第9讲 1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时）暑假预习讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册
- 经历探索线段轴对称性的过程，理解线段是轴对称图形，掌握线段垂直平分线的概念。
- 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
- 探索并证明线段垂直平分线的判定定理（逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
- 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题。
- 掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，并能说明作图依据。
定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
如图，直线OP经过线段AB的中点O，且OP⊥AB，则直线OP是线段AB的垂直平分线。
符号语言：∵ 直线OP⊥AB，垂足为O，且AO＝BO，∴ 直线OP是线段AB的垂直平分线。
重要认识：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴。另外，线段本身所在的直线也是它的对称轴。
文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
符号语言：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
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∴ PA＝PB。
证明：
已知：如图，直线OP是线段AB的垂直平分线，垂足为O。
求证：PA＝PB。
证明：∵ OP⊥AB，垂足为O，
∴ ∠POA＝∠POB＝90°。
又∵ AO＝BO（OP是AB的垂直平分线），
PO＝PO（公共边），
∴ △POA ≌ △POB（SAS）。
∴ PA＝PB（全等三角形对应边相等）。
核心要点：
（1）性质定理的前提是点在垂直平分线上，结论是点到线段两端距离相等。
（2）运用性质定理可以直接证明两条线段相等，不必再通过三角形全等来证明，为证明线段相等提供了新方法。
文字语言：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
符号语言：
证明：
已知：如图，PA＝PB。
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求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：（1）若点P在线段AB上，由PA＝PB可知P为AB的中点，显然P在线段AB的垂直平分线上。
（2）若点P在线段AB外，过点P作AB的垂线，垂足为O。
在Rt△POA和Rt△POB中，
∠POA＝∠POB＝90°，
PA＝PB（已知），
PO＝PO（公共边），
∴ Rt△POA ≌ Rt△POB（HL）。
∴ AO＝BO（全等三角形对应边相等）。
又∵ PO⊥AB，垂足为O，且AO＝BO，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。
核心要点：
（1）判定定理的前提是点到线段两端距离相等，结论是点在线段的垂直平分线上。
（2）性质定理和判定定理互为逆定理。
（3）线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
定理 | 条件（已知） | 结论（求证） |
性质定理 | 点在线段的垂直平分线上 | 点到线段两端的距离相等 |
判定定理 | 点到线段两端的距离相等 | 点在线段的垂直平分线上 |
记忆口诀：
垂直平分线上点，到两端距离相等；
到两端距离相等，定在垂直平分线。
已知：线段AB。
求作：线段AB的垂直平分线。
作法：
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