专题05 双曲线（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题05 双曲线 考点01 双曲线 考点01 双曲线 1．A 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 13．D 14．B 15．B 16．BCD 17．A 18．D 19．A 20．A 21．ACD 22．BC 23．ABC 24．A 25．A 26．BC 27．AB 28．B 29．A 30．D 31．A 32．BD 33．ACD 34．D 35．ACD 36．C 37．B 38．C 39．D 40．B 41．B 42．D 43．A 44．B 45．A 46．ABD 47．BCD 48．D 49．ABD 50．【答案】 【分析】 设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】 设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得 ，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ， 解得，故双曲线的方程为. (2) 小问详解： ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以 ， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 52．【答案】 【分析】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 53．【答案】 【分析】 根据离心率的定义，得到，再代入双曲线的离心率公式，即可求解. 【详解】 由双曲线的离心率为，有，可得， 所以双曲线的离心率为 故答案为： 54．【答案】（1），；     （2）1.      【分析】 （1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. (1) 小问详解： 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. (2) 小问详解： 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由 ，得， 55．【答案】 【详解】设双曲线的方程为 一条渐近线方程为 该双曲线的离心率 56．【答案】（1）     （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以.      【分析】 （1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. (1) 小问详解： 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 57．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可； （2）设利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可. (1) 小问详解： 由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 58．【答案】 【分析】 利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解. 【详解】 双曲线的一条渐近线方程为， 则，离心率， 故答案为：. 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据几何知识得到Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，然后求轨迹方程即可； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据恰有一个公共点得到，联立直线与渐近线方程，利用韦达定理求三角形面积的最小值即可. (1) 小问详解： ， 则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线， 设方程为，则，，， 所以Q的轨迹方程为． (2) 小问详解： 设l：，代入曲线C的方程得， 由已知得且，即， 将l：，代入得， 设，，则，， 直线l与x轴交点为， 则 由得，即， 则当时，S最小值为． 60．【答案】 【分析】 根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【详解】 因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又 ，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 61．【答案】 【分析】 设，，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】 设，，可得，， 两式相减可得，点是弦的中点， 且直线，可得，，，即有， 即，，，故双曲线的离心率为. 故答案为：2. 62．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. (1) 小问详解： 可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． (2) 小问详解： 设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以 ， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 63．【答案】（1）     （2）过定点，      【分析】 （1）根据条件，结合几何关系确定点的坐标，代入双曲线方程，即可求解； （2）首先设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. (1) 小问详解： 由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. (2) 小问详解： 判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立 ，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 64．【答案】5 【分析】 求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】 将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5 65．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为，              ，，              所以，所以，              所以， 故所求双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 设所求双曲线的方程为，              将点代入上述方程，得，              所以，所以，                     故所求双曲线的方程为. 66．【答案】 【分析】 设的左焦点为，得四边形是平行四边形，则，结合双曲线定义可求得，在中，利用余弦定理求得，进而得到求得答案. 【详解】 等轴双曲线，则，则. 设的左焦点为，根据对称性易得四边形是平行四边形， 则. 由 得 或 在中，，则， 得. 故答案为：. 67．【答案】（1）或；（2）. 【分析】 （1）方法一：根据圆心位置设圆的方程为，利用弦长公式列方程求解的值，即可得圆的方程；方法二：设所求的圆的方程是，确定圆心与半径，利用弦长公式列方程求解的值，即可得圆的方程； （2）设，根据题意可知点M在和相交的右侧区域，结合距离公式与面积公式列方程即可得轨迹方程. 【详解】 （1）方法一：因为圆心在上，与x轴相切， 故设所求圆的方程为， 圆心到直线的距离， 则，解得，或， 所以所求圆的方程为或. 方法二：设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为， 令，得， 由圆与x轴相切，得，即，① 又圆心到直线的距离为， 由已知，得，即，② 又圆心在直线上，则，③ 联立① ② ③ ，解得，，或，，， 故所求圆的方程是或. （2）设，根据题意可知点M在和相交的右侧区域，    所以点M到直线的距离， 到直线的距离， ，即， 所以动点M的轨迹方程为. 68．【答案】（1）     （2）     （3）不存在，理由如下： 由题意可知：，，设， 则，. 因为，整理得：， 由点在双曲线上，则， 可得：，即，， 所以，无解，所以不存在点，使得.      【分析】 （1）根据离心率即可求解，进而得，即可求解方程， （2）根据点斜式求解直线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可, （3）根据向量的坐标运算，即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知：,，所以， 则，可知双曲线的方程为. (2) 小问详解： 因为为直线的方向向量，则直线的斜率， 且点在直线上，则直线的方程为，即 又由题意可知， 所以到的距离. (3) 小问详解： 略 69．【答案】 【分析】 先根据焦距求出，再利用双曲线方程求出，最后利用双曲线的性质列方程求解． 【详解】 双曲线焦距为，， 又焦点在x轴上的双曲线方程为：， ， ， ，解得． 故答案为：． 70．【答案】①     ② 【分析】 由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】 由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 71．【答案】（1）     （2）（i）（ii）      【分析】 （1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. (1) 小问详解： 由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. (2) 小问详解： （i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 72．【答案】 【分析】 不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】 由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 73．【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果. 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是. （2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得． 根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是. 74．【答案】或 【分析】 由双曲线的一条渐近线过，即可求得渐近线方程，由渐近线方程结合焦点在x或y轴分类讨论：或，即可求离心率 【详解】 设一条渐近线方程为，由题意知，得 ∴渐近线方程为 若焦点在x轴上，则，于是离心率 若焦点在y轴上，则，于是离心率 故答案为：或 【点睛】 本题考查了求双曲线离心率，根据双曲线的一条渐近线过定点求双曲线离心率，注意双曲线实轴可能在x轴或y轴，分类讨论焦点在不同位置时的离心率 75．【答案】9 【分析】 由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】 由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程 ，可得 ， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9 76．【答案】（1）     （2）（i）或；（ii）由（i）， 直线的方程为 直线的方程为． 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.      【分析】 （1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足，从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. (1) 小问详解：    由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： （i）由题意知直线l的方程为. 联立 ，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足： ，解得或；    （ii）略 77．【答案】（1）     （2）①或；② 是，      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）① 设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；② 设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合① 中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 解得，，        所以的方程为. (2) 小问详解： 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由 ，消得， 所以，解得， 所以. ① 因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ② 直线，即， 由 ，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】 关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的② 小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 78．【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可； （2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可； （ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为； 若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为． (2) 小问详解： （i）因为曲线的离心率为，所以，即， 即曲线的方程为， 曲线向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得． （ii）设，，． 因为，所以， 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上， 所以不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由 得， 则且，即， 又，， 所以，故， 代入双曲线的方程得， 化简得，又，所以， 点到直线的距离， ． 故的面积． 79．【答案】（1）     （2）（i）;（ii）      【分析】 （1）根据渐近线的倾斜角求出其斜率，得到的关系，再将点代入双曲线方程即可； （2）设出点,联立直线与双曲线,写出韦达定理.（i）将代入联立所得的韦达定理式子，再运用弦长公式即可求得；（ii）表示出直线,进而求出的纵坐标，最后利用来破解非对称韦达定理结构，得出定值. (1) 小问详解： 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，        又由点在双曲线上，有, 代入,有,可得,, 故双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 设，两点的坐标分别为,    联立方程 ,消去后整理为, 则，即，可得,. （i）当时，有,,        可得, 故. （ii）由,,可得直线的方程为,代入,可得点的纵坐标. 同理可得直线的方程为,点的纵坐标为, 又由,有, 则 . 故点与点的纵坐标的比值为. 80．【答案】（1）     （2）     （3） 要证，只需证． 设点的坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为， 则直线的方程为， 即． 由 得， 从而， 故 ， 用替换上式中的可得：， 所以，证毕. 【分析】 （1）设动圆的半径为，根据圆与圆的位置关系列式结合双曲线的定义即可求解； （2）直线与双曲线右支恰好有一个公共点有两种情况，与渐近线平行或者与双曲线相切，分别计算即可； （3）将问题转化为，直线分别与双曲线联立，利用弦长公式以及韦达定理分别计算即可证明. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，则由动圆与圆外切得：， 由动圆与圆外切得：， 所以， 由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线右支， 故曲线的方程为. (2) 小问详解： 由题意知，直线与双曲线右支恰好有一个公共点， 而直线的方程为， 由 得， 当，即时，此时直线与双曲线渐近线平行，恰好与右支有一个公共点，满足题意， 当，即时，，由得，． 此时直线与双曲线的右支相切，恰好有一个公共点，满足题意， 当时，直线的方程为，与曲线：的交点为， 满足“恰好有一个公共点”的题意， 综上所述，的值组成的集合为. (3) 小问详解： 略 81．【答案】6 【分析】 由椭圆的方程写出焦点，的坐标，得到以线段为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点的坐标，进而得到线段的中点的坐标，代入另一条渐近线求得的值，得到双曲线的方程，与圆的方程联立求得点的坐标，根据（为坐标原点）的面积等于求得其面积. 【详解】 由椭圆知，所以. 双曲线：的渐近线方程为. 以线段为直径的圆的方程为. 由 ，得，所以，所以. 记线段的中点为，则. 点在上，所以，解得，所以. 所以双曲线的方程为：. 由 ，得 ，所以. 所以（为坐标原点）的面积为. 故答案为：. 82．【答案】（1）     （2）0      【分析】 （1）根据条件及离心率的公式确定的值，再根据求出，即可得双曲线C的方程； （2）先根据题意设直线的方程为，及的坐标，进而得到的坐标，联立方程组，由韦达定理得到的值，代入化简即可. (1) 小问详解： 由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立 ，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 83．【答案】（1）     （2） 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，，， 联立 ，消去y并整理得， 此时且， 解得且， 由韦达定理得，， ， 易知，， 因为， 所以 ， 解得或， 当时，直线l的方程为， 此时直线l恒过点，不符合题意； 当时，直线l的方程为， 此时直线l恒过点， 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为， 此时，， 因为，所以， 解得或，直线l不经过点A， 所以，则直线l恒过点. 综上，直线l恒过点. 【分析】 （1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标. (1) 小问详解： 设双曲线的标准方程为（，）. 因为椭圆：的共轭双曲线为， 所以，， 所以双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 略 84．【答案】（1）     （2）（i）;（ii）动点在定直线上.      【分析】 （1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. (1) 小问详解： 因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方程为． 由 ,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由 得, 则. 设,则. 直线,直线, 由 ,得 , 解得, 故动点在定直线上． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线 1大高频考点概览 考点01 双曲线 考点01 双曲线 1．（2026·河北衡水·三调）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（     ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 【答案】A 【分析】 根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】 因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 2．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】 设椭圆方程为， 双曲线的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：， 则，故椭圆方程为. 故选：C 3．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（       ） A. 22 B. 2 C. 2或22 D. 24 【答案】A 【分析】 设的上、下焦点分别为，根据双曲线的定义求出或，再根据可得. 【详解】 设的上、下焦点分别为，则． 因为,,所以，，则， 由双曲线的定义可知，，即， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意. 综上所述：. 故选：A 4．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】 设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 5．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】 如图所示，设双曲线的右焦点为，连接， 因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得， 所以. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·河北保定·期中）双曲线的渐近线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化简双曲线的方程为，即得解. 【详解】 由题得双曲线的方程为， 所以 所以渐近线方程为. 故选：D 7．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【分析】 运用代入法，结合已知等式进行求解即可. 【详解】 把代入中，得，即， 因为，， 所以， 又，所以，解得，舍去，则. 故选：A 8．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）若双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线被圆：截得弦长为，则双曲线的离心率为（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 设渐近线方程，再根据垂径定理可得，进而根据渐近线斜率与双曲线离心率的关系求解即可. 【详解】 设渐近线方程，则圆：圆心到的距离，即，解得.又双曲线基本量关系可得，结合渐近线方程可得当双曲线焦点在轴时，离心率为；当双曲线焦点在轴时，离心率为； 故选：C 9．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将双曲线方程化为标准形式，结合渐近线方程的定义求结论. 【详解】 双曲线的标准方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 10．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件确定，再根据焦距公式和双曲线的性质，即可求解. 【详解】 设，则，故， 由题意可得C的两条渐近线为，令可得， 所以，故，所以C的方程为. 故选：B． 11．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（   ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 由椭圆、双曲线离心率的计算公式列出等式，求解即可. 【详解】 ， 则，即， 由，可知，于是． 故选：C． 12．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的右焦点为，过的直线交于，两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据对称性求出直线的倾斜角，由点斜式可得方程. 【详解】 由题意知（为坐标原点），， 故直线的斜率为，所以的方程为，即. 故选：A. 13．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】 由题意得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（     ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 1或15 【答案】B 【分析】 根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】 由双曲线的性质知：，从而， 所以双曲线方程为， 故，所以或， 而，不合题意；所以. 故选：B． 15．（25-26学年高二上·河北保定·期中）双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离. 【详解】 解：由，得，渐近线方程为， 由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为 . 故选：B. 16．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知曲线，下列结论正确的有（     ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴上的椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是两条平行于轴的直线 【答案】BCD 【分析】 对于A，举例判断，对于B，将代入结合椭圆的标准方程判断，对于C，由双曲线的标准方程分析判断，对于D，将代入化简变形判断. 【详解】 对于A，若，则曲线表示圆，故A错误； 对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确； 对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确． 故选：BCD 17．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：的右支与轴及直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，求出方程即可. 【详解】 由题意可得， ，，且、都在双曲线上， 所以 ，解得 ，则双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 18．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）曲线与曲线有共同的（       ） A. 长轴长 B. 短轴长 C. 离心率 D. 焦距 【答案】D 【分析】 根据椭圆和双曲线的简单性质，分别求出曲线与曲线 的长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、离心率和焦距，由此能求出结果. 【详解】 中： 长轴长，短轴长， 离心率，焦距. 曲线中： 实轴长，虚轴长， 离心率， 焦距. 曲线与曲线有共同的焦距. 故选：. 19．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线的方程，再代入点，即可求解. 【详解】 由题意设双曲线的标准方程为，代入点， 得，得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 20．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】 由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 21．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（   ） A. 到的距离为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D.  【答案】ACD 【分析】 利用双曲线的方程和一条渐近线方程可求出的值，进而可求解. 【详解】 因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为. 对于A，由双曲线知右焦点，， 所以到的距离为，故A正确； 对于B，的渐近线方程为，即，故B错误； 对于C，的离心率为，故C正确； 对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确. 故选：ACD. 22．（2026·河北承德第二中学·联考）（多选）已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（     ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 【答案】BC 【分析】 根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可. 【详解】 对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 23．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（       ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 【答案】ABC 【分析】 根据题意，由圆，椭圆以及双曲线的标准方程逐一判断，即可得到结果. 【详解】 当，即时，，表示平行于轴的两直线，A正确； 当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，B正确； 当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线， C正确； 当，且时，则，所以，因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误. 故选：ABC. 24．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程是，且焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的渐近线方程及点到直线的距离公式计算即可. 【详解】 设双曲线的一个焦点为， 由题意可得 ，解之得 ， 又， ，则双曲线的标准方程为. 故选：A 25．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（     ） A.  B.  C.  D. 10 【答案】A 【分析】 由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】 由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 26．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（       ） A. 双曲线的渐近线方程为 B.  C. 的面积为 D.  【答案】BC 【分析】 先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】 由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程 整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 27．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）（多选）已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 【答案】AB 【分析】 根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】 若，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 28．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】 方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 29．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】 因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 30．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求得双曲线的渐近线方程，再根据点到直线距离公式计算，即可求解. 【详解】 由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即， 因为点在轴上，结合对称性，点到双曲线的两条渐近线距离相等， 取其中一条渐近线， 则点到直线的距离． 故选：D 31．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】 下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 32．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）（多选）已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（    ） A. E的虚轴长为6 B.  C. E的渐近线方程为 D. 点到直线的距离为 【答案】BD 【分析】 根据双曲线的虚轴、焦半径、渐近线和等面积法对选项进行分析，从而确定最大值. 【详解】 依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD. 33．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（       ） A. 若，则为椭圆 B. 若或，则表示双曲线 C. 若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D. 若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【分析】 由椭圆、双曲线标准方程的结构特点可判断AB，由焦距的概念可判断CD. 【详解】 因为，但，即不是椭圆，故A错误； 当，即，或时，为双曲线，故B正确； 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 与双曲线的焦距不相同，故D错误. 故选：ACD. 34．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【详解】 由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 35．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（       ） A. 可能表示圆 B. 可能表示焦点在轴上的双曲线 C. 若表示双曲线，则 D. 若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据圆、双曲线、椭圆的标准方程的特点，依次判断即可. 【详解】 当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 36．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（       ） A. 9 B. 18 C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得到 ，求解即可. 【详解】 如图： 设的焦距为，由题意得 ， 又， 可得，得. 故选：C 37．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C.  D. 10 【答案】B 【分析】 求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【详解】 由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 38．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆的半径为定长，是圆外一定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相较于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一支 D. 抛物线 【答案】C 【分析】 首先根据段的垂直平分线交直线于点,得到,然后进一步得到为定值,即动点到两定点、的距离差为定值,利用双曲线的定义可知点的轨迹. 【详解】 解：为圆外一定点,为圆上一动点, 线段的垂直平分线交直线于点, 则,则 即动点到两定点、的距离差为定值, 根据双曲线的定义,可知点的轨迹是：以、为焦点,为实轴长的双曲线. 故选C 【点睛】 结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键. 39．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（     ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 射线 【答案】D 【分析】 根据所给方程的几何意义分析点的轨迹. 【详解】 设，则. 由题可知，， 所以点的轨迹是射线. 故选：D. 40．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（     ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【分析】 根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】 如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 41．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（       ） A. 3 B. 1 C. 2 D.  【答案】B 【分析】 设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法化简可得，求值即可. 【详解】 由题意可知点关于原点对称，设，则有，， 都在双曲线上，有，，两式相减得， 则，得，即， 又由，则. 故选：. 42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】 由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则 ，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 43．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 44．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据焦点坐标即可求解，进而求得渐近线方程. 【详解】 由于为双曲线的右焦点， 故， 则，所以， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：B 45．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】 如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以 . 又， 所以. 又在双曲线上， 所以 . 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 46．（2026·河北衡水·三调）（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】 对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得 ，两式平方整理得 ， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 47．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】BCD 【分析】 如图，建系，设，通过题中条件写出的坐标，得到的坐标，求出.设，则有，代入坐标得到用表示的的坐标，将的坐标代入，得到，利用在上单调递减，得到离心率的范围. 【详解】 如图，以的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示，设，得，易得， 则. 设，则，得， 则，将， 代入的方程，得，得， 则. 因为函数在上单调递减， 所以，故. 故选：BCD. 48．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】D 【分析】 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接，由题意可证得与相似，可得，结合已知可求双曲线的离心率. 【详解】 设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 49．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（     ） A. 点的横坐标为 B. 的周长为 C. 的内切圆半径为1 D. 的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【分析】 根据三角形的面积，及焦距的长求得点的纵坐标，代入双曲线的方程，求得点的横坐标，判断A；由点的纵坐标及两点间距离公式，求得，利用双曲线的定义求得，进而求得的周长判断B；由等面积法求得的内切圆半径，判断C；结合圆的切线的性质和双曲线的定义，求得的内切圆圆心的横坐标，判断D. 【详解】 因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.    代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】 50．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】 设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 51．（2026·河北衡水·三调）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得 ，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ， 解得，故双曲线的方程为. (2) 小问详解： ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以 ， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 52．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 53．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据离心率的定义，得到，再代入双曲线的离心率公式，即可求解. 【详解】 由双曲线的离心率为，有，可得， 所以双曲线的离心率为 故答案为： 54．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】（1），；     （2）1.      【分析】 （1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. (1) 小问详解： 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. (2) 小问详解： 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由 ，得， 55．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】设双曲线的方程为 一条渐近线方程为 该双曲线的离心率 56．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1）     （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以.      【分析】 （1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. (1) 小问详解： 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 57．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可； （2）设利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可. (1) 小问详解： 由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； (2) 小问详解： 易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 58．（2026·河北衡水·三调）双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解. 【详解】 双曲线的一条渐近线方程为， 则，离心率， 故答案为：. 59．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据几何知识得到Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，然后求轨迹方程即可； （2）设直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据恰有一个公共点得到，联立直线与渐近线方程，利用韦达定理求三角形面积的最小值即可. (1) 小问详解： ， 则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线， 设方程为，则，，， 所以Q的轨迹方程为． (2) 小问详解： 设l：，代入曲线C的方程得， 由已知得且，即， 将l：，代入得， 设，，则，， 直线l与x轴交点为， 则 由得，即， 则当时，S最小值为． 60．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【详解】 因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又 ，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 61．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】 设，，可得，， 两式相减可得，点是弦的中点， 且直线，可得，，，即有， 即，，，故双曲线的离心率为. 故答案为：2. 62．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）求出圆的圆心和半径，然后分两圆外切和内切两种情况得，然后利用双曲线的定义求解轨迹方程即可． （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求解直线的方程. (1) 小问详解： 可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． (2) 小问详解： 设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以 ， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 63．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. （1）求曲线E方程； （2）若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）过定点，      【分析】 （1）根据条件，结合几何关系确定点的坐标，代入双曲线方程，即可求解； （2）首先设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. (1) 小问详解： 由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. (2) 小问详解： 判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立 ，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 64．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】 将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5 65．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）回答下面两个问题 （1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为，              ，，              所以，所以，              所以， 故所求双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 设所求双曲线的方程为，              将点代入上述方程，得，              所以，所以，                     故所求双曲线的方程为. 66．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则　　　　　. 【答案】 【分析】 设的左焦点为，得四边形是平行四边形，则，结合双曲线定义可求得，在中，利用余弦定理求得，进而得到求得答案. 【详解】 等轴双曲线，则，则. 设的左焦点为，根据对称性易得四边形是平行四边形， 则. 由 得 或 在中，，则， 得. 故答案为：. 67．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（1）求圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程； （2）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（O为坐标原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】 （1）方法一：根据圆心位置设圆的方程为，利用弦长公式列方程求解的值，即可得圆的方程；方法二：设所求的圆的方程是，确定圆心与半径，利用弦长公式列方程求解的值，即可得圆的方程； （2）设，根据题意可知点M在和相交的右侧区域，结合距离公式与面积公式列方程即可得轨迹方程. 【详解】 （1）方法一：因为圆心在上，与x轴相切， 故设所求圆的方程为， 圆心到直线的距离， 则，解得，或， 所以所求圆的方程为或. 方法二：设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为， 令，得， 由圆与x轴相切，得，即，① 又圆心到直线的距离为， 由已知，得，即，② 又圆心在直线上，则，③ 联立① ② ③ ，解得，，或，，， 故所求圆的方程是或. （2）设，根据题意可知点M在和相交的右侧区域，    所以点M到直线的距离， 到直线的距离， ，即， 所以动点M的轨迹方程为. 68．（2026·河北承德第二中学·联考）已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，. （1）求双曲线的方程； （2）若以为方向向量的直线经过，求到的距离； （3）双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）不存在，理由如下： 由题意可知：，，设， 则，. 因为，整理得：， 由点在双曲线上，则， 可得：，即，， 所以，无解，所以不存在点，使得.      【分析】 （1）根据离心率即可求解，进而得，即可求解方程， （2）根据点斜式求解直线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解即可, （3）根据向量的坐标运算，即可求解. (1) 小问详解： 由题意可知：,，所以， 则，可知双曲线的方程为. (2) 小问详解： 因为为直线的方向向量，则直线的斜率， 且点在直线上，则直线的方程为，即 又由题意可知， 所以到的距离. (3) 小问详解： 略 69．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据焦距求出，再利用双曲线方程求出，最后利用双曲线的性质列方程求解． 【详解】 双曲线焦距为，， 又焦点在x轴上的双曲线方程为：， ， ， ，解得． 故答案为：． 70．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是　　　　　　　　　　　，的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】 由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 71．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）（i）（ii）      【分析】 （1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. (1) 小问详解： 由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. (2) 小问详解： （i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 72．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】 由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 73．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍， 求双曲线的渐近线方程； 当时，的面积为，求此双曲线的方程． 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果. 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是. （2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得． 根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是. 74．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若双曲线的一条渐近线经过点，则其离心率等于　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由双曲线的一条渐近线过，即可求得渐近线方程，由渐近线方程结合焦点在x或y轴分类讨论：或，即可求离心率 【详解】 设一条渐近线方程为，由题意知，得 ∴渐近线方程为 若焦点在x轴上，则，于是离心率 若焦点在y轴上，则，于是离心率 故答案为：或 【点睛】 本题考查了求双曲线离心率，根据双曲线的一条渐近线过定点求双曲线离心率，注意双曲线实轴可能在x轴或y轴，分类讨论焦点在不同位置时的离心率 75．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为　　　　　　. 【答案】9 【分析】 由题意求出直线的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 【详解】 由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程 ，可得 ， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9 76．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【答案】（1）     （2）（i）或；（ii）由（i）， 直线的方程为 直线的方程为． 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.      【分析】 （1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足，从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. (1) 小问详解：    由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： （i）由题意知直线l的方程为. 联立 ，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足： ，解得或；    （ii）略 77．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）①或；② 是，      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）① 设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；② 设直线：，联立双曲线方程，求得，， 结合① 中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 解得，，        所以的方程为. (2) 小问详解： 由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点）， 所以，又双曲线的渐近线为，故，解得， 所以直线，即， 由 ，消得， 所以，解得， 所以. ① 因为，， 又，所以， 解得或，即点的坐标为或. ② 直线，即， 由 ，消得，， 即，所以，解得， 所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，得，解得， 所以直线恒过定点， 又，即，又点是的中点，所以， 所以是定值，且定值为. 【点睛】 关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的② 小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解. 78．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可； （2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可； （ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为； 若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为． (2) 小问详解： （i）因为曲线的离心率为，所以，即， 即曲线的方程为， 曲线向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得． （ii）设，，． 因为，所以， 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上， 所以不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由 得， 则且，即， 又，， 所以，故， 代入双曲线的方程得， 化简得，又，所以， 点到直线的距离， ． 故的面积． 79．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点. （i）当时，求； （ii）求点与点的纵坐标的比值. 【答案】（1）     （2）（i）;（ii）      【分析】 （1）根据渐近线的倾斜角求出其斜率，得到的关系，再将点代入双曲线方程即可； （2）设出点,联立直线与双曲线,写出韦达定理.（i）将代入联立所得的韦达定理式子，再运用弦长公式即可求得；（ii）表示出直线,进而求出的纵坐标，最后利用来破解非对称韦达定理结构，得出定值. (1) 小问详解： 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，        又由点在双曲线上，有, 代入,有,可得,, 故双曲线的标准方程为. (2) 小问详解： 设，两点的坐标分别为,    联立方程 ,消去后整理为, 则，即，可得,. （i）当时，有,,        可得, 故. （ii）由,,可得直线的方程为,代入,可得点的纵坐标. 同理可得直线的方程为,点的纵坐标为, 又由,有, 则 . 故点与点的纵坐标的比值为. 80．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知动圆与圆和圆都外切，动圆圆心的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点斜率为的直线与曲线恰好有一个公共点，求的值组成的集合； （3）设点在直线上，过的两条直线分别交双曲线于，两点和，两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：． 【答案】（1）     （2）     （3） 要证，只需证． 设点的坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为， 则直线的方程为， 即． 由 得， 从而， 故 ， 用替换上式中的可得：， 所以，证毕. 【分析】 （1）设动圆的半径为，根据圆与圆的位置关系列式结合双曲线的定义即可求解； （2）直线与双曲线右支恰好有一个公共点有两种情况，与渐近线平行或者与双曲线相切，分别计算即可； （3）将问题转化为，直线分别与双曲线联立，利用弦长公式以及韦达定理分别计算即可证明. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，则由动圆与圆外切得：， 由动圆与圆外切得：， 所以， 由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线右支， 故曲线的方程为. (2) 小问详解： 由题意知，直线与双曲线右支恰好有一个公共点， 而直线的方程为， 由 得， 当，即时，此时直线与双曲线渐近线平行，恰好与右支有一个公共点，满足题意， 当，即时，，由得，． 此时直线与双曲线的右支相切，恰好有一个公共点，满足题意， 当时，直线的方程为，与曲线：的交点为， 满足“恰好有一个公共点”的题意， 综上所述，的值组成的集合为. (3) 小问详解： 略 81．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为　　　　　　. 【答案】6 【分析】 由椭圆的方程写出焦点，的坐标，得到以线段为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点的坐标，进而得到线段的中点的坐标，代入另一条渐近线求得的值，得到双曲线的方程，与圆的方程联立求得点的坐标，根据（为坐标原点）的面积等于求得其面积. 【详解】 由椭圆知，所以. 双曲线：的渐近线方程为. 以线段为直径的圆的方程为. 由 ，得，所以，所以. 记线段的中点为，则. 点在上，所以，解得，所以. 所以双曲线的方程为：. 由 ，得 ，所以. 所以（为坐标原点）的面积为. 故答案为：. 82．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． （1）求双曲线C的方程； （2）O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 （1）根据条件及离心率的公式确定的值，再根据求出，即可得双曲线C的方程； （2）先根据题意设直线的方程为，及的坐标，进而得到的坐标，联立方程组，由韦达定理得到的值，代入化简即可. (1) 小问详解： 由双曲线的左、右顶点 分别为可知， 又由离心率为2，即，可得， 又在双曲线中，可得， 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： 因为直线过点且斜率不为0， 且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限）， 所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数）， （由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为， 所以直线的斜率，解得）. 设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以， 所以， ， 联立 ，可得， 所以由韦达定理可得， 所以 ， 所以. 83．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆：的共轭双曲线为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线l（不过点A）与相交于M，N两点，且，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1）     （2） 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，，， 联立 ，消去y并整理得， 此时且， 解得且， 由韦达定理得，， ， 易知，， 因为， 所以 ， 解得或， 当时，直线l的方程为， 此时直线l恒过点，不符合题意； 当时，直线l的方程为， 此时直线l恒过点， 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为， 此时，， 因为，所以， 解得或，直线l不经过点A， 所以，则直线l恒过点. 综上，直线l恒过点. 【分析】 （1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标. (1) 小问详解： 设双曲线的标准方程为（，）. 因为椭圆：的共轭双曲线为， 所以，， 所以双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 略 84．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 【答案】（1）     （2）（i）;（ii）动点在定直线上.      【分析】 （1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. (1) 小问详解： 因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. (2) 小问详解： （i）直线的方程为． 由 ,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由 得, 则. 设,则. 直线,直线, 由 ,得 , 解得, 故动点在定直线上． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线 1大高频考点概览 考点01 双曲线 考点01 双曲线 1．（2026·河北衡水·三调）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（     ）. A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2 2．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（       ） A. 22 B. 2 C. 2或22 D. 24 4．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6．（25-26学年高二上·河北保定·期中）双曲线的渐近线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）若双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线被圆：截得弦长为，则双曲线的离心率为（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线截C的两条渐近线所得的线段长为，则的方程为（    ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则（   ） A.  B.  C. 2 D. 3 12．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的右焦点为，过的直线交于，两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（     ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 1或15 15．（25-26学年高二上·河北保定·期中）双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D. 1 16．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知曲线，下列结论正确的有（     ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴上的椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是两条平行于轴的直线 17．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：的右支与轴及直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）曲线与曲线有共同的（       ） A. 长轴长 B. 短轴长 C. 离心率 D. 焦距 19．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）（多选）已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（   ） A. 到的距离为 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D.  22．（2026·河北承德第二中学·联考）（多选）已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（     ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 23．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（       ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 24．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程是，且焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（     ） A.  B.  C.  D. 10 26．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（       ） A. 双曲线的渐近线方程为 B.  C. 的面积为 D.  27．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）（多选）已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 28．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）点到双曲线的一条渐近线的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）（多选）已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（    ） A. E的虚轴长为6 B.  C. E的渐近线方程为 D. 点到直线的距离为 33．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（       ） A. 若，则为椭圆 B. 若或，则表示双曲线 C. 若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D. 若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 34．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（       ） A. 可能表示圆 B. 可能表示焦点在轴上的双曲线 C. 若表示双曲线，则 D. 若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 36．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（       ） A. 9 B. 18 C.  D.  37．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C.  D. 10 38．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知圆的半径为定长，是圆外一定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相较于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一支 D. 抛物线 39．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（     ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 射线 40．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（     ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 41．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（       ） A. 3 B. 1 C. 2 D.  42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 43．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  46．（2026·河北衡水·三调）（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 47．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）（多选）如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（       ） A.  B.  C. 2 D.  48．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 49．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（     ） A. 点的横坐标为 B. 的周长为 C. 的内切圆半径为1 D. 的内切圆圆心的横坐标为4 50．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　． 51．（2026·河北衡水·三调）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 52．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于　　　　　　　　　　. 53．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为　　　　　. 54．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 55．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是　　　　　　　　　　． 56．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 57．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 58．（2026·河北衡水·三调）双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为　　　　　　　　　　　． 59．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 60．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　. 61．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为　　　　　　. 62．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 63．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. （1）求曲线E方程； （2）若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 64．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为　　　　　　． 65．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）回答下面两个问题 （1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 66．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则　　　　　. 67．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（1）求圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程； （2）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（O为坐标原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程. 68．（2026·河北承德第二中学·联考）已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，. （1）求双曲线的方程； （2）若以为方向向量的直线经过，求到的距离； （3）双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 69．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则　　　　　　　　　　． 70．（25-26学年高二上·河北保定·期中）若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是　　　　　　　　　　　，的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　. 71．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. （1）求的渐近线方程； （2）记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 72．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为　　　　　　　　　　. 73．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍， 求双曲线的渐近线方程； 当时，的面积为，求此双曲线的方程． 74．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若双曲线的一条渐近线经过点，则其离心率等于　　　　　　　　　. 75．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为　　　　　　. 76．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 77．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. （1）求的方程； （2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 78．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 79．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点. （i）当时，求； （ii）求点与点的纵坐标的比值. 80．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知动圆与圆和圆都外切，动圆圆心的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点斜率为的直线与曲线恰好有一个公共点，求的值组成的集合； （3）设点在直线上，过的两条直线分别交双曲线于，两点和，两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：． 81．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为　　　　　　. 82．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2． （1）求双曲线C的方程； （2）O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求． 83．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆：的共轭双曲线为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线l（不过点A）与相交于M，N两点，且，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标. 84．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． （1）若点在上，求的渐近线方程． （2）当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $