3.6　正多边形 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以正多边形为核心，分层设计基础巩固、综合应用、拓展探究三层次，覆盖从概念计算到圆内接多边形证明的完整路径，融入文化情境与实际问题，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正多边形内角和、外角、边长等基本概念|结合扎染技术情境，选择题与填空题夯实运算能力| |提升层|正多边形与圆的综合计算、性质应用|融入割圆术传统文化，考查面积计算与角度推理| |拓展层|圆内接多边形作图与证明|关联马家窑彩陶纹样，培养创新意识与推理能力|

3.6　正多边形 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，佩佩在某古城研学时学习一种非物质文化遗产——扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　C　) A.36° B.40° C.45° D.60° 【解析】 设这个正多边形的边数为n。 由题意，得(n－2)·180°=1 080°， 解得n=8，则360°÷8=45°， 即这个正多边形的每个外角为45°。 2.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β的结果为(　B　) A.140° B.150° C.160° D.170° 第2题图 第2题答图 【解析】 如答图所示标注角。 正六边形的每个内角为=120°，正方形的每个内角为90°。 ∵四边形的内角和是360°， ∴∠1＋∠2=360°－120°－90°=150°。 又∵α=∠1，β=∠2，∴α＋β=150°。 3.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为(　C　) A.3∶2 B.1∶ C.1∶ 【解析】 设此圆的半径为r，则易知它的内接正六边形的边长为r，内接正方形的边长为r， 故内接正六边形与内接正方形的边长之比为r∶r=1∶。 4.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为(　C　) A.30° B.36° C.45° D.60° 第4题图　　 第4题答图 【解析】 如答图，连结OC，OD，OQ，OE。 ∵六边形ABCDEF是正六边形，Q是的中点， ∴∠COD=∠DOE==60°， ∴∠DOQ=∠EOQ=∠DOE=30°， ∴∠COQ=∠COD＋∠DOQ=90°， ∴∠CPQ=∠COQ=45°。 5.(3分)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为　9　。  6.(3分)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　2　。  【解析】 如答图，连结AC。 第6题答图 ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB=BC=CD=1，∠ABC=∠BCD=∠CDE=×(6－2)×180°=120°， ∴∠BCA=∠BAC=30°， ∴∠ACD=120°－30°=90°。 ∵正六边形为轴对称图形， ∴∠CDA=∠CDE=60°， ∴∠CAD=30°，∴AD=2CD=2。 7.(3分)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连结AC，BD，AC与BD相交于点M，则∠AMB=　45　° 。  　 第7题图　 第7题答图 【解析】 如答图，设正八边形的中心为点O，连结OA，OB，OC，OD。 ∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB=∠COD==45°， ∴∠AMB=∠ACB＋∠CBD=∠AOB＋∠COD=45°。 8.(6分)如图，已知☉O的周长为6π cm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积。 第8题图　　 第8题答图 解：如答图，过点O作OH⊥AB于点H，连结OA，OB。 ∵☉O的周长为6π cm， ∴☉O的半径==3 cm。 ∵∠AOB=×360°=60°， OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB=OA=3 cm。 又∵OH⊥AB， ∴AH=AB= cm， ∴OH= cm， ∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×(cm2)。 9.(8分)如图是正五边形ABCDE，连结对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O。 (1)(4分)求证：AO=CD。 (2)(4分)求∠AOD的度数。 解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°， ∴∠CBD=∠BAO=(180°－108°)=36°， ∴∠ABO=∠ABC －∠CBD =72°， ∴∠AOB=180°－∠ABO －∠BAO =72°=∠ABO， ∴AB=AO，∴CD=AO。 (2)由(1)，得∠AOB=72°， ∴∠AOD=180°－∠AOB=108°。 10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.141 6。如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(　C　) A. B.2 C.3 D.2 第10题图 第10题答图 【解析】 如答图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过点A作AM⊥OB于点M。 ∵在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°， ∴AM=OA=， ∴S△AOB=OB·AM=×1×， ∴正十二边形的面积为12×=3， ∴3=12×π，∴π=3， 即π的估计值为3。 11.(3分)如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则=　2　。  第11题图 第11题答图 【解析】 如答图，连结OA，OC，OE。 ∵六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形， ∴AC=AE=CE， ∴△ACE是☉O的内接正三角形。 ∵∠B=120°，AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=(180°－∠B)=30°。 ∵∠CAE=60°， ∴∠OAC=∠OAE=30°， ∴∠BAC=∠OAC。 同理，∠BCA=∠OCA=30°。 又∵AC=AC， ∴△BAC≌△OAC(ASA)， ∴S△BAC=S△OAC。 同理， S△AFE=S△AOE，S△OCE=S△DCE， ∴=2。 12.(3分)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，M是边CD的中点，连结AM。若☉O的半径为2，则AM的长为 　。  第12题图 第12题答图 【解析】 如答图，连结AC，OB，两者相交于点H。 ∵正六边形ABCDEF内接于☉O，OB=2， ∴AB=BC=CD=2，∠ABC=∠BCD=120°。 ∴，∠BAC=∠BCA=30°。 ∵M是CD的中点，∴CM=1。 易知OB⊥AC，BH=BC=1，∠ACM=∠BCD－∠BCA=90°， ∴AH=HC=， ∴AC=2， ∴AM=。 13.(8分)如图1的马家窑彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通。如图2，已知☉O和圆上一点M。作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交☉O于A，B两点；②延长MO交☉O于点C，则点A，B，C将☉O的圆周三等分。 (1)(4分)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)。 (2)(4分)根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC，若☉O的半径为2 cm，则△ABC的周长为　6　cm。  解：(1)如答图，点A，B，C即为所求。 第13题答图 (2)设CM交AB于点E。 ∵， ∴AB=CB=AC，∠AOB=120°。 又由作图易知， ∴∠AOM=∠BOM=60°，OE⊥AB，AE=EB， ∴OE=OA=1 cm， ∴AE= cm， ∴AB=2 cm， ∴△ABC的周长为6 cm。 14.(10分)[推理能力](1)(5分)如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PB＋PC。 (2)(5分)如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PC＋PB。 图1　 　图2 证明：(1)如答图1，延长BP至点E，使PE=PC，连结CE。 ∵A，B，P，C四点共圆， ∴∠BAC＋∠BPC=180°。 又∵∠BPC＋∠CPE=180°， ∴∠CPE=∠BAC=60°， ∴△PCE是等边三角形， ∴CE=CP，∠E=∠PCE=60°， ∴∠BCE=60°＋∠BCP。 又易得∠ACP=60°＋∠BCP，BC=AC， ∴∠BCE=∠ACP。 在△BEC和△APC中， ∵ ∴△BEC≌△APC(SAS)， ∴PA=BE=PB＋PE=PB＋PC。 图1　 图2 第14题答图 (2)如答图2，过点B作BE⊥PB，交PA于点E，连结OA，OB，并标注相应角。 ∵∠1＋∠EBC=∠EBC＋∠2=90°， ∴∠1=∠2。 易知∠AOB=90°，∴∠APB=∠AOB=45°， ∴BP=BE，∴PE=PB。 在△ABE和△CBP中， ∵ ∴△ABE≌△CBP(SAS)， ∴PC=EA， ∴PA=EA＋PE=PC＋PB。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6　正多边形 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，佩佩在某古城研学时学习一种非物质文化遗产——扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( ) A.36° B.40° C.45° D.60° 2.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β的结果为( ) A.140° B.150° C.160° D.170° 第2题图 3.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为( ) A.3∶2 B.1∶ C.1∶ 4.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为( ) A.30° B.36° C.45° D.60° 第4题图　　 5.(3分)如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 。  6.(3分)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 。  7.(3分)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连结AC，BD，AC与BD相交于点M，则∠AMB= ° 。  　 第7题图　 8.(6分)如图，已知☉O的周长为6π cm，求它的内接正六边形ABCDEF的面积。 第8题图　　 9.(8分)如图是正五边形ABCDE，连结对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O。 (1)(4分)求证：AO=CD。 (2)(4分)求∠AOD的度数。 10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到的圆周率π的近似值为3.141 6。如图，☉O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为( ) A. B.2 C.3 D.2 第10题图 11.(3分)如图，六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则= 。  第11题图 12.(3分)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，M是边CD的中点，连结AM。若☉O的半径为2，则AM的长为 。  第12题图 13.(8分)如图1的马家窑彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通。如图2，已知☉O和圆上一点M。作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交☉O于A，B两点；②延长MO交☉O于点C，则点A，B，C将☉O的圆周三等分。 (1)(4分)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)。 (2)(4分)根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC，若☉O的半径为2 cm，则△ABC的周长为 cm。  14.(10分)[推理能力](1)(5分)如图1，△ABC是☉O的内接正三角形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PB＋PC。 (2)(5分)如图2，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P为劣弧BC上一动点，连结PA，PB，PC。求证：PA=PC＋PB。 图1　 　图2 学科网（北京）股份有限公司 $