专题01菱形的性质与判定同步培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题01菱形的性质与判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.性质：具备平行四边形全部性质；独有性质为四边相等、对角线互相垂直且平分一组对角；兼具轴对称与中心对称性 3.面积计算：底×高；对角线乘积的一半 4.判定方法：定义判定、四边相等判定、对角线垂直的平行四边形判定 5.核心应用：边长、对角线、角度、面积计算；菱形证明；性质与判定综合推理 ✅菱形是特殊的平行四边形，核心特征是邻边相等。它继承了平行四边形的所有性质，同时拥有四边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的独有性质。菱形判定分为两类：可直接通过四边相等判定，也可在平行四边形基础上，通过邻边相等或对角线垂直完成判定。菱形性质多用于几何计算，判定多用于图形证明，是后续学习矩形、正方形的基础核心内容。 ✺学习目标 1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，掌握菱形的基本特征。 2.熟练掌握菱形的边、对角线、角度、对称性等核心性质，能够运用性质进行线段、角度、面积的计算与简单推理。 3.掌握菱形的三种判定方法，能根据题目条件灵活选择判定定理，规范完成几何证明过程。 4.能够结合平行四边形知识，解决菱形综合题型，提升几何逻辑推理与数形结合能力。 ✺题型归纳 题型1.利用菱形的性质求角度 题型2.利用菱形的性质求线段长 题型3.利用菱形的性质求面积 题型4.利用菱形的性质证明 题型5.添一个条件使四边形是菱形 题型6.证明四边形是菱形 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、菱形定义 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 补充：四条边都相等的四边形是菱形；菱形是特殊的平行四边形，邻边相等。 知识点二、菱形的性质 边：对边平行，四条边全相等. 几何语言：∵ABCD是菱形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=BC=CD=DA. 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分且垂直，每条对角线平分一组对角. 几何语言：∵对角线AC、BD交于O，∴AO=OC、BO=OD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC）； 对称性：中心对称，对称中心为对角线交点；轴对称，有2条对称轴，即两条对角线所在直线。 推论：菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，直角边长分别是两条对角线长的一半，斜边长等于菱形的边长。 知识点三、菱形判定方法 判定类型 判定定理 几何语言 边判定1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC∴四边形ABCD是菱形 边判定2 四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形 知识点四、菱形的面积公式 通用公式：S=底×高 对角线公式：S=AC·BD ✍【解题技巧】 1.求边长、线段长：优先用对角线垂直，结合勾股定理计算； 2.求角度：利用对角线平分对角、邻角互补性质转化； 3.判定题型：先看已知条件，若题干直接给四边相等，可不证平行四边形直接判定菱形; 4.面积计算：已知对角线选对角线公式，已知底高选基础公式，灵活切换。 【易错点提醒】 ◆ 混淆菱形与矩形性质：菱形对角线垂直，矩形对角线相等，不可记混； ◆ 判定逻辑错误：用“对角线互相垂直的四边形”直接判定菱形，忽略“平行四边形”前提； ◆ 面积计算误用：不会灵活选用面积公式，已知对角线时仍使用底乘高，增加计算难度；也容易漏掉对角线公式中的。 ◆ 几何语言书写不规范：未先标注平行四边形，直接写邻边相等判定菱形。 ✺题型精讲 题型1.利用菱形的性质求角度 1．如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，则_______． 3．如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 题型2.利用菱形的性质求线段长 1．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 3．如图，菱形的周长为，．求对角线和的长． 题型3.利用菱形的性质求面积 1．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 2．已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 3．四边形是菱形，对角线相交于点O，且，求菱形的面积． 题型4.利用菱形的性质证明 1．如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．从A，B两题中任选一题作答    1. A、的度数等于( ) A．    B．    C．     D． 2. B、连接，若，则的长等于( ) A．8    B．    C． 12    D． 3．如图，四边形是菱形，点在对角线上（不与点，重合）． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型5.添一个条件使四边形是菱形 1．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 3．如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 题型6.证明四边形是菱形 1．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 2．如图，在中，对角线，交于点，，过点作交的延长线于点． （1）若，，则的长为____________． （2）在（1）的条件下，已知是线段上的一点，且，则的长为____________． 3．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 1．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 3．已知点D在的边上，且，过点D作交于点E，作交于点F． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．连接，若，，则的长为(     ) A．20 B．32 C．24 D．36 2．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 3．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 1．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 2．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________． 3．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． ✺课堂巩固 一、单选题 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 二、填空题 4．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 5．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 6．如图，在中，，，，点，分别以点，为起点，以的速度沿，方向运动．设点M，N运动的时间为，连接，．当的值为______时，四边形为菱形． 三、解答题 7．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 8．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 9．已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01菱形的性质与判定同步培优讲义 ✺知识框架 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.性质：具备平行四边形全部性质；独有性质为四边相等、对角线互相垂直且平分一组对角；兼具轴对称与中心对称性 3.面积计算：底×高；对角线乘积的一半 4.判定方法：定义判定、四边相等判定、对角线垂直的平行四边形判定 5.核心应用：边长、对角线、角度、面积计算；菱形证明；性质与判定综合推理 ✅菱形是特殊的平行四边形，核心特征是邻边相等。它继承了平行四边形的所有性质，同时拥有四边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的独有性质。菱形判定分为两类：可直接通过四边相等判定，也可在平行四边形基础上，通过邻边相等或对角线垂直完成判定。菱形性质多用于几何计算，判定多用于图形证明，是后续学习矩形、正方形的基础核心内容。 ✺学习目标 1.理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，掌握菱形的基本特征。 2.熟练掌握菱形的边、对角线、角度、对称性等核心性质，能够运用性质进行线段、角度、面积的计算与简单推理。 3.掌握菱形的三种判定方法，能根据题目条件灵活选择判定定理，规范完成几何证明过程。 4.能够结合平行四边形知识，解决菱形综合题型，提升几何逻辑推理与数形结合能力。 ✺题型归纳 题型1.利用菱形的性质求角度 题型2.利用菱形的性质求线段长 题型3.利用菱形的性质求面积 题型4.利用菱形的性质证明 题型5.添一个条件使四边形是菱形 题型6.证明四边形是菱形 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、菱形定义 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 补充：四条边都相等的四边形是菱形；菱形是特殊的平行四边形，邻边相等。 知识点二、菱形的性质 边：对边平行，四条边全相等. 几何语言：∵ABCD是菱形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=BC=CD=DA. 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相平分且垂直，每条对角线平分一组对角. 几何语言：∵对角线AC、BD交于O，∴AO=OC、BO=OD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC）； 对称性：中心对称，对称中心为对角线交点；轴对称，有2条对称轴，即两条对角线所在直线。 推论：菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，直角边长分别是两条对角线长的一半，斜边长等于菱形的边长。 知识点三、菱形判定方法 判定类型 判定定理 几何语言 边判定1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC∴四边形ABCD是菱形 边判定2 四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形 知识点四、菱形的面积公式 通用公式：S=底×高 对角线公式：S=AC·BD ✍【解题技巧】 1.求边长、线段长：优先用对角线垂直，结合勾股定理计算； 2.求角度：利用对角线平分对角、邻角互补性质转化； 3.判定题型：先看已知条件，若题干直接给四边相等，可不证平行四边形直接判定菱形; 4.面积计算：已知对角线选对角线公式，已知底高选基础公式，灵活切换。 【易错点提醒】 ◆ 混淆菱形与矩形性质：菱形对角线垂直，矩形对角线相等，不可记混； ◆ 判定逻辑错误：用“对角线互相垂直的四边形”直接判定菱形，忽略“平行四边形”前提； ◆ 面积计算误用：不会灵活选用面积公式，已知对角线时仍使用底乘高，增加计算难度；也容易漏掉对角线公式中的。 ◆ 几何语言书写不规范：未先标注平行四边形，直接写邻边相等判定菱形。 ✺题型精讲 题型1.利用菱形的性质求角度 1．如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，求出，然后可得的度数． 【详解】解：∵，是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 2．如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，则_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，求解即可； 【详解】解：菱形中，对角线、相交与点，， ，， ， ． 3．如图，在菱形中，，为对角线，．求菱形各内角的度数． 【答案】 菱形的四个内角度数分别为，，， 【分析】利用菱形对角线平分内角、对角相等、邻角互补的性质，结合已知计算各内角． 【详解】解： ∵四边形是菱形，为对角线， ∴平分，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，菱形各内角的度数为，，，． 题型2.利用菱形的性质求线段长 1．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 2．如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是，上的动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P，由知最小值为的长，利用菱形的面积列式求解可得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，过点作于点M，交于点P， 此时取得最小值，最小值为的长， 四边形是菱形， 点在上， ， ， ， 由， 得 解得， 即的最小值是． 3．如图，菱形的周长为，．求对角线和的长． 【答案】， 【分析】由菱形的性质可得，，，，，证明为等边三角形，得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵菱形的周长为，， ∴，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3.利用菱形的性质求面积 1．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积即可解题． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴， ， ∴的面积， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴的面积的面积． 2．已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积公式，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接计算即可． 【详解】解：∵这个菱形两条对角线长分别为和， ∴这个菱形的面积为． 3．四边形是菱形，对角线相交于点O，且，求菱形的面积． 【答案】 【分析】由题意易得，，，然后利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，即，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型4.利用菱形的性质证明 1．如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 2．如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．从A，B两题中任选一题作答    1. A、的度数等于( ) A．    B．    C．     D． 2. B、连接，若，则的长等于( ) A．8    B．    C． 12    D． 【答案】 C D 【分析】1、根据四边形 是菱形，可得，然后根据题意可得 ，进而可以解决问题 2、连接 交于点 ，根据四边形 是菱形，可得 ，，根据题意得，所以 是等边三角形，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题； 【详解】1、∵四边形 是菱形， 根据题意可知， 故选：C 2、如图，连接交于点 ∵四边形是菱形 ， 根据题意可知： ， ∴ 是等边三角形 故选：D 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 3．如图，四边形是菱形，点在对角线上（不与点，重合）． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵点在对角线上， ∴． (2)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，得出垂直平分，由此即可得证； （2）先得出，再得出，进而可得，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2） 略． 题型5.添一个条件使四边形是菱形 1．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； B、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意； D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意． 2．如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 3．如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 【答案】(1)证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，理由如下： ∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型6.证明四边形是菱形 1．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴现要判断这个四边形是否为菱形，可以测量四条边是否相等． 2．如图，在中，对角线，交于点，，过点作交的延长线于点． （1）若，，则的长为____________． （2）在（1）的条件下，已知是线段上的一点，且，则的长为____________． 【答案】 1或3 【分析】（1）先通过对角线垂直的平行四边形为菱形证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质，勾股定理，结合已知线段的长度可得对角线的长，最后根据等面积法即可求解； （2）根据菱形的性质，勾股定理可得的值，分类讨论：当点在线段上；当点在线段上；根据线段的和差运算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，， 是菱形， ，，． ，， ，． 在中，， ． 交的延长线于点， ， ， ， ． （2），，， ． 当点在线段上时，； 当点在线段上时，． 故的长为或． 【点睛】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高，分类讨论思想的综合，掌握菱形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 3．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)点如图所示： (2)证明：如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图流程进行作图即可； （2）利用平行线和角平分线的性质可证明，从而得到，再结合可得，命题即可得证． 【详解】（1）略 （3） 略 题型7.根据菱形的性质与判定求角度 1．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 【详解】解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 3．已知点D在的边上，且，过点D作交于点E，作交于点F． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 四边形是菱形，理由： 如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明得，可证四边形是菱形； （2）直接根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴． 题型8.根据菱形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．连接，若，，则的长为(     ) A．20 B．32 C．24 D．36 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，根据菱形的性质可得出，，，再利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴． 2．如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】首先证明平行四边形是菱形，再利用直角三角形的性质，勾股定理求解即可； 【详解】解：∵平行四边形的对角线相交于点，且， ∴平行四边形是菱形， ∴,， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 3．如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证； （2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ． 题型9.根据菱形的性质与判定求面积 1．如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是___________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了菱形的判定及性质，熟练掌握菱形的面积计算公式，是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线，求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴该四边形的面积是：． 故答案为：16． 3．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）略． （2）解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． ✺课堂巩固 一、单选题 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 2．如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴． 3．如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出的长，进而得到的长，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 二、填空题 4．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 5．如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，证明，推出，得到当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即的最小值为． 6．如图，在中，，，，点，分别以点，为起点，以的速度沿，方向运动．设点M，N运动的时间为，连接，．当的值为______时，四边形为菱形． 【答案】 【详解】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，再证四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，然后由勾股定理得出方程求解即可． 如图，过点作于点． 四边形是平行四边形， ． 在中，，， 是等腰直角三角形， ． 由题意，得， ， ． 由题意，得，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 解得， 当时，四边形为菱形． 三、解答题 7．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【详解】（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 8．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 9．已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形 (2)①；② 【分析】（1）先由平行四边形性质得，推导出两组内错角相等，结合是中点得，通过证明，得到，结合，利用对角线互相平分即可证四边形是平行四边形； （2）①由得，在含角的中求出、的长度，即可计算四边形的周长；②由判定平行四边形是菱形，在中结合角性质与勾股定理求出，得到对角线长，用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形周长为； ②当时， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，，， 在中，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $