第17讲 二次函数的应用 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第17讲 二次函数的应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 能根据实际问题情境列出二次函数关系式，明确自变量取值范围 掌握利用二次函数求利润最大、面积最大等最值问题的方法 能建立适当的平面直角坐标系解决抛物线型实际问题（拱桥、喷水池等） 理解二次函数与一元二次方程的关系，能利用图象求方程的近似解 能解决二次函数与几何图形结合的综合题，掌握分类讨论与数形结合思想 📚 知识梳理 ☆ 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 审题：明确变量与常量，找出等量关系，设出自变量和因变量 建模：根据等量关系列出二次函数解析式，注意自变量取值范围 求解：利用二次函数的顶点式或配方法求最值，结合图象分析 检验：检验所求结果是否符合实际意义（如长度、时间不能为负） 概念辨析例题：某商品进价40元，售价60元时每天可卖出30个，每降价1元每天多卖2个。设降价x元，求每天利润y与x的函数关系式。 解析：每件利润为(60-x-40)=(20-x)元，销售量为(30+2x)个，利润=每件利润×销售量。 ☆ 2.利润最值问题 基本公式：总利润＝每件利润×销售量 涨价时销售量减少，降价时销售量增加，需正确表示变化量 求最值时务必检查顶点横坐标是否在自变量取值范围内，不在范围内时最值在端点处取得 概念辨析例题：某商品进价30元，售价40元时每天卖200个，每涨价1元少卖10个。涨价多少元时利润最大？ 解析：设涨价x元，利润y=(10+x)(200-10x)=-10(x-5)2+2250。顶点x=5在范围内，故x=5时最大。 ☆ 3.抛物线型实际问题 拱桥、喷水池、投篮等问题：建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数图象问题 通常以顶点或水面中点为原点建立坐标系，简化计算 利用待定系数法求解析式，再根据题意求特定点坐标或最值 概念辨析例题：抛物线形拱桥，拱顶离水面4m时水面宽8m。建立坐标系求抛物线解析式。 解析：设y=ax2，将水面端点(4,-4)代入得a=-。 ☆ 4.二次函数综合题 面积最值：用坐标表示线段长度，建立面积关于某变量的二次函数 相似三角形存在性：分类讨论对应边关系，结合相似比列方程 图形平移与翻折：平移规律「左加右减、上加下减」，翻折改变开口方向 新定义问题：紧扣定义，将新定义转化为已知的二次函数性质问题 概念辨析例题：抛物线y=x2+bx+c过A(-1,0)、B(3,0)，求解析式及顶点坐标。 解析：由交点式得y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，配方得y=(x-1)2-4。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数最值 a>0时x=-取最小值；a<0时取最大值 注意顶点横坐标是否在自变量取值范围内 利润问题 总利润＝每件利润×销售量 涨价减销量、降价增销量，正确表示变化量 拱桥问题 建立坐标系→待定系数法求解析式→代入求值 通常以拱顶或水面中点为原点简化计算 面积最值 S＝×底×高，用坐标表示线段 注意分类讨论，动点位置变化时解析式可能改变 图形平移 左加右减（对x）、上加下减（对y） 平移后a不变，只改变顶点位置 存在性问题 假设存在→列方程→检验解是否符合条件 相似三角形要分类讨论对应关系 ⚠️ 核心考点 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式（第1-11题） 找准变量关系：利润＝每件利润×销售量，注意降价/涨价后销量变化的表达式 增长率问题：经过n次增长，y＝a(1±x)n 几何动点问题：用时间t表示各线段长度，再根据面积/距离公式列函数 注意自变量的实际取值范围（如x≥0、整数限制等） 1．（2025秋•西和县期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 2．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 3．（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 4．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 5．（2025秋•城关区期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 6．（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 7．（2025•雷州市二模）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 8．（2024秋•思明区校级期中）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大 9．（2026•平定县一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为____________________ ． 10．（2025秋•长丰县期末）一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为_______________ ． 11．（2025•西宁三模）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t秒，记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式____________________ ． 【考点2】二次函数的应用（第12-29题） 拱桥问题：建立坐标系，利用已知点求解析式，再代入求值 喷水池/投篮问题：以顶点为原点或对称轴为y轴简化计算 利润最大/面积最大：化为顶点式求最值，检验顶点是否在取值范围内 多段抛物线问题：分别求各段解析式，注意分界点处的衔接 12．（2025秋•沈丘县期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 13．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 14．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 15．（2026•南京模拟）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 _____ s． 16．（2025秋•浦东新区期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为_____ 米． 17．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为__________________ m． 18．（2025秋•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少_____ 米． 19．（2025•龙华区三模）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝___________________ m． 20．（2024秋•慈溪市期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 ________ 元时，客房的日营业收入最大． 21．（2024秋•淮北期中）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB＝30m，池底最深处距离水平地面5m，原来的水面宽24m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 ___________________ ． 22．（2026•河南模拟）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）写出C1和C2的解析式：____________________ ； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm，则此时水面的直径为________ dm； （3）如果将一个底面直径为3.6dm，高度为2.8dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 23．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 24．（2026•长宁区二模）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本w1（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式w1＝20x．加建后该商场预计每年的能源消耗费用w2（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为y（万元）． （1）求y与x的关系式； （2）已知该商场未来5年的相关计划费用p（万元）满足p＝y+x2﹣x，那么当192≤p≤208时，求隔热层厚度x（厘米）的取值范围． 25．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 26．（2025春•鼓楼区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱AC和BD组成，立柱高为1m，顶棚最高点距离地面AB是4m，AB的长为20m． 素材2 现打算在AB的中点F处安装一款自动喷灌器EF，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与y＝﹣0.04x2的图象相同，EF＝3m，此时水流刚好喷到立柱的端点D处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问EF处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 27．（2026•兰州校级一模）一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 28．（2026•新城区校级四模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m，最高点离地面高度为9m．随着经济的发展，机场决定将原航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线OPM的表达式，并求点M离地面的高度； （2）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架ABCD，使点A、D分别在两个抛物线上，点B、C在地面上，其中AB，AD，CD三边需要用钢材拼接，若AB＝7m，则需要多少米钢材？ 29．（2024秋•泗阳县期末）综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玫的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB＝3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB＝m米，篮球距地面的最大高度CD＝h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD＝a米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c＝2.2米，m＝6米，h＝4米，a＝3米． （1）小玫初次投篮时 _______ 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值（保留根号）． （3）在比赛过程中，小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玫此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【考点3】二次函数综合题（第30-36题） 面积最值：用坐标表示线段，建立面积函数，利用二次函数性质求最大值 相似三角形存在性：分类讨论对应边，利用相似比列方程求解 平移与翻折：平移规律「左加右减、上加下减」，翻折改变开口方向但|a|不变 新定义问题：紧扣定义条件，转化为方程或不等式求解 30．（2026•东营区校级三模）已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 32．（2026•南京模拟）已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； （ii）若点B是经由点A向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，且满足，求n的最小值． 33．（2026•历下区一模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G． ①如图1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积； ②如图2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE＝∠BCF，求新函数的表达式． 34．（2026•南山区三模）【定义】 我们将二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c均不为0且a≠c）与二次函数y＝cx2+bx+a称之为“互反抛物线”．例如：二次函数y＝3x2+4x+5与二次函数y＝5x2+4x+3就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3，其“互反抛物线”记作C2．若C1与C2交于y轴上的交点M和N且MN＝2，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知（1，0）是二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3上的一点，求C1、C2的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数C1：y＝x2+bx+c（其中，b、c均不为0且c≠1）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，C1和C2的函数图象交于点M（1，0），如图所示，当∠PMQ＝90°时，请直接写出c的值． 35．（2026•青浦区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数f（x）的图象经过点B．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线g（x），点B、C的对应点分别是B′、C′，且点B′的坐标为，点C′的纵坐标为﹣2． （1）求点C的坐标及二次函数f（x）的解析式； （2）若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与△AB′C相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； （3）点D（4，y1）和E（x2，y2）在新抛物线上，且对于任意实数x2，当m＜x2≤m+1时，y1＞y2，求实数m的取值范围． 36．（2025•仪征市三模）抛物线的与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），顶点为C． （1）顶点C坐标为___________ ； （2）如图，若点D的坐标是（0，4），连接AD． ①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E，点D的对应点为F，若点E，点F均在抛物线L1上，求点E的坐标； ②将抛物线L1沿射线AD方向平移得到抛物线L2，且抛物线L2经过点D．请问在抛物线L2上是否存在点G，使得∠GAD＝45°﹣∠ADO，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 ____________________ ． 【练习 2】（2026•苍溪县模拟）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为________ m． 【练习 3】（2025秋•梅里斯区期末）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足h＝﹣6x2+72x，则足球从离地到落地的水平距离为 _______ 米． 💯 课后巩固 复习建议 建立平面直角坐标系是解决抛物线型实际问题的第一步，尽量使顶点在坐标轴上以简化计算 求最值时务必检查顶点横坐标是否在自变量取值范围内，不在范围内时最值在端点处取得 利润问题要准确表示销售量随价格变化的关系，注意涨价减、降价增的方向 二次函数综合题注意分类讨论思想，存在性问题要穷尽所有可能情况 抛物线平移记住左加右减（对x）、上加下减（对y），平移后a不变 【作业 1】（2025秋•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【作业 2】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【作业 3】（2025秋•台州期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【作业 4】（2026•东城区二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是___________________ m． 【作业 5】（2025•金山区模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是 _______________ .（不写定义域） 【作业 6】（2026•陈仓区模拟）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【作业 7】（2026•铁岭县模拟）如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 【作业 8】（2026•松江区校级模拟）已知抛物线C1：y＝a（x﹣h）2+2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与y轴交于点B（0，1），将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，得到抛物线C2． （1）当h＝1时， ①求抛物线C1的解析式，并写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物线C2上，求D的坐标． （2）过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，求h的值． 【作业 9】（2026春•闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 二次函数的应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 能根据实际问题情境列出二次函数关系式，明确自变量取值范围 掌握利用二次函数求利润最大、面积最大等最值问题的方法 能建立适当的平面直角坐标系解决抛物线型实际问题（拱桥、喷水池等） 理解二次函数与一元二次方程的关系，能利用图象求方程的近似解 能解决二次函数与几何图形结合的综合题，掌握分类讨论与数形结合思想 📚 知识梳理 ☆ 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 审题：明确变量与常量，找出等量关系，设出自变量和因变量 建模：根据等量关系列出二次函数解析式，注意自变量取值范围 求解：利用二次函数的顶点式或配方法求最值，结合图象分析 检验：检验所求结果是否符合实际意义（如长度、时间不能为负） 概念辨析例题：某商品进价40元，售价60元时每天可卖出30个，每降价1元每天多卖2个。设降价x元，求每天利润y与x的函数关系式。 解析：每件利润为(60-x-40)=(20-x)元，销售量为(30+2x)个，利润=每件利润×销售量。 ☆ 2.利润最值问题 基本公式：总利润＝每件利润×销售量 涨价时销售量减少，降价时销售量增加，需正确表示变化量 求最值时务必检查顶点横坐标是否在自变量取值范围内，不在范围内时最值在端点处取得 概念辨析例题：某商品进价30元，售价40元时每天卖200个，每涨价1元少卖10个。涨价多少元时利润最大？ 解析：设涨价x元，利润y=(10+x)(200-10x)=-10(x-5)2+2250。顶点x=5在范围内，故x=5时最大。 ☆ 3.抛物线型实际问题 拱桥、喷水池、投篮等问题：建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数图象问题 通常以顶点或水面中点为原点建立坐标系，简化计算 利用待定系数法求解析式，再根据题意求特定点坐标或最值 概念辨析例题：抛物线形拱桥，拱顶离水面4m时水面宽8m。建立坐标系求抛物线解析式。 解析：设y=ax2，将水面端点(4,-4)代入得a=-。 ☆ 4.二次函数综合题 面积最值：用坐标表示线段长度，建立面积关于某变量的二次函数 相似三角形存在性：分类讨论对应边关系，结合相似比列方程 图形平移与翻折：平移规律「左加右减、上加下减」，翻折改变开口方向 新定义问题：紧扣定义，将新定义转化为已知的二次函数性质问题 概念辨析例题：抛物线y=x2+bx+c过A(-1,0)、B(3,0)，求解析式及顶点坐标。 解析：由交点式得y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，配方得y=(x-1)2-4。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数最值 a>0时x=-取最小值；a<0时取最大值 注意顶点横坐标是否在自变量取值范围内 利润问题 总利润＝每件利润×销售量 涨价减销量、降价增销量，正确表示变化量 拱桥问题 建立坐标系→待定系数法求解析式→代入求值 通常以拱顶或水面中点为原点简化计算 面积最值 S＝×底×高，用坐标表示线段 注意分类讨论，动点位置变化时解析式可能改变 图形平移 左加右减（对x）、上加下减（对y） 平移后a不变，只改变顶点位置 存在性问题 假设存在→列方程→检验解是否符合条件 相似三角形要分类讨论对应关系 ⚠️ 核心考点 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式（第1-11题） 找准变量关系：利润＝每件利润×销售量，注意降价/涨价后销量变化的表达式 增长率问题：经过n次增长，y＝a(1±x)n 几何动点问题：用时间t表示各线段长度，再根据面积/距离公式列函数 注意自变量的实际取值范围（如x≥0、整数限制等） 1．（2025秋•西和县期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[300+3（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[300+3（x﹣99）] C．w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[300﹣3（99﹣x）] 【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则销售量为[300+3（99﹣x）]件，由此即可得出答案． 【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元）， ∵每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， ∴每件电子产品售价为x（元）时，销售量为[300+3（99﹣x）]件， ∴w与x之间的函数解析式为w＝（x﹣50）[300+3（99﹣x）]， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 2．（2025秋•金湾区期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x，请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函数解析式是（　　） A．y＝1500（1+x）2 B．y＝1500+（1﹣x）2 C．y＝（1+x）2+1500 D．y＝x2+1500 【分析】依据题意，由增长率为x，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解． 【解答】解：由题意，∵增长率为x，根据“7月份销售1500个， ∴9月份销售y个”列得函数关系式为：y＝1500（1+x）2，故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 3．（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【解答】解：根据总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量可知：每件利润为（x﹣10）元， 实际每天销售量为：200﹣10（x﹣15）＝350﹣10x， ∴y＝（x﹣10）（350﹣10x）． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 【分析】共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，每一次握手会被两人各重复计算一次，据此计算出实际握手次数即可得到答案． 【解答】解：∵共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次， ∴实际握手次数为， 那么y与参加会议人数x之间的函数关系式为：． 故选：C． 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系，正确进行计算是解题关键． 5．（2025秋•城关区期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤．经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤．设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（10+x）（50﹣10x） B．y＝（10﹣x）（50+10x） C．y＝（10﹣x）（50﹣10x） D．y＝（10+x）（50+10x） 【分析】根据每斤盈利×销售量列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：y＝（10﹣x）（50+10x） 故选：B． 【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，关键是找到的量关系． 6．（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【分析】求出抛物线当y时x的值，即可得的答案． 【解答】解：∵水面离桥顶的高度为米， ∴当y时，得x2， 解得x＝4或x＝﹣4． ∴水面宽度为4﹣（﹣4）＝8（米）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当y时x的值即可得解． 7．（2025•雷州市二模）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 【分析】先求出点E（3，0），求出BE＝CD＝2，将点A沿y轴向下平移2个单位，得到点F，连接CE，CF，EF，易证得四边形CDAF是平行四边形，于是可得AD＝CF，由轴对称的性质可得BC＝CE，于是得到AD+BC＝CF+CE≥EF，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，利用待定系数法可求得直线EF的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E， 当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（1，0），E（3，0）， ∴BE＝2， ∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE， ∴CD＝2， 点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF， ∴AF＝2， ∴AF＝CD， ∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上， ∴CD∥AF，BC＝CE， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝CF+CE≥EF， ∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小， 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（0，3）， 由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1， ∴F（0，1）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为， 在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线， 要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足， 解得：， ∴， 故选：C． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 8．（2024秋•思明区校级期中）水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止 C．小球向前滑行的速度不变 D．小球向前滑行的速度越来越大 【分析】根据函数图象结合s与t的关系得出答案． 【解答】解：由函数图象可知，当t＝6时，滑行的距离最大， ∴小球滑行6秒停止， 故A说法正确，B说法错误； 由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小， 故C、D说法错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 9．（2026•平定县一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+1500x﹣44000　 ． 【分析】根据公司每天直播销售的利润＝销售每千克的利润×销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣40）[500+（60﹣x）×10]＝﹣10x2+1500x﹣44000． 故答案为：y＝﹣10x2+1500x﹣44000． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意和能正确表示出月销售量是解题的关键． 10．（2025秋•长丰县期末）一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为y＝60（1﹣x）2 ． 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【解答】解：根据题意可知y与x的函数关系式是：y＝60（1﹣x）2． 故答案为：y＝60（1﹣x）2． 【点评】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格＝原价×（1﹣x）2． 11．（2025•西宁三模）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA＝6cm，OC＝4cm，以OA，OC为邻边作矩形OABC．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿AO向点O运动，同时点N从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动．过点N作NP⊥BC交OB于点P，连接MP．设运动时间为t秒，记△OMP的面积为S，求S与t的函数解析式S（t﹣3）2+3（0＜t＜6）　 ． 【分析】依据题意，由四边形OABC是矩形得OA＝6，AB＝4，则点B的坐标为（6，4），求出直线OB的函数解析式为yx，然后利用面积公式即可求解． 【解答】解：由矩形性质可知OA＝6，AB＝4， ∴点B的坐标为（6，4）， 设直线OB的解析式为y＝kx， ∴4＝6k． ∴． ∴． 延长NP交x轴于点H， ∴点P的横坐标OH＝CN＝t，AM＝t， ∴OM＝6﹣t，点． ∴， ∴ ． 故答案为：S（t﹣3）2+3（0＜t＜6）． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【考点2】二次函数的应用（第12-29题） 拱桥问题：建立坐标系，利用已知点求解析式，再代入求值 喷水池/投篮问题：以顶点为原点或对称轴为y轴简化计算 利润最大/面积最大：化为顶点式求最值，检验顶点是否在取值范围内 多段抛物线问题：分别求各段解析式，注意分界点处的衔接 12．（2025秋•沈丘县期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据正常水位时水面宽AB＝16米，找出当x＝8时y＝﹣4，再根据水位上升3米时，代入解析式求值即可． 【解答】解：AB＝16，当x＝8时，y64＝﹣4．当水位上升3米时，y＝﹣1，把 y＝﹣1代入 yx2， 得﹣1x2，解得 x＝±4，此时水面宽CD＝8米，故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 13．（2025秋•礼县期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4， 把y＝﹣4代入yx2， ∴﹣4x2， ∴x＝±4， ∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）， ∴AB＝4﹣（﹣4）＝8m． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 14．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【分析】根据题意可得：把x＝8代入为中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝8代入为中得：y82＝﹣4， ∴B（8，﹣4）， ∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（2026•南京模拟）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 　4　 s． 【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【解答】解：对称轴方程为：， ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为2×2＝4， ∴足球从踢出到落地所需的时间是4s． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16．（2025秋•浦东新区期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为　6　 米． 【分析】由题意可知水珠落地时高度y＝0，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【解答】解：对于函数，令y＝0，得， 整理可得x2﹣6x＝0， 解得x1＝0，x2＝6， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 17．（2025秋•栖霞市期末）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3）， ∴0＝a（3﹣1）2+3， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当x＝0时，， ∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．（2025秋•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　4　 米． 【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解． 【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0， ∴a， ∴y（x﹣4）2+4． ∴当水面上升3m时，令y＝3，则y（x﹣4）2+4＝3． ∴x＝2或x＝6． ∴此时水面宽为6﹣2＝4（米）， ∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键． 19．（2025•龙华区三模）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　 m． 【分析】设抛物线为y＝a（x﹣5）2+4，把点，代入即可求出解析式；当y＝0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离OM． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4， 把点代入得：， ∴， ∴； 当y＝0时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离OM为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 20．（2024秋•慈溪市期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 　150　 元时，客房的日营业收入最大． 【分析】首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元，以及客房租金总收入为y．，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值． 【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元， 将有6x间客房空出，客房租金总收入为y． 由题意可得： y＝（100+10x）（120﹣6x）（10≤x≤50且x是整数）． ＝60（﹣x2+10x+200） ＝﹣60（x﹣5）2+13500 当x＝5时，ymax＝13500． 因此每间租金100+10×5＝150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元． 故答案为：150． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题． 21．（2024秋•淮北期中）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB＝30m，池底最深处距离水平地面5m，原来的水面宽24m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 　　 ． 【分析】根据图象，可以得到抛物线的顶点坐标及抛物线上B点坐标，设出抛物线的顶点式，得到抛物线解析式，再根据水面宽度减小为原来的一半，则可以求出水平右侧与抛物线的交点坐标，代入解析式，得到其纵坐标，从而得到结果． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣h）2+k， ∵顶点坐标为（0，﹣5），点B（15，0）在图象上， ∴y＝ax2﹣5， 0＝a×152﹣5， a， ∴解析式为：yx2﹣5， ∵原来的水面宽24m，水面的宽度减少为原来的一半， ∴现水面的宽度为12米， ∴下降后水面右侧与抛物线的交点的横坐标为6， ∴交点的纵坐标为：y， ∵池底最深处距离水平地面5m， ∴最深处到水面的距离为：5（m）． 故答案为：m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是能够把题意中的水面宽度减小，转换为点坐标的形式表示出来． 22．（2026•河南模拟）如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）写出C1和C2的解析式：C1：yx2﹣3，C2：yx2+1　 ； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是0.48dm，则此时水面的直径为　2.4　 dm； （3）如果将一个底面直径为3.6dm，高度为2.8dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【分析】（1）分别设出C1和C2的解析式，把图中所给的点代入即可求得相关的函数解析式； （2）易得y＝﹣2.52，代入C1的解析式，求得x的值，取较大的值减去较小的值即可求得水面的直径； （3）易得x＝1.8，代入（1）中得到的两个函数解析式，求得y的值，相减即可得到最大高度，与2.8比较即可判断锅盖能否正常盖上． 【解答】解：（1）设C1的解析式为y＝ax2+k， ∵经过点（3，0），（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴C1：yx2﹣3， 设C2的解析式为y＝mx2+n，∵经过点（3，0），（0，1），∴， 解得：， ∴C2：yx2+1， 故答案为：C1：yx2﹣3，C2：yx2+1； （2）∵水位高度是0.48dm， ∴y＝﹣3+0.48＝﹣2.52， ∴﹣2.52x2﹣3， 解得：x1＝1.2，x2＝﹣1.2， ∴水面的直径为：1.2﹣（﹣1.2）＝2.4（dm）， 故答案为：2.4； （3）锅盖不能正常盖上． 理由：∵直径为3.6dm， ∴半径为1.8dm， 当x＝1.8时，y1.82﹣3＝﹣1.92，y1.82+1＝0.64， 0.64﹣（﹣1.92）＝2.56＜2.8， ∴锅盖不能正常盖上． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键．易错点是判断出相对应的自变量的值，函数值． 23．（2026•英山县校级自主招生）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖，火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①已知火箭第二级的引发点坐标，即可求解； ②算出最高点的纵坐标即可得出要求位置的点的纵坐标，解方程即可； （2）已知火箭第二级的引发点横坐标，代入抛物线和直线方程中即可得a、b的关系，再求出落地点的横坐标，利用关系式消元，即可得一元不等式． 【解答】解：（1）①由题意，将（9，3.6）代入抛物线y＝ax2+x得： 3.6＝92a+9， ∴a； 将（9，3.6）代入直线yx+b得：3.69+b， ∴b＝8.1； ②由题意可得：抛物线方程为和直线方程为， 又∵， ∴抛物线的最高点为， ∴方程的根为3， ∴方程.4的根为11.4， ∴这两个位置之间的距离为11.4﹣3＝8.4（km）． （2）由题意，当x＝9时，，即， ∴落地点的横坐标为 2b＝162a+27，则162a+27＞15的解为． ∵抛物线开口向下， ∴． 又∵9， ∴a． ∴当a时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24．（2026•长宁区二模）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本w1（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式w1＝20x．加建后该商场预计每年的能源消耗费用w2（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为y（万元）． （1）求y与x的关系式； （2）已知该商场未来5年的相关计划费用p（万元）满足p＝y+x2﹣x，那么当192≤p≤208时，求隔热层厚度x（厘米）的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得：y＝w1+5w2，把w1＝20x，代入y＝w1+5w2即可得到y与x的关系式； （2）把y＝﹣x2+5x+180代入p＝y+x2﹣x，可得p＝4x+180，根据192≤p≤208，可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意可得：y＝w1+5w2， ∵w1＝20x，， ∴， 整理可得：y＝﹣x2+5x+180（0≤x≤8）； （2）∵y＝﹣x2+5x+180（0≤x≤8）， ∴p＝y+x2﹣x＝﹣x2+5x+180+x2﹣x＝4x+180， ∵192≤p≤208， ∴192≤4x+180≤208， 解得：3≤x≤7． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 25．（2026•周至县一模）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为（5，8），则可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8，又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8，求出a后即可判断得解； （2）依据题意，由（1）y（x﹣5）2+8，从而可令x＝0，则y（0﹣5）2+8，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8． 又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8， ∴0＝a（13﹣5）2+8． ∴a． ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8． （2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8， ∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）． 答：这个装饰物的设计高度为m． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 26．（2025春•鼓楼区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 我校生态实验园拟搭建大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱AC和BD组成，立柱高为1m，顶棚最高点距离地面AB是4m，AB的长为20m． 素材2 现打算在AB的中点F处安装一款自动喷灌器EF，从喷水口E喷出的水流可以看成抛物线，其形状与y＝﹣0.04x2的图象相同，EF＝3m，此时水流刚好喷到立柱的端点D处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问EF处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，最高点距离地面多少米？ 【分析】任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：y＝ax2，易得点D的坐标，把点D的坐标代入可得a的值； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：y＝﹣0.04x2+bx+c，易得点E的坐标，把点E的坐标和点D的坐标代入所设解析式可得b和c的值，进而根据二次函数的性质可得当抛物线的顶点坐标，进而可得EF处喷出的水流在距离F点水平距离为多少米时达到最高，以及最高点距离地面多少米． 【解答】解：任务1．设顶棚部分抛物线的解析式为：y＝ax2， 由题意得：点D坐标为（10，﹣3）， ∴﹣3＝a×102， 解得：a， ∴顶棚部分抛物线的解析式为：yx2； 任务2．设从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：y＝﹣0.04x2+bx+c， 由题意得：点E（0，﹣1），点D（10，﹣3）， ∴， 解得：， ∴从喷水口E喷出的水流的抛物线的解析式为：y＝﹣0.04x2+0.2x﹣1， ∵﹣0.04＜0， ∴抛物线的开口向下， ∴x2.5时，y有最大值，y最大0.75， ∴最高点距离地面的距离为：﹣0.75﹣（﹣4）＝3.25（米）． 答：EF处喷出的水流在距离F点水平距离为2.5米时达到最高，最高点距离地面3.25米． 【点评】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相关的函数解析式是解决本题的关键． 27．（2026•兰州校级一模）一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.02＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5． 【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵y＝﹣0.2x2+3.5， 而球出手时，球的高度为h+1.82+0.2＝（h+2.02）m， ∴h+2.02＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.23． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.23m． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键． 28．（2026•新城区校级四模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m，最高点离地面高度为9m．随着经济的发展，机场决定将原航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线OPM的表达式，并求点M离地面的高度； （2）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架ABCD，使点A、D分别在两个抛物线上，点B、C在地面上，其中AB，AD，CD三边需要用钢材拼接，若AB＝7m，则需要多少米钢材？ 【分析】（1）依据题意得，左侧抛物线OPM的顶点P坐标为（9，9），则可设抛物线顶点式表达式：y＝a（x﹣9）2+9，又图象过点O（0，0），可得0＝a×（0﹣9）2+9，进而，从而，又由整体造型轴对称，可得右侧抛物线顶点坐标为 （15，9），同理可得右侧抛物线表达式：，然后联立两个抛物线表达式求交点M，进而可以得解； （2）依据题意，又AB＝7m，则点A的纵坐标为7，代入左侧抛物线表达式：，可得，x2＝9+3，又由点A位置取x＝9﹣3，然后由图形关于直线x＝12对称，可得点D的横坐标为24﹣（9﹣3）＝15+3，从而AD＝（15+3）﹣（9﹣3）＝6+6，进而所需钢材总长度：AB+AD+CD＝7+（6+6）+7＝20+6，即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，左侧抛物线OPM的顶点P坐标为（9，9）， ∴可设抛物线顶点式表达式：y＝a（x﹣9）2+9， 又图象过点O（0，0）， ∴0＝a×（0﹣9）2+9． ∴． ∴． 由整体造型轴对称，可得右侧抛物线顶点坐标为 （15，9）， 同理可得右侧抛物线表达式：， 联立方程， ∴x＝12， 将x＝12代入左侧抛物线表达式：， ∴点M离地面的高度为8m； （2）由题意，∵AB＝7m， ∴点A的纵坐标为7，代入左侧抛物线表达式：， ∴，x2＝9+3， 由点A位置取x＝9﹣3． 由图形关于直线x＝12对称， ∴点D的横坐标为24﹣（9﹣3）＝15+3． ∴AD＝（15+3）﹣（9﹣3）＝6+6． ∴所需钢材总长度：AB+AD+CD＝7+（6+6）+7＝20+6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 29．（2024秋•泗阳县期末）综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玫的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB＝3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB＝m米，篮球距地面的最大高度CD＝h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD＝a米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c＝2.2米，m＝6米，h＝4米，a＝3米． （1）小玫初次投篮时 　不能　 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值（保留根号）． （3）在比赛过程中，小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玫此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【分析】（1）易得小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代入可得a的值，取x＝6，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把（6，3）代入可得t的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取x＝6，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取x＝6，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取x＝1，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为：（3，4）， ∴设y＝a（x﹣3）2+4， ∵经过点（0，2.2）， ∴2.2＝a（0﹣3）2+4， 解得：a， ∴y（x﹣3）2+4， 当x＝6时，y＝2.2， ∵2.95≤n≤3.10时，篮球命中篮筐， ∴小玫初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）向前走了t米后抛物线的解析式为：y（x﹣3﹣t）2+4， ∵经过点（6，3）， ∴3（6﹣3﹣t）2+4， ∴（3﹣t）2＝5， 解得：t1＝3（不合题意，舍去），t2＝3， 答：t的值为3； （3）由题意得：小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：y（x﹣3﹣1）2+4（x﹣4）2+4， 当x＝6时，y＝3.2＞3， ∴不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4+m， 当x＝6时，y＝m+3.2， ∴2.95≤m+3.2≤3.10， 解得：﹣0.25≤m≤﹣0.1， ∵出手点的坐标为（1，c）， ∴c（1﹣4）2+4+m＝2.2+m， ∴1.95≤c≤2.1． 【点评】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． 【考点3】二次函数综合题（第30-36题） 面积最值：用坐标表示线段，建立面积函数，利用二次函数性质求最大值 相似三角形存在性：分类讨论对应边，利用相似比列方程求解 平移与翻折：平移规律「左加右减、上加下减」，翻折改变开口方向但|a|不变 新定义问题：紧扣定义条件，转化为方程或不等式求解 30．（2026•东营区校级三模）已知如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使得△CAN的面积最大？若存在，请求出面积最大值；若不存在，请说明理由； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM和△ABC相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得出A（﹣3，0），C（0，﹣3），再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，求出点B（1，0），则AB＝4，求出S△ABCAB•OC＝6，作NE∥y轴交AC于E，设点N（n，n2+2n﹣3）（﹣3＜n＜0），则E（n，﹣n﹣3），EN＝﹣n2﹣3n，表示出S△ACNEN•（xC﹣xA），再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据∠OAM＝∠BAC，进而分两种情况：△BAC∽△OAM，△BAC∽△MAO；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3， ∴A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）在直线AC下方的抛物线上，存在一点N，使得△CAN的面积最大；理由如下： 设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0，得出x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∴S△ABCAB•OC4×3＝6， 如图1，作NE∥y轴交AC于E， 设点N（n，n2+2n﹣3）（﹣3＜n＜0），则E（n，﹣n﹣3）， ∴EN＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n﹣3﹣n2﹣2n+3＝﹣n2﹣3n， ∴S△ACNEN•（xC﹣xA）（﹣n2﹣3n）×3， ∵a0， ∴当n时，S△ACN最大，为； （3）在线段AC上存在一点M，使△AOM和△ABC相似；理由如下： ∵∠OAM＝∠BAC， ∴当△AOM和△ABC相似有两种情形， ①当△BAC∽△OAM时，如图2， ∴∠AOM＝∠ABC， ∴OM∥BC， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（1，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3， ∴直线OM的解析式为y＝3x， 联立得：， 解得：， ∴M（，）； ②当△BAC∽△MAO时，如图3， ∴， ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）， ∴AB＝4，AO＝CO＝3，AC3， ∴AM2， 设M（t，﹣t﹣3）， ∴AM2＝（t+3）2+（﹣t﹣3）2， 解得：t＝﹣1或t＝﹣5（舍去）， ∴M（﹣1，﹣4）， 综上所述，M（，）或 M（﹣1，﹣2）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的性质与判定，熟练运用数形结合的思想解决问题是解答本题的关键． 31．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C坐标，即可得解； （2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（，0），B（1，0），C（1，2a），根据直线AC解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P代入可得c＝1，进而求出C点坐标，可得CP、CQ，即可得解． 【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 32．（2026•南京模拟）已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）． （1）求证：抛物线与x轴必有交点； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x（a≠﹣1）上．当时，是一个与x1无关的定值． （i）求b的值； （ii）若点B是经由点A向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，且满足，求n的最小值． 【分析】（1）根据二次函数的性质，得出y＝ax2﹣bx，得Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0，即可作答； （2）（i）理解题意，先得出y1，y2，又因为，整理得（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b，故x2，又因为是一个与x1无关的定值，得出，即可作答； （ii）因为点B（x2，y2）是由点A（x1，y1）向右平移m个单位，向上平移n个单位得到，得x2＝x1+m，y2＝y1+n，又因为，得x2＝﹣x1，点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上．得出y2，整理得，结合二次函数的性质，进行分析，即可作答． 【解答】（1）证明：∵y＝ax2﹣bx（a，b为常数，其中a≠0）， 当y＝0时，得：ax2﹣bx＝0， ∵Δ＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2≥0， ∴ax2﹣bx＝0必有解， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：（i）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，将点A的坐标代入得： ∴y1； 点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上，将点B的坐标代入得： ∴y2， ∵， ∴， ∴， 则x2x1[（a+1）x2﹣2]＝x2x1（ax1﹣b）， ∴x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∵， ∴x1≠0，x2≠0，（当x1＝0，x2＝0，无意义）， ∵x1x2[（a+1）x2﹣2]＝x1x2（ax1﹣b）， ∴（a+1）x2﹣2＝ax1﹣b， ∴， ∴， ∵是一个与x1无关的定值． ∴， ∴﹣b+2＝0， ∴b＝2； （ii）∵点B（x2，y2）是经由点A（x1，y1）向右平移m个单位，向上平移n个单位得到， ∴x2＝x1+m，y2＝y1+n， ∵， ∴， ∴x2＝﹣x1， ∵点A（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣bx上，点B（x2，y2）在抛物线y＝（a+1）x2﹣2x上． ∴， ∵x2＝﹣x1， ∴y2， ∵y2＝y1+n， ∴， ∴， ∵b＝2， ∴， ∵1＞0， ∴的开口方向向上，在x1＝﹣2时，函数的最小值为n＝﹣4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，点的平移，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 33．（2026•历下区一模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G． ①如图1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积； ②如图2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE＝∠BCF，求新函数的表达式． 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）①连接DG，AD，CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，利用平行线之间的距离相等的性质，同底等高的三角形的面积相等的性质得到△ACG的面积等于△ACD的面积，利用勾股定理求得AC；过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，利用矩形的判定与性质，勾股定理求得CD，设DE＝m，CE＝n，由勾股定理求得DE，再利用实际行动面积公式解答即可得出结论； ②连接DG，过点G作GM⊥AF于点M，过点D作N⊥GM于点N，设DN＝c，则GN＝2c，利用平移的性质，相似三角形的判定与性质得到点G（1+c，2c），利用二次函数的图象与性质得到新函数的图象的解析式为y2c，则点E，F的横坐标为方程（c+1）xc+4＝0的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到efc2﹣2c﹣8，则OE•OF＝c2﹣2c﹣8，再利用相似三角形的判定与性质求得c值，则结论可求． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为yx+4． ∵yx+4， ∴顶点D的坐标为（1，）； （2）①连接DG，AD，CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，如图， ∵将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G， ∴DG∥AC， ∴△ACG与△ACD同底等高， ∴△ACG的面积等于△ACD的面积． 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AC2， 过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H， 则四边形OCHF为矩形， ∴CH＝OF，FH＝OC＝4， ∵D的坐标为（1，）， ∴DF，OF＝1， ∴CH＝1，DH＝DF﹣HF， ∴CD， 设DE＝m，CE＝n，由勾股定理可得：DE2+CE2＝CD2，AE2+DE2＝AD2＝AF2+DF2， ∴， ∴， ∴DE， ∴△ACG的面积． ∴△ACG的面积为． ②∵将二次函数y＝ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G， ∴DG∥AC， 连接DG，过点G作GM⊥AF于点M，过点D作N⊥GM于点N，如图， 则△AOC∽△DNG， ∴， ∴， 设DN＝c，则GN＝2c， ∵D的坐标为（1，）， ∴G（1+c，2c）， ∴新函数的图象的解析式为y2c， ∴y（x+1）xc+4， 令y＝0，则（x+1）xc+4＝0， ∴点E，F的横坐标为方程（c+1）xc+4＝0的两根， 设E（e，0），F（f，0）， ∴OE＝e，OF＝f， ∵efc2﹣2c﹣8， ∴OE•OF＝c2﹣2c﹣8， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵OC＝4， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠OCE+∠BCE＝∠OCB，∠OBC＝∠BCF+∠F，∠BCE＝∠BCF， ∴∠OCE＝∠F， ∵∠COE＝∠FOC＝90°， ∴△OCE∽△OFC， ∴， ∴OC2＝OE•OF， ∴16＝c2﹣2c﹣8， ∴c＝6或﹣4（不合题意，舍去）， ∴DN＝6，GN＝12， ∴G（7，）， ∴新函数的表达式为y， 即y7x﹣8． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，平移的性质，三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 34．（2026•南山区三模）【定义】 我们将二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c均不为0且a≠c）与二次函数y＝cx2+bx+a称之为“互反抛物线”．例如：二次函数y＝3x2+4x+5与二次函数y＝5x2+4x+3就是一组“互反抛物线”． （1）已知二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3，其“互反抛物线”记作C2．若C1与C2交于y轴上的交点M和N且MN＝2，求a的值； （2）在（1）的条件下，已知（1，0）是二次函数C1：y＝ax2+bx+2a﹣3上的一点，求C1、C2的函数图象与x轴的所有交点的距离的最大值． （3）已知二次函数C1：y＝x2+bx+c（其中，b、c均不为0且c≠1）的顶点为P，其“互反抛物线”的顶点为Q，C1和C2的函数图象交于点M（1，0），如图所示，当∠PMQ＝90°时，请直接写出c的值． 【分析】（1）分别求出M、N点坐标，即可求求解； （2）根据题意可知a＝5，分别求出函数与x轴的交点横坐标，再求解即可； （3）分别求出P（，），Q（，），过Q点作QG⊥x轴交于G点，过P点作PH⊥x轴交于H点，可证明△GMQ∽△HPM， 再由，求出满足题意的c＝3． 【解答】解：（1）“互反抛物线”C2为y＝（2a﹣3）x2+bx+a， ∴M（0，2a﹣3），N（0，a）， ∴MN＝|a﹣3|＝2， 解得a＝5或a＝1； （2）当x＝1时，a+b+2a﹣3＝0， ∴b＝3﹣3a， 当a＝1时，b＝0，不符合题意，舍去； 当a＝5时，y＝5x2﹣12x+7，y＝7x2﹣12x+5， 当5x2﹣12x+7＝0时，解得x＝1或x； 当7x2﹣12x+5＝0时，解得x＝1或x； ∴交点的最大距离为； （3）∵点M是两个函数的交点， ∴c+b+1＝0， ∴b＝﹣c﹣1， ∴C1：y＝x2+（﹣c﹣1）x+c，C2：y＝cx2+（﹣c﹣1）x+1， ∴P（，），Q（，）， 过Q点作QG⊥x轴交于G点，过P点作PH⊥x轴交于H点， ∵∠PMQ＝90°， ∴∠GMQ+∠HMP＝90°， ∵∠GMQ+∠GQM＝90°， ∴∠HMP＝∠GQM， ∴△GMQ∽△HPM， ∴，即， ∵c≠1， ∴c＝3或c＝﹣1； 当c＝﹣1时，b＝0，舍去； ∴c＝3． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 35．（2026•青浦区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数f（x）的图象经过点B．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线g（x），点B、C的对应点分别是B′、C′，且点B′的坐标为，点C′的纵坐标为﹣2． （1）求点C的坐标及二次函数f（x）的解析式； （2）若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与△AB′C相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； （3）点D（4，y1）和E（x2，y2）在新抛物线上，且对于任意实数x2，当m＜x2≤m+1时，y1＞y2，求实数m的取值范围． 【分析】（1）先求出点B的坐标进而得出OB的长度；过点C作CH⊥y轴于点H，由平移的性质可得，原抛物线中B，C两点的纵坐标的差与新抛物线中B'，C'两点的纵坐标的差相等，据此可得点C的坐标，最后利用抛物线顶点式将点B，C代入即可求得抛物线表达式； （2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在△AB'C中得到三边的长度，根据△PAC与ΔAB′C的相似比不为1，可得出当PC⊥AC符合题意，利用余弦的定义求得PA的长度，进而得出点P的坐标； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点D代入求出其坐标，由m＜x2≤m+1时，y1＞y2恒成立，可设，求得点F的横坐标，进而得出m的取值范围． 【解答】解：（1）令x＝0，， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， 过点C作CH⊥y轴于点H， ∵，点C的纵坐标为﹣2， ∴yB﹣yC＝2， ∵将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点B′，C分别是B，C的对应点， ∴yB﹣yC＝yB'﹣yC'＝2，即BH＝2， ∵yB＝4， ∴yC＝2， 将yC＝2代入，得， ∴， ∵点C为二次函数f（x）的顶点， ∴设二次函数的解析式为， 将B（0，4）代入得：， 解得：， ∴二次函数； （2）二次函数f（x）的对称轴为x， ∵向右移个单位长度得到二次函数g（x）的对称轴， ∴二次函数g（x）的对称轴为， 如图，在△AB′C 中，， ∴B′C∥y轴， 在Rt△CB'A中，，BC＝2， ∴， ∴， ∵B′C∥AP， ∴∠BCA＝∠CAP，即， ∵△PAC与△AB'C的相似比不为1， 当PC⊥PA时，易证得△PAC≌ΔB′CA（AAS），不符合题意， 当PC⊥AC时，， ∴， ∴点P的坐标为； （3）由（2）知，， 将点D（4，y1）代入得：， ∴， 设，则， m＜x2≤m+1时，y1＞y2恒成立， ∴2≤m＜m+1＜4， ∴2≤m＜3． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 36．（2025•仪征市三模）抛物线的与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），顶点为C． （1）顶点C坐标为　（0，﹣2）　 ； （2）如图，若点D的坐标是（0，4），连接AD． ①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E，点D的对应点为F，若点E，点F均在抛物线L1上，求点E的坐标； ②将抛物线L1沿射线AD方向平移得到抛物线L2，且抛物线L2经过点D．请问在抛物线L2上是否存在点G，使得∠GAD＝45°﹣∠ADO，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，从而得出C（0，﹣2）， （2）①设E（m，n）则F（m+2，n+4），将其代入抛物线的解析式，解方程组，进而得出结果； ②先求出L2的解析式，取点E（0，2），设直线AE交L2于G，可推出直线AE与L2的交点G符合条件，将L2和直线AE联立成方程组，进而得出G点坐标；作EF⊥AD于F，在EF上截取FH＝EF，作射线AG′，交L2于G′，可推出∠DAG′＝∠DAG，从而得出直线AD和L2的交点也满足条件，进一步得出结果． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）； （2）①设E（m，n）则F（m+2，n+4）， ∴， ∴， ∴E（1，）； ②如图， A点向右平移2个单位，再向上平移4个单位得出D，故L2的解析式为：y， 取点E（0，2），设直线AE交L2于G， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝OE， ∴∠AEO＝∠OAE＝45°，直线AE的解析式为：y＝x+2， ∴∠DAE＝∠AEO﹣∠ADO＝45°﹣∠ADO， ∵∠GAD＝45°﹣∠ADO， ∴直线AE与L2的交点G符合条件， 由得， ∴，， ∴G1（3），G2（3， 作EF⊥AD于F，在EF上截取FH＝EF，作射线AG′，交L2于G′， ∴AH＝AE， ∴∠DAG′＝∠DAG， ∵A（﹣2，0），D（0，4）， ∴直线AD的解析式为：y＝2x+4， ∴直线EF的解析式为：yx+2， 由得， ， ∴F（）， ∴H（）， ∴AH的解析式为：y＝7x+14， 由得， ， ∴）， 综上所述：G（3）或（3）或（9）或（9）． 【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 a　 ． 【分析】依据题意，抛物线的顶点在直线y＝3x上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边15m可知其对称轴，可得a的范围． 【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx的顶点为（，），抛物线的顶点在直线y＝3x上， ∴3． ∴b＝6． ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m， ∴，即：． ∴a． 故答案为：a． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 【练习 2】（2026•苍溪县模拟）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为　1.8　 m． 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入D的横坐标即可． 【解答】解：如图建立坐标系： ∵AB＝2m，CD＝4m，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m， ∴B（1，0），P（0，0.6）， 设y＝ax2+0.6，将B（1，0）代入得0＝a+0.6， 解得a＝﹣0.6，即y＝﹣0.6x2+0.6， 当时，y＝﹣0.6×22+0.6＝﹣1.8， 即点B到CD的距离为1.8m， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 【练习 3】（2025秋•梅里斯区期末）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足h＝﹣6x2+72x，则足球从离地到落地的水平距离为 　12　 米． 【分析】依据题意，令h＝0，h＝﹣6x2+72x＝0，从而可得x＝0或x＝12，故可以判断得解． 【解答】解：由题意令h＝0，h＝﹣6x2+72x＝0， ∴x＝0或x＝12． ∴足球从离地到落地的水平距离为：12﹣0＝12（米）． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能理解是关键． 💯 课后巩固 复习建议 建立平面直角坐标系是解决抛物线型实际问题的第一步，尽量使顶点在坐标轴上以简化计算 求最值时务必检查顶点横坐标是否在自变量取值范围内，不在范围内时最值在端点处取得 利润问题要准确表示销售量随价格变化的关系，注意涨价减、降价增的方向 二次函数综合题注意分类讨论思想，存在性问题要穷尽所有可能情况 抛物线平移记住左加右减（对x）、上加下减（对y），平移后a不变 【作业 1】（2025秋•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【分析】先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润＝每件利润×销售量”列出函数式． 【解答】解：商品原售价为10元，涨价x元后，新售价为（10+x）元， 由题意得利润y＝每件利润×销售量， y＝（10+x﹣9）（100﹣10x）， 故选：C． 【点评】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润＝每件利润×销售量”的数量关系． 【作业 2】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【分析】先求出P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+220I，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：当I＝1时，P＝165， ∴165＝﹣55×12+b， 165＝﹣55+b， 解得：b＝220， ∴P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220， ∴当I＝2时，电功率P最大，最大220W， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2025秋•台州期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【分析】设售价为x元（50≤x≤65），则销售量为198﹣2x，每个利润为x﹣35，总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x），化为二次函数P＝﹣2x2+268x﹣6930，因顶点x＝67不在范围内，且函数在[50，65]上递增，故最大值在x＝65处． 【解答】解：设售价x元（50≤x≤65）， ∴销售量＝98﹣2（x﹣50）＝198﹣2x，每个利润＝x﹣35， ∴总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x）＝﹣2x2+268x﹣6930， ∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但x＝67＞65，不在范围内， 又∵当x＜67时，函数递增， ∴在x＝65时P最大， P＝（65﹣35）（198﹣2×65）＝30×68＝2040（元）， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业 4】（2026•东城区二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x，则水流喷出的最大高度是　　 m． 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【解答】解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 5】（2025•金山区模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是 y＝20x2+40x .（不写定义域） 【分析】根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【解答】解：根据题意得：y＝20（1+x）2﹣20＝20x2+40x， 故答案为：y＝20x2+40x． 【点评】本题主要考查了平均增长率的问题，需注意第12月的印数量是在第10个月的印数量的基础上增加的，可以用公式a（1±x）2＝b来解题． 【作业 6】（2026•陈仓区模拟）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【分析】（1）依据题意得，顶点E为（2，3），则可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，又图象过A（0，1），进而计算可以得解； （2）由四边形FGMN为正方形，则MN＝FG＝2FH，又设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m，故N（m，4﹣2m），结合N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上，可得4﹣2m（m﹣2）2+3，求出m后即可得解； （3）依据题意，设BF＝m，则N（m，m2+2m+1），故NFm2+2m+1，结合FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，顶点E为（2，3）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3， 又图象过A（0，1）， ∴4a+3＝1． ∴a． ∴抛物线L的表达式为y（x﹣2）2+3； （2）∵四边形FGMN为正方形， ∴MN＝FG＝2FH． 设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m， ∴N（m，4﹣2m）． 又∵N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上， ∴4﹣2m（m﹣2）2+3． ∴m1＝4，m2＝4（不合题意，舍去）． ∴MN＝FN＝4﹣2m＝24； （3）设BF＝m，则N（m，m2+2m+1）， ∴NFm2+2m+1． ∵FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2， ∴2m≤0.7，即2BF≤0.7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、轴对称图形，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业 7】（2026•铁岭县模拟）如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出B（3，0），C（0，﹣3），再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），根据两点之间距离公式得到PM＝|t（t﹣3）|，由0≤t≤3分类讨论去绝对值，将PM化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案； ②由①知，PM＝|t（t﹣3）|，再求出MN＝|2（t﹣1）|＝|2t﹣2|，由列绝对值方程求解，即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线l'经过点A或与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线l′与新图象恰好有三个不同的交点；当直线l'经过点B时，直线l'与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【解答】解：（1）在y＝x﹣3中， 令x＝0得y＝﹣3； 令y＝0得x＝3； ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①如图， ∵点P为线段BC上一点， 设其横坐标为t，则0≤t≤3， ∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3）， ∴PM＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|＝|t（t﹣3）|， 当t＝0时，t﹣3＝﹣3，则PM＝0； 当0＜t＜3时，t﹣3＜0，则， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，PM的长度随着t的增大而增大，则此情况， 当t＝3时，t﹣3＝0，则PM＝0； 综上所述，当PM的长度随t的增大而增大时，t的取值范围是； ②由①知PM＝|t2﹣3t|， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线， ∴MN＝|2（t﹣1）|＝|2t﹣2|，， ∴或， 则t2﹣4t+1＝0或t2﹣2t﹣1＝0， 解得或或或， ∵0≤t≤3， ∴点P的横坐标为或； （3）在y＝x2﹣2x﹣3中， 令y＝0得0＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为（1，4）， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）， 直线l向上平移n个单位长度得到直线l′：y＝x﹣3+n，如图， ∴当直线l′经过点A或与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线l′与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线l′经过点B时，直线l′与新图象恰好有一个交点， ①当直线l′经过点A（﹣1，0）时，把A（﹣1，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝﹣1﹣3+n， 解得n＝4， 即当n＝4时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ②当l′：y＝x﹣3+n与y＝﹣x2+2x+3相切时， 联立，只有一组公共解， 即方程x2﹣x+n﹣6＝0的判别式为0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（n﹣6）＝0， 解得， 即当时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ③当直线l′经过点B（3，0）时，把B（3，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝3﹣3+n， 解得n＝0， 即当n＝0时，直线l′与这个新图象有1个公共点； ④如图，当时，直线l′与这个新图象有4个公共点； ⑤如图，当时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑥如图，当0＜n＜4时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑦如图，当n＜0时，直线l′与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线l′与这个新图象有2个公共点时：；有3个公共点时：或n＝4． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【作业 8】（2026•松江区校级模拟）已知抛物线C1：y＝a（x﹣h）2+2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与y轴交于点B（0，1），将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，得到抛物线C2． （1）当h＝1时， ①求抛物线C1的解析式，并写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物线C2上，求D的坐标． （2）过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，求h的值． 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标； ②求出翻折后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则翻折后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，设D（d，﹣d2+2d+1），可证明点D为AE的中点，则E（2d﹣1，﹣2d2+4d），代入y＝x2﹣2x﹣3，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得M（h，1），则，，同理可得抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x﹣h）2﹣2h﹣2，则，再由a（0﹣h2）+2h＝1，联立求解即可． 【解答】解：（1）①当h＝1时，抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣1）2+2， 把B（0，1）代入y＝a（x﹣1）2+2得，1＝a（0﹣1）2+2， 解得a＝﹣1， ∴抛物线C1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1， ∴顶点A的坐标为（1，2）； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为（1，2）， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4）， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3， 设D（d，﹣d2+2d+1）， ∵AE＝2AD， ∴点D为AE的中点， ∴，， ∴xE＝2d﹣1，， ∴E（2d﹣1，﹣2d2+4d）， ∵E（2d﹣1，﹣2d2+4d）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上， ∴﹣2d2+4d＝（2d﹣1）2﹣2（2d﹣1）﹣3， 解得d＝0或d＝2， 当d＝2时，﹣d2+2d+1＝﹣22+2×2+1＝1， 当d＝0时，﹣d2+2d+1＝0+0+1＝1， ∴若点E落在抛物线C2上，则点D的坐标为（0，1）或（2，1）； （2）∵MB⊥y轴交对称轴x＝h于点M， ∴M（h，1）， ∴MB＝h， ∵， ∴， 同理可得抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x﹣h）2﹣2h﹣2， ∵点Q在抛物线C2上， ∴，即﹣3ah2﹣2h﹣3＝0①， 又点B（0，1）在抛物线C1上， ∴a（0﹣h）2+2h＝1，即ah2＝1﹣2h②， 把②代入①得3（1﹣2h）＝﹣2h﹣3， 解得：． ∴过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，则得． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 9】（2026春•闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出D点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：； （2）直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，或或M（1，4）或，理由如下： 由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， 把B（﹣3，0）代入，得0＝﹣3k+3，解得：k＝1， ∴y＝x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为y＝﹣（x+1+2）2+4＝﹣（x+3）2+4， 联立：， 解得：， ∴D（﹣2，3）， 设M（m，m+3）， ∵B（﹣3，0）， ∴BM2＝（m+3）2+（m+3）2＝2（m+3）2，DM2＝（m+2）2+m2，BD2＝（3﹣2）2+32＝10， 情况1：BD为菱形的边： ①当BM＝BD时，2（m+3）2＝10， 解得：或， ∴或； ②当DM＝BD时，（m+2）2+m2＝10， 解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1， ∴M（1，4）； 情况2：BD为菱形的对角线： ③当BM＝DM时，（m+2）2+m2＝2（m+3）2，解得：， ∴， 综上所述，直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形；或或M（1，4）或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线 的平移，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $