第14讲 视图 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第14讲 视图 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 三视图概念 画三视图 由图判断体 圆锥计算 综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.三视图概念 主视左视俯视 长对正高平齐宽相等 概念辨析例题：三视图包括 解析：三个方向 ☆ 2.常见几何体 正方体：三正方形 圆柱：矩形矩形圆 圆锥：三角形三角形带心圆 球：三个圆 概念辨析例题：圆锥俯视图 解析：顶点投影圆心 ☆ 3.由图判断体 俯视图定底层 主视图定层数 小正方体个数 概念辨析例题：三视图都是圆 解析：球三方向都是圆 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 主视图 正面看 长对正 左视图 左面看 高平齐 俯视图 上面看 宽相等 圆锥 三角形三角形带心圆 侧面积πrl ⚠️ 核心考点 【考点1】简单几何体三视图（共9题） 熟记基本体 1．（2026•金东区模拟）在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解． 【解答】解：该立体图形的左视图为， 故选：D． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是具有空间概念． 2．（2026秋•重庆校级同步）如图，该正三棱柱的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是， 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键． 3．正方体的左视图是 　正方形　 ，俯视图是 　正方形　 ． 【分析】根据三视图的定义解答即可． 【解答】解：正方体的左视图是正方形，俯视图是正方形． 故答案为：正方形，正方形． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握正方体的特征是解答本题的关键． 4．（2025秋•密山市期末）观察下列立体图形，从正面和上面看到的平面图形相同的是　②⑤　 ．（填序号） 【分析】根据立体图形从物体正面，左面看所得到的平面图形进行判断即可下． 【解答】解：根据题意可知，从正面和上面看到的平面图形相同的是②⑤． 故答案为：②⑤． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键． 5．（2024秋•邛崃市校级期末）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要　9　 个小立方块，最多要　14　 个小立方块． 【分析】通过几何体的三视图确定每层可加的小立方体的个数，即可求解． 【解答】解：根据图形可知，几何体最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块， ∴最少有6+2+1＝9个小立方块； 根据图形可知，几何体最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块， ∴最多有6+5+3＝14个小立方块． 故答案为：9；14． 【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握图形的空间结构是关键． 6．（2025秋•华龙区期末）如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是　④　 ．（填写所标的序号） 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【解答】解：若从几何体上移走一块小正方体，主视图不发生改变，则移走的小正方体是④． 故答案为：④． 【点评】本题考查了简单几何体三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键． 7．（2025秋•贵阳期末）如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． （1）图①是　主视图　 ；图②是　左视图　 （填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； （2）根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 【分析】（1）找到从正面和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中； （2）根据题目所给尺寸及棱柱的体积公式计算即可． 【解答】解：（1）图①是主视图；图②是左视图， 故答案为：主视图；左视图； （2）如图，过正六边形的中心点O作OC⊥AB于点C， ∴OA＝OB，AB＝2，， ∴△OAB为等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝2， ∵OC⊥AB， ∴， 在Rt△OBC中，， ∴， ∴， 即这个正六棱柱的体积为． 【点评】本题考查简单几何体的三视图以及几何体的体积，解题的关键是掌握三视图所看的位置． 8．（2023秋•同步）如图是一个圆柱体，如果从正面、上面、左面三个不同的方向去观察它，分别得到什么样的平面图形？ 【分析】根据圆柱的特征，画出分别按照从正面、上面、左面三个不同的方向去观察所得到的平面图形即可． 【解答】解：从正面观察得到的平面图形是长方形，从上面观察得到的平面图形是圆，从左面观察得到的平面图形是长方形，如图所示： 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，理解题意，熟练掌握简单几何体的三视图是解决问题的关键． 9．（2024秋•铁西区期中）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【分析】根据简单组合体的三视图画法画出相应的图形即可． 【解答】解：如图，从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图，如图： 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提． 【考点2】组合体三视图（共10题） 实线虚线 10．（2025秋•长清区期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为（　　） A． B． C． D． 【分析】从左面看，有两层，左边有上下丙个，右边有一个，即可得到从左面看到的形状图． 【解答】解：根据题意可知，从左面看到的形状图为： ． 故选：D． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是解题的关键． 11．（2026•曲阜市模拟）中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看这个几何体，是一个圆． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 12．（2026•吉林）由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上往下看，小正方形应在大正方形的左上角． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 13．（2024秋•连平县期末）用7块相同的小正方体搭成的几何体如图所示．若拿走一块小正方体后，从正面和从左面看到的该几何体的形状图都没改变，则这块小长方体的序号是 　⑤　 ． 【分析】根据题意把分别使正面和左面看到的图形不变的情况找到，再选择共同都有的即可． 【解答】解：由图可知，拿走一块小正方体后，要使得该几何体正面看到的图形没改变，可以是：③、⑤， 拿走一块小正方体后，要使得左面看到的图形没改变，可以是：④、⑤， 综上所述，从正面和从左面看到的该几何体的形状图都没改变只有：⑤， 故答案为：⑤． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是看出从正面、左面、上面看出的图形． 14．（2025秋•郓城县期末）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走　①　 ． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图和轴对称图象与中心对称图形的定义，可得答案． 【解答】解：若取走标有①的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：①． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形，中心对称图形，掌握从左边看得到的图形是左视图是关键． 15．（2025秋•蓬莱区期末）一只兔子按箭头所指的方向走回家，路上经过了一座房子，用①②③标出兔子看到房子的先后顺序　②③①　 ． 【分析】根据兔子的行走方向以及房子的相对位置判断兔子看到房子的先后顺序 【解答】解：根据题意可知，兔子从左向右走，最先看到的是房子的左侧，对应②， 继续向前走，看到的是房子的正面，对应③， 到房子右侧时，看到的是房子的右侧，对应①． 故答案为：②③①． 【点评】此题考查了简单组合体得三视图，掌握几何体得空间结构特点是关键． 16．（2025秋•普宁市期末）将一个棱长为6cm的正方体的一个角剪去一个棱长为3cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体从正面看到的图形的面积为　36　 cm2． 【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图，再根据主视图的形状和面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：这个几何体是主视图为： 由于其边长为6cm，因此面积为36cm2． 故答案为：36． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 17．（2025秋•鲁山县月考）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，如图是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称，已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，则这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为　20　 ． 【分析】由简单组合体的三视图的画法画出这个组合体从正面看到的图形即可． 【解答】解：由题意得，从正面看到的图形是5个边长为2的正方形的组合图形，如图所示： 所以这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为2×2×5＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 18．（2025秋•城关区校级期末）用12个棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． （1）请利用网格纸画出从正面看和从上面看该几何体的形状图； （2）若要使从正面看和从上面看的形状图保持不变，最多还能加 　4　 个棱长为1的正方体． 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图与俯视图即可； （2）在俯视图的相应位置标注所能摆放小正方体最多时的个数即可． 【解答】解：（1）这个组合体从正面看，从上面看所得到的图形如下： （2）由于添加后从正面看和从上面看的形状图保持不变，在从上面看到的图形的相应位置标注所能添加最多时的个数，如图所示， 所以最多可以添加1+1+2＝4（个）， 故答案为：4． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 19．（2025秋•博山区期末）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： （1）a＝　3　 ，b＝　1　 ，c＝　1　 ； （2）这个几何体最少由　9　 个小立方块搭成，最多由　11　 个小立方块搭成； （3）当d＝e＝1，f＝2时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【分析】（1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解； （2）根据从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层；从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个，即可求解； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为3，1，2，即可求解． 【解答】解：（1）从正面看可得a＝3，b＝1，c＝1， 故答案为：3，1，1； （2）从正面看，一共有三列：第一列有2层，第二列有1层，第三列有3层，从上面看，一共有3行，从左到右，第一行有3个，第二行有2个，第三行有1个， ∴这个几何体最少由4+2+3＝9个小立方块搭成，最多由6+2+3＝11个小立方块搭成， 故答案为：9，11； （3）每列小正方形数目分别为3，1，2，如图， 【点评】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息． 【考点3】由三视图判断体（共12题） 俯视定底层主视定层数 20．（2025秋•大英县期末）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少个数与最多个数分别是（　　） A．7、8 B．7、9 C．8、9 D．9、10 【分析】根据左视图可确定上面一层最少有2个小正方体，根据俯视图可确定下面一层有5个小正方体，上面一层最多有3个小正方体，据此可得答案． 【解答】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高， 中间最高是2层，最少1层，最多就都是2层， 最前面的最高是1层， 所以最少有：2+3+2＝7（个）， 最多有：2+2×2+1×2＝8（个）． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由两个视图想象几何体是解题的关键． 21．（2026•山西模拟）如图是一块积木及其主视图，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【解答】解：它的左视图是：． 故选：D． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，要注意看不见的线应当画虚线，正确记忆相关知识点是解题关键． 22．（2026•山西）一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【解答】解：这个几何体的左视图为： 故选：A． 【点评】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．（2026春•砀山县期末）如图是梨王阁（大家俗称的古城塔）是砀山古城的核心地标楼阁，属于八角重檐楼阁，每层飞檐八个翘角，是仿古八角塔阁形制．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（　　） A．360° B．540° C．1080° D．1440° 【分析】根据任何多边形的外角和是360°进行解答即可． 【解答】解：由于任何多边形的外角和是360°， 因此八边形的外角和也为360°， 故选：A． 【点评】本题考查多边形的外角，任何多边形的外角和是360°，与多边形的边数无关是正确解答的关键． 24．（2026•宁陵县二模）如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据主视图确定该物体的组成有几层，然后根据左视图和俯视图确定两层的形状后即可确定该几何体的形状． 【解答】解：根据主视图发现该物体有两层组成， 根据左视图和俯视图确定该物体底层是长方体，第二层是圆柱， 故选：C． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是结合三视图正确的判断，难度不大． 25．（2026•南京）一个几何体的三视图如下，则这个几何体是（　　） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：B． 【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2025秋•青羊区校级期末）如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要　16　 个小立方块，最少需要　10　 个小立方块． 【分析】分别画出搭建该几何体需要小立方块最多与最少时的示意图，再逐个计算即可． 【解答】解：如图所示： ∴最少需要3+2+1×5＝10个小立方块． ∴搭建该几何体最多需要3×3+2×3+1＝16个小立方块， 故答案为：16，10． 【点评】本题考查从不同方向看立体图形，有理数的加减混合运算，掌握知识点是解题的关键． 27．（2025•市北区校级一模）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．根据图中所给的数据求出它的表面积　92　 ． 【分析】有三视图可看出这个图形是个四棱柱，然后根据底面菱形的对角线求出菱形的边长，然后求出表面积． 【解答】解：该几何体的形状是直四棱柱， 由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm， ∴菱形的边长（cm）， ∴棱柱的表面积8×4+3×492（cm2）． 故答案为：92． 【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是菱形的性质、四棱柱侧面积的计算方法，关键是要能根据三视图判断出这个图形的形状． 28．（2026•庆元县二模）榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段AB的长度为　26　 ． 【分析】根据题意构造以AB外斜边的直角三角形，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图， 在Rt△ABC中，BC10（mm），AC＝24mm， ∴26（mm）， 故答案为：26． 【点评】本题考查了几何体的三视图、勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 29．（2025秋•富平县校级期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　4　 个小正方体． 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图即可； （2）在俯视图的相应位置标注所能添加的小正方体的个数即可． 【解答】解：（1）该几何体从正面、左面看到的形状图如图所示： （2）在俯视图的相应位置标注所能添加的小正方体的个数如图所示， 添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加2+2＝4（个）， 故答案为：4． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 30．（2026春•福山区期末）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 【分析】根据题意得出AC∥BD，AB∥DE，根据平行线得性质得出∠CAB＝∠ABD＝∠BDE，即可证明△ACB∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得答案． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥DE于E， 由题意可知：AC∥BD，AB∥DE，∠ACB＝90°，BD＝15cm，BC＝6cm，BE＝10cm， ∴∠CAB＝∠ABD＝∠BDE，∠ACB＝∠BED＝90°， ∴△ACB∽△DEB， ∴，即， 解得：AB＝9， 答：此时液面AB的宽度为9cm． 【点评】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 31．（2025秋•济宁期中）如图1，这是从上面看到的由几个小正方体组成的几何体的平面图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的平面图，并用阴影表示出来． 【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为4，3，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，4，1．据此可画出图形． 【解答】解：从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为4，3，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，4，1．据此可画出图形，如图即为所求作． 【点评】本题主要考查的是从不同的方向看一个几何体，正确的理解小正方体内的数字是解题的关键． 【考点4】作图三视图（共9题） 三等关系 32．（2025•福山区一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（　　）cm3． A．17π B．20π C．36π D．68π 【分析】由三视图可得，该工件是由两个圆柱组合而成，其中小圆柱的底面直径为2cm，高为1cm，大圆柱的底面直径为4cm，高为4cm，利用圆柱的体积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可得，该工件体积为（2÷2）2×π×1+（4÷2）2×π×4＝π+16π＝17π（cm3）． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2025•武安市三模）如图1是由几个大小相同的小正方体所搭几何体的主视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，四名同学根据自己还原的几何体，试画出如图2所示的4个不同的左视图，其中可能正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】结合三视图的定义可得答案． 【解答】解：如图2， 由图1的主视图可知，其左视图可能为②④， ∴其中可能正确的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣三视图、由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义． 34．如图，在平整的地面上，将若干个棱长均为1cm的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． （1）请画出这个几何体从它前面、上面方向看所得到的平面图形； （2）若将其露在外面的面涂上一层漆，则其涂漆面积为 　16　 cm2； （3）若添加若干个上述小正方体后，所成几何体从左面看和从上面看得到的图形不变，则有 　5　 种添加方式． 【分析】（1）根据简单组合体的三视图的画法画出主视图、俯视图即可； （2）三种视图的面积和再加上被挡住的面积； （3）通过主视图和俯视图，在俯视图上标注增加的个数即可． 【解答】解：（1）这个组合体的主视图、俯视图如下： （2）主视图的面积为6cm2，右视图的面积为4cm2，俯视图的面积为4cm2， 被挡住的面积为2cm2， 因此涂漆部分的面积为6+4+4+2＝16（cm2）， 故答案为：16； （3）这个组合体的左视图、俯视图如下： 在俯视图上标注出相应位置增添小立方体的情况， 因此有①第1处增添1块，②第1处增添2块，③第2处增添1块，④第1处增添1块，第2处增添1块，⑤第1处增添2块，第2处增添1块，所以共有5种添加方式， 故答案为：5． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则． 35．（2022秋•东营区期末）小明看到妈妈摆在餐桌上的盘子，想起刚刚学过的三视图知识，就把妈妈摆放的盘子的三视图画出来，你能根据小明画出的三视图，计算出图中盘子的总数是 　9　 ． 【分析】分别从三个视图分析，得出各堆盘子的个数，即可求解． 【解答】解：从俯视图看，共有3堆， 从主视图看前两堆分别有4个和3个， 从左视图看后一堆有2个， ∴共有4+3+2＝9个， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是简单组合体的三视图，关键是能从各个视图中获得数量信息． 36．（2024秋•沁县期末）如图是用若干个相同的小正方体堆成的几何体，请回答下列问题： （1）用粗实线在下列方格图中画出该几何体的三视图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加　5　 个小正方体． 【分析】（1）根据三视图的画法，作图即可； （2）根据俯视图和左视图不变，画出最多可添加的小正方体的个数和位置，进行求解即可． 【解答】解：（1）该几何体的三视图如图所示； （2）在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，则最多可添加的小正方体的个数和位置如图所示； ∴2+1+2＝5； 故答案为：5． 【点评】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 37．画出下列几何体的三视图． （1）； （2）． 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形； （2）根据三视图的定义画出图形． 【解答】解：（1）三视图如图所示： （2）三视图如图所示： 【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义． 38．（2025秋•南阳月考）如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． （1）请画出这个几何体的三视图． （2）在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有　4　 个小正方体只有三个面是红色． 【分析】（1）先分析几何体的小正方体堆叠结构，再分别从正面、左面、上面观察，确定每列小正方形的个数与分布，据此画出主视图、左视图、俯视图； （2）明确底层不喷漆的规则，逐一分析各层小正方体的暴露面数（贴合面与底面不计），结合几何体堆叠结构，数出仅三个面暴露的小正方体数量即可解答． 【解答】解：（1）由已知条件可知，俯视图有3列，每列小正方形数目分别为4，1，1．据此可画出图形；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，1；主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2； （2）正方体只有三个面是红色的应该是：第一列2个，第三列最底层1个， ∴共2+1+1＝4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． 39．（2025秋•宁德期末）图1所示几何体是由七个大小相同的小立方块搭成． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； （2）请你将这七个小立方块重新搭成一个几何体，要求： ①从左面看这个几何体，看到的形状图如图2所示； ②所搭的几何体从正面、左面、上面看到的形状图面积之和最小． 请画出你所搭的新几何体从上面看到的形状图，并在所画的方格内标出该位置上小立方块的个数．（只要画出一种满足条件的图形） 【分析】（1）由题意观察图形可知，从正面看到的图形是3列，从左往右正方形个数依次是3，2，1，从左面看到的图形是2列，从左往右正方形个数依次是3，1，据此即可画图． （2）左视图为2×2的正方形，说明：①几何体有2行2列（前后2行、左右2列）；②每行每列的小立方块层数最多为2层（否则左视图会超出2层高度）．总小立方块数为7个，需在2×2的基底上分布，且使三视图（正面、左面、上面）的面积之和最小． 【解答】解：（1）这个组合体从正面、左面看到的图形如下： （2）所画的形状图如下： 或或或 【点评】本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是注意小立方块的数目及位置． 40．（2025秋•淄博期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加　4　 个小正方体； （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【解答】解：（1）作图如下： 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）根据题意作图如下． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． 【考点5】圆锥计算（共6题） 侧面积πrl 41．（2025秋•渭源县期末）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 【分析】圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图的扇形弧长，据此根据弧长公式建立方程求解即可． 【解答】解：设这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n°， 根据题意列式得，， 整理得，16n＝1440， 解得n＝90， 答：这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数90°． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，关键是圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数． 42．（2024秋•武都区期末）已知圆锥体的母线长3cm，底面圆的直径为5cm．（计算结果保留π） （1）求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）求该圆锥的表面积． 【分析】（1）设扇形圆心角为n°，根据侧面展开图的扇形的弧长等于底面圆的周长列方程，即可求出答案； （2）根据圆锥的表面积公式计算即可． 【解答】解：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，设扇形圆心角为n°，则 ， 解得 n＝300， ∴该圆锥的侧面展开图的圆心角为300°； （2）S表＝S侧+S底 ； 该圆锥的表面积为． 【点评】本题考查圆锥的计算，掌握公式是关键． 43．（2026春•肇源县月考）在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）．现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？（π取3.14） 【分析】用圆锥的体积除以圆柱体的底面积即可． 【解答】解：（立方厘米）； 100.48÷（102×3.14）＝0.32（厘米）， 答：水面会下降0.32厘米． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，掌握其相关知识点是解题的关键． 44．（2025秋•从化区期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条以C为圆心的圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣6，2），圆心C的坐标为（﹣2，0），请在网格图中进行如下操作并解决以下问题： （1）连接AC、BC，求⊙C的半径以及∠ACB的度数； （2）若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径．（结果保留根号） 【分析】（1）利用勾股定理即可求出⊙C的半径，再利用勾股定理的逆定理求出∠ACB的度数即可； （2）先求出弧AB的长，再根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等即可解决问题． 【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）， ∴AC， 则⊙C的半径为． 连接AB， ∵A（0，4），B（﹣6，2），C（﹣2，0）， ∴AB2＝（﹣6﹣0）2+（2﹣4）2＝40， AC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20， BC2＝[﹣6﹣（﹣2）]2+（2﹣0）2＝20， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°； （2）由题知， 弧AB的长为：， 令圆锥的底面圆的半径为r， ∴2πr， 解得r， ∴圆锥的底面圆的半径为． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算及坐标与图形性质，熟知圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等及勾股定理是解题的关键． 45．（2025秋•久治县期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为　20　 cm，侧面积为　375π　 cm2（结果保留π）； （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【分析】（1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到：，求出n即可． 【解答】解：（1）∵母线长为25cm、底面半径为15cm， ∴圆锥的高20（cm）， 侧面积为πrl＝15×25π＝500π（cm2）， 故答案为：20；375π； （2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°， 由题意得：， 解得n＝288， 所以所需扇形卡纸的圆心角的度数为288度． 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为288度． 【点评】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． 46．（2024秋•连云港期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为　42π　 cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角∠APA'的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，DE＝7.5cm，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度． 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式求解即可； （2）①分别用PA和PC表示出的长和的长，即可证明结论成立；利用这个结论求得PC＝6，再利用弧长公式即可求得所对的圆心角∠APA'的度数； ②根据题意画出图形，利用垂径定理结合解直角三角形求解即可． 【解答】（1）解：根据题意得， 故答案为：42π； （2）证明：①设与所对的圆心角为n°， ∴的长•2π•，， ∴， ∵杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm， ∴的长＝9π，的长＝4π，PA＝PC+7.5， ∴， 解得PC＝6，PA＝13.5， ∴， 解得n＝120， 即所对的圆心角∠APA'的度数为120°； ②如图，连接MM′交PQ于T， 设ON＝acm，MN＝bcm，则OM＝（a+b）cm， 由①知，∠MOM′＝120°， 由对称性可知，P为DG中点，TM＝TM′，NR＝N′R，R为EF中点， ∴2π（a+b）π（a+b），πa，EREF＝6cm，PQ⊥MM′， ∴MM′∥EF， ∵∠MOM′＝120°，OM＝OM′， ∴∠NMM′＝∠ONN′＝30°， ∴ORONacm，MTOT（a+b）cm， ∴PR＝OP﹣OR＝（a+b）cm， ∴， 即， ∴， ∴ ∴b≤4.5， 即MN的最大长度为4.5cm． 【点评】本题主要考查了弧长、圆心角、半径之间的关系及利用特殊直角三角形求边长等内容．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 💯 课后巩固 复习建议 长对正高平齐宽相等 圆锥俯视图带心 虚实线 俯视图标数字 侧面积πrl 【作业 1】（2026•阜阳一模）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看，可得选项C的图形． 故选：C． 【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•南京期末）圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 　1.25　 cm． 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【解答】解：设底面圆半径为r，由题意可得： ∴， ∴r＝1.25． 故答案为：1.25． 【点评】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长． 【作业 3】（2025秋•金凤区校级期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭而成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加　4　 个小正方体． 【分析】根据从正面看和从左面看的形状图不变解答即可求解． 【解答】解：由图可知，第一排和第三排最下面各添加2个小正方体，可保持从正面看和从左面看的形状图不变， ∴保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加4个， 故答案为：4． 【点评】本题考查了从不同方向看几何图形，正确识图是解题的关键． 【作业 4】（2024秋•云冈区期末）如图是由8个大小相同的小正方体搭成的立体图形，在该立体图形中取走一个小正方体，使得到的新立体图形同时满足以下两个要求：（1）从前面看得到的平面图形不变；（2）从左面看得到的平面图形不变．在不改变其他小正方体位置的前提下，可取走的小正方体的标号是 　3号，5号或6号　 ． 【分析】若要使从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同，则可取走的小正方体是3号或5号或7号；若要使从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同，则可取走的小正方体是1号或3号或5号；据此可得． 【解答】解：主视图是从正面看到的图形，若要使从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同，则可取走3，4，5，6，7，8中的任意一个； 左视图是从左面看到的图形，若要使从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同，则可取走1，2，3，5，6中的任意一个． 综上所述，可取走的小正方体的标号是3号，5号或6号． 故答案是：3号，5号或6号． 【点评】本题考查由不同方向看几何体判断几何体，根据题意正确掌握从不同方向看图的观察角度是解题关键． 【作业 5】一个几何体如图1所示，小明画出它的三视图如图2所示，则三种视图中画图不符合规定的是 　俯视图　 ． 【分析】根据三视图的定义可得答案． 【解答】解：由图可知，不符合规定的是俯视图， 正确的俯视图如下： 故答案为：俯视图． 【点评】本题考查作图﹣三视图、简单几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大． 【作业 6】（2025秋•河南期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体． （1）请在下面方格中分别画出从正面、从左面、从上面看到的形状图； （2）计算这个几何体的体积． 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据正方体体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）这个组合体的三视图如下： （2）这个组合体的体积，即8个棱长为1cm的小正方体的体积和， 所以V＝1×1×1×8＝8（cm3）， 答：这个几何体的体积8cm3． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 【作业 7】（2024秋•万载县期末）如图，这是由7个小正方体搭成的几何体．请你利用下面三个网格分别画出从前面，左面和上面看这个几何体得到的形状图． 【分析】从正面看从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形即可． 【解答】解：从正面看从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形，如图， 【点评】本题考查了作图﹣从不同方向看几何体，解题的关键是具有空间概念． 【作业 8】（2025秋•惠东县期末）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形， （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 　32　 个面． 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【解答】解：（1）从正面、左面、上面观察到的图形如图所示： （2）这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），需要涂色的面数为（6+6）×2+6+2＝32（个）， 故答案为：32． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【作业 9】（2025秋•竞秀区期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． （1）该几何体由　6　 个小立方块搭成； （2）图中已画出这个几何体从正面看到的形状图，请继续画出从左面、上面两个方向看到的形状图； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加　3　 个相同的小立方块． 【分析】（1）根据搭建图可直接得出答案； （2）根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图、俯视图即可； （3）在保持从左面、上面看到的图形不变，可在俯视图的相应位置标注所能添加的小正方体的个数即可． 【解答】解：（1）这个组合体是有6个小正方体组成的， 故答案为：6； （2）这个几何体从左面、上面两个方向看到的形状图如下： （3）添加小正方体，保持从上面和从左面看到的形状图不变，可在俯视图的相应位置标注所能添加的小正方体的个数， 所以最多可添加3个小正方体， 故答案为：3． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 视图 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 三视图概念 画三视图 由图判断体 圆锥计算 综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.三视图概念 主视左视俯视 长对正高平齐宽相等 概念辨析例题：三视图包括 解析：三个方向 ☆ 2.常见几何体 正方体：三正方形 圆柱：矩形矩形圆 圆锥：三角形三角形带心圆 球：三个圆 概念辨析例题：圆锥俯视图 解析：顶点投影圆心 ☆ 3.由图判断体 俯视图定底层 主视图定层数 小正方体个数 概念辨析例题：三视图都是圆 解析：球三方向都是圆 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 主视图 正面看 长对正 左视图 左面看 高平齐 俯视图 上面看 宽相等 圆锥 三角形三角形带心圆 侧面积πrl ⚠️ 核心考点 【考点1】简单几何体三视图（共9题） 熟记基本体 1．（2026•金东区模拟）在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•重庆校级同步）如图，该正三棱柱的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．正方体的左视图是 ________ ，俯视图是 ________ ． 4．（2025秋•密山市期末）观察下列立体图形，从正面和上面看到的平面图形相同的是_______ ．（填序号） 5．（2024秋•邛崃市校级期末）用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图如图，则这样的几何体最少要_____ 个小立方块，最多要_______ 个小立方块． 6．（2025秋•华龙区期末）如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是_____ ．（填写所标的序号） 7．（2025秋•贵阳期末）如图，是一个正六棱柱，图①，图②是它的两种视图． （1）图①是________ ；图②是________ （填“主视图”“左视图”或“俯视图”）； （2）根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积． 8．（2023秋•同步）如图是一个圆柱体，如果从正面、上面、左面三个不同的方向去观察它，分别得到什么样的平面图形？ 9．（2024秋•铁西区期中）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【考点2】组合体三视图（共10题） 实线虚线 10．（2025秋•长清区期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为（　　） A． B． C． D． 11．（2026•曲阜市模拟）中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 12．（2026•吉林）由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 13．（2024秋•连平县期末）用7块相同的小正方体搭成的几何体如图所示．若拿走一块小正方体后，从正面和从左面看到的该几何体的形状图都没改变，则这块小长方体的序号是 _____ ． 14．（2025秋•郓城县期末）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走_____ ． 15．（2025秋•蓬莱区期末）一只兔子按箭头所指的方向走回家，路上经过了一座房子，用①②③标出兔子看到房子的先后顺序________ ． 16．（2025秋•普宁市期末）将一个棱长为6cm的正方体的一个角剪去一个棱长为3cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体从正面看到的图形的面积为_______ cm2． 17．（2025秋•鲁山县月考）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，如图是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称，已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，则这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为_______ ． 18．（2025秋•城关区校级期末）用12个棱长为1的小正方体搭成如图所示的几何体． （1）请利用网格纸画出从正面看和从上面看该几何体的形状图； （2）若要使从正面看和从上面看的形状图保持不变，最多还能加 _____ 个棱长为1的正方体． 19．（2025秋•博山区期末）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： （1）a＝_____ ，b＝_____ ，c＝_____ ； （2）这个几何体最少由_____ 个小立方块搭成，最多由_______ 个小立方块搭成； （3）当d＝e＝1，f＝2时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【考点3】由三视图判断体（共12题） 俯视定底层主视定层数 20．（2025秋•大英县期末）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少个数与最多个数分别是（　　） A．7、8 B．7、9 C．8、9 D．9、10 21．（2026•山西模拟）如图是一块积木及其主视图，则它的左视图是（　　） A． B． C． D． 22．（2026•山西）一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（　　） A． B． C． D． 23．（2026春•砀山县期末）如图是梨王阁（大家俗称的古城塔）是砀山古城的核心地标楼阁，属于八角重檐楼阁，每层飞檐八个翘角，是仿古八角塔阁形制．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（　　） A．360° B．540° C．1080° D．1440° 24．（2026•宁陵县二模）如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（　　） A． B． C． D． 25．（2026•南京）一个几何体的三视图如下，则这个几何体是（　　） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 26．（2025秋•青羊区校级期末）如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭建该几何体最多需要_______ 个小立方块，最少需要_______ 个小立方块． 27．（2025•市北区校级一模）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．根据图中所给的数据求出它的表面积_______ ． 28．（2026•庆元县二模）榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段AB的长度为_______ ． 29．（2025秋•富平县校级期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 _____ 个小正方体． 30．（2026春•福山区期末）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 31．（2025秋•济宁期中）如图1，这是从上面看到的由几个小正方体组成的几何体的平面图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的平面图，并用阴影表示出来． 【考点4】作图三视图（共9题） 三等关系 32．（2025•福山区一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（　　）cm3． A．17π B．20π C．36π D．68π 33．（2025•武安市三模）如图1是由几个大小相同的小正方体所搭几何体的主视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，四名同学根据自己还原的几何体，试画出如图2所示的4个不同的左视图，其中可能正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在平整的地面上，将若干个棱长均为1cm的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角． （1）请画出这个几何体从它前面、上面方向看所得到的平面图形； （2）若将其露在外面的面涂上一层漆，则其涂漆面积为 _______ cm2； （3）若添加若干个上述小正方体后，所成几何体从左面看和从上面看得到的图形不变，则有 _____ 种添加方式． 35．（2022秋•东营区期末）小明看到妈妈摆在餐桌上的盘子，想起刚刚学过的三视图知识，就把妈妈摆放的盘子的三视图画出来，你能根据小明画出的三视图，计算出图中盘子的总数是 _____ ． 36．（2024秋•沁县期末）如图是用若干个相同的小正方体堆成的几何体，请回答下列问题： （1）用粗实线在下列方格图中画出该几何体的三视图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加_____ 个小正方体． 37．画出下列几何体的三视图． （1）； （2）． 38．（2025秋•南阳月考）如图，由若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体放置在平整的地面上． （1）请画出这个几何体的三视图． （2）在这个几何体的表面喷上红色的漆（底部不喷漆），则在所有的小正方体中，有_____ 个小正方体只有三个面是红色． 39．（2025秋•宁德期末）图1所示几何体是由七个大小相同的小立方块搭成． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； （2）请你将这七个小立方块重新搭成一个几何体，要求： ①从左面看这个几何体，看到的形状图如图2所示； ②所搭的几何体从正面、左面、上面看到的形状图面积之和最小． 请画出你所搭的新几何体从上面看到的形状图，并在所画的方格内标出该位置上小立方块的个数．（只要画出一种满足条件的图形） 40．（2025秋•淄博期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加_____ 个小正方体； （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点5】圆锥计算（共6题） 侧面积πrl 41．（2025秋•渭源县期末）如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数． 42．（2024秋•武都区期末）已知圆锥体的母线长3cm，底面圆的直径为5cm．（计算结果保留π） （1）求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）求该圆锥的表面积． 43．（2026春•肇源县月考）在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）．现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？（π取3.14） 44．（2025秋•从化区期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条以C为圆心的圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣6，2），圆心C的坐标为（﹣2，0），请在网格图中进行如下操作并解决以下问题： （1）连接AC、BC，求⊙C的半径以及∠ACB的度数； （2）若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径．（结果保留根号） 45．（2025秋•久治县期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为_______ cm，侧面积为_________ cm2（结果保留π）； （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 46．（2024秋•连云港期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为________ cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角∠APA'的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，DE＝7.5cm，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度． 💯 课后巩固 复习建议 长对正高平齐宽相等 圆锥俯视图带心 虚实线 俯视图标数字 侧面积πrl 【作业 1】（2026•阜阳一模）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2025秋•南京期末）圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 _________ cm． 【作业 3】（2025秋•金凤区校级期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭而成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加_____ 个小正方体． 【作业 4】（2024秋•云冈区期末）如图是由8个大小相同的小正方体搭成的立体图形，在该立体图形中取走一个小正方体，使得到的新立体图形同时满足以下两个要求：（1）从前面看得到的平面图形不变；（2）从左面看得到的平面图形不变．在不改变其他小正方体位置的前提下，可取走的小正方体的标号是 _____________ ． 【作业 5】一个几何体如图1所示，小明画出它的三视图如图2所示，则三种视图中画图不符合规定的是 ________ ． 【作业 6】（2025秋•河南期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体． （1）请在下面方格中分别画出从正面、从左面、从上面看到的形状图； （2）计算这个几何体的体积． 【作业 7】（2024秋•万载县期末）如图，这是由7个小正方体搭成的几何体．请你利用下面三个网格分别画出从前面，左面和上面看这个几何体得到的形状图． 【作业 8】（2025秋•惠东县期末）如图，是由多个小正方体组合成的立体图形， （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 _______ 个面． 【作业 9】（2025秋•竞秀区期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． （1）该几何体由_____ 个小立方块搭成； （2）图中已画出这个几何体从正面看到的形状图，请继续画出从左面、上面两个方向看到的形状图； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____ 个相同的小立方块． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $