第1-3章阶段性检测2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1-3章阶段性检测2026-2027学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形其内角和是 D．早上的太阳从西方升起 2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）对于二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．过点 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，绕点O逆时针旋转得到， 若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则（   ） A． B． C． D． 6.（25-26九年级上·浙江金华·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验： 不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别． 从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－ 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方， 且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点， 则点C到弦所在直线的距离是（   ） A． B． C． D． 10． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（）的图象如图所示， 有下列结论：①；②；③；④（）；⑤， 其中正确的为（   ） A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤ 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球， 这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为______． 11． （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个 单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 12． （25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花． 图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图 （其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为， 则图2中摆盘的面积是______． 13． （25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时， 水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 15． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星” （即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是______． 16． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠， 弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为_______ 3、 解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》 《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义， 是中国传统文化的重要组成部分． (1) 若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是______． (2) 若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）， 求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点和． (1) 求该二次函数的表达式． (2) 判断点是否在该二次函数图象上． 19． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个， 它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1) 当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2) 试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3) 若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 20． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，是弦，且于点 连接、、． (1) 证明：； (2) 若，，求弦的长． 21． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）随着2025年春节电影《哪吒2》大火， 商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组） 的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组， 如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．     (1) 用的代数式表示： ① 每一组手办的利润是________． ② 每天可销售的手办组数是________． (2) 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ (3) 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 22． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点E， G是上任意一点，连接，，． (1) 若，求的度数． (2) 若，，求的长． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线． (1) 若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2) 直线与该抛物线相交于，两点． ① 若，求的值． ② 点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 24. （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，， 以为直径作分别交于点D，    (1) 求证： (2) 若，，求半径． (3) 如图2，点F在上，，连接、．求证：． 第1-3章阶段性检测2026-2027学年浙教版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列事件是必然事件的是（   ） A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．任意画一个三角形其内角和是 D．早上的太阳从西方升起 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件是解答的关键． 根据初中数学知识，三角形的内角和定理保证任意三角形的内角和均为，因此选项C是必然事件；其他选项均不是一定发生的事件． 【详解】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； 选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意； 选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意； 选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）对于二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．过点 【答案】C 【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断A、B、C，通过判定是否满足函数解析式可判断D，即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，故A、B均不正确，C正确； 令可得，即函数图像不过点，故D不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象经过，，三点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 6.（25-26九年级上·浙江金华·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）筒车（如图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2是其示意图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦，的半径是．若C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C 14． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（）的图象如图所示， 有下列结论：①；②；③；④（）；⑤， 其中正确的为（   ） A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当时，得，当时，，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；由抛物线的对称轴为直线：，可得，结合，即可判断⑤． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴的右侧，a与b异号， ∴， ∵与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则． ∴，故②错误； ∵当时，．即．故③正确； ∵时函数有最大值， ∴当时的y值大于当时的y值， 即 ∴成立，故④正确． ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵， ∴，故⑤错误． 综上：③④正确． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了概率，概率是出现某事件的频率，由红球的概率为即可求解． 【详解】解：红球的概率为，袋内只装有个红球和1个黑球， ． 12．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”得出平移后的抛物线的解析式，进而写出顶点坐标即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， ∴平移后抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13.（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 18． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星” （即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据正多边形的每个内角都相等，每条边都相等求出每个内角的度数，再根据等边对等角分别求出、的度数，即可得解,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 即该正五角星的每个顶角的度数是， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为______ 【答案】．4 【分析】观察图形延长CO交AB于E点，由OC与AB垂直，根据垂径定理得到E为AB的中点，连接OB，构造直角三角形OBE，然后由PB，OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而得出AB的长． 【详解】延长CO交AB于E点，连接OB， ∵CE⊥AB， ∴E为AB的中点， 由题意可得CD＝4，OD＝4，OB＝8， DE＝（8×2﹣4）＝×12＝6， OE＝6﹣4＝2， 在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2， 代入可求得BE＝2， ∴AB＝4． 故答案为：4 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》，它们不仅是文学艺术的瑰宝，也蕴含了深刻的现实意义，是中国传统文化的重要组成部分． (1)若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《红楼梦》的概率是______． (2)若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），求抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的概率． 【答案】(1) (2)概率为 【分析】本题考查利用概率公式求概率，画树状图法求等可能事件的概率等知识点， （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可； 掌握画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 【详解】（1）∵从“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》中随机抽取一本， ∴抽取的恰好是《红楼梦》的概率是， 故答案为：； （2）把《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 两本是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，即，， 所以P（两本是《水浒传》和《西游记》）． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把两个已知点的坐标分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：把和分别代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在该二次函数图象上． 23． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个， 它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 (1)当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ (3)若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)白球为42个，黑球为18个 (3)30个 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）观察表格中的数据，随着摸球次数的增加，摸到白球频率逐渐趋近于某一个值，据此分析可得到答案； （2）白球个数=球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数； （3）设再放入x白球，根据摸到白球的概率为，列方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知：当n的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 所以估计摸到白球的概率为； （2）解：盒子里白球的数量为（个， 所以黑球的数量为（个； （3）解：设再放入x个白球， 则有， 解得， 经检验，是方程的解， 答：需要往盒子里再放入30个白球． 24． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，是弦，且于点 连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1) 证明：为的直径，是弦，且， ， ； (2) 【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明； （2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）略； （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 25． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）随着2025年春节电影《哪吒2》大火， 商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组） 的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组， 如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．    (1)用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． (2)当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ (3)当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2)每组手办降价5元时利润可以为3500元 (3)当时，有利润的最大值为3600元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② （2）根据题意得：，     整理得：， 解得：，．     答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． （3）每天的利润为， 则      ， 当时，有利润的最大值为3600元． 26． （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点E， G是上任意一点，连接，，． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的直径，弦于点E，得，由垂直平分，得，则，所以； （2）连接，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）解：连接， 是的直径，弦于点E， ， 垂直平分， ， ∴， ∴， ∴的度数是； （2）解：连接， ，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 的长是． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，， 以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． (2)5 (3) 证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $