第9讲 1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时）暑假预习讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第9讲 1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时） 【学习目标】 1. 经历探索线段轴对称性的过程，理解线段是轴对称图形，掌握线段垂直平分线的概念。 1. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 1. 探索并证明线段垂直平分线的判定定理（逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 1. 能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题。 1. 掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，并能说明作图依据。 【知识梳理】 一、线段垂直平分线的概念 定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如图，直线OP经过线段AB的中点O，且OP⊥AB，则直线OP是线段AB的垂直平分线。 符号语言：∵ 直线OP⊥AB，垂足为O，且AO＝BO，∴ 直线OP是线段AB的垂直平分线。 重要认识：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴。另外，线段本身所在的直线也是它的对称轴。 二、线段垂直平分线的性质定理 文字语言：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 符号语言： ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB。 证明： 已知：如图，直线OP是线段AB的垂直平分线，垂足为O。 求证：PA＝PB。 证明：∵ OP⊥AB，垂足为O， ∴ ∠POA＝∠POB＝90°。 又∵ AO＝BO（OP是AB的垂直平分线）， PO＝PO（公共边）， ∴ △POA ≌ △POB（SAS）。 ∴ PA＝PB（全等三角形对应边相等）。 核心要点： （1）性质定理的前提是点在垂直平分线上，结论是点到线段两端距离相等。 （2）运用性质定理可以直接证明两条线段相等，不必再通过三角形全等来证明，为证明线段相等提供了新方法。 三、线段垂直平分线的判定定理（性质定理的逆定理） 文字语言：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 符号语言： 证明： 已知：如图，PA＝PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）若点P在线段AB上，由PA＝PB可知P为AB的中点，显然P在线段AB的垂直平分线上。 （2）若点P在线段AB外，过点P作AB的垂线，垂足为O。 在Rt△POA和Rt△POB中， ∠POA＝∠POB＝90°， PA＝PB（已知）， PO＝PO（公共边）， ∴ Rt△POA ≌ Rt△POB（HL）。 ∴ AO＝BO（全等三角形对应边相等）。 又∵ PO⊥AB，垂足为O，且AO＝BO， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上。 核心要点： （1）判定定理的前提是点到线段两端距离相等，结论是点在线段的垂直平分线上。 （2）性质定理和判定定理互为逆定理。 （3）线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 四、性质定理与判定定理的对比 定理 条件（已知） 结论（求证） 性质定理 点在线段的垂直平分线上 点到线段两端的距离相等 判定定理 点到线段两端的距离相等 点在线段的垂直平分线上 记忆口诀： 垂直平分线上点，到两端距离相等； 到两端距离相等，定在垂直平分线。 五、尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 作法： （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D。 （2）作直线CD。 则直线CD就是线段AB的垂直平分线。 作图依据：由作图可知PA＝PB，QA＝QB（同圆半径相等），因此点P和点Q都在线段AB的垂直平分线上（判定定理），两点确定一条直线，所以PQ就是线段AB的垂直平分线。 【做一做（即时练习）】 1. 下列说法正确的是（　） A. 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 B. 到线段两端距离相等的点在线段上 C. 线段垂直平分线是线段的唯一对称轴 D. 以上说法都正确 1. 如图，直线OP是线段AB的垂直平分线,若PA＝5，则PB＝＿＿＿＿。 1. 如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1. 判断正误（对的打“√”，错的打“×”）： （1）到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。（　） （2）线段垂直平分线上的点到线段两端距离一定相等。（　） （3）到线段两端距离相等的点有无数个。（　） （4）线段的垂直平分线是线段的一条对称轴。（　） 1. 如图，在△ABC中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则△ABC的周长为＿＿＿＿。 【典例精讲】 例1（性质定理的应用） 如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴，， ∵， ∴的周长， 故选：A． 反思：利用垂直平分线的性质，使问题得以简化。这体现了性质定理在求线段长和周长中的重要作用。 例2（判定定理的应用） 已知：如图，，点E在上，求证：． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 例3（尺规作图的原理） 如图，在上求作一点D，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【分析】由题意可知，点D在线段的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】解：∵，点D在上， ∴点D在线段的垂直平分线上． 如图，点D即为所求．    【反思】本题考查作图—复杂作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质及作图方法是解答本题的关键． 【跟踪练习1】 1. 如图，直线与交于点O，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是的垂直平分线 D．点P在的垂直平分线上 2.如图，在△ABC中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为＿＿＿＿cm。 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G． （1）求证：AD是EF的垂直平分线； （2）若AB＝3，AC＝5，ED＝2，求△ABC的面积． 【举一反三】 1. 如图，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 1. 到三角形三个顶点距离相等的点是（　） A. 三条角平分线的交点　　B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点　　　　D. 三条边的垂直平分线的交点 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AC＝5，BC＝8，则△BCD的周长为（　） A. 10　　B. 11　　C. 12　　D. 13 1. 如图所示，在中，，分别垂直平分和，交于点，，若的周长为，则______． 1. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，、是方格纸中两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有          个 1. 如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、选择题 1. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这一结论的依据是（　） A. 线段垂直平分线的性质定理　　B. 线段垂直平分线的判定定理 C. 角平分线的性质定理　　　D. 等腰三角形的性质 1. 下列说法错误的是（　） A. 线段是轴对称图形 B. 线段的垂直平分线是线段的一条对称轴 C. 线段本身所在的直线也是线段的一条对称轴 D. 线段的对称轴只有一条 1. 如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1. 到三角形三边距离相等的点是（　） A. 三条角平分线的交点　　B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点　　　D. 三条高的交点 1. 将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（　　） A． B．且 C． D．且平分 二、填空题 1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到＿＿＿＿＿＿＿＿的距离相等。 1. 线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在＿＿＿＿＿＿＿＿上。 1. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，BC＝4，△BCE的周长为10，则AB的长是＿＿＿＿＿＿＿＿. 1. 某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．下列结论：①；②；③垂直平分；④点与点关于直线对称．其中所有正确结论的序号是 ． 1. 用尺规作线段AB的垂直平分线时，分别以A、B为圆心画弧，两弧相交于两点，这两点都在线段AB的＿＿＿＿＿＿＿＿上。 三、解答题 1. 如图，与相交于点，，，，求证：． 1. 如图2，一条笔直的公路同一侧有两个村庄和，现准备在公路上修一个公共汽车站点，使站点到两个村庄和的距离相等．请你用尺规作图找出点的位置，不写作法，保留作图痕迹．    1. 如图，在中，是的中点，过点的直线交于点，交的平行线于点，，交于点． 求证：； 判断与的大小关系，并证明你的结论． ◆ B组·能力提升 1. 如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论 ． 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB． 16.如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． ◆ C组·思维拓展 17.如图，小河边有两个村庄A、B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． （1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ （2）若要使水厂到A、B村的水管最省料，应建在什么地方？（保留作图痕迹，不写作法） 18.如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为. (1)当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？ (2)在(1)的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 【本讲总结】 一、线段垂直平分线的性质定理 项目 内容 文字语言 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 符号语言 ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，∴ PA＝PB 作用 证明两条线段相等 二、线段垂直平分线的判定定理（逆定理） 项目 内容 文字语言 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 符号语言 ∵ PA＝PB，∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 作用 证明点在线段的垂直平分线上 三、两个定理的关系 性质定理和判定定理互为逆定理。 （1）性质定理：垂直平分线 → 距离相等（由线的位置得数量关系）。 （2）判定定理：距离相等 → 垂直平分线（由数量关系得线的位置）。 四、尺规作图 作线段AB的垂直平分线： （1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于两点。 （2）过这两点作直线。 依据：判定定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。 五、常见错误提醒 错误类型 正确理解 混淆性质定理和判定定理的条件与结论 性质：点在垂直平分线上→距离相等；判定：距离相等→点在垂直平分线上 用尺规作垂直平分线时半径小于AB 半径必须大于AB，否则两弧不相交 认为线段的垂直平分线是唯一的对称轴 线段有两条对称轴：垂直平分线和线段本身所在的直线 忽视判定定理中“点”的位置 判定定理对平面内任意点都成立（包括线段上的点） 六、学习建议与口诀 性质定理口诀： 垂直平分线上点，到两端距离相等。 判定定理口诀： 到两端距离相等，定在垂直平分线。 使用策略： （1）要证明线段相等，找垂直平分线，用性质定理。 （2）要证明点在垂直平分线上（或证明垂直、平分），找线段相等，用判定定理。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：D 解析：A选项正确，是线段垂直平分线的性质定理。B选项错误，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，不一定在线段上。C选项错误，线段有两条对称轴：垂直平分线和线段本身所在的直线。故选A。 1. 答案：5 解析：∵ 点P在AB的垂直平分线上，∴ PA＝PB（线段垂直平分线的性质定理）。又PA＝5，∴ PB＝5。 1. 答案：C 1. 答案：（1）√　（2）√　（3）√　（4）√ 解析：（1）是判定定理的内容，正确。（2）是性质定理的内容，正确。（3）线段垂直平分线上有无数个点，这些点到线段两端距离都相等，正确。（4）线段是轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴，正确。 1. 答案：5；6 解析：∵ 点P在AB的垂直平分线上，∴ PA＝PB＝5 cm。同理，QA＝QB＝6 cm。 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：D 1. 答案：27 1. 答案：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AD是EF的垂直平分线； （2）解：∵DF＝DE＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD 2×32×5 ＝8． 举一反三 1. 答案：C 1. 答案：D 解析：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点。 1. 答案：D 1. 答案：19cm 1. 答案：5 1. （1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为 A组·基础过关 1. 答案：A 解析：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”正是线段垂直平分线的性质定理。 1. 答案：D 解析：线段有两条对称轴：垂直平分线和线段本身所在的直线，故D“只有一条”错误。 1. 答案：C 1. 答案：A 解析：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点（内心）。 1. 答案：D 1. 答案：线段两端 1. 答案：线段的垂直平分线 1. 答案：6 1. 答案：①②④ 1. 答案：垂直平分线 1. 证明： 在和中，， 又， 垂直平分， ． 1. 解：作图规范，准确即可，如图所示：    作法：1．分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点， 2．过这两点作直线交于点， 如图，点即为所求． 证明：如图，连接，    由作图可知：， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 故点即为所求 1. 解：是的中点， ， ， ， 又， ≌， ； 理由： 如图，连接， ≌， ， 又， 垂直平分， ， 又中，， ．  B组·能力提升 1. 答案：（答案不唯一） 1. 解：∵DE垂直平分斜边AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA． ∵∠CAB＝∠B+30°， ∠CAB＝∠CAE+∠EAB， ∴∠CAE＝30°． ∵∠C＝90°， ∴∠AEC＝60°． ∴∠AEB＝120° 1. 答案：（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． C组·思维拓展 17.答案：解：（1）作出AB的中垂线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； （2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 18.证明：（1）解：根据题意，，，∵， ∴，时， ∵， ∴， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴． 故当时，点E在线段的垂直平分线上． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（13题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $