第4讲 线段垂直平分线与角平分线 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册

第4讲 线段垂直平分线与角平分线 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质定理与判定定理 理解角平分线的概念，掌握其性质定理与判定定理 能运用线段垂直平分线和角平分线的性质进行计算与证明 了解三角形三边垂直平分线交于一点（外心）、三条角平分线交于一点（内心） 能解决与垂直平分线、角平分线相关的综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线（中垂线）：经过线段中点且垂直于这条线段的直线 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等 概念辨析例题：在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于E、交AC于D。若AC=6，BC=4，求△BCD的周长。 解析：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB。△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=4+6=10。 ☆ 2.角平分线的性质 角平分线：将一个角分成两个相等的角的射线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等 概念辨析例题：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若△ABC面积为21，AB=8，AC=6，求DE的长。 解析：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。S△ABC=S△ABD+S△ACD=·AB·DE+·AC·DF=·DE·(8+6)=7DE=21，∴DE=3。 📋 知识总结表 核心概念 性质定理 判定定理 线段垂直平分线 线上点到线段两端距离相等（PA=PB） 到线段两端距离相等的点在中垂线上 角平分线 线上点到角两边距离相等（PD=PE） 角内部到两边距离相等的点在角平分线上 三角形外心 三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（OA=OB=OC） — 三角形内心 三条角平分线交点，到三边距离相等（PD=PE=PF） — ⚠️ 核心考点 【考点1】线段垂直平分线的性质（第1-17题） 见中垂线→得等腰三角形（DA=DB），实现线段等量代换 周长转化：利用中垂线将三角形周长转化为已知线段之和 两边中垂线交点（外心）到三顶点等距：PA=PB=PC 角度计算：等边对等角，结合三角形内角和求∠EAN等角度 1．（2026春•沈阳期末）如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝6，△ABD的周长是15，则线段AC的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2025秋•崆峒区校级期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 3．（2025秋•柯桥区期末）如图，△ABC的边AB，BC的垂直平分线交于点P，若PA+PB＝18，则PC的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2026春•龙岗区校级期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交站应建在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 5．（2026•碑林区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E，连接BD，△ABC的周长为26，BE＝5，则△BCD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 6．（2026春•银川校级期末）如图，在△ABC中，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，DF，GE分别交边BC点D、E且△ADE的周长为32cm，则BC的长为_______ cm． 7．（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 _______ ． 8．（2026春•天府新区期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为30cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为_________ ． 9．（2026春•夏县期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若BC＝24，则△EAF的周长为_______ ． 10．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是_______ cm． 11．（2026春•灵璧县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是 _____ ． 12．（2026•哈尔滨校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝180°﹣4∠B，过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点N，过点N作ND⊥BC交AB于点D，且AC：BD＝7：3，则下列结论：①∠ACB＝3∠B；②AM＝MN；③；④若BC的长为，则AB的长为．其中正确结论的序号为________ ． 13．（2025秋•薛城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 14．（2026春•市南区校级月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝________ °，∠EAN＝_______ °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝_______ °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系____________________ ． 15．（2026春•市南区校级期中）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 16．（2026春•同步）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，连接AE，DF．求证： （1）∠EAD＝∠EDA； （2）DF∥AC； （3）∠EAC＝∠B． 17．（2026春•西安期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点E、D、M分别在AB、BC、AC上，连接ED、DM、EM，点F、N分别在BD、CD上，连接EF、MN． （1）若EF、MN分别是△BED和△DMC的中线，DF＝2，NC＝8，求BC的长度； （2）若EF、MN分别垂直平分BD、DC，判断ED与MD是否垂直，并说明理由． 【考点2】角平分线（第18-36题） 见角平分线+垂直→得距离相等（DE=DF），用于面积计算 面积法：S△ABD:S△ACD=AB:AC（因高DE=DF） 双角平分线交点（旁心/内心）：到两边延长线距离也相等 角平分线+垂直→构造全等三角形，证明线段和差关系 18．（2025秋•海城市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 19．（2025秋•绥德县期末）如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于点F，若AB＝14，AC＝12，若△BDC的面积是30，则EF的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（2026春•包头期中）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB＝10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 21．（2026•青秀区校级开学）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2026秋•工业园区校级同步）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝（　　） A． B． C． D． 23．（2026•渠县校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC、∠FCA的平分线BP、CP交于点P，延长BA至E，BC至F，PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N，下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（2026春•渠县校级期末）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE＝BF，∠BFD+∠C＝180°，E是AC的中点，若△DCE的面积为3cm2，则△ABC的面积为__________ ． 25．（2025秋•岳阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为_______ ． 26．（2026秋•工业园区校级同步）如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为_____ ． 27．（2025秋•南湖区校级期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则的值为__________________ ． 28．（2025秋•邵东市期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC 于点D，DE⊥AB于点E，已知AB＝5，BC＝4，则△AED的周长_____ ． 29．（2026春•绛县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 _______ ． 30．（2026春•阜新期中）如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝__________ ． 31．（2026春•北碚区月考）如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30，求△ABE的面积． 32．（2026春•福田区校级期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF． （1）证明：AD垂直平分EF． （2）若△ABC面积为36，BC＝12，DE＝4，求△ABC的周长． 33．（2025秋•遵义月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 34．（2026春•城关区校级期末）如图1，两条交叉马路OM，ON中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路OM，ON之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路OM，ON的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置？如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 35．（2026春•衡水校级期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 36．（2026春•同步）已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．求证：点P在∠A的平分线上，且PD＝PE＝PF． 【考点3】创新与压轴题（第37-41题） 平行线+角平分线→内错角相等，构造等腰三角形 动点角度问题：设未知数，利用三角形外角性质列方程 分类讨论：点在三角形内外、旋转方向不同时结论不同 双角平分线夹角模型：∠P=∠A（内外角平分线夹角） 37．（2026春•思明区校级期中）如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB，在直线AB的右侧取一点C，满足∠ABC＝45°，∠BAC＝30°． （1）如图1，若∠NAC＝2∠CBQ，求∠MAB的度数； （2）如图2，在直线MN上方平面内取一点F，直线AF交PQ于点E，使得∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C，求∠F； （3）如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于W，且使得，，当四边形ASWT的一边与BC平行时，直接写出∠MAB的度数． 38．（2026春•杭州期中）数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题． 已知，如图1，这副三角尺有以下特征： ①∠C＝∠F＝90°， ∠A＝∠B＝45°， ∠D＝30°，∠E＝60°； ②点C到AB的距离与点F到DE的距离相等． 请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题： （1）甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数． （2）乙同学：如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E放在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由． （3）丙同学：如图4，三角尺DEF固定不动，转动三角尺ABC的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE的度数（写出所有可能的情况）． 39．（2026春•同步）在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠EAN＝_______ °； （2）如图①，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；如图②，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式； （4）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN的度数与∠B，∠C的关系． 40．（2024秋•伊川县期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】 （1）如图①，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， PA＜PB，请证明这个结论； 【迁移研究】 （2）如图②，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连结AD，BC，CD，试判断BC和AD+CD之间的大小关系，并说明理由． 41．（2026春•苏州期末）如图①，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，点P是∠ACD内部一点．若BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．求证：． 七年级某学习小组经过研讨给出了如下的证明过程： ∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠P＝∠PCD﹣∠PBC． ∴． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴，． ∵∠P＝∠PCD﹣∠PBC， ∴． ∴． （1）如图②，若，．求证：； （2）如图③，∠MON＝90°，射线OA从射线ON的位置开始，绕点O以每秒2°的速度顺时针或逆时针旋转，点B是线段OA上的一点，点C是射线OM上的一点（不与点O重合）．连接BC，在∠BCO内部作射线CD，使得，在∠ABC内部作射线BE，使得，射线BE的反向延长线与射线CD交于点P．设射线OA旋转的时间为t秒（0＜t＜90，且t≠45）： ①当t＝15秒，求∠BPC的度数； ②当45＜t＜90时，∠BPC＝____________________ °．（直接写出答案，用含字母t的代数式表示） 💯 课后巩固 复习建议 线段垂直平分线见「垂直+中点」即可得等腰三角形，优先用等量代换简化周长 角平分线见「平分+垂直」即可得距离相等，面积法是高频考法 记住两个交点：外心到顶点等距（垂直平分线交点），内心到三边等距（角平分线交点） 压轴题中设未知数+三角形外角性质是通法，注意分类讨论 证明角平分线可走「距离相等」路线，证明垂直平分线可走「两点都到两端等距」路线 【作业 1】（2026春•渠县校级期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【作业 2】（2026春•锦江区期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，分别交BC于点D，E，若∠BAC＝120°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【作业 3】（2025秋•富锦市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【作业 4】（2026•义乌市校级开学）如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF+∠EDC﹣∠ADB＝90°．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【作业 5】（2025秋•扬州期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．若S△ABC＝18，DE＝3，AC＝5，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【作业 6】（2025秋•苍南县校级期末）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【作业 7】（2026春•新城区期末）如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线． （1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长； （2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数． 【作业 8】（2025秋•昌黎县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【作业 9】（2026春•白银期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，OB，OC． （1）若△ADE的周长为16cm，△OBC的周长为40cm，求线段BC，OA的长； （2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数． 【作业 10】（2025秋•淮南期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC：BC＝9：7．若BD＝14，求AB的长． 【作业 11】（2025秋•万宁期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数． （2）在（1）的条件下，若△ABC面积为40，AD＝5，求AF的长． 【作业 12】（2026春•中牟县校级期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等． （1）求证：∠BOC＝90°∠BAC； （2）若△ABC的周长为12，面积为18，求点O到△ABC三边的距离． 【作业 13】（2026春•城关区期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，DF＝EF． （1）如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D，E分别在边AB，AC上，连接AF并延长，交BC于点P．求证：AP平分∠BAC． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝8，△ABC的面积为60，求AB的长． 【作业 14】（2026春•西湖区校级期中）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 线段垂直平分线与角平分线 优等生讲义 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质定理与判定定理 理解角平分线的概念，掌握其性质定理与判定定理 能运用线段垂直平分线和角平分线的性质进行计算与证明 了解三角形三边垂直平分线交于一点（外心）、三条角平分线交于一点（内心） 能解决与垂直平分线、角平分线相关的综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线（中垂线）：经过线段中点且垂直于这条线段的直线 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三边的垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等 概念辨析例题：在△ABC中，DE垂直平分AB，交AB于E、交AC于D。若AC=6，BC=4，求△BCD的周长。 解析：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB。△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=4+6=10。 ☆ 2.角平分线的性质 角平分线：将一个角分成两个相等的角的射线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等 概念辨析例题：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若△ABC面积为21，AB=8，AC=6，求DE的长。 解析：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。S△ABC=S△ABD+S△ACD=·AB·DE+·AC·DF=·DE·(8+6)=7DE=21，∴DE=3。 📋 知识总结表 核心概念 性质定理 判定定理 线段垂直平分线 线上点到线段两端距离相等（PA=PB） 到线段两端距离相等的点在中垂线上 角平分线 线上点到角两边距离相等（PD=PE） 角内部到两边距离相等的点在角平分线上 三角形外心 三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（OA=OB=OC） — 三角形内心 三条角平分线交点，到三边距离相等（PD=PE=PF） — ⚠️ 核心考点 【考点1】线段垂直平分线的性质（第1-17题） 见中垂线→得等腰三角形（DA=DB），实现线段等量代换 周长转化：利用中垂线将三角形周长转化为已知线段之和 两边中垂线交点（外心）到三顶点等距：PA=PB=PC 角度计算：等边对等角，结合三角形内角和求∠EAN等角度 1．【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段AC的长． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∵△ABD的周长是15， ∴AB+AD+DB＝15， ∵AB＝6， ∴AD+DB＝15﹣6＝9， ∴AD+DC＝AD+DB＝9， ∴AC＝9． 故选：D． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 2．【分析】由线段垂直平分线的性质得DB＝DA，EA＝EC，则∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE＝80°，于是得到结论． 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝140°， ∴∠BAD+∠CAE＝70°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°． 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，关键是掌握等边对等角． 3．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB，PB＝PC，根据题意计算即可． 【解答】解：∵点P是AB，BC的垂直平分线的交点， ∴PA＝PB，PB＝PC， ∵PA+PB＝18， ∴PA＝PB＝9， ∴PC＝9， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 4．【分析】根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【解答】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握． 5．【分析】由DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E，得AE＝BEAB，AD＝BD，则BD+CD＝AD+CD＝AC，所以BD+CD+BC＝AC+BC，因为BE＝5，所以AB＝2BE＝10，因为AC+BC+AB＝26，所以AC+BC＝16，则BD+CD+BC＝16，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，DE垂直平分AB，DE分别交AC、AB于点D、E， ∴AE＝BEAB，AD＝BD， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC， ∴BD+CD+BC＝AC+BC， ∵BE＝5， ∴AB＝2BE＝10， ∵△ABC的周长为26， ∴AC+BC+AB＝26， ∴AC+BC＝26﹣AB＝26﹣10＝16， ∴BD+CD+BC＝16， ∴△BCD的周长为16， 故选：D． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，推导出BD+CD+BC＝AC+BC是解题的关键． 6．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，CE＝AE，求出BC＝AD+DE+AE即可． 【解答】解： ∵DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∵△ADE的周长为32cm， ∴AD+DE+AE＝32cm， ∴BD+DE+CE＝32cm， 即BC＝32cm， 故答案为：32． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD、AE＝CE是解此题的关键． 7．【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，解题的关键是读懂图象信息． 8．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA＝GB，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵GD是边AB的垂直平分线， ∴GA＝GB， ∵△AGC的周长为30cm， ∴GA+AC+GC＝30cm， ∴GB+AC+GC＝BC+AC＝30cm， ∵AB＝20cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝20+30＝50（cm）， 故答案为：50cm． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9．【分析】由垂直平分线的性质可得AE＝BE，AF＝FC，△EAF的周长可转化为BC的长度． 【解答】解：由垂直平分线的性质定理可得：AE＝BE，AF＝FC， ∴AE+EF+FA＝BE+EF+FC＝BC＝24， ∴△EAF的周长为24． 故答案为：24． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是关键． 10．【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝CD，AF＝BF，得到△BDF的周长＝BC＝10cm． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵F在AB的垂直平分线上， ∴AF＝BF， ∴△BDF的周长＝BD+DF+BF＝BD+DF+AF＝BD+AD＝BD+CD＝BC＝10cm． 故答案为：10． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 11．【分析】先根据AB＝AC，OB＝OC，得出直线AO是线段BC的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【解答】解：∵AB＝AC，OB＝OC， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线， ∴D是BC的中点， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 12．【分析】由已知和三角形的内角和可判定①，由垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理可判定③，再结合勾股定理可判定②和④． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣4∠B，过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点N，过点N作ND⊥BC交AB于点D，设∠B＝α，则∠BAC＝180°﹣4α， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝3α＝3∠B，故①正确； 如图，连接CD， ∵取BC的中点N，过点N作ND⊥BC交AB于点D， ∴DN垂直平分BC， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠DCB＝α， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝2α，∠ADC＝∠B+∠DCB＝2α， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴AC＝AD， ∵∠DNB＝∠M＝90°， ∴DN∥AM， ∴， ∴， ∴故③正确； 设AC＝AD＝7x，BN＝CN＝3m，则BD＝3x、AB＝10x，BM＝10m， ∴MN＝7m，CM＝4m， 在Rt△ACM中，AM2＝AC2﹣16m2①， 在Rt△ABM中，AM2＝100x2﹣100m2②， 由①②得，AC2＝100x2﹣84m2， ∴（7x）2＝100x2﹣84m2， ∴（负值已舍）， ∴（负值已舍）， ∵ ∴AM≠MN，结论②错误； ∵， ∴， ∴， ∵∠M＝90° ∴AC2﹣CM2＝AB2﹣BM2 即， 解得（负值已舍） ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，正确进行计算是解题关键． 13．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键． 14．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C，由三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出∠EAN的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到∠EAN＝180°﹣2∠BAC，即可求出∠EAN的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝32°+36°＝68°． ∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣68°＝112°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：112；44； （2）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC． ∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°， 故答案为：24； （3）∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C），理由如下： 由（1）知当90°＜∠BAC＜180°时， ∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN） ＝180°﹣（∠B+∠C）﹣（∠B+∠C） ＝180°﹣2（∠B+∠C）． 由（2）知0°＜∠BAC＜90°时， ∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°， 综上，∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 故答案为：∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． 15．【分析】（1）由角平分线的性质推出∠EAD＝∠DAF，由等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，因此∠DAF＝∠EDA，即可证明DE∥AC； （2）由垂直的定义得到∠AOE＝∠AOF＝90°，而∠OAE＝∠OAF，由三角形内角和定理推出∠AEO＝∠AFO，判定△AEF是等腰三角形，由平行线的性质推出∠EAF＝∠BED＝60°，判定△AEF是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 16．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出EA＝ED，由等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠EDA； （2）由线段垂直平分线的性质推出FA＝FD，得到∠ADF＝∠DAF，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，因此∠CAD＝∠ADF，即可证明问题； （3）由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，由三角形的外角性质推出EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，即可证明∠EAC＝∠B． 【解答】证明：（1）∵EF垂直平分AD， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA； （2）∵EF垂直平分AD， ∴FA＝FD， ∴∠ADF＝∠DAF， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠ADF， ∴DF∥AC； （3）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， 由（1）知：∠EAD＝∠EDA， ∴EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD， ∴∠EAC＝∠B． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 17．【分析】（1）根据中线的性质得到BF＝DF＝2，DN＝NC＝8，进而求解即可； （2）由垂直平分线的性质得到EB＝ED，MD＝MC，推出∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C，然后结合∠A＝90°得到∠EDM＝90°，即可证明． 【解答】解：（1）∵EF、MN分别是△BED和△DMC的中线， ∴BF＝DF，DN＝NC， ∴BC＝BF+DF+DN+NC＝2+2+8+8＝20． （2）ED⊥MD，理由如下： 由线段垂直平分线的性质可知，EB＝ED，MD＝MC， ∴∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C， ∴∠A＝90°， ∴∠EDB+∠MDC＝90°， ∴∠EDM＝90°， ∴ED⊥MD． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【考点2】角平分线（第18-36题） 见角平分线+垂直→得距离相等（DE=DF），用于面积计算 面积法：S△ABD:S△ACD=AB:AC（因高DE=DF） 双角平分线交点（旁心/内心）：到两边延长线距离也相等 角平分线+垂直→构造全等三角形，证明线段和差关系 18．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 19．【分析】过E作EH⊥AC于H，由角平分线的性质推出EH＝EF，求出AD＝CD＝6，由三角形的面积公式得到△ABD的面积＝△BDC的面积＝30，（AB+AD）•EF＝30，即可求出EF＝3． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H， ∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB， ∴EH＝EF， ∵BD是中线， ∴AD＝CDAC12＝6， ∴△ABD的面积＝△BDC的面积＝30， ∵△ABD的面积＝△ABE的面积+△ADE的面积， ∴AB•EFAD•EH（AB+AD）•EF＝30， ∵AB＝14，AD＝6， ∴EF＝3． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出EH＝EF，由三角形的面积公式得到△ABD的面积（AB+AD）•EF． 20．【分析】根据C是AB的中点可求BC的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【解答】解：过点B作BF⊥DE，垂足为点F， ∵C是AB的中点，AB＝10cm， ∴， ∵CD⊥AB，BF⊥DE，DB平分∠CDE， ∴BC＝BF＝5cm， 即点B到直线DE的距离是5cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 21．【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 22．【分析】作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q，由角平分线的性质得DP＝DQ，由点E为AD的中点，得S△ABE＝S△DBES△ABD，由BF＝2EF，S△DEF＝2，求得S△DBF＝2S△DEF＝4，则S△DBE＝6，所以S△ABD＝2S△DBE＝12，而S△ABC＝21，则S△ACD＝9，由S△ABDAB•DPAB•DQ＝12，S△ACDAC•DQ＝9，得，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q， ∵∠BAC的角平分线AD交BC于点D， ∴DP＝DQ， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∴S△ABE＝S△DBES△ABD， ∵点F为BE上一点，且BF＝2EF，S△DEF＝2， ∴S△DBF＝2S△DEF＝4， ∴S△DBE＝S△DBF+S△DEF＝4+2＝6， ∵S△ABD＝2S△DBE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD＝21﹣12＝9， ∵S△ABDAB•DPAB•DQ＝12，S△ACDAC•DQ＝9， ∴， ∴， ∴AB：AC的值等于， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的角平分线的定义、角平分线的性质、高相等的三角形的面积比等于底的比、根据面积等式推导两条线段的比等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 23．【分析】过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质可得PM＝PN，PD＝PN，再证明Rt△PMA≌Rt△PDA，即可判断①；同理证明Rt△PDC≌Rt△PNC，可证明∠DPC＝∠NPC，进而可表示出∠MPN、∠APC的数量关系，根据三角形的内角和为180°，利用△BPM、△BPN这两个三角形，即可判定②；根据Rt△PDC≌Rt△PNC，Rt△PMA≌Rt△PDA，即可证明③，问题得解． 【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，如图， 由条件可知PM＝PN，∠PMB＝∠PNB＝90°， ∵PD⊥AC，PN⊥BF，PC平分∠ACF， ∴PD＝PN，∠PDA＝90°， ∴PD＝PM，∠PMB＝∠PDA＝90°， 在Rt△PMA和Rt△PDA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PDA（HL）， ∴∠PAM＝∠PAD，即AP平分∠EAC，即①正确，符合题意； 同理证明Rt△PDC≌Rt△PNC， ∴∠DPC＝∠NPC， 由三角形全等可知∠MPA＝∠DPA， ∴∠MPN＝∠MPA+∠DPA+∠DPC+∠NPC＝2（∠DPA+∠DPC）＝2∠APC， ∵（∠PMB+∠MBP+∠BPM）+（∠PBN+∠BNP+∠NPB）＝180°+180°， ∴（∠PMB+∠BNP）+（∠BPM+∠NPB）+（∠PBN+∠MBP）＝180°+180°， 即（90°+90°）+∠MPN+∠ABC＝360°， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，即②正确，符合题意； ∵Rt△PMA≌Rt△PDA，Rt△PDC≌Rt△PNC， ∴SRt△PMA＝SRt△PDA，SRt△PDC＝SRt△PNC， ∴SRt△PMA+SRt△PNC＝SRt△PDC+SRt△PDA， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，即③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 24．【分析】如图：过点D分别作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，然后根据角平分线的性质可得DG＝DH，再根据三角形面积公式，即可得出S△DBF＝S△DCE＝3；利用三角形中线的性质可得S△ADC＝2S△DCE＝6，再证明△ADF≌△ADC（AAS），则S△ADF＝S△ADC＝6，最后根据△ABC的面积为S△ADF+S△ADC+S△BDF即可解答． 【解答】解：过点D分别作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H， ∵AD平分∠BAC， ∴DG＝DH，∠FAD＝∠CAD， ∵，，CE＝BF， ∴S△DBF＝S△DCE＝3． ∵E是AC的中点， ∴S△ADC＝2S△DCE＝6， ∵∠BFD+∠C＝180°，∠BFD+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝∠C， 在△ADF与△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（AAS）， ∴S△ADF＝S△ADC＝6， ∴△ABC的面积为S△ADF+S△ADC+S△BDF＝6+6+3＝15（cm2）． 故答案为：15cm2． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DG＝DH解答． 25．【分析】过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE的长，进而得出△ABD的面积． 【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠CAB， ∴DE＝CD＝3， 又∵AB＝10， ∴△ABD的面积为15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 26．【分析】作AF⊥BC于点F，由∠D＝90°，推导出AD⊥CD于点D，因为CA平分∠BCD，所以AF＝AD＝2，因为点E是BC边上的动点，所以AE≥AF，则AE≥2，所以AE的最小值为2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AF⊥BC于点F， ∵在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2， ∴AD⊥CD于点D， ∵CA平分∠BCD， ∴AF＝AD＝2， ∵点E是BC边上的动点， ∴AE≥AF， ∴AE≥2， ∴AE的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 27．【分析】根据三角形等高模型及BF＝2EF，S△DEF＝2，求出S△BDE＝6，同样根据点E为AD的中点，求出S△ACD＝9，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据∠BAC的角平分线AD交BC于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【解答】解：∵BF＝2EF，S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN（三角形中线定理）， ∴， 则的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是正确地作出辅助线． 28．【分析】根据勾股定理求出，证明△BDE≌△BDC（AAS），得出BE＝BC＝4，CD＝DE，最后求出三角形的周长即可． 【解答】解：由勾股定理可知， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴∠CBD＝∠EBD，∠C＝∠DEB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△BDE≌△BDC（AAS）， ∴BE＝BC＝4，CD＝DE， ∴AE＝AB﹣BE＝1， ∴△AED的周长＝AD+DE+AE ＝AD+CD+AE ＝AC+AE ＝3+1 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的性质得出CD＝DE，进而将△AED的周长进行转化计算． 29．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝4，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝4， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， AB•DEBC•CD， 6×49×4， ＝30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝4是解题的关键． 30．【分析】过点O分别作OF⊥AC于点F，OG⊥AB于点G，OE⊥BC于点E，可得OE＝OF＝OG，进而得到S△BOC：S△AOC：S△ABO． 【解答】解：过点O作OF⊥AC于点F，OG⊥AB于点G，OE⊥BC于点E，垂足分别为F，G，E，如图所示， ∵AO，BO，CO是△ABC的角平分线，且OE⊥BC，OG⊥AB，OF⊥AC， ∴OE＝OF＝OG， ∵AB＝6，BC＝9，AC＝12， ∴S△AOC6OF， S△AOB3OG， S△BOCBC×OEOE， ∴S△BOC：S△AOC：S△AOB＝3：4：2； 故答案为：3：4：2． 【点评】本题考查三角形面积和角平分线性质，解题关键是熟练掌握性质定理． 31．【分析】（1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°， ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴S△ABES△ABD30＝18． 【点评】本题主要考查了角平分的性质，熟知角平分线的定义及性质是解题的关键． 32．【分析】（1）证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，从而得到点A和点D在EF的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出AB+AC＝18，根据三角形周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠AED＝∠AFD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF，AE＝AF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：由（1）得△ADE≌△ADF， ∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF， ∴， ∵DE＝4 ∴AB+AC＝18， ∵BC＝12 ∴△ABC的周长为30． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 33．【分析】（1）根据垂直得到∠AFE＝90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE＝140°，再根据∠BAE＝∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数； （2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，进而得到EG＝EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出EH＝3，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°（垂直的定义）， ∵∠AEF＝50°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°， 则∠CAD的度数为40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠AEF＝50°， ∴由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH（等量代换）， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝18， ∴S△ADE+S△CDE＝18， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴EH＝3， ∴EF＝3， ∵AB＝6， ∴， 所以△ABE的面积为9． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 34．【分析】作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P． 【解答】解：如图，点P为所求． 作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点P的位置． 【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质． 35．【分析】（1）根据三角形内角和得到∠ABC＝40°，根据角平分线的定义得到∠CBD＝20°，根据三角形内角和得到∠CBF＝10°，最后根据∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF计算即可； （2）根据E是BD的中点得到S△ABD＝2m，根据AD＝CD得到S△ABD＝S△CBD＝2m，最后根据CF＝DF即可得到S△CBF＝m． 【解答】解：（1）∵∠C＝80°，∠BAC＝60°， 由三角形内角和定理可得，∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°． ∵BD平分∠ABC， ∴． ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴∠CBF＝90°﹣80°＝10°， ∴∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF＝20°﹣10°＝10°； （2）∵E是BD的中点， ∴S△ABE＝S△AED＝m，S△ABD＝2m． ∵AD＝CD， ∴S△ABD＝S△CBD＝2m． ∵CF＝DF， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质，关键是根据三角形内角和定理得出∠ABC的度数解答． 36．【分析】先根据角平分线的性质得PD＝PE，PE＝PF，进而得PD＝PE＝PF，即PD＝PF，进而得点P在∠BAC的平分线上，即AP为∠BAC的平分线，据此即可得出结论． 【解答】证明：∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD＝PE， ∵CP平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF， ∴PD＝PE＝PF． 即PD＝PF， 又∵PF⊥AC，PD⊥AB， ∴点P在∠BAC的平分线上， ∴AP为∠BAC的平分线， 即△ABC的三条角平分线交于一点，且PD＝PE＝PF． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上是解决问题的关键． 【考点3】创新与压轴题（第37-41题） 平行线+角平分线→内错角相等，构造等腰三角形 动点角度问题：设未知数，利用三角形外角性质列方程 分类讨论：点在三角形内外、旋转方向不同时结论不同 双角平分线夹角模型：∠P=∠A（内外角平分线夹角） 37．【分析】（1）设∠CBQ＝x，则∠NAC＝2x，解得∠ABQ＝45°+x，∠NAB＝30°+2x，得到∠MAB＝180°﹣∠NAB＝150°﹣2x，再根据平行线的性质列出方程求出x的值即可求解； （2）过点F作FH∥PQ，设∠NAC＝α，∠CBQ＝β，可得a+β＝105°，由角平分线的定义得∠EAN＝2α，∠FBQ＝2β，利用平行线的性质得∠FEQ＝180°﹣∠EAN＝180°﹣2α，∠BFH＝180°﹣∠FBQ＝180°﹣2β，∠EFH+∠FEQ＝180°，即得180°﹣2α+180°﹣2β+∠EFB＝180°，即可求解； （3）设∠MAS＝m，∠CBQ＝n，可得∠MAB＝2m，∠AST＝∠MAS＝m，∠TSU＝180°﹣∠AST＝180°﹣m，n＝2m﹣45°，，∠ATS＝∠NAT＝75°﹣m，∠STV＝180°﹣∠ATS＝105°+m，再分WT∥BC，AS∥BC，SW∥BC和AT∥BC四种情况解答即可求解． 【解答】解：（1）设∠CBQ＝x， ∵∠NAC＝2∠CBQ， ∴∠NAC＝2x， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠ABQ＝45°+x，∠NAB＝30°+2x， ∴∠MAB＝180°﹣∠NAB＝180°﹣（30°+2x）＝150°﹣2x， ∵MN∥PQ， ∴∠MAB＝∠ABQ， 即150°﹣2x＝45°+x， 解得x＝35°， ∴∠MAB＝150°﹣2×35°＝80°； （2）如图，过点F作FH∥PQ， 设∠NAC＝α，∠CBQ＝β， ∵MN∥PQ， ∴∠NAB+∠ABQ＝180°， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝30°， ∴∠NAC+∠CBQ＝105°，即α+β＝105°， ∵∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C， ∴∠EAC＝∠NAC，∠FBC＝∠QBC， ∴∠EAN＝2α，∠FBQ＝2β， ∵FH∥PQ，MN∥PQ， ∴∠FEQ＝180°﹣∠EAN＝180°﹣2α，∠BFH＝180°﹣∠FBQ＝180°﹣2β，∠EFH+∠FEQ＝180°， ∴∠BFH+∠EFB+∠FEQ＝180°， ∴180°﹣2α+180°﹣2β+∠EFB＝180°， ∴∠EFB＝2（α+β）﹣180°＝2×105°﹣180°＝30°； （3）作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于W，且使得，设∠MAS＝m，∠CBQ＝n， ∵AS平分∠MAB， ∴∠MAB＝2m， ∵MN∥PQ， ∴∠AST＝∠MAS＝m， ∴∠TSU＝180°﹣∠AST＝180°﹣m， ∵MN∥PQ，∠ABC＝45°， ∴∠MAB＝∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ，即2m＝45°+n， ∴n＝2m﹣45°， ∵AT平分∠NAC，∠BAC＝30°， ∴， ∵MN∥PQ， ∴∠ATS＝∠NAT＝75°﹣m， ∴∠STV＝180°﹣∠ATS＝105°+m， 如图，当WT∥BC时，则， ∴， 解得m＝48°， ∴∠MAB＝2m＝96°； 如图，当AS∥BC时，则∠SAB＝∠ABC＝45°， ∴∠MAB＝2∠SAB＝90°； 如图，当SW∥BC时，则∠TSW＝∠TBC， ∵∠TBC＝∠ABC﹣∠ABT，， ∴， ∵∠ABT＝∠MAB＝2m，∠TSU＝180°﹣m， ∴， 解得m＝5， ∴∠MAB＝2m＝10°； 当AT∥BC时，则∠BAT+∠ABC＝∠BAC+∠CAT＝180°， 即45°+30°+75°﹣m＝180°， 解得m＝﹣30°（不合题意，舍去）； 综上，当四边形ASWT的一边与BC平行时，∠MAB的度数为10°或90°或96°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 38．【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算； （2）结合平行线的性质与三角形外角的性质进行求解； （3）运用分类讨论思想进行求解． 【解答】解：（1）如图2， ∵∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝∠CAB＝45°，∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BGD＝∠D+∠BAD＝30°+45°＝75°； （2）∠DEM﹣∠DPB＝30°， 理由如下： 如图3，DE与AB相交于点H， ∵AB∥MN，∠D＝30°， ∴∠DHB＝∠DEM， ∵∠DHB＝∠D+∠DPB， ∴∠DEM＝∠D+∠DPB， ∴∠DEM﹣∠DPB＝∠D＝30° ∴∠DEM﹣∠DPB＝30°； （3）∵∠ABC＝∠DFC＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°； 当BC∥DE时，如图4， ∴∠E＝∠ECB＝60°， ∴∠ACE＝90°+60°＝150°； 当AB∥EC时，如图， ∴∠B＝∠ECB＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°； 当AC∥ED时，如图， ∴∠ACE＝∠E＝60°； 当AB∥CD时，如图，AB与CE交于点H， ∴∠AHC＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°， 综合得：∠ACE的度数可能是150°，135°，60°，45°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 39．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质结合整体思想进行计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质结合整体思想及分类讨论的数学思想即可解决问题； （4）根据上面的解题过程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠B＝32°，∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣32°﹣36°＝112°，∠BAE+∠NAC＝32°+36°＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：44； （2）∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝112°， ∴∠B+∠C＝180°﹣112°＝68°， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝68°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝112°﹣68°＝44°； 同理可得，当∠BAC＝82°时， ∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°， ∴∠EAN＝（∠BAE+∠NAC）﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°； （3）当0°＜α＜90°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAE+∠NAC﹣∠BAC＝180°﹣2α． 当90°＜α＜180°时，如图所示， ∵DE和MN分别垂直平分AB和AC， ∴AE＝BE，AN＝CN， ∴∠BAE＝∠B，∠NAC＝∠C． ∵∠BAC＝α， ∴∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠BAE+∠NAC＝∠B+∠C＝180°﹣α， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠NAC）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°． （4）由上述过程可知， 当0°＜∠BAC＜90°时，∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°； 当90°＜∠BAC＜180°时，∠EAN＝2∠BAC﹣180°＝2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2（∠B+∠C）． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及角的计算，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 40．【分析】（1）如图①，连接PA，PB，AM，由线段垂直平分线的性质推出AM＝BM，由三角形三边关系定理得到PM+AM＞PA，推出PA＜PB； （2）如图②，当D不在线段BC上时，连接BD，由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD，由三角形三边关系定理得到AD+CD＞BC，当D在线段BC上时，AD+CD＝BC，于是AD+CD≥BC． 【解答】（1）证明：如图①，连接PA，PB，AM， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴PB＝PM+MB＝PM+AM， ∵PM+AM＞PA， ∴PA＜PB； （2）解：如图②，AD+CD≥BC，理由如下： 当D不在线段BC上时， 连接BD， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵BD+CD＞BC， ∴AD+CD＞BC， 当D在线段BC上时，AD+CD＝BC， ∴AD+CD≥BC， 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，比较线段的长度，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等． 41．【分析】（1）理解三角形外角等于不相邻两个内角之和，并能根据题目给出的比例关系推导出∠P与∠A 的数量关系； （2）需要结合旋转速度和时间，用含t的代数式表示出∠A 的度数，进而求出∠BPC的度数． 【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠ABC+∠A， ∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∠P＝∠PCD﹣∠PBC， ， ∴∠PCDACD， ∴∠PACDABC（∠ACD﹣∠ABC）A， 即∠P∠A； 解：（2）①∵射线OA旋转的速度为2°/秒， t＝15， ∴∠AON＝15×2°＝30°， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOO＝∠MON﹣∠AON＝90°﹣30°＝60°， 即∠A＝60°， 由（1）知∠BPCA， ∴， 答：∠BPC的度数为20°； ②当45＜t＜90时， 情况1：旋转的角度∠AON＝2t°， 因为t＞45， 所以2t＞90， 即∠AON＞90°， 此时射线OA已经越过了射线OM，位于OM的下方． 所以∠AOC＝∠AON﹣∠MON＝2t°﹣90°， 即∠A＝（2t﹣90）°， 根据第（1）问的结论，． ∴； 情况2：射线OA逆时针旋转到ON左侧，射线逆时针继续旋转，越过ON，在ON左边，45＜t＜90，∠AON＝2t°， 周角360°，∠BOC＝360°﹣∠MON﹣∠AON＝360°﹣90°﹣2t°＝（270﹣2t）°， ． ∴∠BPC（270﹣2t）°＝（90t）°． 故答案为：（t﹣30）或（90t）． 【点评】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义以及动态几何中的角度计算．解题的关键在于相关知识的灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 线段垂直平分线见「垂直+中点」即可得等腰三角形，优先用等量代换简化周长 角平分线见「平分+垂直」即可得距离相等，面积法是高频考法 记住两个交点：外心到顶点等距（垂直平分线交点），内心到三边等距（角平分线交点） 压轴题中设未知数+三角形外角性质是通法，注意分类讨论 证明角平分线可走「距离相等」路线，证明垂直平分线可走「两点都到两端等距」路线 【作业 1】【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【作业 2】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAB，∠EAC＝∠ECA，然后利用三角形的内角和定理得出∠B+∠C＝60°，即可求解． 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA＝DB，EA＝EC（线段垂直平分线的性质）， ∴∠B＝∠DAB，∠EAC＝∠ECA， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠EAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝120°﹣60°＝60°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 【作业 3】【分析】首先利用三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，然后利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，从而可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，然后利用等量代换可得∠BAE+∠FAC＝40°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝140°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°， ∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC， ∴∠BAE+∠FAC＝40°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【作业 4】【分析】由垂直平分线可确定△BDC为等腰三角形，进而求出Rt△CDE≌Rt△BDF，Rt△AFD≌Rt△AED再利用全等，得出对应角，对应边相等，再求解． 【解答】解：过点D作DG⊥BC， ∵DG垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠FAC． ∴DE＝DF， 在Rt△CDE与Rt△BDF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL）， 故①正确； ∴∠BDF＝∠CDE，CE＝BF，∠FBD＝∠DCE 在Rt△AFD与Rt△AED中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL） ∴AE＝AF，∠DAF＝∠DAE， ∴CE＝BF＝AB+AF＝AB+AE 故②正确； ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ACB+∠DCA） ＝180°﹣（∠FBD+∠DBC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝∠BAC 故③正确； ∠DAF+∠EDC﹣∠ADB＝∠DAE+∠BDF﹣∠ADB ＝∠DAE+∠ADF＝90°． 故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．在本题中能利用线段（角）的和差和等量代换去分别表示题述结论等式的两边，从而判断结论是否正确是解决问题的关键． 【作业 5】【分析】由角平分线的性质可得，DF＝DE＝3，由题意知，计算求解即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝3， ∴DF＝DE＝3， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝18， ∴， ∴， 整理得，AB， 解得AB＝7． 则AB的长为7， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【作业 6】【分析】根据角平分线的性质即可得出答案． 【解答】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【作业 7】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【解答】解：（1）∵DE为AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）； （2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝2x， ∵∠C＝90°， ∴x+2x+2x＝90°， 解得：x＝18°， 则∠B＝2x＝36°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【作业 8】【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵D是BC的中点 ∴BD＝CD， 又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC； （2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB﹣BE＝AC﹣CF， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 【点评】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF． 【作业 9】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质求解即可； （2）求解∠ABC+∠ACB＝65°，结合等腰三角形的性质进一步求解即可． 【解答】解：（1）由线段垂直平分线可得，DA＝DB，EA＝EC， ∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝16cm， 由线段垂直平分线可得，OA＝OB，OA＝OC， ∵OB+OC+BC＝40cm， ∴OA＝OB＝OC＝12cm； （2）∵∠BAC＝115°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣115°＝65°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝115°﹣65°＝50°． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质解答． 【作业 10】【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据等面积得出，即可求解． 【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F， ∴DE＝DF， 设△ABC中AB边上的高的长度为h， ∵AC：BC＝9：7， ∴， 又∵，BD＝14， ∴， ∴AD＝18， ∴AB＝18+14＝32． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟知以上知识是解题的关键． 【作业 11】【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE＝20°，再利用角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABE＝40°，然后根据高的定义和互余两角的性质求出∠BAF的度数； （2）先根据题意得到BD＝DC＝AD＝5，然后利用三角形面积公式求AF的长． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE， ∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×20°＝40°（角平分线的性质）， ∵AF为高， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°； （2）由（1）得∠BAD＝∠ABD＝40°， ∴BD＝DC＝AD＝5， ∴BC＝5+5＝10， ∵， 解得AF＝8． 【点评】本题考查了角平分线的性质，本题的关键是充分应用三角形的角平分线的性质． 【作业 12】【分析】（1）过点O分别作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，根据角平分线的判定定理得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接OA，根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO即可求解． 【解答】（1）证明：过点O分别作OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，如图． ∵OE＝OF， ∴BO平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠OBC， ∵OD＝OF， ∴CO平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠OCB． 由条件可得：2∠OBC+2∠OCB＝180°﹣∠BAC， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ． （2）解：连接OA，如图． ， ∴， ∴OD＝3． ∴点O到△ABC三边的距离为3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 13】【分析】（1）通过证明△ADF≌△AEF，得到角相等，从而证明AP平分∠BAC，核心为SSS全等判定； （2）由角平分线的性质得点P到AC的距离等于PQ，再利用三角形面积分割法，S△ABC＝S△ABP+S△ACP求解． 【解答】（1）证明：在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）， ∴∠DAF＝∠EAF（全等三角形对应角相等），即AP平分∠BAC； （2）解：过点P作PM⊥AC于M， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PM⊥AC， ∴PM＝PQ＝6（角平分线的性质）， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP， ∴， 代入已知条件S△ABC＝60，PQ＝PM＝6，AC＝8，即， 解得AB＝12． 【点评】本题考查了角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 【作业 14】【分析】（1）根据角平分线得∠PEA＝∠PEF，再根据AB∥CD得∠PEA＝∠EPF，由此可得出结论； （2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH 得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数； （3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，先证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，再根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，又根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数，进而得解． 【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $