辽宁省2026-2027学年高三上学期数学第一次月考模拟卷（1）

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷(1) 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（考生禁止填涂)☐ 1答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并 认真核对条形码上的姓名、准考证号。 填 正确填涂 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5 涂 意 样 错误填涂 事 毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰 例 刀X 】加三 项3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的 无效，在草稿纸、试题卷上作答无效。 4答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题 1 A [B]CD 5 [AJ [B]C[D] 9 [A [BC]D 2 [A][B][C]D 6 A [B][CI [D] 10 [A [BC]D 3 A [B]CID 7A▣BICD 11A▣BCD 4AIBC☑D四 8 A [B C][D] 非选择题 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15.(13分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 续15 16.(15分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 17.（15分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 18.（17分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 续18 19.（17分) 严禁超出矩形边框作答 严禁超出矩形边框作答 续19 严禁超出矩形边框作答 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷（1） 高三数学 考试范围：集合、不等式、命题、函数、导数、三角函数、解三角形、向量、复数 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、分步乘法计数原理及简单应用 【详解】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 2．设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 3．已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【详解】函数图像向左平移个单位后得到函数. 由其图象关于原点对称可得. 所以. 由于，所以的最小值为. 4．已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、求二项展开式、由奇偶性求参数 【分析】先根据奇函数性质求得，再求的定义域，并结合复合函数单调性法则“同增异减”判断即可. 【详解】 ， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以，定义域为， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”可得在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为. 5．已知钝角满足，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】利用三角恒等变换、因式分解结合钝角的取值范围求解. 【详解】由二倍角公式，代入原方程得：， 整理得： 利用替换常数项， ， 合并同类项得：， 因式分解得：， 分情况讨论： ，即，已知是钝角（），此时，不符合条件，舍去； 当，整理得：， 联立，解得或， 因为为钝角，故， 所以，所以. 6．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于对称 C．的最大值为 D．函数有8个零点 【答案】D 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，由于是定义域为且周期为4的奇函数，故，， 同理，+，故选项A正确； 对于选项C，因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数， 当时，， 所以时，，故， 得到时，， 当时，，， 得到时，， 则当时，， ， 当时，，， 当时，，， 则当时，， 所以，， 易知，也是周期为4的周期函数，函数图像如图所示，在x处有最大值， 故，故选项C正确； 对于选项B，由图像知，对称轴为， 易知，k＝1时，，故选项B正确； 对于选项D，画出与的图像， 因为时，，时，；时，；时，， 如图所示，y＝g(x)与y共由9个交点，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用函数的周期性，从而得出的图像，利用图像，数形结合来解决问题. 7．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、向量在几何中的其他应用 【分析】由奔驰定理得三小三角形面积比为 3：4：5，垂心下面积比对应内角正切之比，结合三角形正切恒等式即可求出. 【详解】    延长交于，延长交于， 根据奔驰定理 结合题设，可得面积比，其中 ，，， 是 的垂心， 所以，所以， 所以，所以，因此 ， 同理 ，， ，， ，， 在 中由正弦定理得， 代入 ，，得，得 同理 ，即 ， 由三角形面积公式：，同理得，， 所以： 因为， 所以 ， 在三角形内，故为锐角三角形，设 ，，（）， 在中，因为， 得， 所以，，解得， 所以. 8．已知实数x，y满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根 【分析】通过等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案. 【详解】由， 变形为. 令，，.则等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且， 所以， 所以，解得，所以. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．若m为实数，复数是纯虚数，则 C．若是关于x的方程的一个根，则 D．若复数 z满足 则复数 z对应的点所构成的图形面积为 【答案】BC 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根 【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根与系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D. 【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为复数是纯虚数， 所以，解得，故B正确； 因为是关于的方程的一个根，则另一根为， 由根与系数的关系可得，解得， 则，故C正确； 若复数满足，由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环， 则复数对应的点所构成的图形面积为，故D错误. 10．在单位圆中，O为圆心，为直径，P为圆上任意一点，为直径上（含端点）相异的两点.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则向量，的夹角为 C． D．若，则 【答案】ACD 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律、向量夹角的计算、向量与几何最值 【分析】对于A，利用加法法则可得；对于B，将，两边平方，可得向量，的夹角的余弦，即可得向量，的夹角；对于C，设的中点为D，则，由三点的相对位置关系可得的范围；对于D，因为，当分别为直径上两个端点时，取得最小值，当无限靠近原点时，最大，趋近于，即得范围. 【详解】由已知，，A正确. 若，则， 设向量，的夹角为，则， ∵，解得，，故B错误.      设的中点为D，则，则， 当三点很贴近时，长度接近0，所以； 当很贴近且为直径时，的长度接近直径，所以，故C正确. 因为，由已知，当分别为直径上两个端点时，， 则，此时取得最小值， 当无限靠近的中点，即原点时，最大，趋近于， 所以，故D正确． 故选：ACD. 11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C．边上的中线长为 D．的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】借助三角形内角和关系、两角和的正弦公式、正弦定理将角化边后计算即可得A；利用两角差的正弦公式与A中所得计算即可得B；借助余弦定理与A中所得计算即可得C；利用C中所得，结合三角形三边关系计算即可得D. 【详解】对A：， 由正弦定理可得，由， 则，故A正确； 对B：由正弦定理可得， 则， 由A知，则， 故， 故或， 由可知与同号， 若同为负数，则，不符， 故、同为正数，故不符，舍去， 故，故B错误； 对C：设中点为，则，即， 故，即， 由余弦定理可得，， 故，整理得， 由A知，，则，整理得， 故，故，故C正确； 对D：由C知，，则，故， ，则，整理得， 左右同除，可得，解得； 综上可得的取值范围是，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，则__________． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【详解】因为 所以 所以 所以 即 又，所以 即 由得 13．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】首先根据条件求出，进而可求得，再用点斜式写出切线方程，化简转换即可得到一般式方程． 【详解】把代入，解得，即， 由的斜率为2，得到， ， ，即所求切线的斜率为6， 又，即所求直线与的切点坐标为， 则所求切线的方程为，即． 14．已知函数，且为奇函数．若关于x的方程在上有四个不相等的实数解，则________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、由奇偶性求参数 【分析】先通过三角恒等变换化简的解析式，结合奇函数的性质求解参数，再利用函数的对称性确定四个实根的平均值，代入函数计算即可. 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ . 令，由为奇函数，得，且. ∵ ， 奇函数不含余弦项，故的系数为0，即，解得. 再由，得，代入的值，得，解得. 故. ∵，∴. ∵ 方程在上有四个不等实根，即有四个解， 则或，即或， ①当，即时， 由图象可知，交点两两关于对称，故，， ∴ ，则. ∴ . ②当，即时， 由图像可知，交点两两关于对称，故，， ∴ ，则. ∴ . 综上，. 【点睛】方法归纳：本题利用三角恒等变换化简三角函数，结合奇函数的性质求解参数，再利用函数的对称性快速求解方程根的和，避免了复杂的解方程过程. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求导得到切线的斜率，再根据点斜式写切线方程即可； （2）先分离参数，构造新函数，再通过导数找出的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）依题意，时，函数，且的定义域为， 则，， 所以切线方程为，即． （2）因为在上恒成立，即在上恒成立， 即时，恒成立，则．         令，则， 令，所以， 因为，所以恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以， 则在上恒成立，即函数在上单调递减， 所以函数的最大值为， 所以，即a的取值范围为． 16．（15分）记的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 在中，可得解得， 可得，所以，则， 即. 所以的周长的取值范围为. 17．（15分）已知平行四边形，，，，记，，，且． (1)若，求的值； (2)当取最小值时，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算、坐标计算向量的模 【分析】（1）方法一：先利用线段比例把用基底表示，再借助数量积定义求得之间的夹角，最后代入模长与数量积即可求得结果； 方法二：建立直角坐标系写出各点的坐标，得到向量的坐标后，利用坐标运算公式即可求得结果； （2）方法一：借助向量的基底运算把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角； 方法二：借助坐标运算公式把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角. 【详解】（1）方法一：在平行四边形中，因为， 所以， 因为， 所以，又，所以． 所以． 方法二：因为， 所以，又，故． 以为原点建立如图直角坐标系， 所以，，，， 因为，所以，所以，， 当时，，， 所以． （2）方法一：因为， 所以当时，取到最小值为4，即 取到最小值为2． 此时， 所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0． 方法二：由（1）可得：， 所以， 当时，取到最小值为4，即取到最小值为2． 此时，所以， 所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0． 18．（17分）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得； （2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得； （3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由可得， 因为， 所以， 由，得，又，则. （2）如图： 由余弦定理，，因为，， 所以，又，所以. 由，得， 整理得：. （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. 19．（17分）已知，． (1)求证：图象关于直线对称； (2)当时，存在最大值，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求的值． 【答案】(1)证明： 关于直线对称． (2) (3) 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用函数对称性的定义式证明即可； （2）由对称性转化为研究时函数有最大值，求导后分类讨论，结合函数极值及函数单调性判断函数是否存在最大值即可得解； （3）利用函数的导数，分别分析三种情况，即可由不等式恒成立求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知关于直线对称，故仅考虑． ，设，． （i）当时，恒成立．在单调递增， 此时，在单调递减． 所以，此时在不存在最大值. （ii）当时，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，， 所以 ①当时，的大致图象如下图所示， 可知时，，在单调递增， 此时存在最大值，符合题意； ②当时，使，的大致图象如下图所示， 可知时，，在单调递减， 可知时，，在单调递增， 当时，在存在最大值，即，即. 综上时有最大值. （3）由（2）知：当时，不成立，时，， ，，、， 使，且     在单调递增，单调递减，单调递增， ，，，，，在单调递增，单调递减，在成立， 时，，成立， 时，，成立， 所以，对时，恒成立． 当时，、使，且 在单调递增，单调递减，单调递增， ，，，     ，，在单调递增， 时，不成立，综上，对时，恒成立． 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷（1） 高三数学 考试范围：集合、不等式、命题、函数、导数、三角函数、解三角形、向量、复数 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 2．设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．已知函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知钝角满足，则（） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于对称 C．的最大值为 D．函数有8个零点 7．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 8．已知实数x，y满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．若m为实数，复数是纯虚数，则 C．若是关于x的方程的一个根，则 D．若复数 z满足 则复数 z对应的点所构成的图形面积为 10．在单位圆中，O为圆心，为直径，P为圆上任意一点，为直径上（含端点）相异的两点.下列说法正确的是（    ） A． B．若，则向量，的夹角为 C． D．若，则 11．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C．边上的中线长为 D．的取值范围是 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，则__________． 13．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的一般式方程是__________． 14．已知函数，且为奇函数．若关于x的方程在上有四个不相等的实数解，则________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 16．（15分）记的内角的对边分别为.已知. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 17．（15分）已知平行四边形，，，，记，，，且． (1)若，求的值； (2)当取最小值时，求与夹角的余弦值． 18．（17分）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 19．（17分）已知，． (1)求证：图象关于直线对称； (2)当时，存在最大值，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求的值． 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $