5.1 任意角和弧度制讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§5.1 任意角和弧度制 目录 题型1：任意角和象限角的概念 5 题型2：终边相同的角的表示 7 题型3：区域角及其表示 9 题型4：弧度制的概念 11 题型5：弧度制与角度制的互化 12 题型6：象限角的判断 14 题型7：角的集合之间的关系的判断 17 题型8：扇形的弧长公式和面积公式的应用 20 1. 任意角的概念 (1) 角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.如图， 射线的起始位置为始边；射线的终止位置为终边；射线的端点为顶点.图中的角可记为“角”或“”或“”. (2) 任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 (3) 角的加法 设是任意两个角,我们规定,把角的终边旋转角,这时终边所对应的角是. (4) 相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角。角的相反角记为。于是,像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有。这样,角的减法可以转化为角的加法。 2. 象限角 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 3. 终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 4. 象限角与轴线角的集合表示 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 轴线角 在轴上的角 在轴上的角 在坐标轴上的角 注意 象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为. 5. 角与角的终边的位置关系 角终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 或 与的终边关于对称 与的终边关于对称 6. 弧度制的概念 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 弧度制是在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制. 7. 圆心角与弧长的关系 (1) 设，，点所形成的圆弧的长为.由初中所学知识得，于是. 根据弧度的规定，在半径为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么. (2) 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. 注意 一定大小的圆心角所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 8. 角度制与弧度制的互化 (1) 角度与弧度的互化 ；；； 弧度数=度数；度数=弧度数. (2) 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 0 注意 (1)弧度单位rad可以省略.(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 9. 弧长与扇形面积公式 扇形的弧长与面积公式(是扇形所在圆的半径，为扇形的圆心角的度数，表示扇形的圆心角的弧度数) 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 题型1：任意角和象限角的概念 【例1.1.】 图（1），（2）中的角的度数是______，的度数是______，的度数是______． 【答案】 330° 570° 【难度】0.92 【知识点】任意角的概念、根据图形写出角（范围） 【详解】图（1）中，； 图（2）中，，； 【例1.2.】 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 【例1.3.】 下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、确定已知角所在象限 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 【例1.4.】 (多选)下列说法，不正确的是（    ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】利用任意角，和象限角概念分析不同的选项，即可得出答案. 【详解】由题意， A中， 90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角， 故A错误； B中， 始边相同而终边不同的角一定不相等， 故B正确； C中， 钝角大于的角，而的角是第三象限角， 故C错误； D中， 零角或负角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故D错误． 故选：ACD. 题型2：终边相同的角的表示 方法提炼 (1) 终边相同的角的求解及应用 求与已知角终边相同的角,首先将这样的角表示成的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定的值,从而求出满足条件的角。 (2) 终边在某条直线上的角的集合 ①若所求角的终边在某条射线上，则集合的形式为。 ②若所求角的终边在某条直线上，则集合的形式为。 【例2.1.】 在区间上，与终边相同的角为____________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】找出终边相同的角 【详解】与终边相同的角为， 在区间上的角为. 【例2.2.】 （多选）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【详解】依题意，，则角与角终边相同， 与角终边相反的角可以为， 因此与角终边相反的所有角的集合为， 显然，. 【例2.3.】 在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.89 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 【例2.4.】 分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； 【答案】①，②，③； 【难度】0.65 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】由终边相同角的概念即可求解. 【详解】由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； 题型3：区域角及其表示 方法提炼 (1)表示区域角的三个步骤 ①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简集合，其中. ③起始、终止边界对应角，再加上的整数倍，即得区域角的集合. (2)实线包括边界，虚线不包括边界. 注意 对于最后的结果,能合并的一定要合并,不要分开写。另外,表示角时,单位一定要统一,只能用角度制或弧度制中的一种,不能混用。 【例3.1.】 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、任意角的概念、根据图形写出角（范围） 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为： . 阴影部分终边在第四象限角的集合为： . 所以终边在阴影部分的角的集合为. 【例3.2.】 已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、根据图形写出角（范围） 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 【例3.3.】 已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 题型4：弧度制的概念 【例4.1.】 下列语句正确的是（   ） A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为1 D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】弧度的概念 【分析】根据给定条件，利用弧度的定义直接判断即可. 【详解】一弧度是弧长等于半径的圆弧所对的圆心角大小，ABC错误，D正确. 故选：D 【例4.2.】 下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】弧度的概念 【分析】根据角度和弧度的定义可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确； 对于B选项，的角是周角的，的角是周角的，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误. 故选：D. 【例4.3.】 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，已知大轮6秒转动一周，小轮1秒转动的角度大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】弧度的概念 【分析】根据相互啮合的齿轮，转过的齿数相等求解即可. 【详解】两个啮合的齿轮，线速度相同，单位时间内通过的齿数相等. 大轮有48齿，6秒转动一周，则每秒转过齿数为齿， 小轮有20齿，每秒同样转过8齿， 因此小轮每秒转过的周数为周，每周转过的角度为弧度， 故小轮每秒转动的角度大小为弧度. 故选：C 题型5：弧度制与角度制的互化 方法提炼 (1) 弧度与角度的互化关系为，则弧度数=度数；度数=弧度数。 (2) 将角度化为弧度,当角度制中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”表示,再利用化为弧度即可。 【例5.1.】 把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】找出终边相同的角、弧度化为角度、角度化为弧度 【详解】因为与的终边相同， 所以把角化为的形式为. 【例5.2.】 （1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【答案】（1），（2）， 【难度】0.92 【知识点】弧度化为角度、角度化为弧度 【分析】（1）根据可得； （2）根据可得. 【详解】（1），； （2），. 【例5.3.】 （1）把化成弧度； （2）把化成角度； （3）已知，，，，，试比较、、、、的大小． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.7 【知识点】弧度化为角度、角度化为弧度 【分析】1、角度与弧度的转换.2、角度与弧度的转换.3、将所有角转换成弧度制进行比较即可. 【详解】（1）． （2）． （3），． 显然．故． 题型6：象限角的判断 方法提炼 (1) 作给定角并判断它是第几象限角 ①作给定的各个角时,可先找出在0°~360°范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可。 ②判断角是第几象限角的常用方法:将写成，的形式,观察角的终边所在的象限即可。 (2) 判定分角、倍角的终边所在的象限 ①已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况。 ②已知角终边所在的象限,确定所在象限的常用方法有两种： 方法一：分类讨论法。由的范围得到的范围，然后对的取值分类讨论，从而确定所在象限。 方法二：图形示意法。 作出从原点出发且等分各个象限的射线，它们与坐标轴把周角等分成个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针把这个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标号是几的区域，就是为第几象限的角时，的终边所在的区域. 【例6.1.】 已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【详解】已知，故角为第二象限角． 【例6.2.】 若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　） A．轴的非负半轴 B．第一象限 C．轴的非负半轴 D．第三象限 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、轴线角 【分析】由对称可知，得终边所在位置. 【详解】角的终边与角的终边关于轴对称，则角的终边与角的终边相同， 得，则有， 所以的终边落在轴的非负半轴． 故选：A． 【例6.3.】 若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限、确定已知角所在象限 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又是第三象限角，的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 【例6.4.】 （多选）若是第四象限角，则（    ） A．是第二象限角 B．是第一象限角 C．是第一象限角 D．是第四象限角 【答案】BC 【难度】0.82 【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围 【详解】因为是第四象限角，所以， 则，所以是第一象限角，故B正确； 而，所以是第三象限角，故A错误； 而，则是第一象限角，故C正确； 而，则是第三象限角，故D错误. 【例6.5.】 已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 【答案】是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角，为第一象限角或第三象限角，为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 【难度】0.7 【知识点】确定n分角所在象限、确定已知角所在象限、确定n倍角所在象限 【详解】∵是第一象限角， ∴，， ∴，． ∴是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角． 对于及，有如下两种方法． 方法一：，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第三象限角． 同理，，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第二象限角； ③当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 方法二：分别将各个象限二等分、三等分，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循环标上数字1，2，3，4，如图①②所示． ∵为第一象限角， ∴根据图①中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第三象限角； 根据图②中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第二象限角或第三象限角．    题型7：角的集合之间的关系的判断 方法提炼 判断角的集合之间的关系一般有两种方法,一种方法是将各集合中表示角的式子化为统一形式(这种方法要用到分类的有关知识);另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值,并将角的终边画在坐标系中,直到出现位置相同的终边为止,根据各类集合中角的终边的情况,判断角的集合之间的关系。 【例7.1.】 已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】判断两个集合的包含关系、任意角的概念 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， ， 所以集合中的元素是的整数倍， 所以. 【例7.2.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】弧度的概念、交集的概念及运算 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 【例7.3.】 设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、轴线角 【分析】方法一：根据角的集合确定集合所表示的角的终边位置，由此判断三个集合的关系； 方法二：对集合中的关系式变形，化为结构相似的形式，由此判断结论， 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 【例7.4.】 设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、轴线角 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. 题型8：扇形的弧长公式和面积公式的应用 【例8.1.】 一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为_____． 【答案】10π cm 【难度】0.85 【知识点】周期现象、弧长的有关计算 【分析】先算出秒内秒针转过的圆心角弧度数，再直接代入弧长公式，计算端点走过的弧长（路线长）． 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数， 所以秒针的端点所走的路线长． 【例8.2.】 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【详解】扇形的圆心角，其弧长，由弧度制定义，该扇形的半径， 所以该扇形的面积. 【例8.3.】 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为，则该扇环的外弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设该扇环的内弧的半径为，根据弧长公式计算可得. 【详解】设该扇环的内弧的半径为，则外弧的半径为，圆心角， 所以，即，解得， 所以该扇环的外弧长. 故选：C 【例8.4.】 （1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）（2）时，面积S取得最大值 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式及二次函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）设扇形半径为，圆心角为， 由题意得， 解得（舍去），． 所以扇形圆心角为． （2）设扇形半径为，弧长为， 由已知得，． 所以扇形面积， 所以当时，S取得最大值，此时，解得． 当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大为． 【例8.5.】 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】弧度的概念、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形中的最值问题 【分析】首先根据扇形周长的构成得到弧长与半径的关系式，把扇形面积公式中的用上述关系式替换，得到面积关于半径的函数，求该函数的最大值，得到面积最大时对应的的值，再反推对应的弧长，最后根据圆心角公式计算圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，可得，其中， 将代入得： ， 当时，面积取得最大值， 此时对应的弧长，弧度. 【例8.6.】 莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】（1）求出一个扇形的弧长，进一步求出勒洛三角形的周长即可； （2）分别求出一个扇形的面积及正三角形的面积，进一步求出勒洛三角形的面积； 【详解】（1）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的弧长是， 莱洛三角形的周长为； （2）因为，由于三角形为正三角形， 所以以为圆心的扇形的面积是， 又的面积是， 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.1 任意角和弧度制 目录 题型1：任意角和象限角的概念 5 题型2：终边相同的角的表示 5 题型3：区域角及其表示 6 题型4：弧度制的概念 7 题型5：弧度制与角度制的互化 8 题型6：象限角的判断 9 题型7：角的集合之间的关系的判断 10 题型8：扇形的弧长公式和面积公式的应用 11 1. 任意角的概念 (1) 角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.如图， 射线的起始位置为始边；射线的终止位置为终边；射线的端点为顶点.图中的角可记为“角”或“”或“”. (2) 任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 (3) 角的加法 设是任意两个角,我们规定,把角的终边旋转角,这时终边所对应的角是. (4) 相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角。角的相反角记为。于是,像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有。这样,角的减法可以转化为角的加法。 2. 象限角 我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 3. 终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 4. 象限角与轴线角的集合表示 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 轴线角 在轴上的角 在轴上的角 在坐标轴上的角 注意 象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为. 5. 角与角的终边的位置关系 角终边的位置关系 的关系 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 或 与的终边关于对称 与的终边关于对称 6. 弧度制的概念 我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度. 弧度制是在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制. 7. 圆心角与弧长的关系 (1) 设，，点所形成的圆弧的长为.由初中所学知识得，于是. 根据弧度的规定，在半径为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么. (2) 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. 注意 一定大小的圆心角所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 8. 角度制与弧度制的互化 (1) 角度与弧度的互化 ；；； 弧度数=度数；度数=弧度数. (2) 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 0 注意 (1)弧度单位rad可以省略.(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 9. 弧长与扇形面积公式 扇形的弧长与面积公式(是扇形所在圆的半径，为扇形的圆心角的度数，表示扇形的圆心角的弧度数) 公式 度量制 弧长公式 扇形面积公式 角度制 弧度制 题型1：任意角和象限角的概念 【例1.1.】 图（1），（2）中的角的度数是______，的度数是______，的度数是______． 【例1.2.】 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【例1.3.】 下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【例1.4.】 (多选)下列说法，不正确的是（    ） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 题型2：终边相同的角的表示 方法提炼 (1) 终边相同的角的求解及应用 求与已知角终边相同的角,首先将这样的角表示成的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定的值,从而求出满足条件的角。 (2) 终边在某条直线上的角的集合 ①若所求角的终边在某条射线上，则集合的形式为。 ②若所求角的终边在某条直线上，则集合的形式为。 【例2.1.】 在区间上，与终边相同的角为____________． 【例2.2.】 （多选）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【例2.4.】 分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； 题型3：区域角及其表示 方法提炼 (1)表示区域角的三个步骤 ①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简集合，其中. ③起始、终止边界对应角，再加上的整数倍，即得区域角的集合. (2)实线包括边界，虚线不包括边界. 注意 对于最后的结果,能合并的一定要合并,不要分开写。另外,表示角时,单位一定要统一,只能用角度制或弧度制中的一种,不能混用。 【例3.1.】 如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【例3.3.】 已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 题型4：弧度制的概念 【例4.1.】 下列语句正确的是（   ） A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为1 D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 【例4.2.】 下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【例4.3.】 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，已知大轮6秒转动一周，小轮1秒转动的角度大小是（    ） A． B． C． D． 题型5：弧度制与角度制的互化 方法提炼 (1) 弧度与角度的互化关系为，则弧度数=度数；度数=弧度数。 (2) 将角度化为弧度,当角度制中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”表示,再利用化为弧度即可。 【例5.1.】 把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【例5.2.】 （1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【例5.3.】 （1）把化成弧度； （2）把化成角度； （3）已知，，，，，试比较、、、、的大小． 题型6：象限角的判断 方法提炼 (1) 作给定角并判断它是第几象限角 ①作给定的各个角时,可先找出在0°~360°范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可。 ②判断角是第几象限角的常用方法:将写成，的形式,观察角的终边所在的象限即可。 (2) 判定分角、倍角的终边所在的象限 ①已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况。 ②已知角终边所在的象限,确定所在象限的常用方法有两种： 方法一：分类讨论法。由的范围得到的范围，然后对的取值分类讨论，从而确定所在象限。 方法二：图形示意法。 作出从原点出发且等分各个象限的射线，它们与坐标轴把周角等分成个区域，从轴的非负半轴起，按逆时针把这个区域依次循环标上号码1，2，3，4，则标号是几的区域，就是为第几象限的角时，的终边所在的区域. 【例6.1.】 已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例6.2.】 若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　） A．轴的非负半轴 B．第一象限 C．轴的非负半轴 D．第三象限 【例6.3.】 若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【例6.4.】 （多选）若是第四象限角，则（    ） A．是第二象限角 B．是第一象限角 C．是第一象限角 D．是第四象限角 【例6.5.】 已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 题型7：角的集合之间的关系的判断 方法提炼 判断角的集合之间的关系一般有两种方法,一种方法是将各集合中表示角的式子化为统一形式(这种方法要用到分类的有关知识);另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值,并将角的终边画在坐标系中,直到出现位置相同的终边为止,根据各类集合中角的终边的情况,判断角的集合之间的关系。 【例7.1.】 已知集合，，则之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【例7.4.】 设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8：扇形的弧长公式和面积公式的应用 【例8.1.】 一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为_____． 【例8.2.】 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例8.3.】 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为，则该扇环的外弧长为（    ） A． B． C． D． 【例8.4.】 （1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【例8.5.】 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 【例8.6.】 莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求： (1)莱洛三角形的周长； (2)莱洛三角形的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $