2026—2027学年人教版九年级数学第一学期国庆学生自主练习卷7（内容：第25～27章）

2026——2027学年人教版九年级数学第一学期国庆学生自主练习卷7 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 9．飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A． B． C． D． 10．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．若抛物线的顶点在x轴上，则______． 12．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积为______． 14．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 15．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④；上述结论正确的有________（填序号）． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18．为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园（如图）． (1)若围成的矩形菜园的面积为，则矩形菜园的长和宽分别是多少？ (2)围成的矩形菜园的面积能否为？请说明理由． 19．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是． (1)求篮球出手点距离地面的高度； (2)求篮球行进过程中距离地面的最大高度 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题13分，第22题13分，共38分） 20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在反比例函数图象上有一点P，满足，求点的坐标． 22．如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年人教版九年级数学第一学期国庆学生自主练习卷7 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项，得． 配方，得．即． 3．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A． 对称轴是直线 B． 顶点坐标为 C． 当时，随的增大而增大 D． 图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D说法错误，不符合题意． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 8．年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 9．飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵当s取最大值时，飞机停下来， ∴t= =20， 故选：B． 10．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．若抛物线的顶点在x轴上，则______． 【答案】2 【详解】解：对于抛物线，可得顶点坐标为， ∵顶点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴ 解得． 12．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积为______． 【答案】24或 【详解】解：对方程整理，两边同乘4得， 因式分解得， 解得或， 验证三角形三边关系：∵已知两边长为和， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 分两种情况计算面积： ①当第三边长为时， ∵， ∴该三角形为直角三角形，直角边为和， ∴， ②当第三边长为时，该三角形为等腰三角形，腰长，底边长， 过顶点作底边上的高，如图， 由勾股定理得高， ∴， 综上所述，三角形的面积为24或． 13．为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 【答案】 【详解】解：设选出的小队长有名， 小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同， 每个小队长管理名队员，所有队员总人数为名， 啦啦队总人数为人，总人数为小队长人数加队员人数， 列方程得：， 整理得：， 因式分解得 ， 解得 ，， 人数不能为负数， 舍去， 答：选出的小队长有名． 14．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】10 【详解】解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 15．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④；上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①正确， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①③④． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 17．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； （2）解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 18．为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园（如图）． (1)若围成的矩形菜园的面积为，则矩形菜园的长和宽分别是多少？ (2)围成的矩形菜园的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜园的长是，宽是 (2)不能；理由如下： 解：设垂直于墙的一边长为，则矩形的另一边长为 则， 整理，得， ，， ∴， ∴所列一元二次方程没有实数根， 故围成的矩形菜园的面积不能为． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：矩形菜园的长是，宽是． （2）略 19．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是． (1)求篮球出手点距离地面的高度； (2)求篮球行进过程中距离地面的最大高度 【答案】(1)篮球出手点距离地面的高度为 (2)篮球行进过程中距离地面的最大高度为 【详解】（1）解：令，则． 答：篮球出手点距离地面的高度为． （2）解：． ∴其顶点坐标为， 故篮球行进过程中距离地面的最大高度为． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题13分，第22题13分，共38分） 20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：设直线的解析式为，代入B、C坐标得， 解得：，， ∴， 过点P作轴于点H，交于点Q，如图， 设，则， ∴， ∴ ∵， ∴时，最大，为27． 此时． 21．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在反比例函数图象上有一点P，满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 将代入得，， 点P坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 22．如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)存在， (3) 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：存在点D，如图2，连接交直线l于点D，连接， ∵点A与点B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，此时点D即为与直线l的交点， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得， ∴． 抛物线的对称轴为直线，将代入得， ∴点D的坐标为． （3）解：由（2）知，直线的解析式为，如图3，过E点作轴交于点M， 设点E的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴的面积，的面积， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 解得或（舍）， ∴点E的坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $