《第二章 有理数的运算》单元试卷（卷一）2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 这份初中数学试卷以有理数运算为核心，融合《九章算术》正负术、干支纪年法等文化素材及民航客运、水费计算等现实情境，通过问题链设计培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、运算律、数轴比较|结合古代数学文化（第4题《九章算术》）| |填空题|6/18|倒数相反数、新定义运算、程序流程图|融入干支纪年法（第15题）考查数学应用| |解答题|9/72|有理数混合运算、实际问题（水费/盈利）、进位制|设计进位制探究（第23题）与数轴动态问题（第25题），发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年人教版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 有理数（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D.  2.下列说法正确的是（       ） A.可能是正数 B.一定是正数 C.两个有理数相加，和一定大于加数 D.两个有理数相减，差一定小于被减数 3.小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（     ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.分配律  4.我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（） 图1 图2 A. B. C. D.  5.下列计算正确的是（     ） A. B. C. D. 6.在用运算律计算时，题目变形合理的为（        ） A. B. C. D.  7.在等式中，▲表示的数是（     ） A.2 B.4 C.2或 D.或4  8.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（        ） A. B. C. D. 9.若，则的值可能是（       ） A.1和3 B.和3 C.1和 D.和  10.下列说法中，错误的个数是（       ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2025； ⑤若，则的值为1． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.－2的倒数是________；的相反数是_______；倒数等于它本身的有理数是________．  12.规定一种运算：，则的值为________．  13.机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是________．  14.如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是________．  15.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：（2022－3）；地支为：（2022－3）；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥  16.观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则____ ____．（用含有S的式子表示）． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(4分) 计算： （1）． （2）． 18.(8分) 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19.(6分) 金秋，学校的劳动实践果园里苹果挂满枝头，老师组织七年级同学一共采摘了10袋苹果，每袋质量各不相同，为了计算简便，以每袋5千克为标准，超过标准质量的记作正数，不足的记作负数，所做记录如下表： 袋子编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记录结果 （1）在摘得的10袋苹果中，质量最多和最少的一袋各是多少千克？ （2）七年级同学共摘得苹果多少千克？ 20.(8分) 【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：．   21.(8分) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图，     （1）比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； （2）判断正负，用“>”或“<”填空：______0；__ ____0；______0． （3）化简：．   22.(8分) 为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． （1）小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ （2）小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ （3）小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 23.（9分）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是____10______； 【理解运用】（2）计算： ，，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 24.(9分) 某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 25.(12分) 【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则，两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与 （填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则 （用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则的值为 ； （4）运用二：代数式的最小值为 ； （5）运用三：代数式的最大值为 ； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 有理数（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 故选：．  2.下列说法正确的是（       ） A.可能是正数 B.一定是正数 C.两个有理数相加，和一定大于加数 D.两个有理数相减，差一定小于被减数 【答案】 A 【解析】 本题考查有理数的加减法，绝对值的性质．根据有理数的加减法法则，绝对值的性质进行逐项判断即可． 【解答】 解：可能是正数，说法正确，符合题意； 、不一定是正数，也可能是，说法错误，不符合题意； 、两个有理数相加，和不一定大于加数，例如两个负数相加，和小于加数，说法错误，不符合题意； 、两个有理数相减，差不一定小于被减数，例如一个正数减去一个负数，差比被减数大不符合题意； 故选：． 3.小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（     ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.分配律 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算. 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律. 【解答】 原式为 ，小慧将其变为 交换了加数4的位置， 使用了加法交换律； 将 和 结合， 使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律. 故选：C.  4.我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键根据有理数加法的计算得出结论即可. 【解答】 解：由题意知，白色列数表示正数，黑色列数表示负数， 图2表示的过程应是在计算 故选：D.  5.下列计算正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了有理数的混合运算，运算律，需按照运算顺序（先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内）逐一计算每个选项，判断正误即可，掌握运算法则是解题的关键 【解答】 解：A、 ，原选项计算错误，不符合题意； B、 ，原选项计算错误，不符合题意； C、 ，原选项计算错误，不符合题意； D、 ，原选项计算正确，符合题意； 故选：D. 6.在用运算律计算时，题目变形合理的为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 又 原式可变形为 故选：．  7.在等式中，▲表示的数是（     ） A.2 B.4 C.2或 D.或4 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出 ，根据题意可得 ，据此即可求出 “▲” 处表示的数. 【解答】 由结果为0，可得 ，解得 . 故选C.  8.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【解答】 解：由题意可得，当开始输入的x值为22，第一次输出的结果为， ∴ 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ∴ ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ∵ ， ， ， ∴ 第2020次输出的结果为4． 故选：． 9.若，则的值可能是（       ） A.1和3 B.和3 C.1和 D.和 【答案】 B 【解析】 本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据 即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可. 【解答】 解： （2分） 解： 设 a > 0,b > 0时， 或 a < 0,b > 0时， 或 时， 综上可得： 或 -1. 故选：B.  10.下列说法中，错误的个数是（       ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2025； ⑤若，则的值为1． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与 无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤. 【解答】 解：①若 则 ，故①正确，不符合题意； ②若 当 时， ，则 ，此时 ; 当 时， 则 此时 当 时， 则 此时 当 ， 时， ，则 ， ，此时 ，故②错误，符合题意； (3) 三点在数轴上对应的数分别是 -2、6、 与 6 的距离为 8，-2 与 的距离为 ，6 与 的距离为 若相邻两点的距离相等， 则 或 或 解第一个方程得 或 （舍）； 解第二个方程得 解第三个方程得 或 （舍） 或-10或14,故③错误,符合题意； ④若代数式 的值与 无关， 只有当 时， ,故④错误,符合题意； ： 中一定是一正两负， 不妨设 ,故⑤正确,不符合题意; 故选：C. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.－2的倒数是________；的相反数是___-3_____；倒数等于它本身的有理数是________． 【答案】 ,-3, 【解析】 本题主要考查了倒数的定义，相反数的定义，根据“乘积为1的两个数互为倒数”，求出 的倒数，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”求出 的相反数即可. 【解答】 解： 的倒数是 ； 的相反数是-3；倒数等于它本身的有理数是 故答案为： ；-3；  12.规定一种运算：，则的值为___32_____． 【答案】 32 【解析】 根据新定义代入计算即可. 【解答】 解： 故答案为： 32  13.机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是___或 _____． 【答案】 或 【解析】 本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出M，N表示的数分别为 和3，根据题意得出乙所在位置表示的数为 ，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解. 【解答】 解：根据数轴可得M，N表示的数分别为 和3， 乙的速度是平均每秒 个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， 此时甲所在位置表示的数是 或 故答案为： 或 .  14.如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是________． 【答案】 【解析】 本题考查了有理数的混合运算与流程图，理解流程图的含义，掌握有理数的混合运算法则是关键.根据题意，分别代入列式，结合有理数的混合运算法则即可求解. 【解答】 解：当 的值为-4， 的值为6， 第一次计算： 第二次计算： 故答案为：  15.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：（2022－3）；地支为：（2022－3）；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历____辛亥____年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】 辛亥 【解析】 本题考查有理数除法的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键； 根据干支纪年法的计算方法，计算2031年减3后除以10的余数确定天干，除以12的余数确定地支. 【解答】 解：计算天干： ，余数8对应天干序号8为辛； 计算地支： ，余数0对应地支序号12为亥； 故2031年为农历辛亥年； 故答案为：辛亥.   16.观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则____ ____．（用含有S的式子表示）． 【答案】 【解析】 本题考查数的运算规律，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键. 通过观察给定的等式，得出规律： ，然后将所求的和表示为从 到 的和与从 到 的和的差，利用规律代入计算. 【解答】 解：根据规律， 故答案为： 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(4分) 计算： （1）． （2）． 【答案】 【解析】 （1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可. 【解答】 （1）解： （2）解： . 18.(8分) 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 11 29 -10 【解析】 （1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，写成省略加号的形式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据乘方的定义，把乘方计算出来，再根据运算法则进行计算； （3）根据除以一个不为0的数等于乘以它的倒数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘方的定义、绝对值的性质算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算. 【解答】 （1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： .  19.(6分) 金秋，学校的劳动实践果园里苹果挂满枝头，老师组织七年级同学一共采摘了10袋苹果，每袋质量各不相同，为了计算简便，以每袋5千克为标准，超过标准质量的记作正数，不足的记作负数，所做记录如下表： 袋子编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记录结果 （1）在摘得的10袋苹果中，质量最多和最少的一袋各是多少千克？ （2）七年级同学共摘得苹果多少千克？ 【答案】 质量最多的一袋是6.1千克，最少的一袋是3.7千克； 七年级同学共摘得苹果50.1千克. 【解析】 （1）根据题意和数据列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可. 【解答】 （1）解：由题意得： （千克）， （千克）， 质量最多的一袋是6.1千克，最少的一袋是3.7千克； （2）解：由题意得： （千克）， （千克）， 七年级同学共摘得苹果50.1千克. 20.(8分) 【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是___解法二___；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】 解法二； 【解析】 （1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果. 【解答】 （1）解：解法一中将 拆分为 的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的；解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的. 正确的解法是解法二. （2）解：原式的倒数为   21.(8分) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图，     （1）比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； （2）判断正负，用“>”或“<”填空：__>____0；__ <____0；___<___0． （3）化简：． 【答案】 >; <; < a-2b-c. 【解析】 （1）根据 ， 与原点的距离判断其相反数在数轴上的位置即可； （2）根据数轴上右边的数比左边的数大；同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，计算求值即可； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可； 【解答】 （1）解： 离原点的距离要大于b离原点的距离， （2）解： 的符号为负， 综上可得： ， ， ； （3）解： a+b<0 a-c<0,   22.(8分) 为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． （1）小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ （2）小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ （3）小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】 34.56元 65.04元 19吨 【解析】 （1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解。 【解答】 （1）解：∵ 12吨＜15吨， ∴ 按第一档计费：12×2.88=34.56（元）； 答：小明家10月份用水12吨，应缴水费34.56元； （2）解：∵ 15吨＜21吨＜22吨， ∴ 分两档计费：15吨费用：15×2.88=43.2（元）， 超出15吨的部分：21-15=6（吨），费用6×3.64=21.84（元）， ∴ 总水费：43.2+21.84=65.04（元）； 答：11月份用了21吨水，应缴水费65.04元； （3）解：15吨总水费43.2元， 22吨总水费：43.2+(22-15)×3.64 =43.2+7×3.64 =43.2+25.48 =68.68（元）， ∴ 43.2＜57.76＜68.68， ∴ 用水量在15~22吨之间， 超出15吨的费用：57.76-43.2=14.56（元），超出15吨的水量：14.56÷3.64=4（吨）， 总用水量：15+4=19（吨）． 答：她家10月份用水19吨． 23.（9分）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是____10______； 【理解运用】（2）计算： ，，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】 10; (2) 25; (3) 69天 【解析】 本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键. (1) 根据题干中的方法计算即可; (2) 分别将 和 转化为十进制数, 相加即可; (3) 仿照二进制数转化成十进制数的方法计算. 【解答】 解： 故答案为：10； (2) (3) 由题意知, 图示中的五进制数为 , 即孩子已经出生69天.  24.(9分) 某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第__四____周，销售量最高的那周销售额是__1026____元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 【答案】 四，1026 826元 饭堂更希望方案一卖出 【解析】 （1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可. （2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利 （售价-成本） 总销售量）计算总盈利. （3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案. 【解答】 （1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为 （块） 销售额为 （2）解：计算每周实际销售量第一周： （块） 第二周： （块） 第三周：200-6=194（块） 第四周：200-12=188（块） 总销售量为228+216+194+188=826（块） 每块面包的盈利为4.5-3.5=1（元） 总盈利为 （元） 答：开学第一月的总盈利是826(元) （3）解：方案一：每块面包售价为6-0.3=5.7(元) 饭堂的利润为 （元） 方案二：3块面包的利润为 （元） 超过3块的数量为7-3=4（块） 这4块面包的售价为 （元） 这4块的利润为 （元） 总利润为 （元） 饭堂更希望方案一卖出 25.(12分) 【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则，两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与 2 （填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则 （用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则的值为 或 ； （4）运用二：代数式的最小值为 6 ； （5）运用三：代数式的最大值为 7 ； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】 或 ，；或，； 【解析】 （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【解答】 （1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， 时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：表示与的距离和与的距离的差， 当时， 则：， 当时，则， ， 当时，则， 综上的最大值为：； 故答案为：； （6）解：动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， 点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， 的中点为：，的中点为：，的中点为：， 在的左边，在的左边， 在的左边，在的左边， ，， ， 时，的值与无关，即， ， ，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年初中数学 (上) 试卷(2026年9月18日) 卷I（选择题） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ，）   1.据统计，2026年暑假期间，我国民航客运累计发送旅客560万人次，把560万用科学记数法表示为（        ） A. B. C. D.   2.下列说法正确的是（       ） A.可能是正数 B.一定是正数 C.两个有理数相加，和一定大于加数 D.两个有理数相减，差一定小于被减数   3.小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（     ） A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.分配律   4.我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（） 图1 图2 A. B. C. D.   5.下列计算正确的是（     ） A. B. C. D.   6.在用运算律计算时，题目变形合理的为（        ） A. B. C. D.   7.在等式中，▲表示的数是（     ） A.2 B.4 C.2或 D.或4   8.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（        ） A. B. C. D.   9.若，则的值可能是（       ） A.1和3 B.和3 C.1和 D.和   10.下列说法中，错误的个数是（       ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2025； ⑤若，则的值为1． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ，）   11.－2的倒数是________；的相反数是________；倒数等于它本身的有理数是________．   12.规定一种运算：，则的值为________．   13.机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是________．   14. 如图是一个有理数混合运算的流程图．例：当的值为，的值为，输入的值为2时，根据流程图可列式为，，符合输出条件，输出结果为．依照此流程，当的值为，的值为6，输入的值为8时，最终输出的结果是________．   15.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）．以2022年为例：天干为：（2022－3）；地支为：（2022－3）；对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．请你依据上述规律推断2031年为农历________年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥   16.观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则________．（用含有S的式子表示）． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ，）   17.(4分) 计算： （1）． （2）．   18.(8分) 计算： （1）； （2）； （3）； （4）．   19.(6分) 金秋，学校的劳动实践果园里苹果挂满枝头，老师组织七年级同学一共采摘了10袋苹果，每袋质量各不相同，为了计算简便，以每袋5千克为标准，超过标准质量的记作正数，不足的记作负数，所做记录如下表： 袋子编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 记录结果 （1）在摘得的10袋苹果中，质量最多和最少的一袋各是多少千克？ （2）七年级同学共摘得苹果多少千克？   20.(8分) 【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：．   21.(8分) 有理数a、b、c在数轴上的位置如图，     （1）比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； （2）判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． （3）化简：．   22.(8分) 为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． （1）小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ （2）小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ （3）小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？   23.（9分）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算： ，，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示）   24.(9分) 某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 （1）开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． （2）开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） （3）为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出?   25.(12分) 【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则，两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与 （填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则 （用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则的值为 ； （4）运用二：代数式的最小值为 ； （5）运用三：代数式的最大值为 ； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 学科网（北京）股份有限公司 $