专题04 椭圆（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题04 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 根据已知条件依次求得的值，从而确定正确答案. 【详解】 依题意，短半轴， 由 ，解得. 故选：A 2．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（     ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】 椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 3．（25-26学年高二上·河北保定·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件，直接求出，即可求解. 【详解】 由题知，所以， 所以焦距为， 故选：A. 4．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解． 【详解】 根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 5．（2026·河北衡水·三调）椭圆的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】 因为椭圆方程为， 所以，所以. 所以焦点坐标为. 故选：C. 6．（2026·河北衡水·三调）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【详解】 椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 8．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 分椭圆的焦点在轴、轴上两种情况讨论，分别确定长半轴长、短半轴长，即可得到椭圆方程. 【详解】 当椭圆的焦点在轴上时，长半轴长为，则短半轴长为，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，短半轴长为，则长半轴长为，所以椭圆的方程为； 所以椭圆方程为或. 故选：C. 9．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知条件求得，结合椭圆的定义求得的周长. 【详解】 在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C 10．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（       ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C.  D. 的周长为14 【答案】C 【分析】 结合题意并利用椭圆的性质逐个选项求解即可. 【详解】 如图，作出符合题意的图形， 由题意知，，， 对于A，结合题意可得的长轴长为10，故A错误， 对于B，结合题意可得的离心率为，故B错误， 对于C，由题意得， 由两点间距离公式得，故C正确， 对于D，结合椭圆的定义得的周长为，故D错误. 故选：C 11．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】AC 【分析】 根据题意，分焦点在轴上和焦点在轴上，结合椭圆的几何性质，列出方程，即可求解. 【详解】 若焦点在轴上，则，且，，则， 所以离心率，解得； 若焦点在轴上，则，且，，则， 所以离心率为，解得． 故选：AC． 12．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（       ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【分析】 由椭圆的定义即可求解. 【详解】 由椭圆方程可得， 由椭圆的定义得到另一个焦点的距离为. 故选：B 13．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由椭圆方程求，即可求解焦距. 【详解】 由，，有，可得椭圆的焦距为. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）下列四个椭圆中，椭圆的形状最接近圆的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查椭圆的离心率的几何意义，求出离心率对比即可. 【详解】 由得， 得到椭圆的离心率为； 由得椭圆的离心率为； 由，得椭圆的离心率为； 由得椭圆的离心率为； 而离心率越小，椭圆形状越接近圆，故D正确. 故选：D． 15．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为8，则四边形面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 2 【答案】A 【分析】 根据面积以及焦点三角形的周长可得，即可根据面积公式即可求解. 【详解】 由于是点关于原点的对称点，也关于原点对称，故四边形为平行四边形， 由题意知，得，又，得，又， 解得， 三角形的面积为， 当取最大1时，三角形的面积最大，的最大值为， 所以四边形面积的最大值为. 故选：A 16．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知和是椭圆的两个焦点，过焦点的直线交椭圆于两点，则三角形的周长为（     ） A. 16 B. 6 C. 5 D. 11 【答案】A 【分析】 由椭圆方程求出的值，分析出三角形的周长为，代入计算即可得解. 【详解】 由椭圆方程可知， ，，所以. 因为点在椭圆上，所以由椭圆定义可知， 所以三角形的周长为. 故选：A 17．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【详解】 设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 18．（2026·河北承德第二中学·联考）若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得，进而结合的关系可得，即可求解离心率. 【详解】 椭圆的短轴长是焦距的倍， ，即， 则，即，则， 椭圆的离心率为. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】 因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点，分析的值，结合椭圆定义可解. 【详解】 由题知，，记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点， 则点A在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以， 所以点的轨迹方程，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为. 故选：. 21．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 由椭圆的定义求解. 【详解】 因为椭圆方程为，所以，解得， 由椭圆的定义可得，又，所以， 故选：B. 22．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（       ） A. (0，＋∞) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (0，1) 【答案】D 【分析】 要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围． 【详解】 因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆， 所以 ，即 ， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，① 表示焦点在x轴上的椭圆；② 表示焦点在y轴上的椭圆．；③ 表示椭圆． 【详解】 23．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】解法一，根据条件可知，列式建立等量关系求离心率；解法二， 根据是等腰直角三角形，结合椭圆的定义，求椭圆的离心率. 【详解】 解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则， 即，即，解得，故选B. 解二：∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴. 故选:B. 24．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）已知椭圆的上顶点为B，O为坐标原点，点，线段与交于点，点在线段上，且，若直线与圆相交，则的离心率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得出点，根据已知，得出点，即可根据两点得出直线的方程，根据直线与圆相交，列出不等式，结合椭圆离心率的运算解出不等式，即可得出答案. 【详解】 设直线的方程为：， 由 ，解得 ，即点， 设点，其中， 由得：，得，故， 则直线的方程为：， 直线与圆相交， 则，故，即， 因为椭圆，则，即， 故，即，又因为，则， 故选：C. 25．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）（多选）月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（            ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【分析】 A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】 由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 26．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意可得，根据对称性可知四边形为矩形，从而得到，再由椭圆的定义，即可求出、，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】 不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 27．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（     ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 【答案】C 【分析】 由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】 如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 28．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 运用椭圆的定义，结合圆的相切性质列式求出，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 令与圆相切的切点分别为， 由椭圆定义得，即， 由，得，即， 由对称性得，即，解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 29．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的面积是 B. 的内切圆的半径为 C. 点M的纵坐标为2 D. 若点P是C上的一动点，则的最大值为6 【答案】ABD 【分析】 对A，根据椭圆定义，余弦定理，三角形面积公式可求得答案；对B，在A选项基础上，，可求得；对C，在A选项基础上，由可求得；对D，由向量可得，，两式平方化简得，当最大时，得解. 【详解】 如图所示，令 A选项，设，，由椭圆定义得， 又由余弦定理可得，解得，，故A选项正确； B选项，由，可得：，故B选项正确； C选项，由，可得：，即，故C选项错误； D选项，因为，所以，即，① 同理，，可得，② 两式相减可得， ，故D选项正确． 故选：ABD. 30．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（       ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为2 D. 的最大值为16 【答案】BCD 【分析】 A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】 由已知条件得， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BCD. 31．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可. 【详解】 设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由 ，得. ，解得. 故选：B. 32．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设出交点的坐标，利用点差法即可求解. 【详解】 若线段轴，则线段的中点在轴上，不满足题意，所以直线的斜率存在， 设，，由题意可得，， 又 两式相减，得， 所以，解得， 因此，直线的斜率为. 故选：B． 33．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，转化为，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】 由两点间距离公式，方程， 其表示的几何意义为点到与的距离之和， 即，则， 根据椭圆的定义，点点在以和为焦点的椭圆上， 其中，可得，则， 所以所求轨迹的方程为为． 故选：C． 34．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】 若曲线表示椭圆，有 ，可得或， “曲线表示椭圆”可以推出“”， “”不可以推出“曲线表示椭圆”， 可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 35．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆：，若过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设点坐标，代入椭圆方程中，作差化简可得答案. 【详解】 设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点， 因此 ，点 ，满足椭圆方程 ， 两式相减得：，即， 则，即， 整理得，因此直线的斜率为. 故选：A 36．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意可得圆心为左焦点与右顶点的中点，半径，再由即可得到关于、的方程，同除得到关于的方程，解得即可. 【详解】 设椭圆的左焦点为，则右顶点为，上顶点为，下顶点为， 因为左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则圆心为左焦点与右顶点的中点，半径， 所以，则，即， 又， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 37．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】∵ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选B 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 38．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】 设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 39．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【分析】 由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】 由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 40．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】 设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 41．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 转化为直线与圆有交点，建立关于的不等式，再根据，即可求离心率的范围. 【详解】 直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得：，所以， 又，所以离心率，又， 所以. 故选：C 42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（       ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【分析】 设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】 设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 43．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 【答案】ABD 【分析】 根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项 【详解】 由题意知，设，则， 对于A，， 则， 当时，取最大值，所以的最大值为正确. 对于B，， 所以，当时，取最大值， 所以的最大值为，B正确； 对于C、D，设 ，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确. 故选：ABD 44．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设球的半径为，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长轴长，从而解得椭圆的离心率. 【详解】 设球的半径为，则椭圆的短轴长，即. 过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图， 其中DE是椭圆的长轴，，AD，BE是光线， A，B是光线与球面的切点，则， 椭圆的长轴长，即. 故椭圆的离心率.        故选：B. 45．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 【答案】ABD 【分析】 设，，对A和B，利用数量积的坐标运算及，直接求出和，再利用的取值范围，即可求解；对C和D，根据条件得，结合的取值范围，得，即可判断出C和D的正误. 【详解】 由题知，设， 对于A，因为， 则，又， 则， 又，所以，故A正确， 对于B，因为， 则，又， 则， 又，所以，故B正确， 若，的斜率分别为，，又，且， 则，整理得到，由，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 46．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 构造的齐次式，求椭圆离心率的值. 【详解】 由题意，所以. 所以，即. 故选：A 47．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（     ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解. 【详解】 延长交于点M，所以点M为的中点，设. 因为，点为的重心， 所以 即 ，所以. 因为点在椭圆上， 所以 ，两式相减得，即， 整理得. 因为，所以，即， 所以，解得或. 又因为，所以，，所以. 故选：D. 48．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）在椭圆：与椭圆：中，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【分析】 先求出两个椭圆的长轴长、短轴长、焦距和离心率即可求出. 【详解】 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 椭圆：，，故， 椭圆：，，故， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 两个椭圆的焦距相等. 故选：. 49．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. ，满足的点P有两个 B. ，满足的点P有四个 C. 的面积小于等于 D. 的周长小于 【答案】ACD 【分析】 由椭圆的几何性质可得，当，，当，，故A正确，B错误；，故C正确；由椭圆定义可得，D正确. 【详解】 记椭圆C的上、下顶点分别为，易知. 选项A中，，，正确； 选项B中，，不存在90°的，错误； 选项C中，面积，正确； 选项D中，周长，正确. 故选：ACD 【点睛】 本题考查了椭圆的几何性质，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于中档题目. 50．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】 由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去），    在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 51．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，，求椭圆的离心率（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过向量关系建立点的坐标联系，代入椭圆方程并结合共线条件，推导出与的关系，从而求得离心率. 【详解】 由且，得. 设，，则，，即，. 因、在椭圆上，故，. 将，代入第一个方程， 得，即. 由，代入得，整理得. 又、、共线，故，结合， 得，将代入，化简得. 则离心率. 故选：A 52．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 构造直角三角形，利用角度关系和正切函数建立联系，进而求得离心率. 【详解】 过作垂直于轴，垂足为， 易得，得， 则. 在中，由，得， 得. 故选：C. 53．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）（多选）已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（       ） A.  B.  C. 记直线的斜率为，可得 D. 记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据短轴长直接求解判断A；设，，结合点P在椭圆上，利用斜率公式化简求值即可判断BC；记为椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性及的周长的取值范围判断D. 【详解】 由方程可知：， 对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由，，两点关于原点对称， 设，，有，可得，有，， 有，故B选项错误； 对于C选项，由，，有，故选项正确； 对于D选项，记为椭圆的左焦点，连接，， 由椭圆的对称性，有， 又由，可得的周长的取值范围为，故D选项正确. 故选：ACD 54．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】 设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，    所以点，所以直线的斜率为， 所以 由 ，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 55．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）（多选），为平面内两个定点，l为一定直线，，以下动点P的轨迹不能判定是椭圆的有（     ） A. 为大于0的常数 B. 直线，的斜率之积为小于0的常数 C. 直线，的斜率的商为大于1的常数 D. 点P到l的距离为d，为小于1的正常数 【答案】ABC 【分析】 分别可根据椭圆定义及圆锥曲线第二定义可判断AD；建立平面直角坐标系求出动点轨迹方程可判断BC. 【详解】 对于A，由为大于0的常数，设， 若，则P的轨迹是椭圆，当时，P的轨迹不是椭圆； 故此时点的轨迹不能判定是椭圆； 对于BC，以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则定点，，动点， 由题意直线的斜率之积为小于的常数，设此常数为， 则， 所以有， 化简得，由， 方程可化为， 当时，轨迹表示椭圆； 当时，轨迹表示圆； 故B项动点的轨迹不能判定是椭圆； 若直线，的斜率的商为大于1的常数，设此常数为， 则， 化简得，，表示一条垂直于轴的直线（除去与轴的交点）， 故C项动点的轨迹不能判定是椭圆； 对于D， 由，为常数，设常数为，且， 根据圆锥曲线的第二定义可知， 平面内到一个定点和一条定直线（）的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆， 故D项动点的轨迹可以判定为椭圆. 故选：ABC. 56．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【分析】 根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】 对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 57．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（       ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由椭圆定义可得，，由焦距为，得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，根据，解得，从而得，在中，由余弦定理求得，即可得答案. 【详解】 由椭圆定义得， 又， 则，， 又因为焦距为， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 同理在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 又， 则， 即 解得， 又因为， 即， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以． 故选：C. 58．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（       ） A.  B. 的离心率为 C.  D.  【答案】ACD 【分析】 对于A，由题意点在以为直径的圆上可判断；对于B，由离心率定义结合正弦定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由的关系以及三个三角形的高一样可验证. 【详解】 由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上， 所以，即，A对； 若，则，B错； ，C对； 设的内切圆半径为，则，，， ， ，即，D对. 故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：得到为等边三角形，且在以为直径的圆上为关键. 59．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）（多选）已知，，是满足的动点的轨迹，是以，为焦点的椭圆，下列说法正确的是（     ） A. 与轴有2个公共点 B. 若，有2个公共点在轴上，则的方程为 C. 若为，的公共点，且，则的长轴长为 D. 点到原点距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】 设，先由得代数式，令即可求解判断A；令结合题设条件即可求出的方程判断B；由题意结合勾股定理、和椭圆定义即可求解判断C；设，由的代数式转化得到结合的取值范围即可判断求解D. 【详解】 对于A，设，则由得， 令，得，与轴只有1个公共点，A错误； 对于B，中，令，得或， 设的方程为，则，， 所以的方程为，B正确， 对于C，若为，的公共点，且， 则，， 所以，C正确； 对于D，由得， 所以解得，设， 由得， 当，时取等号，所以最大值为，D正确. 故选：BCD. 60．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（       ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【分析】 设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】 对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 61．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 由椭圆的标准方程即可得到答案. 【详解】 由已知知椭圆的焦点在轴上，且半焦距，则 ，解得. 故答案为：. 62．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）椭圆的一个焦点是，那么等于　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据椭圆的方程可得，结合焦点和公式建立关于k的方程，解之即可求解. 【详解】 由，得， 又椭圆的一个焦点为，所以，且， 由，得，解得. 故答案为：1 63．（2026·河北承德第二中学·联考）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆的定义可求得. 【详解】 在椭圆中，， 因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上， 由椭圆的定义可得，故. 故答案为：. 64．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为1的直线交椭圆与两点,求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1) 根据离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，结合性质   ，列出关于， ，的方程组，求出，，即可得结果；（2）直线与所求方程联立，根据韦达定理，弦长公式可得. (1) 小问详解： 由 ，得 ， 椭圆方程为. (2) 小问详解： 由题，直线的方程为，设， 由 ，得， 根据韦达定理得 . 65．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形，求椭圆的标准方程 【答案】 【分析】 由题意，得到关于椭圆参数的方程组，解出即可. 【详解】 由题意知： ，解得，    所以椭圆的标准方程. 66．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论，用待定系数法求出椭圆的方程. 【详解】 由题意，椭圆的焦距是6，可得，即， 又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即， 则， 当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为. 故答案为：或 67．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. (1) 小问详解： 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程 ， 可得，解得：，. 所以 68．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设在轴上的截距为，的方程为，结合条件，利用直线与椭圆位置关系，联立方程即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 ，解得，， 所以的标准方程为． (2) 小问详解： 设在轴上的截距为，则的方程为，    由 ，消去得 因为直线与椭圆有交点，所以，解得， 所以的取值范围为． 69．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据条件，列出关于的方程，即可求解. 【详解】 设椭圆C的半焦距为，则结合，可得， 因为C的右焦点为，所以，所以， 所以，即，则. 故答案为：. 70．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】（1）     （2）①；②．      【分析】 （1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． (2) 小问详解： 联立 得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ② 因为，所以，解得． ． 71．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意得出以原点为圆心、以c为半径的圆与椭圆有交点，即，从而结合，即可求出椭圆离心率e的取值范围. 【详解】 因为椭圆上存在点P，使， 所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点， 如图，，所以，又因为，所以， 即，则，又因为， 所以， 所以椭圆的离心率e的取值范围为.    故答案为：. 72．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】 由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 73．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】 设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 74．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： （1）椭圆C的标准方程． （2）过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的相关概念，求出参数，写出椭圆的标准方程即可. （2）根据直线点斜式方程，以及直线与椭圆的位置关系，联立方程组，求出交点坐标，求出三角形面积即可 (1) 小问详解： 由题意知，所以， 所以椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 如图所示，过点F且斜率为1的直线l方程为， 可得 ，消去得，解得或， 则交点坐标为 则. 75．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于　　　　　　. 【答案】36 【分析】 分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】 若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 76．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点(2，)，； （2）过点(，)，且与椭圆有相同的焦点． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分类讨论焦点在x轴上、焦点在y轴上，将点坐标代入椭圆方程联立求解或者设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，待定系数求解，即得解； （2）可分析得焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，代入点坐标，结合焦点坐标，联立即得解 【详解】 （1）方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)． 由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)． 由已知条件得 解得       则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为. 方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将两点(2，)，代入， 得 解得 所以所求椭圆的标准方程为 （2）因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为 (a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点在椭圆上，所以， 即.② 由① ② 得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 77．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设向量，满足.求动点的轨迹的方程　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据向量模长的坐标表示及已知有，结合其几何意义和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】 由题设， 所以其几何意义是动点到点的距离之和为4，又， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以对应椭圆参数为，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 78．（2026·河北衡水·三调）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值； (2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）由条件得到m=2k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦长公式|AB|，代入整理，解得． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由条件结合韦达定理得到3m2=8k2+8．利用点O到直线AB的距离公式求得d2=，从而得到定值． 【详解】（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立   整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=， 代入整理得，解得k2=1.∴． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2=，x1x2=．   以AB为直径的圆过原点O，即． ∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．          将x1+x2=，x1x2=代入， 整理得3m2=8k2+8．设点O到直线AB的距离为d， 于是d2=， 故O到直线AB的距离是定值为． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力，属于中档题． 79．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求的长; （2）设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，      【分析】 （1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得. （2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围. （3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得. (1) 小问详解： 设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. (2) 小问详解： 设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. (3) 小问详解： 设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由 消去得， 则 ，即 ，而，解得，， 由，得，所以. 【点睛】 思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 80．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，利用弦长列方程，由此求得的值. (1) 小问详解： 依题意， ，解得， 故E的方程为． (2) 小问详解： ，联立 ， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 81．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）① 证明：由 消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ② 不存在，理由如下： 假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则 ， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 【分析】 （1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可； （2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论． (1) 小问详解： 由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． (2) 小问详解： ① 略 ② 略 82．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）代入点，再根据右焦点可得椭圆的方程； （2）的最大值可转化为点到圆心的距离加半径，然后求的最大值即可； （3）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算出，再联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式计算出，利用为定值，可得答案. (1) 小问详解： 由题意得                    解得 所以的方程为. (2) 小问详解： 设，由题意知，，，，        所以， 因为，所以当时，，              所以. (3) 小问详解： 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为，，，，， 联立直线与的方程，得 消去并整理，得， 所以，，，        所以.        联立直线与双曲线的方程，得 消去并整理，得， 由题意知，，，， 因为过且与双曲线的右支交于两点，所以，所以， 所以，        所以，        若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 83．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆的定义，以及的范围，转化为二次函数求值域. 【详解】 由题意知，，所以， 设，则，由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为． 故答案为： 84．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】 由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：． 85．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】 如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由 ，得 ， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 86．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. （1）若点在第一象限内，且，求点的坐标； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由可得P点在一个圆上，联立椭圆方程可得点的坐标； （2）由椭圆的定义知，再结合条件可得焦点三角形三边长，由余弦定理和同角关系可求出，再由面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，    联立 ，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）. 所以点的坐标为. (2) 小问详解： 因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又， 所以，. 在中，由余弦定理得. 再由同角三角函数关系式可得，， 所以. 故的面积为. 87．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的右焦点为为椭圆上的动点，点在以为直径的圆上，若的最大值为3（为坐标原点），则椭圆的短轴长　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，利用的最大值建立等式，而分别为和的中点，得到，从而得到的等式计算得解. 【详解】 设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，则的最大值为， 而分别为和的中点，所以， 从而，故， 故椭圆的短轴长为． 故答案为：. 88．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1）；     （2）①；②3.      【分析】 （1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）① 设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；② 利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. (1) 小问详解： 设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此 ，解得 ，， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： ①由（1）知点，设直线的方程为，， 由 消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 89．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是　　　　　． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是　　　　　． 【答案】① 2    ② 或 【分析】 （1）若，曲线，表示对角线长为2的正方形，可得曲线围成的图形的面积是2； （2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，时，曲线与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论. 【详解】 （1）若，曲线，易知曲线关于轴，轴对称， 作出当，时的图象，根据对称性得到曲线的图象如下图： 曲线表示对角线长为2的正方形， 故曲线围成的图形的面积是2； （2）由（1）可知，曲线表示对角线长为的正方形， 因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1， 所以当时，曲线与椭圆有四个不同的交点； 当，时，联立 ， 可得， 当时，直线与椭圆相切， 此时，，， 根据曲线的对称性知，此时曲线与椭圆有四个不同的交点， 所以或. 故答案为：2；或. 90．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，为坐标原点.椭圆上一点在第一象限，点与点关于原点对称，连接，并延长与椭圆交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1）     （2） 证明：由椭圆的方程得，， 设，，则， 由题意得直线斜率不为零，设直线的方程为， 联立 得， 显然，，， 所以 ， 所以为定值3.      【分析】 （1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆顶点和焦点的坐标公式进行求解即可； （2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 91．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）根据椭圆的定义和离心率可求得，进而可得到椭圆方程. （2）方法一：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式（）即可求出面积的最大值；方法二：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式()即可求出面积的最大值. (1) 小问详解： 由椭圆的定义可得，则， 因为，∴，则， 因此，椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意知直线l斜率显然不为0，故设为，点、， 联立 可得， ，得， 由韦达定理可得，， 法一：由弦长公式可得， 又点O到直线的距离为， 因此，， 设（），， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，面积的最大值为1. 法二： 设（）， ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最大面积为1. 92．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求的面积． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用椭圆定义求出a，再结合离心率求出半焦距即可求解作答. （2）由（1）中信息求出直线AB的方程，与椭圆方程联立求出点A，B纵坐标差的绝对值作答. (1) 小问详解： 依题意，的周长为， 解得，而离心率，则椭圆半焦距，， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 由（1）知，，，由对称性不妨令， 则直线的方程为， 由 消去并整理得，解得，，，， 所以的面积. 93．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值．求出切线方程，再利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】 取椭圆上任意一点， 易知当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值． 设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得 ， 消去得， 令，解得， 由图可知，当时，点到直线的距离最大，最大值为.    故答案为：. 94．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1）     （2）或     （3）根据题意画出图像为： 由① ② 可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据焦点坐标和离心率条件，求出椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程组，利用韦达定理化简求解直线方程. （3）首先根据题意确定点的坐标，然后设出直线的方程，联立直线与椭圆方程组，利用韦达定理化简求出直线的方程，进而可看出该直线过定点. (1) 小问详解： 由题意可得 解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程 得. 当时，. 由根与系数的关系知，① ，②. 因为是的中点，所以，结合① 解得. 代入② ，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. (3) 小问详解： 略 95．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为. （1）求椭圆C的方程； （2）若B为椭圆C的上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解； （2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解． (1) 小问详解： 解：因为的周长为，所以，即， 又离心率，所以，， 所以， 故椭圆的方程为． (2) 小问详解： 解：由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，，， 联立 ，得， 所以 ，， 因为点为， 所以直线的方程为，所以点，， 直线的方程为，所以点，， 所以，即为定值． 96．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； (2) 小问详解： 如图所示，    不妨令直线，， 联立 ，得， 所以，解得， 又 ， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以. 【点睛】 关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解决解析几何的基本功，需要大量的训练和练习. 97．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）点P是圆上一动点，直线，，Q为垂足，M是中点，求M的轨迹方程，并指出它是什么图形． 【答案】M的轨迹方程为，长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆. 【分析】 设出中点，利用几何关系建立M与点P坐标的关系，代入圆方程整理即可得出M的轨迹方程. 【详解】    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入,得， 即. 故M的轨迹方程为，M的轨迹是长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆. 98．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. （1）若，求； （2）设点，求的最小值与最大值. 【答案】（1）；     （2）最小值为，最大值为.      【分析】 （1）根据椭圆的定义求解； （2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解. (1) 小问详解： 依题意得：， 根据椭圆定义可得：， 已知，联立以下两个方程： ， 将两式相加，得，因此； (2) 小问详解： 椭圆右焦点的坐标为，左焦点； 根据椭圆定义，，因此， 代入，得：， 对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号； 因为， 所以，代入， 得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得；  最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得. 99．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程； 设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积． (1) 小问详解： 椭圆的焦点为，， 半焦距， 椭圆的右焦点到上顶点的距离为， ， 椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设，， 过且斜率为的直线方程为：， 代入椭圆的方程，化简可得， ， 则， . 100．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的离心率为，则实数　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 根据给定条件，按椭圆的焦点位置，结合离心率的意义分类求解. 【详解】 由椭圆，得，且， 当焦点在轴上时，，即时，，则； 当焦点在轴上时，，即时，，则， 所以或. 故答案为：或 101．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. (1) 小问详解： 解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． (2) 小问详解： 解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 102．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知求出得方程； （2）设直线，由求出，根据弦长公式求. (1) 小问详解： 因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． (2) 小问详解： 如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由 可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 103．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由椭圆定义得，再结合乘一法即可求解. 【详解】 因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 104．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 105．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. （1）求的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意列式求，即可得方程； （2）利用余弦定理可得，设，利用面积和方程运算求解即可； （3）联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系分析求解即可. (1) 小问详解： 设，则，且， 由题意可知： ，解得 ， 所以椭圆的标准方程. (2) 小问详解： 由（1）可知：，且， 由余弦定理可得， 即，解得， 设， 由的面积可得， 即，解得， 且，则，可得， 所以点的坐标为. (3) 小问详解： 因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程 ，消去x可得， 则， 可得， 则的面积为，解得（负值舍去）， 所以的值为. 106．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆G：（）的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆G上,且满足.当b变化时，的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用椭圆的定义得到点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上，再联立原椭圆方程得到的表达式，然后可求最小值. 【详解】    由题可知， 所以点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为C：（）. 联立 ， 即 ，即 ， 两式相加可得, 则, 当时,的最小值为4,即的最小值为2. 故答案为：2. 107．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的一个顶点为，离心率为 （1）求椭圆的方程 （2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标 【答案】（1）； （2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，， ，则， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立： ， 得， 设，，，，有 则 将式代入化简可得：，即， 直线，恒过定点. 【分析】 （1）利用椭圆过点，以及离心率为．求出，，即可得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立： ，得，设，，，，利用韦达定理以及，得到与的关系，然后求解直线，恒过定点． 【详解】 解：（1）椭圆过点， 可得，且离心率为．，解得， 所求椭圆方程为： （2）略 【点睛】 方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 108．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过的左、右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且． ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②四边形面积的最大值． 【答案】（1）     （2） ① 设，，根据椭圆的对称性，有， 因为，都在椭圆上， 所以，. 两式相减得，， 为定值，故得证； ②6      【分析】 （1）由题可得，，据此可得椭圆方程； （2）① 设，，由对称性可得，然后利用三点都在椭圆上结合点差法可完成证明；② 当的倾斜角不为时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得关于的表达式，据此可得答案. (1) 小问详解： 因，分别是椭圆的左、右焦点，依题意，轴， 又因为，，所以，则，代入， 可得， 即，解得，      则椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 当的倾斜角为时，与重合，舍去； 当的倾斜角不为时，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，，        设直线的方程为，代入，得， 显然，则，．        所以，        设，所以． 所以．当且仅当即，即时等号成立， 所以． 所以平行四边形面积的最大值为． 109．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在点      【分析】 （1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 . 所以的方程为. (2) 小问详解： 设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. (3) 小问详解： 存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由 得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值. 110．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的左顶点为，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上任意一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）     （2）最大值为，点坐标为      【分析】 （1）根据左顶点得到，将已知点代入椭圆，计算求解； （2）求出直线的方程为，设与直线平行且与椭圆相切且与直线距离比较远时的直线为，切点为，此时面积最大，通过将此直线和椭圆联立方程组，消元，得到判别式，从而得到直线的方程和点横坐标，求出得到点坐标，求出此时点到直线的距离，利用两点间距离公式求出，从而得到面积的最大值. (1) 小问详解： 由题意知： ，解得 ， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以直线的斜率， 故直线的方程为， 设与直线平行的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切且与直线距离比较远时，直线与椭圆的切点为， 此时面积最大， 由 得， 判别式，由得， 故直线方程为， 所以点横坐标为，从而， 所以点坐标为， 此时点到直线的距离， 而， 所以面积的最大值为， 此时点坐标为. 111．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇. （1）证明：曲线为有公共焦点的椭圆； （2）对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； （3）过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 【答案】（1） 根据椭圆性质，设椭圆E：（）的焦点为，， 其中.因为， 所以在：中， 所以为焦点在x轴的椭圆，又， 所以曲线为有公共焦点的椭圆.     （2）不存在，理由如下： 设点，曲线过点P要满足， 整理得① 记， 若存在两个不同的k使曲线过点P，需满足① 式有两个小于的不同解， 设① 式有的两根为，，则，， 因为点P在椭圆E外，所以，， 得， 又 ， 故和不会同时成立. 又，故不存在两个不同的k使曲线过点P，只存在一个满足条件的P.     （3） 当点在坐标轴上时，明显点G始终在一条定直线上. 当点不在坐标轴上时，可设点，， 可知，① 且，② ① －② 得，， 因为线段MN的中点为G，可设，则，， 即， 又过M，N的直线方程为，所以， 综上，. 可知点与原点连线斜率为定值. 所以对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上.      【分析】 （1）根据椭圆的定义进行证明即可. （2）先化简椭圆方程变为，然后若存在两个不同的k使曲线过点P，判断是否有满足① 式有两个小于的不同解. （3）设点，，代入椭圆方程，结合中点坐标公式即可证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 112．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积的最大值； 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据离心率及椭圆所过的点列方程求参数值，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得到面积关于参数的表达式，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得，椭圆的方程为； (2) 小问详解： 由（1），设直线，    联立 ，得且，故， ， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. 113．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为      【分析】 （1）在中利用正弦定理可得：，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得，        则，             \ 则，又因为椭圆C的右顶点为，故，        所以，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，将代入， 得，        则恒成立，        .        （i）若，则有，解得或. 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则.        （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为，        假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得               ，        所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 114．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，，        故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为| EF| _ =2√3+(1) /(1+1)=√14. (3) 小问详解： 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 115．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）过定点，坐标为.      【分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，计算可得； （2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点. (1) 小问详解： 由题知， ，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）设，则， 联立 消去整理得， 则，， 所以， 若，则， 因为的横坐标大于的横坐标，所以， 所以， 所以. （ii）过定点，证明如下： 由上可知， 所以直线的方程为， 令，得 ， 所以直线过定点. 116．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于不同两点、，且满足，为坐标原点，并且在斜率存在时，不等于，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆上是否存在点（异于点、），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）① 是； ② 设，则， 若两点在直线同侧，由于， 则点到三边的距离等于对应边上的高的， 故为的重心，则 ， 由① 已得：, 则， ， 则，代入，可得，即， 又，联立后无解， 此时椭圆C上不存在点M，满足； 若两点在直线异侧，设， 由于，则， 则，则，即， 则点到直线的距离相等，则为的中点， 同理，因，则为的中点，则， 则， ， 即，代入，可得，即， 又，联立后无解， 此时椭圆C上不存在点M，满足； 综上，椭圆C上不存在点M，满足. 【分析】 （1）根据题意列出方程组即可； （2）① 分斜率不存在和斜率存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程，联立方程组，根据得出，再代入中化简即可； ② 若设，若两点在直线同侧，根据题意可得为的重心，若两点在直线异侧，根据题意可得四边形为平行四边形，分别根据重心坐标公式和中点坐标公式结合韦达定理得出点坐标，代入椭圆方程中与联立求解. (1) 小问详解： 由题意可得，，，， 得， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： ① 若直线的斜率不存在，则，因，则，， 此时； 若直线的斜率存在，则设， 与联立得 则，， 则 ， 则， 因，则， 则， 则 ， 故是定值，定值为； ② 略 117．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1）     （2）最大值为，最小值为     （3）      【分析】 （1）根据题意求出即可得解； （2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案. (1) 小问详解： 由题意得， 因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设与直线平行且与椭圆相切直线方程为， 联立 ，消得， 则，解得， 平行直线与的距离， 所以， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为； (3) 小问详解： 由题意可得直线的斜率不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立 ，消得， 设， 则， 则， 直线之间的距离， 则四边形的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以， 由椭圆的对称性可得四边形的面积， 所以四边形的面积的取值范围为. 118．（2026·河北承德第二中学·联考）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1）     （2）① 依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由 消去x整理得， 则， ，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②      【分析】 （1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. (1) 小问详解： 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． (2) 小问详解： ① 略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（       ） A.  B.  C. 1 D.  2．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（     ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 3．（25-26学年高二上·河北保定·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·河北衡水·三调）椭圆的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·河北衡水·三调）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  8．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）长轴长是短轴长的倍，且经过点的椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 9．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（    ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（       ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C.  D. 的周长为14 11．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，则的值可以为（     ） A.  B.  C. 2 D.  12．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（       ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 13．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）下列四个椭圆中，椭圆的形状最接近圆的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为8，则四边形面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 2 16．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知和是椭圆的两个焦点，过焦点的直线交椭圆于两点，则三角形的周长为（     ） A. 16 B. 6 C. 5 D. 11 17．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（2026·河北承德第二中学·联考）若椭圆的短轴长是焦距的倍，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 22．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（       ） A. (0，＋∞) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (0，1) 23．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）已知椭圆的上顶点为B，O为坐标原点，点，线段与交于点，点在线段上，且，若直线与圆相交，则的离心率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）（多选）月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（            ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 26．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（     ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 28．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）（多选）已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（       ） A. 的面积是 B. 的内切圆的半径为 C. 点M的纵坐标为2 D. 若点P是C上的一动点，则的最大值为6 30．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（       ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为2 D. 的最大值为16 31．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）“曲线表示椭圆”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 35．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆：，若过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则 A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 40．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（       ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 43．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 44．（25-26学年高二上·河北保定·期中）如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为 46．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（     ） A. 或 B.  C.  D.  48．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）在椭圆：与椭圆：中，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 49．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. ，满足的点P有两个 B. ，满足的点P有四个 C. 的面积小于等于 D. 的周长小于 50．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，，求椭圆的离心率（       ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  53．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）（多选）已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（       ） A.  B.  C. 记直线的斜率为，可得 D. 记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为 54．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  55．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）（多选），为平面内两个定点，l为一定直线，，以下动点P的轨迹不能判定是椭圆的有（     ） A. 为大于0的常数 B. 直线，的斜率之积为小于0的常数 C. 直线，的斜率的商为大于1的常数 D. 点P到l的距离为d，为小于1的正常数 56．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 57．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（       ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 58．（25-26学年高二上·河北石家庄第一中学·期中）（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（       ） A.  B. 的离心率为 C.  D.  59．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）（多选）已知，，是满足的动点的轨迹，是以，为焦点的椭圆，下列说法正确的是（     ） A. 与轴有2个公共点 B. 若，有2个公共点在轴上，则的方程为 C. 若为，的公共点，且，则的长轴长为 D. 点到原点距离的最大值为 60．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（       ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 61．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则　　　　　　. 62．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）椭圆的一个焦点是，那么等于　　　　　　　　． 63．（2026·河北承德第二中学·联考）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则　　　　　　　　． 64．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为1的直线交椭圆与两点,求的长． 65．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形，求椭圆的标准方程 66．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　　　　　　　. 67．（25-26学年高二上·河北强基联盟·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 68．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 69．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则　　　　　　　　　　． 70．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 71．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　　　　　. 72．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是　　　　　　. 73．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为　　　　　　　　　　. 74．（25-26学年高二上·河北张家口第二中学·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： （1）椭圆C的标准方程． （2）过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 75．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于　　　　　　. 76．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点(2，)，； （2）过点(，)，且与椭圆有相同的焦点． 77．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设向量，满足.求动点的轨迹的方程　　　　　　　　. 78．（2026·河北衡水·三调）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值； (2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 79．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十二中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点的横坐标为2，求的长; （2）设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 80．（25-26学年高二上·河北石家庄第二中学·期中）已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 81．（25-26学年高二上·河北唐山开滦第一中学·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 82．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 83．（25-26学年高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 84．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为　　　　　． 85．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为　　　　　　　　　　. 86．（25-26学年高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. （1）若点在第一象限内，且，求点的坐标； （2）若，求的面积. 87．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的右焦点为为椭圆上的动点，点在以为直径的圆上，若的最大值为3（为坐标原点），则椭圆的短轴长　　　　　　　　　　　． 88．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 89．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是　　　　　． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是　　　　　． 90．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，为坐标原点.椭圆上一点在第一象限，点与点关于原点对称，连接，并延长与椭圆交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 91．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值. 92．（25-26学年高二上·河北五校联合教·期中）已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求的面积． 93．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为　　　　　　． 94．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 95．（25-26学年高二上·河北石家庄第四十三中学·期中）已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，且的周长为. （1）求椭圆C的方程； （2）若B为椭圆C的上顶点，过的直线与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线BP与x轴交于点M，直线BQ与x轴交于点N，判断是否为定值.若是，求出定值，若不是，请说明理由. 96．（25-26学年高二上·河北唐山第二中学·期中）已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 97．（25-26学年高二上·河北秦皇岛第三中学·期中）点P是圆上一动点，直线，，Q为垂足，M是中点，求M的轨迹方程，并指出它是什么图形． 98．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. （1）若，求； （2）设点，求的最小值与最大值. 99．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积． 100．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的离心率为，则实数　　　　　　　　　　　. 101．（25-26学年高二上·河北承德双滦区实验中学·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）求的取值范围． 102．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 103．（25-26学年高二上·河北衡水武强中学·期中）已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，则的最小值为　　　　　　　　　　. 104．（25-26学年高二上·河北保定·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 105．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. （1）求的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 106．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆G：（）的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆G上,且满足.当b变化时，的最小值为　　　　　　　　　　. 107．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的一个顶点为，离心率为 （1）求椭圆的方程 （2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标 108．（25-26学年高二上·河北张家口·期中）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过的左、右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且． ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②四边形面积的最大值． 109．（25-26学年高二上·河北邢台·期中）已知椭圆经过，两点. （1）求的方程. （2）若点，是上一动点，求的最小值. （3）若直线与交于与点不重合的，两点，且在以为直径的圆上，，垂足为，判断是否存在点，使得为定值.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 110．（25-26学年高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的左顶点为，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上任意一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 111．（25-26学年高二上·河北名校联考·期中）在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇. （1）证明：曲线为有公共焦点的椭圆； （2）对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由； （3）过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上. 112．（25-26学年高二上·河北石家庄第二十四中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积的最大值； 113．（25-26学年高二上·河北保定·期中）（多选）已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 114．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 115．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的右顶点为，离心率为. （1）求的方程. （2）设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率. （ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 116．（25-26学年高二上·河北衡水中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于不同两点、，且满足，为坐标原点，并且在斜率存在时，不等于，则： ①的面积是否为定值？ ②椭圆上是否存在点（异于点、），满足，如果存在，请判断的形状；如果不存在，请说明理由. 117．（25-26学年高二上·河北保定·期中）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值； （3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 118．（2026·河北承德第二中学·联考）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．A 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C 9．C 10．C 11．AC 12．B 13．D 14．D 15．A 16．A 17．D 18．B 19．B 20．A 21．B 22．D 23．B 24．C 25．ACD 26．A 27．C 28．A 29．ABD 30．BCD 31．B 32．B 33．C 34．A 35．A 36．A 37．B 38．B 39．ACD 40．B 41．C 42．C 43．ABD 44．B 45．ABD 46．A 47．D 48．C 49．ACD 50．B 51．A 52．C 53．ACD 54．B 55．ABC 56．ABD 57．C 58．ACD 59．BCD 60．ACD 61．【答案】 【分析】 由椭圆的标准方程即可得到答案. 【详解】 由已知知椭圆的焦点在轴上，且半焦距，则 ，解得. 故答案为：. 62．【答案】1 【分析】 根据椭圆的方程可得，结合焦点和公式建立关于k的方程，解之即可求解. 【详解】 由，得， 又椭圆的一个焦点为，所以，且， 由，得，解得. 故答案为：1 63．【答案】 【分析】 利用椭圆的定义可求得. 【详解】 在椭圆中，， 因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上， 由椭圆的定义可得，故. 故答案为：. 64．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1) 根据离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，结合性质   ，列出关于， ，的方程组，求出，，即可得结果；（2）直线与所求方程联立，根据韦达定理，弦长公式可得. (1) 小问详解： 由 ，得 ， 椭圆方程为. (2) 小问详解： 由题，直线的方程为，设， 由 ，得， 根据韦达定理得 . 65．【答案】 【分析】 由题意，得到关于椭圆参数的方程组，解出即可. 【详解】 由题意知： ，解得，    所以椭圆的标准方程. 66．【答案】或 【分析】 分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论，用待定系数法求出椭圆的方程. 【详解】 由题意，椭圆的焦距是6，可得，即， 又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即， 则， 当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为. 故答案为：或 67．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. (1) 小问详解： 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程 ， 可得，解得：，. 所以 68．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设在轴上的截距为，的方程为，结合条件，利用直线与椭圆位置关系，联立方程即可求解. (1) 小问详解： 由题意知 ，解得，， 所以的标准方程为． (2) 小问详解： 设在轴上的截距为，则的方程为，    由 ，消去得 因为直线与椭圆有交点，所以，解得， 所以的取值范围为． 69．【答案】 【分析】 根据条件，列出关于的方程，即可求解. 【详解】 设椭圆C的半焦距为，则结合，可得， 因为C的右焦点为，所以，所以， 所以，即，则. 故答案为：. 70．【答案】（1）     （2）①；②．      【分析】 （1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． (2) 小问详解： 联立 得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ② 因为，所以，解得． ． 71．【答案】 【分析】 根据题意得出以原点为圆心、以c为半径的圆与椭圆有交点，即，从而结合，即可求出椭圆离心率e的取值范围. 【详解】 因为椭圆上存在点P，使， 所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆必有交点， 如图，，所以，又因为，所以， 即，则，又因为， 所以， 所以椭圆的离心率e的取值范围为.    故答案为：. 72．【答案】 【分析】 根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】 由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 73．【答案】 【分析】 设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】 设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 74．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆的相关概念，求出参数，写出椭圆的标准方程即可. （2）根据直线点斜式方程，以及直线与椭圆的位置关系，联立方程组，求出交点坐标，求出三角形面积即可 (1) 小问详解： 由题意知，所以， 所以椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 如图所示，过点F且斜率为1的直线l方程为， 可得 ，消去得，解得或， 则交点坐标为 则. 75．【答案】36 【分析】 分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】 若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 76．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分类讨论焦点在x轴上、焦点在y轴上，将点坐标代入椭圆方程联立求解或者设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，待定系数求解，即得解； （2）可分析得焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，代入点坐标，结合焦点坐标，联立即得解 【详解】 （1）方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)． 由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)． 由已知条件得 解得       则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为. 方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将两点(2，)，代入， 得 解得 所以所求椭圆的标准方程为 （2）因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为 (a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点在椭圆上，所以， 即.② 由① ② 得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 77．【答案】 【分析】 根据向量模长的坐标表示及已知有，结合其几何意义和椭圆的定义确定轨迹方程即可. 【详解】 由题设， 所以其几何意义是动点到点的距离之和为4，又， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以对应椭圆参数为，故所求的轨迹方程为. 故答案为： 78．【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）由条件得到m=2k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦长公式|AB|，代入整理，解得． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由条件结合韦达定理得到3m2=8k2+8．利用点O到直线AB的距离公式求得d2=，从而得到定值． 【详解】（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立   整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=， 代入整理得，解得k2=1.∴． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2=，x1x2=．   以AB为直径的圆过原点O，即． ∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．          将x1+x2=，x1x2=代入， 整理得3m2=8k2+8．设点O到直线AB的距离为d， 于是d2=， 故O到直线AB的距离是定值为． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力，属于中档题． 79．【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，      【分析】 （1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得. （2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围. （3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得. (1) 小问详解： 设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. (2) 小问详解： 设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. (3) 小问详解： 设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由 消去得， 则 ，即 ，而，解得，， 由，得，所以. 【点睛】 思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 80．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，利用弦长列方程，由此求得的值. (1) 小问详解： 依题意， ，解得， 故E的方程为． (2) 小问详解： ，联立 ， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 81．【答案】（1）     （2）① 证明：由 消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ② 不存在，理由如下： 假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则 ， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 【分析】 （1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可； （2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点P坐标代入椭圆方程可得出，与矛盾，从而得出结论． (1) 小问详解： 由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． (2) 小问详解： ① 略 ② 略 82．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）代入点，再根据右焦点可得椭圆的方程； （2）的最大值可转化为点到圆心的距离加半径，然后求的最大值即可； （3）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算出，再联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式计算出，利用为定值，可得答案. (1) 小问详解： 由题意得                    解得 所以的方程为. (2) 小问详解： 设，由题意知，，，，        所以， 因为，所以当时，，              所以. (3) 小问详解： 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为，，，，， 联立直线与的方程，得 消去并整理，得， 所以，，，        所以.        联立直线与双曲线的方程，得 消去并整理，得， 由题意知，，，， 因为过且与双曲线的右支交于两点，所以，所以， 所以，        所以，        若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 83．【答案】 【分析】 根据椭圆的定义，以及的范围，转化为二次函数求值域. 【详解】 由题意知，，所以， 设，则，由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为． 故答案为： 84．【答案】 【分析】 根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】 由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：． 85．【答案】9 【分析】 建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】 如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由 ，得 ， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 86．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由可得P点在一个圆上，联立椭圆方程可得点的坐标； （2）由椭圆的定义知，再结合条件可得焦点三角形三边长，由余弦定理和同角关系可求出，再由面积公式，即可求解. (1) 小问详解： 因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，    联立 ，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）. 所以点的坐标为. (2) 小问详解： 因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又， 所以，. 在中，由余弦定理得. 再由同角三角函数关系式可得，， 所以. 故的面积为. 87．【答案】 【分析】 设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，利用的最大值建立等式，而分别为和的中点，得到，从而得到的等式计算得解. 【详解】 设的中点为，椭圆的左焦点为，连接，则的最大值为， 而分别为和的中点，所以， 从而，故， 故椭圆的短轴长为． 故答案为：. 88．【答案】（1）；     （2）①；②3.      【分析】 （1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）① 设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；② 利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. (1) 小问详解： 设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此 ，解得 ，， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： ①由（1）知点，设直线的方程为，， 由 消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 89．【答案】① 2    ② 或 【分析】 （1）若，曲线，表示对角线长为2的正方形，可得曲线围成的图形的面积是2； （2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，时，曲线与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论. 【详解】 （1）若，曲线，易知曲线关于轴，轴对称， 作出当，时的图象，根据对称性得到曲线的图象如下图： 曲线表示对角线长为2的正方形， 故曲线围成的图形的面积是2； （2）由（1）可知，曲线表示对角线长为的正方形， 因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1， 所以当时，曲线与椭圆有四个不同的交点； 当，时，联立 ， 可得， 当时，直线与椭圆相切， 此时，，， 根据曲线的对称性知，此时曲线与椭圆有四个不同的交点， 所以或. 故答案为：2；或. 90．【答案】（1）     （2） 证明：由椭圆的方程得，， 设，，则， 由题意得直线斜率不为零，设直线的方程为， 联立 得， 显然，，， 所以 ， 所以为定值3.      【分析】 （1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆顶点和焦点的坐标公式进行求解即可； （2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 91．【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）根据椭圆的定义和离心率可求得，进而可得到椭圆方程. （2）方法一：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式（）即可求出面积的最大值；方法二：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式()即可求出面积的最大值. (1) 小问详解： 由椭圆的定义可得，则， 因为，∴，则， 因此，椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意知直线l斜率显然不为0，故设为，点、， 联立 可得， ，得， 由韦达定理可得，， 法一：由弦长公式可得， 又点O到直线的距离为， 因此，， 设（），， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，面积的最大值为1. 法二： 设（）， ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最大面积为1. 92．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用椭圆定义求出a，再结合离心率求出半焦距即可求解作答. （2）由（1）中信息求出直线AB的方程，与椭圆方程联立求出点A，B纵坐标差的绝对值作答. (1) 小问详解： 依题意，的周长为， 解得，而离心率，则椭圆半焦距，， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 由（1）知，，，由对称性不妨令， 则直线的方程为， 由 消去并整理得，解得，，，， 所以的面积. 93．【答案】 【分析】 取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值．求出切线方程，再利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】 取椭圆上任意一点， 易知当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值． 设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得 ， 消去得， 令，解得， 由图可知，当时，点到直线的距离最大，最大值为.    故答案为：. 94．【答案】（1）     （2）或     （3）根据题意画出图像为： 由① ② 可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据焦点坐标和离心率条件，求出椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程组，利用韦达定理化简求解直线方程. （3）首先根据题意确定点的坐标，然后设出直线的方程，联立直线与椭圆方程组，利用韦达定理化简求出直线的方程，进而可看出该直线过定点. (1) 小问详解： 由题意可得 解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程 得. 当时，. 由根与系数的关系知，① ，②. 因为是的中点，所以，结合① 解得. 代入② ，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. (3) 小问详解： 略 95．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用椭圆的定义可得，而离心率，解方程组，即可得解； （2）设直线的方程为，将其与椭圆的方程联立，由，，三点的坐标写出直线，的方程，进而知点，的坐标，再结合韦达定理，进行化简，即可得解． (1) 小问详解： 解：因为的周长为，所以，即， 又离心率，所以，， 所以， 故椭圆的方程为． (2) 小问详解： 解：由题意知，直线的斜率一定不可能为0，设其方程为，，，，， 联立 ，得， 所以 ，， 因为点为， 所以直线的方程为，所以点，， 直线的方程为，所以点，， 所以，即为定值． 96．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； (2) 小问详解： 如图所示，    不妨令直线，， 联立 ，得， 所以，解得， 又 ， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以. 【点睛】 关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解决解析几何的基本功，需要大量的训练和练习. 97．【答案】M的轨迹方程为，长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆. 【分析】 设出中点，利用几何关系建立M与点P坐标的关系，代入圆方程整理即可得出M的轨迹方程. 【详解】    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入,得， 即. 故M的轨迹方程为，M的轨迹是长轴长为2，短轴长为1，焦点在y轴上的椭圆. 98．【答案】（1）；     （2）最小值为，最大值为.      【分析】 （1）根据椭圆的定义求解； （2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解. (1) 小问详解： 依题意得：， 根据椭圆定义可得：， 已知，联立以下两个方程： ， 将两式相加，得，因此； (2) 小问详解： 椭圆右焦点的坐标为，左焦点； 根据椭圆定义，，因此， 代入，得：， 对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号； 因为， 所以，代入， 得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得；  最大值：当在的延长线与椭圆的交点时取得. 99．【答案】（1）     （2）      【分析】 根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程； 设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积． (1) 小问详解： 椭圆的焦点为，， 半焦距， 椭圆的右焦点到上顶点的距离为， ， 椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设，， 过且斜率为的直线方程为：， 代入椭圆的方程，化简可得， ， 则， . 100．【答案】或 【分析】 根据给定条件，按椭圆的焦点位置，结合离心率的意义分类求解. 【详解】 由椭圆，得，且， 当焦点在轴上时，，即时，，则； 当焦点在轴上时，，即时，，则， 所以或. 故答案为：或 101．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. (1) 小问详解： 解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． (2) 小问详解： 解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 102．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知求出得方程； （2）设直线，由求出，根据弦长公式求. (1) 小问详解： 因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． (2) 小问详解： 如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由 可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 103．【答案】 【分析】 由椭圆定义得，再结合乘一法即可求解. 【详解】 因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以，由椭圆定义可得. 所以， 当且仅当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 104．【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 105．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意列式求，即可得方程； （2）利用余弦定理可得，设，利用面积和方程运算求解即可； （3）联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系分析求解即可. (1) 小问详解： 设，则，且， 由题意可知： ，解得 ， 所以椭圆的标准方程. (2) 小问详解： 由（1）可知：，且， 由余弦定理可得， 即，解得， 设， 由的面积可得， 即，解得， 且，则，可得， 所以点的坐标为. (3) 小问详解： 因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程 ，消去x可得， 则， 可得， 则的面积为，解得（负值舍去）， 所以的值为. 106．【答案】2 【分析】 利用椭圆的定义得到点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上，再联立原椭圆方程得到的表达式，然后可求最小值. 【详解】    由题可知， 所以点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为C：（）. 联立 ， 即 ，即 ， 两式相加可得, 则, 当时,的最小值为4,即的最小值为2. 故答案为：2. 107．【答案】（1）； （2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，， ，则， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立： ， 得， 设，，，，有 则 将式代入化简可得：，即， 直线，恒过定点. 【分析】 （1）利用椭圆过点，以及离心率为．求出，，即可得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立： ，得，设，，，，利用韦达定理以及，得到与的关系，然后求解直线，恒过定点． 【详解】 解：（1）椭圆过点， 可得，且离心率为．，解得， 所求椭圆方程为： （2）略 【点睛】 方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 108．【答案】（1）     （2） ① 设，，根据椭圆的对称性，有， 因为，都在椭圆上， 所以，. 两式相减得，， 为定值，故得证； ②6      【分析】 （1）由题可得，，据此可得椭圆方程； （2）① 设，，由对称性可得，然后利用三点都在椭圆上结合点差法可完成证明；② 当的倾斜角不为时，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得关于的表达式，据此可得答案. (1) 小问详解： 因，分别是椭圆的左、右焦点，依题意，轴， 又因为，，所以，则，代入， 可得， 即，解得，      则椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： ① 略 ② 当的倾斜角为时，与重合，舍去； 当的倾斜角不为时，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，，        设直线的方程为，代入，得， 显然，则，．        所以，        设，所以． 所以．当且仅当即，即时等号成立， 所以． 所以平行四边形面积的最大值为． 109．【答案】（1）     （2）     （3）存在点      【分析】 （1）将，两点坐标代入椭圆方程，可求得，从而得到椭圆的方程； （2）设，由两点间距离公式和椭圆方程联立可将表示成关于的函数，从而求得其最小值； （3）分斜率存在和不存在两种情况，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及向量垂直的坐标表示，得直线过定点，由此点在以为直径的圆上，即的中点到点D的距离为定值.所以存在定点，使得为定值. (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 . 所以的方程为. (2) 小问详解： 设.由，得， 则， 当时，取得最小值，最小值为. (3) 小问详解： 存在点，使得为定值.理由如下： 当的斜率存在时，设点，，. 由 得，得 由题意得，则， 所以 ， 化简得. 因为不在直线上，所以， 所以，即， 则的方程为， 故直线过定点. 当的斜率不存在时，设点，得， 则. 由，得，得或（舍去）. 故方程为：，经过点. 综上，直线过定点. 令为的中点，则，点在以为直径的圆上. 当与重合时，，当与不重合时，. 故存在点，使得为定值. 110．【答案】（1）     （2）最大值为，点坐标为      【分析】 （1）根据左顶点得到，将已知点代入椭圆，计算求解； （2）求出直线的方程为，设与直线平行且与椭圆相切且与直线距离比较远时的直线为，切点为，此时面积最大，通过将此直线和椭圆联立方程组，消元，得到判别式，从而得到直线的方程和点横坐标，求出得到点坐标，求出此时点到直线的距离，利用两点间距离公式求出，从而得到面积的最大值. (1) 小问详解： 由题意知： ，解得 ， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以直线的斜率， 故直线的方程为， 设与直线平行的直线的方程为， 则当直线与椭圆相切且与直线距离比较远时，直线与椭圆的切点为， 此时面积最大， 由 得， 判别式，由得， 故直线方程为， 所以点横坐标为，从而， 所以点坐标为， 此时点到直线的距离， 而， 所以面积的最大值为， 此时点坐标为. 111．【答案】（1） 根据椭圆性质，设椭圆E：（）的焦点为，， 其中.因为， 所以在：中， 所以为焦点在x轴的椭圆，又， 所以曲线为有公共焦点的椭圆.     （2）不存在，理由如下： 设点，曲线过点P要满足， 整理得① 记， 若存在两个不同的k使曲线过点P，需满足① 式有两个小于的不同解， 设① 式有的两根为，，则，， 因为点P在椭圆E外，所以，， 得， 又 ， 故和不会同时成立. 又，故不存在两个不同的k使曲线过点P，只存在一个满足条件的P.     （3） 当点在坐标轴上时，明显点G始终在一条定直线上. 当点不在坐标轴上时，可设点，， 可知，① 且，② ① －② 得，， 因为线段MN的中点为G，可设，则，， 即， 又过M，N的直线方程为，所以， 综上，. 可知点与原点连线斜率为定值. 所以对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上.      【分析】 （1）根据椭圆的定义进行证明即可. （2）先化简椭圆方程变为，然后若存在两个不同的k使曲线过点P，判断是否有满足① 式有两个小于的不同解. （3）设点，，代入椭圆方程，结合中点坐标公式即可证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 112．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据离心率及椭圆所过的点列方程求参数值，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得到面积关于参数的表达式，应用基本不等式求最大值，注意取值条件. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得，椭圆的方程为； (2) 小问详解： 由（1），设直线，    联立 ，得且，故， ， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. 113．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为      【分析】 （1）在中利用正弦定理可得：，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. (1) 小问详解： 因为， 所以由正弦定理得，        则，             \ 则，又因为椭圆C的右顶点为，故，        所以，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，将代入， 得，        则恒成立，        .        （i）若，则有，解得或. 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则.        （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为，        假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得               ，        所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 114．【答案】（1）     （2）     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，，        故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为| EF| _ =2√3+(1) /(1+1)=√14. (3) 小问详解： 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 115．【答案】（1）；     （2）（i）；（ii）过定点，坐标为.      【分析】 （1）根据题意列出关于的方程组，计算可得； （2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点. (1) 小问详解： 由题知， ，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）设，则， 联立 消去整理得， 则，， 所以， 若，则， 因为的横坐标大于的横坐标，所以， 所以， 所以. （ii）过定点，证明如下： 由上可知， 所以直线的方程为， 令，得 ， 所以直线过定点. 116．【答案】（1）     （2）① 是； ② 设，则， 若两点在直线同侧，由于， 则点到三边的距离等于对应边上的高的， 故为的重心，则 ， 由① 已得：, 则， ， 则，代入，可得，即， 又，联立后无解， 此时椭圆C上不存在点M，满足； 若两点在直线异侧，设， 由于，则， 则，则，即， 则点到直线的距离相等，则为的中点， 同理，因，则为的中点，则， 则， ， 即，代入，可得，即， 又，联立后无解， 此时椭圆C上不存在点M，满足； 综上，椭圆C上不存在点M，满足. 【分析】 （1）根据题意列出方程组即可； （2）① 分斜率不存在和斜率存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程，联立方程组，根据得出，再代入中化简即可； ② 若设，若两点在直线同侧，根据题意可得为的重心，若两点在直线异侧，根据题意可得四边形为平行四边形，分别根据重心坐标公式和中点坐标公式结合韦达定理得出点坐标，代入椭圆方程中与联立求解. (1) 小问详解： 由题意可得，，，， 得， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： ① 若直线的斜率不存在，则，因，则，， 此时； 若直线的斜率存在，则设， 与联立得 则，， 则 ， 则， 因，则， 则， 则 ， 故是定值，定值为； ② 略 117．【答案】（1）     （2）最大值为，最小值为     （3）      【分析】 （1）根据题意求出即可得解； （2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案. (1) 小问详解： 由题意得， 因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设与直线平行且与椭圆相切直线方程为， 联立 ，消得， 则，解得， 平行直线与的距离， 所以， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为； (3) 小问详解： 由题意可得直线的斜率不为零， 设直线的方程为，则直线的方程为， 联立 ，消得， 设， 则， 则， 直线之间的距离， 则四边形的面积， 令，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以， 由椭圆的对称性可得四边形的面积， 所以四边形的面积的取值范围为. 118．【答案】（1）     （2）① 依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由 消去x整理得， 则， ，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②      【分析】 （1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. (1) 小问详解： 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． (2) 小问详解： ① 略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $