＝12。所以x+y的最小值为16。 【方法小结】常数代换后必须把等号成立的条件代回原条件解出x与y的具体值，只有解得出来才说明这个最小值真的取得到。 题型4　变式：分母配凑、系数代换与和定积最大 第一道把分母拆出来，第二道用等于1的条件作代换，第三道的和里带着系数2，先把它凑成两式之积。 变式1　若x＞3，那么x+1/(x－3)的最小值等于＿＿＿＿。 变式2　设a，b都是正数，且a+b＝1。求1/a+4/b的最小值。 变式3　设x，y均为正数，且x+2y＝3，则乘积xy的最大值是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 【题型5】基本不等式在周长、面积与造价问题中的应用 应用题先把约束条件翻译成“积为定值”或“和为定值”，再把要优化的量写成两个正数之和或之积，最后别忘了回答实际问题。 例1　用篱笆围一个面积为49m²的矩形菜园。当这个矩形的边长为多少米时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少米？ 【分析】矩形相邻两边之积为定值49，篱笆长是周长，等于两边之和的2倍，正属于“积为定值求和的最小值”。 【解答】设矩形相邻两边长分别为xm，ym，则x＞0，y＞0，xy＝49，篱笆长为2(x+y)m。由基本不等式得x+y≥2＝2＝14，所以2(x+y)≥28，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与xy＝49，结合x＞0得x＝y＝7。所以当这个矩形是边长为7m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是28m。 【方法小结】把“边长”设为两个字母比只设一个字母更省事，因为约束条件恰好是这两个字母的积，可以直接套模型。 例2　某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3600m³，深为4m。已知每平方米池底需造价150元，每平方米池壁需造价120元。怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【分析】深已经定了，未定的是池底相邻两边长。先由容积求出池底面积这个定值，再把总造价写成池底造价加池壁造价。 【解答】设池底相邻两边长分别为xm，ym，总造价为z元，则x＞0，y＞0。由容积得4xy＝3600，所以xy＝900，池底面积为900m²，池底造价为900×150＝135000(元)。池壁面积为2×4×(x+y)＝8(x+y)m²，池壁造价为120×8(x+y)＝960(x+y)元。所以z＝135000+960(x+y)。由基本不等式得x+y≥2＝2＝60，所以z≥135000+960×60＝135000+57600＝192600，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与xy＝900，结合x＞0得x＝y＝30。所以把池底设计成边长为30m的正方形时总造价最低，最低总造价为192600元。 【方法小结】造价问题要把每一部分的面积与单价分别算清再求和；池底面积是定值，它那一项是常数，真正要优化的只有池壁那一项。 题型5　变式：靠墙围地、库存费用与拆数问题 靠墙的一边不用材料，约束式就要重新列；库存问题的两项费用一升一降，正好是积为定值的模型。 变式1　某农场用长为36m的篱笆靠墙围成一块矩形试验田，靠墙的一边不用篱笆，墙足够长。求这块试验田面积的最大值。 变式2　某公司每年需购进某种原料400t，分若干次购进，每次购进xt。已知每次的运费为4万元，每年的保管费用为4x万元。求一年的总费用最少时每次的购进量，并求出最少总费用。 变式3　把24写成两个正数的和，则这两个正数之积的最大值是（　　）。 A．96　　B．144　　C．12　　D．576 【题型6】按Δ的三种情形解一元二次不等式 解一元二次不等式的固定动作是三步：先把二次项系数化为正，再算Δ并求根，最后借助开口向上的抛物线读出解集。 例1　借助二次函数y＝－x－6的图象，求不等式－x－6＞0的解集。 【分析】二次项系数为正，先解对应的一元二次方程求出两个零点，再看二次函数的图象在哪些范围内位于x轴上方。 【解答】对于方程－x－6＝0，Δ＝－4×1×(－6)＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，分解因式得(x+2)(x－3)＝0，解得x₁＝－2，x₂＝3。画出二次函数y＝－x－6的图象，它开口向上，与x轴交于(－2,0)与(3,0)。由图象可知，当x＜－2或x＞3时图象位于x轴上方，此时y＞0。所以原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞3}。 【方法小结】Δ＞0且二次项系数为正时，“大于取两边”：解集是由两根分出的左右两段，中间那一段留给小于号。 例2　求不等式4－12x+9＞0的解集。 【分析】先算Δ。这里Δ＝0，抛物线与x轴只有一个公共点，除这个点外图象都在x轴上方，正好用来看清Δ＝0时解集是什么形态。 【解答】对于方程4－12x+9＝0，Δ＝－4×4×9＝144－144＝0，方程有两个相等的实数根。由4－12x+9＝＝0，解得x₁＝x₂＝。画出二次函数y＝4－12x+9的图象，它开口向上，与x轴只有一个公共点(,0)。由图象可知，除x＝外图象都位于x轴上方。所以原不等式的解集为{x|x≠}。 【方法小结】Δ＝0而不等号是“＞”时，解集是去掉一个点的全体实数；若不等号换成“≥”，解集就是R；换成“＜”则为∅。 题型6　变式：判别式为负、二次项系数为负与先整理再求解 第一道的抛物线与x轴没有交点，第二道要先把二次项系数化为正，第三道要先移项整理成一般形式再求解集。 变式1　分别求不等式+2x+5＞0与+2x+5＜0的解集。 变式2　先把二次项系数化为正数，再解不等式－2+3x+2≥0。 变式3　不等式x(x－5)＜6的解集是＿＿＿＿。 【题型7】解含参数的一元二次不等式（拓展） 含参题按三层往下走：二次项系数的正负→判别式的符号→两根的大小。每分出一支就写一支的解集，最后用“综上”收口。 例1　解关于x的不等式－(a+1)x+a＜0，其中a为实数。 【分析】二次项系数为1，是正的，不必讨论；左边能分解成两个一次因式的积，两根已经现成，所以只需比较两根的大小。 【解答】原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0，对应方程的两根为1与a。二次函数y＝(x－1)(x－a)开口向上，“小于取中间”。当a＞1时，较小的根是1，较大的根是a，解集为{x|1＜x＜a}；当a＝1时，原不等式化为＜0，而完全平方式不小于0，解集为∅；当a＜1时，较小的根是a，较大的根是1，解集为{x|a＜x＜1}。综上，当a＞1时解集为{x|1＜x＜a}；当a＝1时解集为∅；当a＜1时解集为{x|a＜x＜1}。 【方法小结】两根已知时，讨论的分界点就是“两根相等”的那个参数值；分界点本身要单独作为一支，不能并到左右任一支里。 例2　设a是实数，就a的取值讨论a－(a+1)x+1＞0的解集。 【分析】二次项系数带参数，必须先把a＝0单独拿出来；a≠0时左边可分解为(ax－1)(x－1)，两根为1/a与1，再比较它们的大小。 【解答】原不等式可化为(ax－1)(x－1)＞0。当a＝0时，原不等式化为－x+1＞0，解得x＜1，解集为{x|x＜1}。当a≠0时，方程的两根为1/a与1。若a＜0，两边同除以a，不等号变向，得(x－1/a)(x－1)＜0；此时1/a＜0＜1，“小于取中间”，解集为{x|1/a＜x＜1}。若a＞0，不等式等价于(x－1/a)(x－1)＞0，“大于取两边”：当0＜a＜1时1/a＞1，解集为{x|x＜1或x＞1/a}；当a＝1时1/a＝1，两根相等，原不等式化为＞0，解集为{x|x≠1}；当a＞1时1/a＜1，解集为{x|x＜1/a或x＞1}。综上所述，结论如答案所列。 【方法小结】二次项系数带参数时，除以它的那一步是全题最容易出错的地方：a＜0时不等号必须变向，变向之后再去比较两根的大小。 题型7　变式（拓展）：两根比较、系数带参与由解集反求系数 前两道是正向讨论，第三道反过来：已知解集就等于已知两根，用根与系数的关系把字母解出来。 变式1　a为常数，解关于x的不等式(x－a)(x－2)＞0，并写出讨论过程。 变式2　已知a∈R，解关于x的不等式2+ax－＞0。 变式3　若不等式+bx+c＜0的解集为{x|－1＜x＜4}，则b+c＝（　　）。 A．－7　　B．－1　　C．1　　D．7 【题型8】分式不等式与简单高次不等式（拓展） 分式不等式绝不能两边直接乘分母，要用“商与积同号”化成整式；带等号时分母不为零这一句必须单独写出来。 例1　解分式不等式(x－3)/(x+2)≤0。 【分析】分母x+2的正负未知，不能直接乘过去。利用商与积同号，把它化为整式不等式，同时补上分母不为零的条件。 【解答】(x－3)/(x+2)≤0等价于(x－3)(x+2)≤0且x+2≠0。解(x－3)(x+2)≤0：对应方程的两根为－2与3，二次函数开口向上，“小于取中间”，得－2≤x≤3。再去掉使分母为零的x＝－2，得－2＜x≤3。所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤3}。 【方法小结】带等号的分式不等式，分子的零点能取到，分母的零点永远取不到，写解集时逐个端点核对开闭。 例2　把(2x－1)/(x+3)＞1移项通分化为整式不等式，再求它的解集。 【分析】右边不是0，先移项通分把右边化成0，再用商与积同号转化。切不可两边同乘x+3。 【解答】移项得(2x－1)/(x+3)－1＞0，通分得[(2x－1)－(x+3)]/(x+3)＞0，即(x－4)/(x+3)＞0。它等价于(x－4)(x+3)＞0。对应方程的两根为－3与4，二次函数开口向上，“大于取两边”，得x＜－3或x＞4。所以原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞4}。 【方法小结】见到分式不等式右边不为0，第一步永远是移项通分；通分后分子要合并同类项，别把减号漏给后一项。 题型8　变式（拓展）：三个因式相乘、通分化简与端点开闭 第一道用数轴标根逐段定号，第二道要先通分，第三道的分子还能再分解，端点的开闭是评分的关键。 变式1　用数轴标根的方法解不等式(x+1)(x－2)(x－4)＞0。 变式2　使3/(x－1)＜1成立的x的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　使分式(－x－2)/(x－5)的值不小于0的x的集合是（　　）。 A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2或x＞5} C．{x|x≤－1或2≤x＜5} D．{x|－1≤x≤2或x≥5} 【题型9】恒成立问题与有解问题（拓展） 恒成立看图象整条曲线在x轴哪一侧，落到判别式上；有解只要求图象有一部分越过x轴。参数在二次项上时，系数为零的那一支不能漏。 例1　当实数m取什么值时，+mx+4＞0对一切实数x都成立？ 【分析】二次项系数1＞0，图象开口向上。要让函数值恒为正，只需图象与x轴没有公共点，即判别式小于0。 【解答】设y＝+mx+4，其图象是开口向上的抛物线。不等式对一切实数x都成立，等价于图象恒在x轴上方，即对应方程+mx+4＝0没有实数根，所以Δ＝－4×1×4＜0，即－16＜0。解这个一元二次不等式：对应方程－16＝0的两根为－4与4，“小于取中间”，得－4＜m＜4。所以实数m的取值范围是－4＜m＜4。 【方法小结】“对一切实数x都成立”这句话在开口向上时就是Δ＜0；若把“＞0”换成“≥0”，则条件放宽为Δ≤0。 例2　若关于x的不等式a+ax－1＜0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。 【分析】二次项系数带参数，先看a＝0：此时不等式退化为一次（其实是常数）不等式，要单独检验；a≠0时才谈开口方向与判别式。 【解答】当a＝0时，原不等式化为－1＜0，对一切实数x都成立，符合要求。当a≠0时，设y＝a+ax－1。要使函数值恒为负，图象必须开口向下且与x轴没有公共点，所以a＜0且Δ＝－4×a×(－1)＝+4a＜0。解+4a＜0：分解得a(a+4)＜0，两根为－4与0，“小于取中间”，得－4＜a＜0，它已经满足a＜0。综上所述，实数a的取值范围是－4＜a≤0。 【方法小结】参数出现在二次项系数上时，“系数为零”这一支既不能默认成立，也不能默认不成立，必须单独代回原式检验。 题型9　变式（拓展）：有解问题、解集为R与分离参数 第一道把“有解”翻译成判别式非负，第二道的参数在二次项上，第三道把参数单独分离出来再求另一边的最值。 变式1　已知－2x+k≤0有解，求实数k应满足的条件。 变式2　若k+2kx+1＞0的解集恰为全体实数R，则实数k的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　已知x取任何正数时－ax+25＞0都成立。用分离参数的办法求a的取值范围。 【题型10】二次函数图象与一元二次方程、不等式的对应 三个二次靠图象串在一起：零点是方程的根，也是图象与x轴交点的横坐标，图象在x轴上方还是下方决定不等式的解集。 例1　已知二次函数y＝－+4x－3。（1）求它的零点；（2）分别写出－+4x－3＞0与－+4x－3＜0的解集。 【分析】零点就是使函数值为0的x，即对应方程的根。二次项系数为负，图象开口向下，函数值为正的那一段夹在两个零点之间。 【解答】（1）令－+4x－3＝0，两边同乘－1得－4x+3＝0，分解因式得(x－1)(x－3)＝0，解得x₁＝1，x₂＝3，所以该二次函数的零点为1与3。（2）图象开口向下，与x轴交于(1,0)与(3,0)。当1＜x＜3时图象位于x轴上方，此时y＞0，所以－+4x－3＞0的解集为{x|1＜x＜3}；当x＜1或x＞3时图象位于x轴下方，此时y＜0，所以－+4x－3＜0的解集为{x|x＜1或x＞3}。 【方法小结】开口向下时“大于取中间、小于取两边”，恰好与开口向上时相反；若不愿记两套口诀，就先把二次项系数化为正再统一用一套。 例2　已知二次函数y＝a+bx+c的图象开口向下，且与x轴交于点(－1,0)与点(4,0)，则不等式a+bx+c≥0的解集是＿＿＿＿。 【分析】图象与x轴的两个交点的横坐标就是方程a+bx+c＝0的两根，开口方向决定函数值为正的那一段在哪里。 【解答】由题意知方程a+bx+c＝0的两根为－1与4。因为图象开口向下，所以在两根之间图象位于x轴上方，在两根之外位于x轴下方。不等式a+bx+c≥0要求图象不在x轴下方，包括两个交点本身，所以解集为{x|－1≤x≤4}。 【方法小结】这类题不必求出a，b，c的具体值：开口方向加两个零点，已经足够把解集读出来。 题型10　变式：由解集定系数、图象无交点与由零点求参数 第一道由解集倒推系数之间的关系，第二道把“没有公共点”译成判别式为负，第三道先求参数再解不等式。 变式1　若a+bx+c＞0的解集是{x|x＜－2或x＞5}，那么a，b，c之间的关系是（　　）。 A．a＞0，b＝－3a，c＝－10a B．a＜0，b＝3a，c＝10a C．a＞0，b＝3a，c＝10a D．a＜0，b＝－3a，c＝－10a 变式2　已知二次函数y＝－2mx+m+2的图象与x轴没有公共点，则实数m的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　已知二次函数y＝+px+q的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为－4与2。（1）求p，q的值；（2）当x取哪些值时y＞0？ 【题型11】用一元二次不等式解决实际问题 实际问题按“设、列、解、答”四步走：设量时就把实际范围写出来，解完把数学解与实际范围取交集，件数还要取整数。 例1　某车间一周生产某种零件x件，创造的价值y元满足y＝－2+180x。若这个车间希望一周创造的价值不低于4000元，则一周的产量应在什么范围内（x取整数）？ 【分析】把“不低于4000元”译成不等式y≥4000，整理成一元二次不等式后求解，最后按产量必须是整数取舍。 【解答】设一周生产x件，由题意得－2+180x≥4000。两边同除以－2，不等号变向，得－90x+2000≤0。对于方程－90x+2000＝0，Δ＝－4×2000＝8100－8000＝100＞0，由求根得x₁＝40，x₂＝50。二次函数y＝－90x+2000开口向上，“小于取中间”，所以不等式的解集为{x|40≤x≤50}。因为x表示零件件数，取整数，所以一周的产量应在40件到50件之间，包括40件与50件。 【方法小结】两边同除以负数时不等号必须变向，这一步漏掉，解集就会整段搬到相反的位置。 例2　一块长30m、宽20m的矩形空地，要在它的正中间修建一个各边与空地各边平行的矩形花坛，使花坛四周留出宽度相等的小路。若要求花坛的面积不小于416m²，求小路宽度的取值范围。 【分析】设小路宽为x，花坛的长与宽都比空地少两个小路宽度。先写出x的实际范围，再由面积列不等式。 【解答】设小路的宽度为xm，则花坛的长为(30－2x)m，宽为(20－2x)m。由花坛的宽为正得20－2x＞0，所以x的实际范围是0＜x＜10。由题意得(30－2x)(20－2x)≥416，展开得4－100x+600≥416，整理得4－100x+184≥0，两边同除以4得－25x+46≥0。对于方程－25x+46＝0，Δ＝625－184＝441＞0，由求根得x₁＝2，x₂＝23。二次函数开口向上，“大于取两边”，所以不等式的解集为{x|x≤2或x≥23}。与实际范围0＜x＜10取交集，得0＜x≤2。所以小路的宽度应大于0m且不超过2m。 【方法小结】实际范围一定要在列式之前先写好；数学上的另一支解x≥23超出了空地的尺寸，正是靠实际范围把它舍掉的。 题型11　变式：收益模型、定长围栏与列不等式 第一道要把收益不等式整理成一般形式再取整数，第二道由周长写出面积，第三道只要求列出不等式并求解。 变式1　一条自动包装线每周包装x箱产品，所获利润y元与x满足y＝－10+700x。要使每周利润超过10000元，每周的包装箱数大约在什么范围内（x取整数）？ 变式2　用一根长24cm的铁丝围成一个矩形，若要使这个矩形的面积不小于35cm²，则矩形一边长x（单位：cm）的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　某养殖场用一段长40m的围网靠一面长墙围成一个矩形养殖区，墙足够长且不需要围网。若要使养殖区的面积不小于150m²，则与墙垂直的一边长x（单位：m）应满足的不等式是（　　）。 A．x(40－x)≥150 B．x(40－2x)≥150 C．2x(40－x)≥150 D．x(20－x)≥150 　易错专练 这七道题各自对应本章的一个高频失分点。建议先独立做完，再逐条核对解析中标出的错解、错因与正解，把自己的思路与它比一比，看看断在了哪一环。其中第6题的分式不等式属拓展内容（教材以习题形式接触，2.3节正文未给出系统解法）。 易错1　解不等式5－2x＞9时，有同学两边同时除以－2，直接写出x＞－2。指出错解中失效的那一步，并写出正确的解集。 易错2　判断命题“对任意实数x，都有x+1/x≥2”是否正确；若不正确，写出它成立的条件。 易错3　求x+4/(x+1)（x＞0）的最小值时，有同学的答案是4。说明这个答案为何不可靠，并求出真正的最小值。 易错4　有同学由“方程－2x+5＝0没有实数根”，直接断定－2x+5＜0对一切实数x都成立。找出这段推理的漏洞，并把解集改正过来。 易错5　解－+3x－2＞0时，有同学不化二次项系数就套用“大于取两边”，写出了{x|x＜1或x＞2}。错误出在哪一步？把正确答案写出来。 易错6　解(x+1)/(x－2)≥0时，有同学在两边同时乘以x－2，得到x+1≥0，于是写出了{x|x≥－1}。这一步变形不成立，请给出正确的解法。 易错7　命题“对任意实数a，b，都有+＞2ab”是真是假？若是假命题，写出正确的结论以及等号成立的条件。 　课后作业（一）基础过关 本组共12题。第1～5题为单项选择，把答案字母写进题后的括号；第6～9题为填空，结果写在横线上；第10～12题要有完整的推理与计算过程。内容覆盖十一个题型的基本要求。其中第4题涉及分式不等式，属拓展内容。 1．二次函数y＝－6x+8的图象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围是（　　）。 A．{x|x＜2或x＞4} B．{x|2＜x＜4} C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|x＜－4或x＞－2} 2．若a＞b，c＜0，则下列结论中正确的是（　　）。 A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．a－c＜b－c D．a＜b 3．已知a，b都是正数，且a≠b，则下列不等式中一定成立的是（　　）。 A．＞(a+b)/2 B．＜(a+b)/2 C．＝(a+b)/2 D．＜4ab 4．不等式(x－4)/(x+1)＞0的解集是（　　）。 A．{x|x＞4} B．{x|x＜－1} C．{x|x＜－1或x＞4} D．{x|－1＜x＜4} 5．若一元二次不等式+mx+9≥0对一切实数x都成立，则m的取值范围是（　　）。 A．m≤－6　　B．m≥6　　C．－6≤m≤6　　D．m＜－6或m＞6 6．设a∈R，则(a+3)(a－2)与+a－7的大小关系是(a+3)(a－2)＿＿＿＿+a－7（填“＞”“＝”或“＜”）。 7．已知t＞0，则(+2t+36)/t的最小值是＿＿＿＿。 8．若≤3x，则x的取值范围是＿＿＿＿。 9．函数y＝+x－12的零点是＿＿＿＿。 10．已知a＞b＞0，且c是负数。求证：c/a＞c/b。 11．解不等式2－5x－3≥0。 12．正数x，y满足x+4y＝1。求乘积xy的最大值，并写出取得最大值时x与y的值。 　课后作业（二）能力提升 本组9题需要联用两条以上的结论：性质与最值联用，解集与系数联用，实际背景与判别式联用。动笔前先判断该用哪一条依据，再写解答。其中第13题（含参）与第15题（分式不等式）属拓展内容。 13．当0＜a＜1时，不等式(x－a)(x－1/a)＜0的解集是（　　）。 A．{x|a＜x＜1/a} B．{x|1/a＜x＜a} C．{x|x＜a或x＞1/a} D．{x|x＜1/a或x＞a} 14．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则1/x+2/y的最小值是（　　）。 A．3　　B．6　　C．9　　D．12 15．若(x+4)/(3－x)≤0，则x的取值范围是（　　）。 A．{x|－4≤x＜3} B．{x|x≤－4} C．{x|x＞3} D．{x|x≤－4或x＞3} 16．已知－3＜a＜1，－2＜b＜4，则a－b的取值范围是＿＿＿＿。 17．若不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜2}，则a+c＝＿＿＿＿。 18．设x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+y的最小值是＿＿＿＿。 19．已知关于x的不等式a+bx+c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，求关于x的不等式c+bx+a＞0的解集。 20．某农户计划用96m长的栅栏围成一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，墙长50m且不需要栅栏。若要使鸡舍的面积不小于1080m²，求与墙垂直的边长x（单位：m）的取值范围。 21．已知a＞0，b＞0，且a+3b＝4。（1）求ab的最大值；（2）求3/a+1/b的最小值。 　课后作业（三）拓展探究 本组5题的难度再上一层，出现整数解计数、参数讨论与二次型最值。处理它们的共同办法是：把每个条件先翻译成抛物线的开口、零点或对称位置，再一步步往下推。其中第23题（含参、解集为R）与第25题（含参分式不等式）属拓展内容。 22．使不等式－4x+a≤0恰好有3个整数解的实数a，其取值范围是＿＿＿＿。 23．已知关于x的不等式k－2x+6k＜0。（1）若它的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；（2）若它的解集为R，求k的取值范围。 24．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝8，求x+y的最小值。 25．设a为实数，就a的取值求分式不等式(x－a)/(x－)＜0的解集。 26．某养殖户要建造一个容积为32m³、深为2m的长方体形无盖蓄水池。池底的造价是每平方米120元，池壁的造价是每平方米80元。（1）设池底一边长为xm，把总造价y（单位：元）表示成x的式子；（2）求总造价的最小值，并求出此时池底的边长。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版·必修一·第二章 一元二次函数、方程和不等式 题型精讲讲义 第二章 一元二次函数、方程和不等式 题型精讲（讲义）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 人教A版（2019）高中数学必修第一册　第二章 一元二次函数、方程和不等式　2.1 等式性质与不等式性质　2.2 基本不等式　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．会用不等式（组）表示限速、配比、盈亏这类现实中的不等关系；掌握两个实数大小关系的基本事实——a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，并能用它比较两个代数式的大小。 2．能由等式的五条基本性质类比出不等式的性质1～7，会说明性质2、5的推导依据，特别是掌握“两边同乘正数不变号、同乘负数要变号”，并能用这些性质由已知不等式推出新的不等式或求代数式的取值范围。 3．掌握重要不等式+≥2ab（a，b∈R）与基本不等式≤(a+b)/2（a＞0，b＞0），会用完全平方公式法和分析法两条路径给出证明，能说出它的几何解释，并按“一正、二定、三相等”求和定积最大、积定和最小这两类最值。 4．理解一元二次不等式的概念与二次函数零点的意义，会按Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种情形借助二次函数图象写出a+bx+c＞0与a+bx+c＜0（a＞0）的解集；会把二次项系数为负的不等式先化正，并能用一元二次不等式解决面积、收益、刹车距离等实际问题；（拓展）会把分式不等式化为整式不等式，会按二次项系数与两根大小讨论含参不等式。 学习重难点 重点：作差比较法与不等式性质1～7的使用；基本不等式的两种证明与“一正、二定、三相等”三个前提；Δ三种情形下一元二次不等式解集的对应关系表，以及“图象在x轴上方还是下方”这一读解集的依据。 难点：含参一元二次不等式按二次项系数的正负与两根的大小分类讨论；用基本不等式求最值时的配凑与常数代换，以及等号能否取到的检验。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　两个实数大小关系的基本事实与作差比较法 数轴上的点与实数一一对应，所以可以用数轴上点的位置关系规定实数的大小关系：如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b，反过来也成立。于是比较两个实数的大小，就转化为比较它们的差与0的大小。用这条基本事实比较两个代数式的大小，通常按“作差—变形—定号—下结论”四步走：变形时把差式整理成常数、完全平方式、几个因式的积或商这类符号一眼可辨的形式。例如比较(x+2)(x+3)与(x+1)(x+4)：作差得(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)＝(+5x+6)－(+5x+4)＝2＞0，所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)。 a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0 作差比较四步：作差→变形→定号→下结论 小提示：变形没有变到“符号一眼可辨”就不要急着下结论；差式里出现平方项时要记得平方只保证非负，等于0的那一刻正是两式相等的时候。 知识点　02　等式的基本性质与不等式的性质1～7 等式有五条基本性质：如果a＝b，那么b＝a；如果a＝b，b＝c，那么a＝c；如果a＝b，那么a±c＝b±c；如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么a/c＝b/c。前两条刻画相等关系自身的特性，后三条是从运算的角度提出的，反映等式在运算中保持的不变性。类比过来，不等式有下面七条性质，它们都可以由这条基本事实出发逐条推证得到（性质1～4由作差直接得出，性质5、6、7由前面的性质推出）。等号没有方向而不等号有方向，所以两边同乘一个数时，这个数的符号会影响不等号的方向，这是不等式与等式最大的差别。 移项法则：a+b＞c⇔a＞c－b（任何一项改变符号后可移到另一边） 同向可加、正数同向可乘；同向不可减，也不可除 性质 条件 结论 说明 性质1 a＞b b＜a 对称性，反过来也成立 性质2 a＞b，b＞c a＞c 传递性，由(a－b)+(b－c)＞0得 性质3 a＞b a+c＞b+c 两边同加实数，同向；由它得移项法则 性质4 a＞b，c＞0；a＞b，c＜0 ac＞bc；ac＜bc 同乘正数同向，同乘负数反向 性质5 a＞b，c＞d a+c＞b+d 同向不等式可以相加 性质6 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd 两边都为正的同向不等式可以相乘 性质7 a＞b＞0 ＞（n∈N，n≥2） 两边都为正才能乘方 小提示：性质5、6只能顺着同向用：由a＞b与c＞d推不出a－c＞b－d，也推不出a/c＞b/d；性质6、7都要求两边为正，去掉“＞0”就不再成立。 知识点　03　重要不等式+≥2ab与基本不等式的两种证明 由完全平方公式得+－2ab＝，对任意实数a，b都有≥0，当且仅当a＝b时取等号，于是+≥2ab（a，b∈R），这就是重要不等式。若a＞0，b＞0，用，分别代替上式中的a，b，即得≤(a+b)/2，通常称它为基本不等式；其中(a+b)/2叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。另一条常见证法是分析法：要证≤(a+b)/2，只要证2≤a+b，只要证a+b－2≥0。因为a＞0，b＞0，所以a+b－2正是与的差的平方，而任何实数的平方都不小于0，故末式成立；把这一串推理倒过来写，就得到了原不等式。 +≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成立 ≤(a+b)/2（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立 常用变形（a＞0，b＞0）：a+b≥2；ab≤，当且仅当a＝b时等号成立 小提示：重要不等式对一切实数成立，基本不等式只对两个正数成立；写结论时“当且仅当a＝b时等号成立”一句不能省，它说明这个界是能够取到的。 知识点　04　基本不等式的几何解释与“一正、二定、三相等” 设圆O的直径为AB，半径为(a+b)/2。点C在AB上，使AC＝a，BC＝b。过点C作AB的垂线，与圆交于点D，连接AD，BD。因为AB是直径，所以∠ADB是直角，于是△ACD∽△DCB，得C＝AC·BC＝ab，即CD＝。半弦CD不超过半径OD，用式子写出来正是≤(a+b)/2；当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，CD与OD重合，等号成立。用基本不等式求最值必须同时满足三个前提：所涉及的两个式子都是正的（一正），它们的和或积是一个定值（二定），取等号的条件在给定范围内能够达到（三相等）。由此得到两条常用结论：两个正数的积为定值P时，和有最小值2；两个正数的和为定值S时，积有最大值()。 积定和最小：xy＝P（x＞0，y＞0）⇒x+y≥2，x＝y时取到 和定积最大：x+y＝S（x＞0，y＞0）⇒xy≤()，x＝y时取到 小提示：三个前提缺一不可：只验证了不等式成立而没有验证等号能取到，得到的只是一个界，不一定是最值；若等号在给定范围内取不到，就要另找办法。 知识点　05　一元二次不等式的概念与二次函数的零点 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，它的一般形式是a+bx+c＞0或a+bx+c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0。对于二次函数y＝a+bx+c，把使a+bx+c＝0的实数x叫作这个二次函数的零点。函数的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标，也就是相应一元二次方程的根，这正是把二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者联系起来的纽带：先求出方程的根，再看图象在x轴的上方还是下方，就能把不等式的解集读出来。例如y＝－12x+20的两个零点是2与10，它们把x轴分成三段，图象在x＜2与x＞10时位于x轴上方，在2＜x＜10时位于x轴下方。 一般形式：a+bx+c＞0或a+bx+c＜0（a≠0） 零点⇔方程a+bx+c＝0的根⇔图象与x轴交点的横坐标 小提示：“最高次数是2”要求二次项系数a≠0；带参数的不等式若没有声明a≠0，就必须把a＝0的一次情形单独拿出来讨论，那时它已不是一元二次不等式。 知识点　06　Δ的三种情形与一元二次不等式解集对应表 设Δ＝－4ac，一元二次方程a+bx+c＝0（a＞0）的根按Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0分为三种情形，相应地二次函数y＝a+bx+c（a＞0）的图象与x轴的位置关系也分为三种，于是对应的一元二次不等式的解集也分三种情形。下表是本章最核心的一张表，读表的口诀是“大于取两边、小于取中间”，而这两句话的前提是二次项系数为正、图象开口向上。 口诀：a＞0时，大于取两边、小于取中间（Δ＞0） Δ≤0时先看不等号方向：“＞0”型多为R或去掉一点，“＜0”型多为∅ 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图象与x轴 交于两点 只有一个公共点 没有公共点，图象全在x轴上方 a+bx+c＝0的根 两个不相等的根x₁＜x₂ 两个相等的根x₁＝x₂＝－b/(2a) 没有实数根 a+bx+c＞0的解集 {x|x＜x₁或x＞x₂} {x|x≠－b/(2a)} R a+bx+c≥0的解集 {x|x≤x₁或x≥x₂} R R a+bx+c＜0的解集 {x|x₁＜x＜x₂} ∅ ∅ a+bx+c≤0的解集 {x|x₁≤x≤x₂} {x|x＝－b/(2a)} ∅ 小提示：二次项系数为负时，先在两边同乘－1把它化成正的，同时不等号要变向，再套这张表；直接拿a＜0的式子套表是最典型的错误。 知识点　07　分式不等式化为整式不等式与简单高次不等式（拓展） （教材以习题与复习参考题的形式接触这两类不等式，2.3节正文并未给出系统解法，本讲作方法归纳，属拓展内容。）形如f(x)/g(x)＞0的分式不等式，不能直接给两边乘g(x)，因为g(x)的正负未知，同乘后不等号方向无法确定。正确的办法是利用“两数之商与两数之积同号”把它化为整式不等式：f(x)/g(x)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；f(x)/g(x)＜0⇔f(x)·g(x)＜0；f(x)/g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0。对于几个一次因式相乘的高次不等式，可先把各因式的零点标在数轴上，把数轴分成若干段，再逐段判断乘积的符号；当每个因式的系数都为正且零点互不相同时，最右边一段取正号，向左逐段变号。 f(x)/g(x)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；f(x)/g(x)＜0⇔f(x)·g(x)＜0 f(x)/g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0（分母不为零必须单独写） 小提示：写解集时分母的零点永远取不到，端点开闭要逐个核对；移项通分是第一步，见到“f(x)/g(x)＞1”这类式子先化成右边为0再说。 知识点　08　含参一元二次不等式的讨论框架（拓展）与实际问题建模 （含参不等式的系统讨论在教材中以复习参考题的形式出现，本讲作方法归纳，属拓展内容；实际问题建模则是2.3节的正课要求。）解含参的不等式a+bx+c＞0时，按下面三层依次讨论：第一层看二次项系数，分a＝0（化为一次不等式）、a＞0、a＜0三种；第二层在a≠0时看Δ的符号，分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种，确定方程有没有根，其中Δ＝0（两根相等）这一支必须单独成支；第三层在Δ＞0时比较由参数表示出的两根x₁与x₂的大小，分x₁＜x₂与x₁＞x₂两种，确定解集的写法——Δ＞0已保证两根不相等，所以这一层只有两支。讨论完毕要写一句“综上”，把各种情形的结论按参数取值从小到大整理成一段。用一元二次不等式解决实际问题则按“设—列—解—答”四步：设出未知量并写出它的实际取值范围，根据题意列出不等式，用知识点06的对应表求出解集，最后把数学解与实际范围求交集并按实际意义取舍。 讨论三层：先看二次项系数的正负→再看Δ的符号（Δ＝0单独成支）→最后在Δ＞0时比较两根的大小（只有x₁＜x₂与x₁＞x₂两支） 建模四步：设未知量并写实际范围→列不等式→解不等式→与实际范围取交集后作答 小提示：使两根相等的那个参数值恰好对应Δ＝0，它必须在第二层单独作为一支，不能并入两根大小的任何一支；实际问题的解集一定要回到背景里检验：长度、速度、件数都要为正，件数还必须取整数，端点能不能取到由“不低于、超过、至少”这些词决定。 【题型1】作差比较两个代数式的大小 作差比较的难点从来不在作差，而在变形：把差式整理成常数、完全平方式或几个因式的积，符号才一眼可辨。 例1　用作差比较法判断(x+5)(x+7)与的大小。 【分析】两式都是二次多项式，直接看不出大小。按作差比较法，先把两式相减，展开合并后看差式的符号。 【解答】(x+5)(x+7)－＝(+12x+35)－(+12x+36)＝－1。因为－1＜0，由两个实数大小关系的基本事实，得(x+5)(x+7)＜。 【方法小结】两个多项式相减后若一次项、二次项全部抵消，只剩一个常数，那么大小关系与x无关，这是本类题最干脆的一种结果。 例2　已知a＞0，比较+1与+a的大小。 【分析】差式是三次的，展开后先分组提取公因式，争取化成几个因式的积，再逐个判断因式的符号。 【解答】(+1)－(+a)＝－－a+1＝(a－1)－(a－1)＝(a－1)(－1)＝(a+1)。因为a＞0，所以a+1＞0；又≥0，当且仅当a＝1时等号成立。所以当a＝1时(a+1)＝0，两式相等；当a＞0且a≠1时(a+1)＞0，即+1＞+a。 【方法小结】差式含平方因式时，结论要分“等号成立”与“严格大于”两段写，不能笼统地写成一个大于号。 题型1　变式：定号、选项判断与配方定号 三道题的差式分别落在完全平方、常数与二次三项式上：第一道要配方，第二道只剩常数，第三道要把差式凑成平方加正数。 变式1　设x∈R，则+3与3x的大小关系是+3（　　）3x（在括号内填“＞”“＝”或“＜”）。 变式2　设a∈R，则(a+3)(a－5)与(a+2)(a－4)的大小关系是（　　）。 A．前者较大　　B．前者较小　　C．两者相等　　D．随a的取值而改变 变式3　比较2－4x+5与－2x+3的大小（x∈R），并写出判断过程。 【题型2】利用不等式的性质作判断与求取值范围 判断题的要害是找反例，求范围的要害是“同向才能相加、都为正才能相乘”，减法与除法一律先转化成加法与乘法。 例1　下列四个命题中，正确的是（　　）。 A．若a＞b，则a＞b B．若a＞b，则1/a＜1/b C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 【分析】判断这类命题，先想能不能直接引用某条性质，不能引用就找一组具体的数作反例。 【解答】A中取c＝0，则a＝b＝0，不等号不成立；B中取a＝1，b＝－1，则1/a＝1，1/b＝－1，此时1/a＞1/b，不成立；D中取a＝5，b＝1，c＝4，d＝0，则a－c＝1，b－d＝1，两者相等，不成立；C正是不等式的性质6，两个两边都为正的同向不等式可以相乘，成立。故选C。 【方法小结】A缺的是“c≠0”，B缺的是“a与b同号”，D错在把同向不等式相减。凡是要相乘的性质，先确认每一项都是正的。 例2　已知－1＜x＜4，2＜y＜3，求x－y与3x+2y的取值范围。 【分析】减法要先化成加法：由2＜y＜3先推出－y的范围，再与x的范围相加；乘以正数用性质4，相加用性质5。 【解答】由2＜y＜3，两边同乘－1，不等号变向，得－3＜－y＜－2。又－1＜x＜4，两式同向相加，得－1+(－3)＜x+(－y)＜4+(－2)，即－4＜x－y＜2。再由－1＜x＜4两边同乘3，得－3＜3x＜12；由2＜y＜3两边同乘2，得4＜2y＜6。两式同向相加，得－3+4＜3x+2y＜12+6，即1＜3x+2y＜18。 【方法小结】求范围只能用同向相加与乘正数这两步，中途一旦用了“两式相减”，得到的范围就会失真。 题型2　变式：反例判断、性质填号与糖水型证明 第一道在四个选项里找恒成立的那个，第二道按性质给两个空填号，第三道用作差把一个熟悉的不等式证出来。 变式1　若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是（　　）。 A．＜ B．1/a＜1/b C．a+b＜ab D．|a|＜|b| 变式2　已知a＞b＞0，则＿＿＿＿，1/a＿＿＿＿1/b（两空均填“＞”或“＜”）。 变式3　设a＞b＞0。证明a/b＞(a+1)/(b+1)。 【题型3】用基本不等式直接求最值 直接型的标志是两个正的式子相乘恰好是一个常数。写解答时“一正、二定、三相等”三句都要落到纸面上。 例1　已知x＞0，求x+4/x的最小值，并指出取得最小值时x的值。 【分析】x与4/x都是正数，而它们的积x·(4/x)＝4是定值，正好符合基本不等式“积为定值求和的最小值”的模型。 【解答】因为x＞0，所以4/x＞0，且x·(4/x)＝4为定值。由基本不等式得x+4/x≥2＝2＝4，当且仅当x＝4/x，即＝4，又x＞0，得x＝2时，等号成立。所以x+4/x的最小值为4，此时x＝2。 【方法小结】书写顺序固定为：先说明两式为正，再指出积为定值，再写不等式，最后解出等号成立时的x并说明它在定义范围内。 例2　已知x＞0，y＞0。（1）若xy＝9，求x+y的最小值；（2）若x+y＝8，求xy的最大值。 【分析】两小问正是基本不等式的两条常用结论：积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值。 【解答】（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式得x+y≥2＝2＝6，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与xy＝9得x＝y＝3。所以x+y的最小值为6。（2）由基本不等式得≤(x+y)/2＝＝4，两边平方得xy≤16，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与x+y＝8得x＝y＝4。所以xy的最大值为16。 【方法小结】（2）中由≤4推出xy≤16要用到两边都为正才能平方这一条，正是不等式性质7的用法。 题型3　变式：填空、选项与x为负数时的最值 前两道是直接套模型，第三道的变量是负的，要先把它取相反数变成正数再用基本不等式。 变式1　当a＞0时，a+9/a的最小值是＿＿＿＿，此时a＝＿＿＿＿。 变式2　已知x＞0，则2x+8/x的最小值是（　　）。 A．4　　B．6　　C．8　　D．16 变式3　已知x＜0，求x+1/x的最大值。 【题型4】配凑与“1”的代换求最值 积不是定值时就要人工把它凑成定值：分母是x－1就把分子也拆出一个x－1；已知条件是一个等于1的式子，就把要求的式子乘上它。 例1　设x＞1，试求代数式x+4/(x－1)的最小值。 【分析】x与4/(x－1)的积不是定值，但x－1与4/(x－1)的积是定值4。把x拆成(x－1)+1，就凑出了定值。 【解答】因为x＞1，所以x－1＞0，4/(x－1)＞0。x+4/(x－1)＝(x－1)+4/(x－1)+1。由基本不等式得(x－1)+4/(x－1)≥2＝2＝4，所以x+4/(x－1)≥4+1＝5。当且仅当x－1＝4/(x－1)，即＝4，结合x－1＞0得x－1＝2，即x＝3时等号成立。所以最小值为5。 【方法小结】配凑的口诀是“分母是什么，就在分子里拆出什么”，拆完务必检查剩下的那部分是常数，否则定值凑不出来。 例2　已知x＞0，y＞0，且1/x+9/y＝1，求x+y的最小值。 【分析】条件给出的式子等于1，于是可以把x+y乘上这个等于1的式子，展开后出现一对互为倒数关系的项，再用基本不等式。 【解答】因为1/x+9/y＝1，所以x+y＝(x+y)(1/x+9/y)＝1+9x/y+y/x+9＝10+9x/y+y/x。因为x＞0，y＞0，所以9x/y＞0，y/x＞0，由基本不等式得9x/y+y/x≥2＝2＝6，所以x+y≥10+6＝16。当且仅当9x/y＝y/x，即＝9，结合x＞0，y＞0得y＝3x；代入1/x+9/y＝1得1/x+3/x＝1，解得x＝4，此时y＝12。所以x+y的最小值为16。 【方法小结】常数代换后必须把等号成立的条件代回原条件解出x与y的具体值，只有解得出来才说明这个最小值真的取得到。 题型4　变式：分母配凑、系数代换与和定积最大 第一道把分母拆出来，第二道用等于1的条件作代换，第三道的和里带着系数2，先把它凑成两式之积。 变式1　若x＞3，那么x+1/(x－3)的最小值等于＿＿＿＿。 变式2　设a，b都是正数，且a+b＝1。求1/a+4/b的最小值。 变式3　设x，y均为正数，且x+2y＝3，则乘积xy的最大值是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 【题型5】基本不等式在周长、面积与造价问题中的应用 应用题先把约束条件翻译成“积为定值”或“和为定值”，再把要优化的量写成两个正数之和或之积，最后别忘了回答实际问题。 例1　用篱笆围一个面积为49m²的矩形菜园。当这个矩形的边长为多少米时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少米？ 【分析】矩形相邻两边之积为定值49，篱笆长是周长，等于两边之和的2倍，正属于“积为定值求和的最小值”。 【解答】设矩形相邻两边长分别为xm，ym，则x＞0，y＞0，xy＝49，篱笆长为2(x+y)m。由基本不等式得x+y≥2＝2＝14，所以2(x+y)≥28，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与xy＝49，结合x＞0得x＝y＝7。所以当这个矩形是边长为7m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是28m。 【方法小结】把“边长”设为两个字母比只设一个字母更省事，因为约束条件恰好是这两个字母的积，可以直接套模型。 例2　某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3600m³，深为4m。已知每平方米池底需造价150元，每平方米池壁需造价120元。怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【分析】深已经定了，未定的是池底相邻两边长。先由容积求出池底面积这个定值，再把总造价写成池底造价加池壁造价。 【解答】设池底相邻两边长分别为xm，ym，总造价为z元，则x＞0，y＞0。由容积得4xy＝3600，所以xy＝900，池底面积为900m²，池底造价为900×150＝135000(元)。池壁面积为2×4×(x+y)＝8(x+y)m²，池壁造价为120×8(x+y)＝960(x+y)元。所以z＝135000+960(x+y)。由基本不等式得x+y≥2＝2＝60，所以z≥135000+960×60＝135000+57600＝192600，当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与xy＝900，结合x＞0得x＝y＝30。所以把池底设计成边长为30m的正方形时总造价最低，最低总造价为192600元。 【方法小结】造价问题要把每一部分的面积与单价分别算清再求和；池底面积是定值，它那一项是常数，真正要优化的只有池壁那一项。 题型5　变式：靠墙围地、库存费用与拆数问题 靠墙的一边不用材料，约束式就要重新列；库存问题的两项费用一升一降，正好是积为定值的模型。 变式1　某农场用长为36m的篱笆靠墙围成一块矩形试验田，靠墙的一边不用篱笆，墙足够长。求这块试验田面积的最大值。 变式2　某公司每年需购进某种原料400t，分若干次购进，每次购进xt。已知每次的运费为4万元，每年的保管费用为4x万元。求一年的总费用最少时每次的购进量，并求出最少总费用。 变式3　把24写成两个正数的和，则这两个正数之积的最大值是（　　）。 A．96　　B．144　　C．12　　D．576 【题型6】按Δ的三种情形解一元二次不等式 解一元二次不等式的固定动作是三步：先把二次项系数化为正，再算Δ并求根，最后借助开口向上的抛物线读出解集。 例1　借助二次函数y＝－x－6的图象，求不等式－x－6＞0的解集。 【分析】二次项系数为正，先解对应的一元二次方程求出两个零点，再看二次函数的图象在哪些范围内位于x轴上方。 【解答】对于方程－x－6＝0，Δ＝－4×1×(－6)＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，分解因式得(x+2)(x－3)＝0，解得x₁＝－2，x₂＝3。画出二次函数y＝－x－6的图象，它开口向上，与x轴交于(－2,0)与(3,0)。由图象可知，当x＜－2或x＞3时图象位于x轴上方，此时y＞0。所以原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞3}。 【方法小结】Δ＞0且二次项系数为正时，“大于取两边”：解集是由两根分出的左右两段，中间那一段留给小于号。 例2　求不等式4－12x+9＞0的解集。 【分析】先算Δ。这里Δ＝0，抛物线与x轴只有一个公共点，除这个点外图象都在x轴上方，正好用来看清Δ＝0时解集是什么形态。 【解答】对于方程4－12x+9＝0，Δ＝－4×4×9＝144－144＝0，方程有两个相等的实数根。由4－12x+9＝＝0，解得x₁＝x₂＝。画出二次函数y＝4－12x+9的图象，它开口向上，与x轴只有一个公共点(,0)。由图象可知，除x＝外图象都位于x轴上方。所以原不等式的解集为{x|x≠}。 【方法小结】Δ＝0而不等号是“＞”时，解集是去掉一个点的全体实数；若不等号换成“≥”，解集就是R；换成“＜”则为∅。 题型6　变式：判别式为负、二次项系数为负与先整理再求解 第一道的抛物线与x轴没有交点，第二道要先把二次项系数化为正，第三道要先移项整理成一般形式再求解集。 变式1　分别求不等式+2x+5＞0与+2x+5＜0的解集。 变式2　先把二次项系数化为正数，再解不等式－2+3x+2≥0。 变式3　不等式x(x－5)＜6的解集是＿＿＿＿。 【题型7】解含参数的一元二次不等式（拓展） 含参题按三层往下走：二次项系数的正负→判别式的符号→两根的大小。每分出一支就写一支的解集，最后用“综上”收口。 例1　解关于x的不等式－(a+1)x+a＜0，其中a为实数。 【分析】二次项系数为1，是正的，不必讨论；左边能分解成两个一次因式的积，两根已经现成，所以只需比较两根的大小。 【解答】原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0，对应方程的两根为1与a。二次函数y＝(x－1)(x－a)开口向上，“小于取中间”。当a＞1时，较小的根是1，较大的根是a，解集为{x|1＜x＜a}；当a＝1时，原不等式化为＜0，而完全平方式不小于0，解集为∅；当a＜1时，较小的根是a，较大的根是1，解集为{x|a＜x＜1}。综上，当a＞1时解集为{x|1＜x＜a}；当a＝1时解集为∅；当a＜1时解集为{x|a＜x＜1}。 【方法小结】两根已知时，讨论的分界点就是“两根相等”的那个参数值；分界点本身要单独作为一支，不能并到左右任一支里。 例2　设a是实数，就a的取值讨论a－(a+1)x+1＞0的解集。 【分析】二次项系数带参数，必须先把a＝0单独拿出来；a≠0时左边可分解为(ax－1)(x－1)，两根为1/a与1，再比较它们的大小。 【解答】原不等式可化为(ax－1)(x－1)＞0。当a＝0时，原不等式化为－x+1＞0，解得x＜1，解集为{x|x＜1}。当a≠0时，方程的两根为1/a与1。若a＜0，两边同除以a，不等号变向，得(x－1/a)(x－1)＜0；此时1/a＜0＜1，“小于取中间”，解集为{x|1/a＜x＜1}。若a＞0，不等式等价于(x－1/a)(x－1)＞0，“大于取两边”：当0＜a＜1时1/a＞1，解集为{x|x＜1或x＞1/a}；当a＝1时1/a＝1，两根相等，原不等式化为＞0，解集为{x|x≠1}；当a＞1时1/a＜1，解集为{x|x＜1/a或x＞1}。综上所述，结论如答案所列。 【方法小结】二次项系数带参数时，除以它的那一步是全题最容易出错的地方：a＜0时不等号必须变向，变向之后再去比较两根的大小。 题型7　变式（拓展）：两根比较、系数带参与由解集反求系数 前两道是正向讨论，第三道反过来：已知解集就等于已知两根，用根与系数的关系把字母解出来。 变式1　a为常数，解关于x的不等式(x－a)(x－2)＞0，并写出讨论过程。 变式2　已知a∈R，解关于x的不等式2+ax－＞0。 变式3　若不等式+bx+c＜0的解集为{x|－1＜x＜4}，则b+c＝（　　）。 A．－7　　B．－1　　C．1　　D．7 【题型8】分式不等式与简单高次不等式（拓展） 分式不等式绝不能两边直接乘分母，要用“商与积同号”化成整式；带等号时分母不为零这一句必须单独写出来。 例1　解分式不等式(x－3)/(x+2)≤0。 【分析】分母x+2的正负未知，不能直接乘过去。利用商与积同号，把它化为整式不等式，同时补上分母不为零的条件。 【解答】(x－3)/(x+2)≤0等价于(x－3)(x+2)≤0且x+2≠0。解(x－3)(x+2)≤0：对应方程的两根为－2与3，二次函数开口向上，“小于取中间”，得－2≤x≤3。再去掉使分母为零的x＝－2，得－2＜x≤3。所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤3}。 【方法小结】带等号的分式不等式，分子的零点能取到，分母的零点永远取不到，写解集时逐个端点核对开闭。 例2　把(2x－1)/(x+3)＞1移项通分化为整式不等式，再求它的解集。 【分析】右边不是0，先移项通分把右边化成0，再用商与积同号转化。切不可两边同乘x+3。 【解答】移项得(2x－1)/(x+3)－1＞0，通分得[(2x－1)－(x+3)]/(x+3)＞0，即(x－4)/(x+3)＞0。它等价于(x－4)(x+3)＞0。对应方程的两根为－3与4，二次函数开口向上，“大于取两边”，得x＜－3或x＞4。所以原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞4}。 【方法小结】见到分式不等式右边不为0，第一步永远是移项通分；通分后分子要合并同类项，别把减号漏给后一项。 题型8　变式（拓展）：三个因式相乘、通分化简与端点开闭 第一道用数轴标根逐段定号，第二道要先通分，第三道的分子还能再分解，端点的开闭是评分的关键。 变式1　用数轴标根的方法解不等式(x+1)(x－2)(x－4)＞0。 变式2　使3/(x－1)＜1成立的x的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　使分式(－x－2)/(x－5)的值不小于0的x的集合是（　　）。 A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2或x＞5} C．{x|x≤－1或2≤x＜5} D．{x|－1≤x≤2或x≥5} 【题型9】恒成立问题与有解问题（拓展） 恒成立看图象整条曲线在x轴哪一侧，落到判别式上；有解只要求图象有一部分越过x轴。参数在二次项上时，系数为零的那一支不能漏。 例1　当实数m取什么值时，+mx+4＞0对一切实数x都成立？ 【分析】二次项系数1＞0，图象开口向上。要让函数值恒为正，只需图象与x轴没有公共点，即判别式小于0。 【解答】设y＝+mx+4，其图象是开口向上的抛物线。不等式对一切实数x都成立，等价于图象恒在x轴上方，即对应方程+mx+4＝0没有实数根，所以Δ＝－4×1×4＜0，即－16＜0。解这个一元二次不等式：对应方程－16＝0的两根为－4与4，“小于取中间”，得－4＜m＜4。所以实数m的取值范围是－4＜m＜4。 【方法小结】“对一切实数x都成立”这句话在开口向上时就是Δ＜0；若把“＞0”换成“≥0”，则条件放宽为Δ≤0。 例2　若关于x的不等式a+ax－1＜0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。 【分析】二次项系数带参数，先看a＝0：此时不等式退化为一次（其实是常数）不等式，要单独检验；a≠0时才谈开口方向与判别式。 【解答】当a＝0时，原不等式化为－1＜0，对一切实数x都成立，符合要求。当a≠0时，设y＝a+ax－1。要使函数值恒为负，图象必须开口向下且与x轴没有公共点，所以a＜0且Δ＝－4×a×(－1)＝+4a＜0。解+4a＜0：分解得a(a+4)＜0，两根为－4与0，“小于取中间”，得－4＜a＜0，它已经满足a＜0。综上所述，实数a的取值范围是－4＜a≤0。 【方法小结】参数出现在二次项系数上时，“系数为零”这一支既不能默认成立，也不能默认不成立，必须单独代回原式检验。 题型9　变式（拓展）：有解问题、解集为R与分离参数 第一道把“有解”翻译成判别式非负，第二道的参数在二次项上，第三道把参数单独分离出来再求另一边的最值。 变式1　已知－2x+k≤0有解，求实数k应满足的条件。 变式2　若k+2kx+1＞0的解集恰为全体实数R，则实数k的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　已知x取任何正数时－ax+25＞0都成立。用分离参数的办法求a的取值范围。 【题型10】二次函数图象与一元二次方程、不等式的对应 三个二次靠图象串在一起：零点是方程的根，也是图象与x轴交点的横坐标，图象在x轴上方还是下方决定不等式的解集。 例1　已知二次函数y＝－+4x－3。（1）求它的零点；（2）分别写出－+4x－3＞0与－+4x－3＜0的解集。 【分析】零点就是使函数值为0的x，即对应方程的根。二次项系数为负，图象开口向下，函数值为正的那一段夹在两个零点之间。 【解答】（1）令－+4x－3＝0，两边同乘－1得－4x+3＝0，分解因式得(x－1)(x－3)＝0，解得x₁＝1，x₂＝3，所以该二次函数的零点为1与3。（2）图象开口向下，与x轴交于(1,0)与(3,0)。当1＜x＜3时图象位于x轴上方，此时y＞0，所以－+4x－3＞0的解集为{x|1＜x＜3}；当x＜1或x＞3时图象位于x轴下方，此时y＜0，所以－+4x－3＜0的解集为{x|x＜1或x＞3}。 【方法小结】开口向下时“大于取中间、小于取两边”，恰好与开口向上时相反；若不愿记两套口诀，就先把二次项系数化为正再统一用一套。 例2　已知二次函数y＝a+bx+c的图象开口向下，且与x轴交于点(－1,0)与点(4,0)，则不等式a+bx+c≥0的解集是＿＿＿＿。 【分析】图象与x轴的两个交点的横坐标就是方程a+bx+c＝0的两根，开口方向决定函数值为正的那一段在哪里。 【解答】由题意知方程a+bx+c＝0的两根为－1与4。因为图象开口向下，所以在两根之间图象位于x轴上方，在两根之外位于x轴下方。不等式a+bx+c≥0要求图象不在x轴下方，包括两个交点本身，所以解集为{x|－1≤x≤4}。 【方法小结】这类题不必求出a，b，c的具体值：开口方向加两个零点，已经足够把解集读出来。 题型10　变式：由解集定系数、图象无交点与由零点求参数 第一道由解集倒推系数之间的关系，第二道把“没有公共点”译成判别式为负，第三道先求参数再解不等式。 变式1　若a+bx+c＞0的解集是{x|x＜－2或x＞5}，那么a，b，c之间的关系是（　　）。 A．a＞0，b＝－3a，c＝－10a B．a＜0，b＝3a，c＝10a C．a＞0，b＝3a，c＝10a D．a＜0，b＝－3a，c＝－10a 变式2　已知二次函数y＝－2mx+m+2的图象与x轴没有公共点，则实数m的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　已知二次函数y＝+px+q的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为－4与2。（1）求p，q的值；（2）当x取哪些值时y＞0？ 【题型11】用一元二次不等式解决实际问题 实际问题按“设、列、解、答”四步走：设量时就把实际范围写出来，解完把数学解与实际范围取交集，件数还要取整数。 例1　某车间一周生产某种零件x件，创造的价值y元满足y＝－2+180x。若这个车间希望一周创造的价值不低于4000元，则一周的产量应在什么范围内（x取整数）？ 【分析】把“不低于4000元”译成不等式y≥4000，整理成一元二次不等式后求解，最后按产量必须是整数取舍。 【解答】设一周生产x件，由题意得－2+180x≥4000。两边同除以－2，不等号变向，得－90x+2000≤0。对于方程－90x+2000＝0，Δ＝－4×2000＝8100－8000＝100＞0，由求根得x₁＝40，x₂＝50。二次函数y＝－90x+2000开口向上，“小于取中间”，所以不等式的解集为{x|40≤x≤50}。因为x表示零件件数，取整数，所以一周的产量应在40件到50件之间，包括40件与50件。 【方法小结】两边同除以负数时不等号必须变向，这一步漏掉，解集就会整段搬到相反的位置。 例2　一块长30m、宽20m的矩形空地，要在它的正中间修建一个各边与空地各边平行的矩形花坛，使花坛四周留出宽度相等的小路。若要求花坛的面积不小于416m²，求小路宽度的取值范围。 【分析】设小路宽为x，花坛的长与宽都比空地少两个小路宽度。先写出x的实际范围，再由面积列不等式。 【解答】设小路的宽度为xm，则花坛的长为(30－2x)m，宽为(20－2x)m。由花坛的宽为正得20－2x＞0，所以x的实际范围是0＜x＜10。由题意得(30－2x)(20－2x)≥416，展开得4－100x+600≥416，整理得4－100x+184≥0，两边同除以4得－25x+46≥0。对于方程－25x+46＝0，Δ＝625－184＝441＞0，由求根得x₁＝2，x₂＝23。二次函数开口向上，“大于取两边”，所以不等式的解集为{x|x≤2或x≥23}。与实际范围0＜x＜10取交集，得0＜x≤2。所以小路的宽度应大于0m且不超过2m。 【方法小结】实际范围一定要在列式之前先写好；数学上的另一支解x≥23超出了空地的尺寸，正是靠实际范围把它舍掉的。 题型11　变式：收益模型、定长围栏与列不等式 第一道要把收益不等式整理成一般形式再取整数，第二道由周长写出面积，第三道只要求列出不等式并求解。 变式1　一条自动包装线每周包装x箱产品，所获利润y元与x满足y＝－10+700x。要使每周利润超过10000元，每周的包装箱数大约在什么范围内（x取整数）？ 变式2　用一根长24cm的铁丝围成一个矩形，若要使这个矩形的面积不小于35cm²，则矩形一边长x（单位：cm）的取值范围是＿＿＿＿。 变式3　某养殖场用一段长40m的围网靠一面长墙围成一个矩形养殖区，墙足够长且不需要围网。若要使养殖区的面积不小于150m²，则与墙垂直的一边长x（单位：m）应满足的不等式是（　　）。 A．x(40－x)≥150 B．x(40－2x)≥150 C．2x(40－x)≥150 D．x(20－x)≥150 　易错专练 这七道题各自对应本章的一个高频失分点。建议先独立做完，再逐条核对解析中标出的错解、错因与正解，把自己的思路与它比一比，看看断在了哪一环。其中第6题的分式不等式属拓展内容（教材以习题形式接触，2.3节正文未给出系统解法）。 易错1　解不等式5－2x＞9时，有同学两边同时除以－2，直接写出x＞－2。指出错解中失效的那一步，并写出正确的解集。 易错2　判断命题“对任意实数x，都有x+1/x≥2”是否正确；若不正确，写出它成立的条件。 易错3　求x+4/(x+1)（x＞0）的最小值时，有同学的答案是4。说明这个答案为何不可靠，并求出真正的最小值。 易错4　有同学由“方程－2x+5＝0没有实数根”，直接断定－2x+5＜0对一切实数x都成立。找出这段推理的漏洞，并把解集改正过来。 易错5　解－+3x－2＞0时，有同学不化二次项系数就套用“大于取两边”，写出了{x|x＜1或x＞2}。错误出在哪一步？把正确答案写出来。 易错6　解(x+1)/(x－2)≥0时，有同学在两边同时乘以x－2，得到x+1≥0，于是写出了{x|x≥－1}。这一步变形不成立，请给出正确的解法。 易错7　命题“对任意实数a，b，都有+＞2ab”是真是假？若是假命题，写出正确的结论以及等号成立的条件。 　课后作业（一）基础过关 本组共12题。第1～5题为单项选择，把答案字母写进题后的括号；第6～9题为填空，结果写在横线上；第10～12题要有完整的推理与计算过程。内容覆盖十一个题型的基本要求。其中第4题涉及分式不等式，属拓展内容。 1．二次函数y＝－6x+8的图象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围是（　　）。 A．{x|x＜2或x＞4} B．{x|2＜x＜4} C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|x＜－4或x＞－2} 2．若a＞b，c＜0，则下列结论中正确的是（　　）。 A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．a－c＜b－c D．a＜b 3．已知a，b都是正数，且a≠b，则下列不等式中一定成立的是（　　）。 A．＞(a+b)/2 B．＜(a+b)/2 C．＝(a+b)/2 D．＜4ab 4．不等式(x－4)/(x+1)＞0的解集是（　　）。 A．{x|x＞4} B．{x|x＜－1} C．{x|x＜－1或x＞4} D．{x|－1＜x＜4} 5．若一元二次不等式+mx+9≥0对一切实数x都成立，则m的取值范围是（　　）。 A．m≤－6　　B．m≥6　　C．－6≤m≤6　　D．m＜－6或m＞6 6．设a∈R，则(a+3)(a－2)与+a－7的大小关系是(a+3)(a－2)＿＿＿＿+a－7（填“＞”“＝”或“＜”）。 7．已知t＞0，则(+2t+36)/t的最小值是＿＿＿＿。 8．若≤3x，则x的取值范围是＿＿＿＿。 9．函数y＝+x－12的零点是＿＿＿＿。 10．已知a＞b＞0，且c是负数。求证：c/a＞c/b。 11．解不等式2－5x－3≥0。 12．正数x，y满足x+4y＝1。求乘积xy的最大值，并写出取得最大值时x与y的值。 　课后作业（二）能力提升 本组9题需要联用两条以上的结论：性质与最值联用，解集与系数联用，实际背景与判别式联用。动笔前先判断该用哪一条依据，再写解答。其中第13题（含参）与第15题（分式不等式）属拓展内容。 13．当0＜a＜1时，不等式(x－a)(x－1/a)＜0的解集是（　　）。 A．{x|a＜x＜1/a} B．{x|1/a＜x＜a} C．{x|x＜a或x＞1/a} D．{x|x＜1/a或x＞a} 14．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则1/x+2/y的最小值是（　　）。 A．3　　B．6　　C．9　　D．12 15．若(x+4)/(3－x)≤0，则x的取值范围是（　　）。 A．{x|－4≤x＜3} B．{x|x≤－4} C．{x|x＞3} D．{x|x≤－4或x＞3} 16．已知－3＜a＜1，－2＜b＜4，则a－b的取值范围是＿＿＿＿。 17．若不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜2}，则a+c＝＿＿＿＿。 18．设x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+y的最小值是＿＿＿＿。 19．已知关于x的不等式a+bx+c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，求关于x的不等式c+bx+a＞0的解集。 20．某农户计划用96m长的栅栏围成一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，墙长50m且不需要栅栏。若要使鸡舍的面积不小于1080m²，求与墙垂直的边长x（单位：m）的取值范围。 21．已知a＞0，b＞0，且a+3b＝4。（1）求ab的最大值；（2）求3/a+1/b的最小值。 　课后作业（三）拓展探究 本组5题的难度再上一层，出现整数解计数、参数讨论与二次型最值。处理它们的共同办法是：把每个条件先翻译成抛物线的开口、零点或对称位置，再一步步往下推。其中第23题（含参、解集为R）与第25题（含参分式不等式）属拓展内容。 22．使不等式－4x+a≤0恰好有3个整数解的实数a，其取值范围是＿＿＿＿。 23．已知关于x的不等式k－2x+6k＜0。（1）若它的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；（2）若它的解集为R，求k的取值范围。 24．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝8，求x+y的最小值。 25．设a为实数，就a的取值求分式不等式(x－a)/(x－)＜0的解集。 26．某养殖户要建造一个容积为32m³、深为2m的长方体形无盖蓄水池。池底的造价是每平方米120元，池壁的造价是每平方米80元。（1）设池底一边长为xm，把总造价y（单位：元）表示成x的式子；（2）求总造价的最小值，并求出此时池底的边长。 　参考答案与解析 　题型1　变式：定号、选项判断与配方定号 变式1　【答案】＞ 【解析】作差得+3－3x＝－3x+3，它是一个二次三项式，二次项系数1＞0。 它的判别式Δ＝－4×1×3＝9－12＝－3＜0，所以对应的抛物线与x轴没有公共点，图象整个位于x轴上方。 因此－3x+3＞0对一切实数x都成立，即+3＞3x。 变式2　【答案】B 【解析】作差得(a+3)(a－5)－(a+2)(a－4)＝(－2a－15)－(－2a－8)＝－7。 差是负常数，与a无关，所以前者恒小于后者，选B。 变式3　【答案】2－4x+5＞－2x+3 【解析】作差得(2－4x+5)－(－2x+3)＝－2x+2。 配方得－2x+2＝+1≥1＞0，所以对一切实数x都有2－4x+5＞－2x+3。 　题型2　变式：反例判断、性质填号与糖水型证明 变式1　【答案】C 【解析】取a＝－2，b＝－1验证：＝4，＝1，A不成立；1/a＝－，1/b＝－1，此时1/a＞1/b，B不成立；|a|＝2，|b|＝1，D不成立。 C成立：a＜0，b＜0，所以a+b＜0，而ab＞0，负数小于正数，故a+b＜ab恒成立，选C。 变式2　【答案】＞；＜ 【解析】由a＞b＞0，两边都是正数，按不等式的性质7（取n＝2）得＞。 再看倒数：a/(ab)＞b/(ab)由性质4得到，即1/b＞1/a，也就是1/a＜1/b。 所以两空依次填“＞”与“＜”。 变式3　【答案】证明见解析 【解析】作差：a/b－(a+1)/(b+1)＝[a(b+1)－b(a+1)]/[b(b+1)]＝(ab+a－ab－b)/[b(b+1)]＝(a－b)/[b(b+1)]。 由a＞b得a－b＞0；由b＞0得b+1＞0，从而b(b+1)＞0。所以(a－b)/[b(b+1)]＞0，故a/b＞(a+1)/(b+1)。 　题型3　变式：填空、选项与x为负数时的最值 变式1　【答案】6；3 【解析】a与9/a都是正数，且a·(9/a)＝9为定值，由基本不等式得a+9/a≥2＝6。 当且仅当a＝9/a，即＝9，结合a＞0得a＝3时等号成立，所以最小值是6。 变式2　【答案】C 【解析】2x与8/x都是正数，且2x·(8/x)＝16为定值，由基本不等式得2x+8/x≥2＝8。 当且仅当2x＝8/x，即＝4，结合x＞0得x＝2时等号成立，最小值为8，选C。 变式3　【答案】最大值为－2，此时x＝－1 【解析】因为x＜0，令t＝－x，则t＞0，且x+1/x＝－(t+1/t)。 由基本不等式得t+1/t≥2＝2，当且仅当t＝1/t，即t＝1时等号成立，所以－(t+1/t)≤－2。 即x+1/x≤－2，当且仅当t＝1，即x＝－1时等号成立，故最大值为－2。 　题型4　变式：分母配凑、系数代换与和定积最大 变式1　【答案】5 【解析】因为x＞3，所以x－3＞0。把x拆成(x－3)+3，得x+1/(x－3)＝(x－3)+1/(x－3)+3。 由基本不等式得(x－3)+1/(x－3)≥2，当且仅当x－3＝1，即x＝4时等号成立，所以原式的最小值为2+3＝5。 变式2　【答案】最小值为9，此时a＝，b＝ 【解析】因为a+b＝1，所以1/a+4/b＝(1/a+4/b)(a+b)＝1+b/a+4a/b+4＝5+b/a+4a/b。 由a＞0，b＞0知b/a＞0，4a/b＞0，由基本不等式得b/a+4a/b≥2＝2×2＝4，所以1/a+4/b≥5+4＝9。 当且仅当b/a＝4a/b，即＝4，结合a＞0，b＞0得b＝2a。 代入a+b＝1解得a＝，b＝，等号取得到，故最小值为9。 变式3　【答案】B 【解析】把x与2y看成两个正数，它们的和为定值3。由基本不等式得3＝x+2y≥2。 两边平方得9≥8xy，即xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，故最大值为，选B。 　题型5　变式：靠墙围地、库存费用与拆数问题 变式1　【答案】最大面积为162m² 【解析】设与墙垂直的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(36－2x)m，且x＞0，36－2x＞0。 面积S＝x(36－2x)＝2x(18－x)。因为x＞0，18－x＞0，且x+(18－x)＝18为定值，由基本不等式得x(18－x)≤＝81。 所以S≤2×81＝162，当且仅当x＝18－x，即x＝9时等号成立。故最大面积为162m²。 变式2　【答案】每次购进20t时总费用最少，最少总费用为160万元 【解析】一年购进的次数为400/x次，运费共4×(400/x)＝1600/x万元，保管费用为4x万元。 设总费用为W万元，则W＝1600/x+4x，其中x＞0。由基本不等式得W≥2＝2＝160。 当且仅当1600/x＝4x，即＝400，结合x＞0得x＝20时等号成立。所以每次购进20t时总费用最少，最少为160万元。 变式3　【答案】B 【解析】设这两个正数分别为x与24－x，其中0＜x＜24，它们的和是定值24。 由基本不等式得x(24－x)≤＝＝144，当且仅当x＝24－x，即x＝12时等号成立，故最大值为144，选B。 　题型6　变式：判别式为负、二次项系数为负与先整理再求解 变式1　【答案】前者的解集为R，后者的解集为∅ 【解析】对于方程+2x+5＝0，Δ＝－4×1×5＝4－20＝－16＜0，方程没有实数根，抛物线y＝+2x+5与x轴没有交点。 二次函数y＝+2x+5开口向上且与x轴没有公共点，所以图象整个位于x轴上方，即对一切实数x都有+2x+5＞0。 所以+2x+5＞0的解集为R；而图象上没有一点位于x轴下方，所以+2x+5＜0的解集为∅。 变式2　【答案】{x|－≤x≤2} 【解析】二次项系数为负，两边同乘－1，不等号变向，原不等式化为2－3x－2≤0。 对于方程2－3x－2＝0，Δ＝－4×2×(－2)＝25＞0，分解因式得(2x+1)(x－2)＝0，解得x₁＝－，x₂＝2。 二次函数y＝2－3x－2开口向上，当－≤x≤2时图象不在x轴上方，所以解集为{x|－≤x≤2}。 变式3　【答案】{x|－1＜x＜6} 【解析】先移项整理成一般形式：－5x－6＜0。 对应方程－5x－6＝0可分解为(x+1)(x－6)＝0，解得x₁＝－1，x₂＝6。 二次函数y＝－5x－6开口向上，“小于取中间”，所以解集为{x|－1＜x＜6}。 　题型7　变式（拓展）：两根比较、系数带参与由解集反求系数 变式1　【答案】当a＞2时解集为{x|x＜2或x＞a}；当a＝2时解集为{x|x≠2}；当a＜2时解集为{x|x＜a或x＞2} 【解析】二次项系数为1，开口向上，两根分别为a与2，按“大于取两边”写解集，只需比较a与2的大小。 当a＞2时，较小的根是2，解集为{x|x＜2或x＞a}；当a＝2时，原不等式化为＞0，只要x≠2就成立，解集为{x|x≠2}；当a＜2时，较小的根是a，解集为{x|x＜a或x＞2}。 变式2　【答案】当a＞0时解集为{x|x＜－a或x＞a/2}；当a＝0时解集为{x|x≠0}；当a＜0时解集为{x|x＜a/2或x＞－a} 【解析】左边可分解为(2x－a)(x+a)，二次项系数2＞0，开口向上，两根为a/2与－a。 当a＞0时，a/2＞0＞－a，较小的根是－a，解集为{x|x＜－a或x＞a/2}；当a＝0时，原不等式化为2＞0，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，a/2＜0＜－a，较小的根是a/2，解集为{x|x＜a/2或x＞－a}。 变式3　【答案】A 【解析】解集为{x|－1＜x＜4}，说明方程+bx+c＝0的两根为－1与4。 由根与系数的关系得(－1)+4＝－b，(－1)×4＝c，所以b＝－3，c＝－4，b+c＝－7，选A。 　题型8　变式（拓展）：三个因式相乘、通分化简与端点开闭 变式1　【答案】{x|－1＜x＜2或x＞4} 【解析】三个一次因式的系数都是正的，把它们的零点－1，2，4从小到大标在数轴上，数轴被分成四段。 从最右边一段起逐段定号：当x＞4时三个因式都为正，乘积为正；当2＜x＜4时只有x－4为负，乘积为负；当－1＜x＜2时x－2与x－4都为负，乘积为正；当x＜－1时三个因式都为负，乘积为负。可见零点互不相同时，符号从最右一段起向左逐段变号。 取乘积为正的两段，得解集为{x|－1＜x＜2或x＞4}。三个零点本身使乘积为0，不等号不带等号，所以都取不到。 变式2　【答案】{x|x＜1或x＞4} 【解析】移项通分得3/(x－1)－1＜0，即[3－(x－1)]/(x－1)＜0，化简为(4－x)/(x－1)＜0。 分子分母同乘－1得(x－4)/(x－1)＞0，它等价于(x－4)(x－1)＞0，两根为1与4，“大于取两边”，得x＜1或x＞4。 变式3　【答案】B 【解析】所求即不等式(－x－2)/(x－5)≥0的解集。分子可分解为(x+1)(x－2)，原不等式等价于(x+1)(x－2)(x－5)≥0且x－5≠0。 把零点－1，2，5标在数轴上：x＞5时三个因式都为正，乘积为正；2＜x＜5时乘积为负；－1＜x＜2时乘积为正；x＜－1时乘积为负。 取乘积不小于0的部分并去掉x＝5，得－1≤x≤2或x＞5，即所求集合为{x|－1≤x≤2或x＞5}，选B。 　题型9　变式（拓展）：有解问题、解集为R与分离参数 变式1　【答案】k≤1 【解析】设y＝－2x+k，图象开口向上。不等式有解，就是图象有一部分不在x轴上方，即图象与x轴至少有一个公共点。 所以对应方程－2x+k＝0有实数根，即Δ＝－4k≥0，即4－4k≥0，解得k≤1。 变式2　【答案】0≤k＜1 【解析】当k＝0时，原不等式化为1＞0，对一切实数x都成立，解集为R，符合题意。 当k≠0时，要使解集为R，需开口向上且与x轴无公共点，即k＞0且Δ＝－4k＝4－4k＜0；解4－4k＜0得0＜k＜1。 综上，实数k的取值范围是0≤k＜1。 变式3　【答案】a＜10 【解析】因为x＞0，原不等式两边同除以x，不等号方向不变，得x－a+25/x＞0，即a＜x+25/x。 要使这个不等式对一切x＞0都成立，只需a小于x+25/x的最小值。由x＞0知x与25/x都是正数，且它们的积为定值25，由基本不等式得x+25/x≥2＝10，当且仅当x＝25/x，即x＝5时等号成立，所以最小值为10。 因为等号能够取到，a＝10时在x＝5处原不等式取等而不是严格大于，所以a＜10。 　题型10　变式：由解集定系数、图象无交点与由零点求参数 变式1　【答案】A 【解析】解集是两根之外的两段，说明图象开口向上，即a＞0，且方程a+bx+c＝0的两根为－2与5。 由根与系数的关系得－2+5＝－b/a，(－2)×5＝c/a，即3＝－b/a，－10＝c/a，所以b＝－3a，c＝－10a，选A。 变式2　【答案】－1＜m＜2 【解析】图象与x轴没有公共点，等价于方程－2mx+m+2＝0没有实数根，即Δ＜0。 Δ＝－4(m+2)＝4－4m－8＜0，两边同除以4得－m－2＜0，分解得(m+1)(m－2)＜0，“小于取中间”，解得－1＜m＜2。 变式3　【答案】（1）p＝2，q＝－8；（2）{x|x＜－4或x＞2} 【解析】（1）两个交点的横坐标就是方程+px+q＝0的两根。由根与系数的关系得－4+2＝－p，(－4)×2＝q，所以p＝2，q＝－8。 （2）此时不等式为+2x－8＞0，即(x+4)(x－2)＞0。二次函数开口向上，两根为－4与2，“大于取两边”，解集为{x|x＜－4或x＞2}。 　题型11　变式：收益模型、定长围栏与列不等式 变式1　【答案】每周应包装21箱到49箱产品 【解析】由题意得－10+700x＞10000。两边同除以－10，不等号变向，得－70x+1000＜0。 对于方程－70x+1000＝0，Δ＝4900－4000＝900＞0，由求根得x₁＝20，x₂＝50。二次函数开口向上，“小于取中间”，解集为{x|20＜x＜50}。 因为x取整数且两个端点取不到，所以每周应包装21箱到49箱产品。 变式2　【答案】5≤x≤7 【解析】矩形的周长为24cm，所以相邻两边长之和为12cm。设一边长为xcm，则邻边长为(12－x)cm，且0＜x＜12。 由面积不小于35得x(12－x)≥35，整理得－12x+35≤0，分解得(x－5)(x－7)≤0，“小于取中间”，解得5≤x≤7，它在0＜x＜12之内。 变式3　【答案】B 【解析】与墙垂直的两条边长都是xm；平行于墙的两条边中，靠墙的一条不用围网，另一条的长为(40－2x)m。 所以面积为x(40－2x)m²，由面积不小于150得x(40－2x)≥150，选B。 顺带解出这个不等式：整理得－20x+75≤0，分解得(x－5)(x－15)≤0，解得5≤x≤15。 　易错专练 易错1　【答案】他把不等式两边同除以负数时没有改变不等号的方向；正确的解集为{x|x＜－2} 【解析】错解示例：5－2x＞9，移项得－2x＞4，两边同除以－2得x＞－2。 错因：不等式的性质4说得很清楚，两边同乘（或同除以）一个负数时，所得不等式与原不等式反向；这里除以的是－2，不等号必须由“＞”变成“＜”。 正解：5－2x＞9，移项得－2x＞4，两边同除以－2并把不等号变向，得x＜－2。所以解集为{x|x＜－2}。 提醒：凡是两边同乘或同除以一个式子，先判断它的符号；符号为负就立刻改写不等号的方向，别等算完再回头补。 易错2　【答案】不正确；当x＞0时才有x+1/x≥2 【解析】错解示例：x与1/x的积为1，由基本不等式得x+1/x≥2＝2。 错因：基本不等式只对两个正数成立，题目里的x没有限定为正；当x＜0时x与1/x都是负数，和也是负数，根本不可能不小于2。 正解：取x＝－2，则x+1/x＝－2－＝－＜2，命题不成立。只有当x＞0时，x与1/x都是正数且积为定值1，才有x+1/x≥2，当且仅当x＝1时等号成立。 提醒：套基本不等式之前，第一件事永远是核对“一正”，即参与运算的两个式子都必须是正的。 易错3　【答案】最小值为3，此时x＝1；答案4是错的 【解析】错解示例：x与4/(x+1)都是正数，由基本不等式得x+4/(x+1)≥2＝4。 错因：x与4/(x+1)的积是4x/(x+1)，它随x改变，并不是定值，“二定”这一条没有满足，所以那一步不等式右边根本不是常数。 正解：把x凑成(x+1)－1，得x+4/(x+1)＝(x+1)+4/(x+1)－1。因为x＞0，所以x+1＞0，且(x+1)·4/(x+1)＝4为定值，由基本不等式得(x+1)+4/(x+1)≥2＝4，所以原式≥4－1＝3。当且仅当x+1＝4/(x+1)，即＝4，结合x+1＞0得x+1＝2，即x＝1时等号成立，最小值为3。 提醒：用基本不等式前先把两式相乘算一算，乘积里还留着字母就说明定值没凑出来。 易错4　【答案】他把“方程无根”当成了“不等式恒成立”；－2x+5＜0的解集为∅ 【解析】错解示例：因为Δ＝4－20＝－16＜0，方程没有实数根，所以这个不等式对一切实数x都成立，解集是R。 错因：Δ＜0只说明抛物线与x轴没有公共点，究竟恒正还是恒负，还要看开口方向；开口向上就恒正，与“小于0”正好相反。 正解：Δ＝－4×5＝－16＜0，且二次项系数1＞0，所以二次函数y＝－2x+5的图象全部位于x轴上方，对一切实数x都有－2x+5＞0。因此使－2x+5＜0的x一个也没有，解集为∅。 提醒：Δ＜0的题一定要把开口方向与不等号方向一起看，两者同向才是恒成立，反向就是无解。 易错5　【答案】“大于取两边”的前提是二次项系数为正；正确的解集为{x|1＜x＜2} 【解析】错解示例：方程－+3x－2＝0的两根为1与2，按“大于取两边”得解集{x|x＜1或x＞2}。 错因：那两句口诀的前提是二次项系数为正、抛物线开口向上；这里二次项系数是－1，开口向下，两句口诀恰好要反过来用。 正解：两边同乘－1并把不等号变向，原不等式化为－3x+2＜0。分解因式得(x－1)(x－2)＜0，两根为1与2，此时抛物线开口向上，“小于取中间”，解得1＜x＜2。所以解集为{x|1＜x＜2}。 提醒：看到二次项系数是负数，第一步就把它化成正的，同时不等号变向，之后再套口诀就不会出错。 易错6　【答案】分母x－2的符号未知，不能直接乘；正确的解集为{x|x≤－1或x＞2} 【解析】错解示例：两边同乘x－2，得x+1≥0，解得x≥－1。 错因：x－2的正负是未知的，乘上去以后不等号的方向无法确定；而且x＝2使分母为零，本来就要排除在外。 正解：(x+1)/(x－2)≥0等价于(x+1)(x－2)≥0且x－2≠0。解(x+1)(x－2)≥0：两根为－1与2，抛物线开口向上，“大于取两边”，得x≤－1或x≥2；再去掉x＝2，得x≤－1或x＞2。所以解集为{x|x≤－1或x＞2}。 提醒：分式不等式一律先化为整式不等式；分母的零点在任何时候都取不到，写解集时那个端点必须是开的。 易错7　【答案】不正确；正确的结论是+≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 【解析】错解示例：因为+－2ab＝，而平方一定大于0，所以+＞2ab。 错因：平方的正确结论是“不小于0”，只有当底数不为0时才严格大于0；当a＝b时＝0，两边相等。 正解：+－2ab＝≥0，当且仅当a－b＝0，即a＝b时等号成立。由两个实数大小关系的基本事实得+≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立。所以原命题不正确，不等号应为“≥”。 提醒：凡是由完全平方式得到的结论，都要带上等号，并把等号成立的条件写清楚；这也正是基本不等式必须写“当且仅当a＝b时等号成立”的原因。 　课后作业（一）基础过关 1．【答案】B 【解析】令－6x+8＝0，分解因式得(x－2)(x－4)＝0，两根为2与4，即图象与x轴交于(2,0)与(4,0)。 图象开口向上，在两根之间位于x轴下方，所以所求的x的取值范围是{x|2＜x＜4}，选B。 2．【答案】A 【解析】由不等式的性质3，两边同加实数c，不等号方向不变，所以a+c＞b+c，A正确。 取a＝5，b＝3，c＝－2检验：ac＝－10，bc＝－6，此时ac＜bc，B不成立；a－c＝7，b－c＝5，此时a－c＞b－c，C不成立；＝4＞0，由性质4得a＞b，D不成立。故选A。 3．【答案】B 【解析】由基本不等式知，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即≤(a+b)/2，当且仅当a＝b时等号成立。 题中已给出a≠b，等号取不到，所以＜(a+b)/2，B正确，A与C都不成立。 又－4ab＝＞0，即＞4ab，所以D中的不等号方向也是反的。故选B。 4．【答案】C 【解析】由商与积同号，原不等式等价于(x－4)(x+1)＞0。 对应方程的两根为－1与4，二次函数开口向上，“大于取两边”，得x＜－1或x＞4，即解集为{x|x＜－1或x＞4}，选C。 5．【答案】C 【解析】二次项系数1＞0，抛物线开口向上；要使函数值恒不小于0，只需抛物线与x轴至多有一个公共点，即Δ≤0。 Δ＝－4×1×9＝－36≤0，两根为－6与6，“小于取中间”且端点可取，解得－6≤m≤6，选C。 6．【答案】＞ 【解析】作差得(a+3)(a－2)－(+a－7)＝(+a－6)－(+a－7)＝1。 差是正常数1，与a无关，所以(a+3)(a－2)＞+a－7。 7．【答案】14 【解析】把分子逐项除以t，得(+2t+36)/t＝t+36/t+2。 因为t＞0，t与36/t都是正数且积为定值36，由基本不等式得t+36/t≥2＝12，当且仅当t＝6时等号成立。 所以原式≥12+2＝14，最小值为14。 8．【答案】{x|0≤x≤3} 【解析】移项得－3x≤0，提取公因式得x(x－3)≤0。 对应方程的两根为0与3，二次函数开口向上，“小于取中间”，所以解集为{x|0≤x≤3}。 9．【答案】－4与3 【解析】零点就是使函数值为0的x，也就是方程+x－12＝0的根。 分解因式得(x+4)(x－3)＝0，解得x₁＝－4，x₂＝3，所以这个函数的零点是－4与3。 10．【答案】证明见解析 【解析】因为a＞b＞0，所以ab＞0，从而1/(ab)＞0。 由a＞b与1/(ab)＞0，根据不等式的性质4得a·[1/(ab)]＞b·[1/(ab)]，即1/b＞1/a。 又c＜0，不等式两边同乘负数c，不等号变向，得c·(1/b)＜c·(1/a)，即c/a＞c/b。 11．【答案】{x|x≤－或x≥3} 【解析】对于方程2－5x－3＝0，Δ＝－4×2×(－3)＝49＞0，分解因式得(2x+1)(x－3)＝0，解得x₁＝－，x₂＝3。 二次函数y＝2－5x－3开口向上，“大于取两边”，且不等号带等号，两个端点都取到。 所以解集为{x|x≤－或x≥3}。 12．【答案】最大值为，此时x＝，y＝ 【解析】把x与4y看成两个正数，它们的和为定值1。由基本不等式得1＝x+4y≥2＝4。 所以≤，两边平方得xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立。 由x＝4y与x+4y＝1解得y＝，x＝。所以xy的最大值为。 　课后作业（二）能力提升 13．【答案】A 【解析】由0＜a＜1知1/a＞1＞a，所以a是较小的根，1/a是较大的根。 二次项系数为1，开口向上，“小于取中间”，所以解集为{x|a＜x＜1/a}，选A。 14．【答案】C 【解析】因为x+2y＝1，所以1/x+2/y＝(1/x+2/y)(x+2y)＝1+2y/x+2x/y+4＝5+2y/x+2x/y。 由x＞0，y＞0及基本不等式得2y/x+2x/y≥2＝4，所以1/x+2/y≥5+4＝9。 当且仅当2y/x＝2x/y，即x＝y时等号成立；由x＝y与x+2y＝1解得x＝y＝，等号取得到，最小值为9，选C。 15．【答案】D 【解析】由商与积同号，原不等式等价于(x+4)(3－x)≤0且3－x≠0，即(x+4)(x－3)≥0且x≠3。 解(x+4)(x－3)≥0：两根为－4与3，开口向上，“大于取两边”，得x≤－4或x≥3。 再去掉x＝3，得x≤－4或x＞3，即解集为{x|x≤－4或x＞3}，选D。 16．【答案】－7＜a－b＜3 【解析】由－2＜b＜4两边同乘－1，不等号变向，得－4＜－b＜2。 又－3＜a＜1，两式同向相加，得－3+(－4)＜a+(－b)＜1+2，即－7＜a－b＜3。 17．【答案】－4 【解析】解集是两根之间的一段，说明二次项系数a＜0，且与2是方程a+5x+c＝0的两根。 于是a+5x+c＝a(x－)(x－2)＝a－()ax+a。比较一次项与常数项的系数，得－()a＝5，c＝a。 由－()a＝5解得a＝－2，从而c＝－2，所以a+c＝－2+(－2)＝－4。 18．【答案】3+2 【解析】把2x+y＝xy两边同除以xy，得2/y+1/x＝1。 于是x+y＝(x+y)(2/y+1/x)＝2x/y+2+1+y/x＝3+2x/y+y/x。由x＞0，y＞0及基本不等式得2x/y+y/x≥2＝2。 所以x+y≥3+2，当且仅当2x/y＝y/x，即y＝·x时等号成立，代回2/y+1/x＝1可解得x＝1+，y＝2+，等号取得到，故最小值为3+2。 19．【答案】{x|x＜－或x＞1} 【解析】解集是两根之间的一段，说明抛物线开口向下，即a＜0，且－3与1是方程a+bx+c＝0的两根。 由根与系数的关系得(－3)+1＝－b/a，(－3)×1＝c/a，即－2＝－b/a，－3＝c/a，所以b＝2a，c＝－3a。 把b，c代入得c+bx+a＝－3a+2ax+a＝a(－3+2x+1)。因为a＜0，所以a(－3+2x+1)＞0等价于－3+2x+1＜0，即3－2x－1＞0。 分解因式得(3x+1)(x－1)＞0，两根为－与1，抛物线开口向上，“大于取两边”，所以解集为{x|x＜－或x＞1}。 20．【答案】23≤x≤30 【解析】设与墙垂直的边长为xm，则平行于墙的一边长为(96－2x)m。由墙长的限制得96－2x≤50，解得x≥23；又96－2x＞0，得x＜48。所以x的实际范围是23≤x＜48。 由面积不小于1080得x(96－2x)≥1080，整理得2－96x+1080≤0，两边同除以2得－48x+540≤0。 对于方程－48x+540＝0，Δ＝－4×540＝2304－2160＝144＞0，由求根得x₁＝18，x₂＝30。开口向上，“小于取中间”，解集为{x|18≤x≤30}。与实际范围取交集，得23≤x≤30。 21．【答案】（1）最大值为，此时a＝2，b＝；（2）最小值为3，此时a＝2，b＝ 【解析】（1）把a与3b看成两个正数，其和为定值4。由基本不等式得4＝a+3b≥2，两边平方得16≥12ab，即ab≤，当且仅当a＝3b时等号成立；由a＝3b与a+3b＝4解得a＝2，b＝。所以ab的最大值为。 （2）因为a+3b＝4，所以3/a+1/b＝(3/a+1/b)(a+3b)÷4＝(3+9b/a+a/b+3)÷4＝(6+9b/a+a/b)÷4。 由a＞0，b＞0及基本不等式得9b/a+a/b≥2＝6，所以3/a+1/b≥(6+6)÷4＝3。 当且仅当9b/a＝a/b，即9＝，结合a＞0，b＞0得a＝3b。 代入a+3b＝4解得a＝2，b＝，等号取得到，故最小值为3。 　课后作业（三）拓展探究 22．【答案】0＜a≤3 【解析】要使解集非空，需Δ＝16－4a≥0，即a≤4。此时方程－4x+a＝0的两根为2－与2+，记r＝，则解集为{x|2－r≤x≤2+r}，其中0≤r≤2。 解集关于2左右对称，若它恰含3个整数，这3个整数只能是1，2，3。于是需要2－r≤1且2－r＞0，即1≤r＜2。 由1≤r＜2得1≤4－a＜4，解得0＜a≤3。检验：a＝3时r＝1，解集为{x|1≤x≤3}，恰含1，2，3三个整数；a越接近0，r越接近2，解集向{x|0＜x＜4}靠拢，所含整数仍只有1，2，3。所以实数a的取值范围是0＜a≤3。 23．【答案】（1）k＝－；（2）k＜－/6 【解析】（1）解集是两根之外的两段而不等号是“＜”，说明二次项系数k＜0，且－3与－2是方程k－2x+6k＝0的两根。由根与系数的关系得(－3)+(－2)＝2/k，即－5＝2/k，解得k＝－；再验证两根之积：6k/k＝6，而(－3)×(－2)＝6，一致。所以k＝－。 （2）解集为R即对一切实数x都有k－2x+6k＜0。若k＝0，原式化为－2x＜0，解集不是R，不合题意。若k≠0，需图象开口向下且与x轴没有公共点，即k＜0且Δ＝－4·k·6k＝4－24＜0，解得＞，即k＜－/6或k＞/6。 与k＜0取交集，得k＜－/6。 24．【答案】最小值为4，此时x＝y＝2 【解析】设s＝x+y，p＝xy，则s＞0，p＞0，且s+p＝8，所以p＝8－s。 由基本不等式得≤(x+y)/2，两边平方得p≤/4，即8－s≤/4，整理得+4s－32≥0。 分解因式得(s+8)(s－4)≥0。因为s＞0，所以s+8＞0，从而s－4≥0，即s≥4。当且仅当x＝y时等号成立；由x＝y与x+y+xy＝8得2x+＝8，解得x＝2（负根舍去），此时y＝2，x+y＝4。所以x+y的最小值为4。 25．【答案】当a＜0或a＞1时解集为{x|a＜x＜}；当0＜a＜1时解集为{x|＜x＜a}；当a＝0或a＝1时解集为∅ 【解析】由商与积同号，原不等式等价于(x－a)(x－)＜0，两根为a与，开口向上，“小于取中间”，所以解集由a与的大小决定。 因为－a＝a(a－1)，所以当a＜0或a＞1时a(a－1)＞0，即＞a，解集为{x|a＜x＜}；当0＜a＜1时a(a－1)＜0，即＜a，解集为{x|＜x＜a}；当a＝0或a＝1时＝a，两根相等，＜0无解，解集为∅。 综上所述，结论如答案所列。 26．【答案】（1）y＝1920+320(x+16/x)，x＞0；（2）最小值为4480元，此时池底是边长为4m的正方形 【解析】（1）由容积与深得池底面积为32÷2＝16(m²)。设池底一边长为xm，则另一边长为16/x m，其中x＞0。池底造价为16×120＝1920(元)；池壁面积为2×2×(x+16/x)＝4(x+16/x)m²，池壁造价为80×4(x+16/x)＝320(x+16/x)元。所以y＝1920+320(x+16/x)，x＞0。 （2）因为x＞0，所以x与16/x都是正数且积为定值16，由基本不等式得x+16/x≥2＝8，当且仅当x＝16/x，即＝16，结合x＞0得x＝4时等号成立。 所以y≥1920+320×8＝1920+2560＝4480，即总造价的最小值为4480元，此时池底另一边长为16÷4＝4(m)，池底是边长为4m的正方形。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $