第二章 有理数的运算 章末优化试题 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算 章末优化试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册 一、单选题 1．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 2．每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 4．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 5．在，，，，中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 7．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 8．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 9．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 二、填空题 11．计算：_______ 12．若，则 ______． 13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 15．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．已知|a|＝3，|b+1|＝3，a＜b，求ab的值． 19．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 20．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．某天自地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：． (1)问收工时距地多远？ (2)该检修小组出发后距离出发地最远距离为多少？ (3)若每千米路程耗油0升，问从地出发到收工共耗油多少升？ 21．规定一种新的运算，定义：，如． 请用上述规定计算下面各式： (1)； (2)． 22．今年国庆、中秋假期期间（10月1日至10月8日）某景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数），已知9月30日到该景区旅游的有1万人． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 10月8日 人数变化/万人 (1)国庆、中秋假期期间该景区游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)国庆、中秋假期期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票价格为每人20元，求国庆、中秋假期期间该景区门票的总收入． 23．【巧用乘法分配律计算】周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式．任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算（填“减法”“乘法”或“除法”），再求括号外的运算： (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式    ①     ②     ③     ④ ．    ⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (3)根据材料中的方法2计算：． 24．观察下面三行数． 第一行：，，，，，； 第二行：，，，，，； 第三行：，，，，，． (1)第一行中的数是按什么规律排列的？第二行中的数与第一行中的数有什么关系？ (2)按第三行中的数的排列规律，第个数和第个数分别是多少？第个数呢？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D A A B A B C 1．D 根据倒数的定义计算即可得到结果． 解：∵， ∴的倒数为． 2．C 解：∵万亿， ∴万亿. 3．A 根据数轴上点的位置确定M、N的取值范围，采用特殊值法代入各选项计算并比较大小即可解答． 由数轴可知：， 不妨设，则， ∵， ∴的结果最大． 4．D 根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 5．A 先根据乘方，绝对值，相反数的定义化简每个数，再根据负数的定义统计个数即可． 解：∵，，，，， ∴负数为，，，，共4个． 6．A 先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 7．B 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 解：∵， ∴ ． 8．A 根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 9．B 根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 10．C 根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 11． 解：． 12． 本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解． 解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 13．49 解：由题意得，． 14．/ 本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 16．或或 利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 17．(1) (2)37 （1）先把除法转化为乘法、然后根据乘法分配律即可解答本题； （2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题； （1） （2） 本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 18．9 根据|a|＝3，|b+1|＝3，a＜b确定a、b的值，再代入计算即可； 解：由|a|＝3，|b+1|＝3得：或－4， ∵a＜b ∴ ， ∴ ． 19．不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 20．(1)收工时距A地8千米 (2)该检修小组出发后距离出发地最远距离为13千米 (3)从A地出发到收工时共耗油升 （1）约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和即可； （2）依题意列式解答即可； （3）先求出他共走了多少路程，然后乘以每千米路程耗油0.2升，即可得出结果． （1）解：（千米）； 答：收工时距地8千米； （2）解：该检修小组出发后距离出发地的距离依次有10千米； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）． ∴该检修小组出发后距离出发地最远距离为13千米； （3）解：（千米）， （升）． 答：从A地出发到收工时共耗油升． 21．(1)2 (2)8 本题考查了新定义下的实数运算，正确理解的含义是解决本题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）先计算，再计算即可． （1）解：； （2）解： ． 22．(1)最多的是10月3日，有万人 (2)万人 (3)4960000元 本题考查了正负数的应用、有理数加法与减法的应用、有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据表格记录的人数，分别求出国庆、中秋假期期间该景区每天的游客人数，由此即可得； （2）利用国庆、中秋假期期间该景区游客的总人数除以假期的总天数即可得； （3）利用国庆、中秋假期期间该景区游客的总人数乘以该景区每人的门票价格即可得． （1）解：由表格可知，10月1日该景区游客人数为（万人）， 10月2日该景区游客人数为（万人）， 10月3日该景区游客人数为（万人）， 10月4日该景区游客人数为（万人）， 10月5日该景区游客人数为（万人）， 10月6日该景区游客人数为（万人）， 10月7日该景区游客人数为（万人）， 10月8日该景区游客人数为（万人）， 所以国庆、中秋假期期间该景区游客人数最多的是10月3日，有万人． （2）解： （万人）， 答：国庆、中秋假期期间该景区平均每天接待万人． （3）解： （元）， 答：国庆、中秋假期期间该景区门票的总收入为元． 23．(1)减法 (2)① (3)1 本题考查了倒数，有理数乘法运算律，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据材料作答； （2）根据解法，找出错误的步骤即可； （3）先求出倒数，再求解． （1）解：材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的运算， 故答案为：减法； （2）小明的解法是错误的，从第①步开始出现错误， 故答案为：①； （3）原式的倒数 所以原式． 24．(1)，，，，，…；第二行中的数是第一行中相应的数减1，再取差的相反数， (2)第9个数和第10个数分别是．当n为奇数时，第n个数为；当n为偶数时，第n个数为． (3) （1）先很容易就可判断出第一行中的数的排列规律，再紧扣题目，将第二行数据与第一行数据进行联系，即可找到规律，即可作答； （2）第三行的数据规律较难，应该分步找规律，即分别先从数的符号、分子找规律，再结合第一行数据寻找分母的规律，总结这三项的规律，即可作答． （3）求出每行中的第个数，再计算即可． （1）解：第一行中的数的排列规律为，，，，，…． 第二行中的数是第一行中相应的数减1，再取差的相反数， 即，，，，，… （2）第三行的数字的规律，分步探究： 第一步：正负符号，按照顺序可知，第一个数字为正，之后是负数，再又是正数，这样依次正负交替变化； 第二步：分数的分子，从1开始，依次是2、3、4、5、…，为自然数， 第三步：分母：，，，，，即第n个数时，当n为奇数时，分母为；当n为偶数时，分母为， 综上：当n为奇数时，第n个数为；当n为偶数时，第n个数为， 即第个数为，第个数为； （3）第一行的第20个数为：， 第二行的第20个数为：， 第三行的第20个数为：， 即：． 学科网（北京）股份有限公司 $