精品解析：辽宁省锦州市部分学校2026届高三上学期12月联考数学试卷

辽宁省锦州市部分学校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是减函数，则函数大致图象为（ ） A. B. C. D. 3. 若不共线非零向量满足=0，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 底边和腰不等的等腰三角形 4. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，则( ) A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 2018 5. 若复数满足（虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知圆锥PO的底面圆的直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数在处取得极大值2，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的一个递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 10. 已知函数，若函数有5不同零点，则实数的值可能是（    ） A. B. C. D. 11. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点为的外心，且，则_____． 13. 设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为________. 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面平面 （2）若，求点到平面距离. 17. 已知，函数（为常数）. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 18. 已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前项和. （3）若，求数列的前项和. 19. 已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是. （1）求双曲线C的方程； （2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省锦州市部分学校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为点，分别为，的中点， 所以， 因为，所以， . 故选：C. 2. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 3. 若不共线非零向量满足=0，且，则为（ ） A. 三边均不等的三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 底边和腰不等的等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先应用向量的数量积公式计算得出，再应用减法结合数量积的运算律计算得出，即可判断三角形形状. 【详解】由，则，所以， 由， 则 ， 所以，所以为等边三角形； 故选：C. 4 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，则( ) A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 2018 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知递推式得出以，，则，由此根据已知条件求出，由此即可求解． 详解】∵，， ∴，则，∴，， 则，可知，，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴，， ∵，∴， 故选：B． 5. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 6. 已知圆锥PO的底面圆的直径和高均为4，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆锥与圆柱的体积公式，利用圆锥减去圆柱体积可得. 【详解】 由题意可得截面圆的半径为1，圆柱的高为2， 所以剩下几何体的体积为. 故选：A. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D. 【详解】由， 当，可知该直线过定点，即A错误； 令，即直线在轴上的截距为-1，即B错误； 由可知其斜率为， 由直线倾斜角的范围可知直线的倾斜角为，即C错误； 易知的斜率为， 故垂直于该直线且过的直线方程为，即D正确. 故选：D 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定PC的中点O是鳖臑外接球的球心，结合外接球表面积得外接球半径，进而求得，再证明，进而结合勾股定理及基本不等式求得，再根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 则外接球半径，所以，又，所以， 而，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积为， 则三棱锥的体积的最大值为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数在处取得极大值2，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的一个递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数最小正周期的求法，可判定A正确；求得，根据在处取得极大值，列出方程，求得，可判定B错误；利用正弦型函数的性质，求得函数的单调区间，可判定C正确；结合三角函数的图象变换和余弦型函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，其中， 所以函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由， 因为在处取得极大值，可得， 所以，可得， 又因为的极大值为，可得，解得，所以B错误； 对于C，由函数，令， 可得，所以函数的递增区间， 令，可得函数的递增区间为，所以C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度，可得， 此时函数为偶函数，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， ，解得：或， 如图，画出函数的图象， 时，与的图象有4个交点， 所以与的图象只能有1个交点，则，得， 由选项判断或成立. 故选：CD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 11. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A正确； 对于B，椭圆的离心率，B正确； 对于C，设点纵坐标为，则，的面积，C错误； 对于D，以线段为直径的圆的圆心到直线距离，直线与圆相离，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点为的外心，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，把所求数量积中的化为，展开，结合向量投影知识得解． 【详解】解：如图，取的中点，则 则 ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆的弦中点性质，还考查了平面向量的运算及向量投影的概念，考查转化能力及计算能力，属于中档题． 13. 设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 . ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故 ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 16. 在如图所示的几何体中，四边形是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面平面. （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）利用等体积法，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以. 因为四边形正方形，所以. 又，平面，所以平面. 而平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，且，，所以. 因为，且，所以. 因为，则平面，平面，故， 结合，所以. 在直角梯形中，，，，，， 所以. 在中，，，，则. 因为，所以的面积为. 连接，因为的面积为， 结合题意可知，平面，故平面， 所以三棱锥的体积. 设点到平面的距离为，则。即， 所以，即点到平面的距离为. 17. 已知，函数（为常数）. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量的数量积结合降幂公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最小正周期及单调递减区间； （2）由（1）根据求得，再由求得，然后由余弦定理求得，从而可得三角形面积． 【小问1详解】 由题意得 ， 所以的最小正周期， 令，得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得，故. 由，得， 即， 因为，所以，所以， 所以， 又，即，所以， 所以. 18. 已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前项和. （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由及得q的值，由得的值，即可写出数列的通项公式； （2）由得，进而有=，利用错位相减法即得； （3）由（2），利用裂项相消法即得. 【小问1详解】 设公比为，由题意得，可得， 由，可得，由，可得，故， 所以. 【小问2详解】 由，得， 由，可得，故， 所以的通项公式：=， 则， ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 由， 所以. 19. 已知双曲线C：（，）的两个焦点是，，顶点，点M是双曲线C上一个动点，且的最小值是. （1）求双曲线C的方程； （2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点.若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由顶点可得，根据双曲线方程可得解得，进而可得方程；法二：由顶点可得，根据双曲线定义分析可得解得，进而可得方程； （2）法一：设点，直线：，直线：，，，，联立方程直线利用韦达定理结合分析求解；法二：由结合双曲线的方程可得，，联立求解即可. 【小问1详解】 （法一）已知双曲线方程是（，）， 由顶点得，所以， 设点，，，， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为， 所以，所以，， 故双曲线：. （法二）. 当且仅当时取等号，故的最小值为， 所以，所以，， 故双曲线：. 小问2详解】 （法一）设点，，，则直线：， 设直线的方程为，，设点，， 联立，消去得， 其中，，，（*）， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以或， 故直线的斜率与直线的斜率满足. 因为直线的方程是，所以， 所以， 且， 所以， 将（*）代入，整理得到，解得或（舍），所以. （法二）同法一可知直线的斜率与直线的斜率满足， 又，则，所以， 设直线的方程是，将点代入直线， 得到①， 又双曲线的方程可化为， 由 得， 设，则， 直线和直线的斜率是该方程的两个根， 所以，所以②， 联立①②，得到，所以. 【点睛】方法点睛：与端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程（组）求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $