5.1任意角和弧度制10题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学“任意角和弧度制”核心内容，系统梳理角的概念（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角与轴线角、弧度制及互化、弧长与扇形面积公式，构建从基础概念到坐标表示再到度量应用的完整学习支架。 资料以10类题型为载体，结合钟表旋转、扇形瓷器盘等实例，通过概念辨析（如正角负角旋转方向）和实际问题（如扇形面积最值）培养学生抽象能力与模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、弥补盲点。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.1任意角和弧度制10题型分类 一、角的相关概念 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”． (3)角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 二、角的相等与加减 (1)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. (2)角的加法 设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (3)相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)角的减法 角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)． 三、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转的大小； (3)要明确射线未作旋转时的位置． 2．对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一； (4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 四、度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1_rad. 五、弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 六、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去． (3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． （一） 任意角的概念 1.引入任意角的概念后需要注意： （1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． （2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置． （3）角的范围不再限于． （4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等． （5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负． （6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”． （7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为．　　 2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 题型1：任意角的概念 1．（2026高一·江西赣州·期中）若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·课后作业）若角，把角逆时针旋转得到角，则________． 3．（2026高一·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·广东广州·阶段检测）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·课堂例题）下列所示图形中，的是__________；的是__________．    （二） 终边相同的角 1．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．象限角的分类及表示方法如下： 象限角 集合的表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 4．利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合． 如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得． 若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合． 5.寻求终边相同的角的方法与技巧 在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法： (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．　 6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在[0°，360°)范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； 题型2：终边相同的角 6．（2026高一·全国·专题练习）与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·吉林四平·阶段检测）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·天津·期末）下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高一·陕西汉中·阶段检测）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高一·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （三） 区域角的表示 1、区域角的写法可分三步 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 注：区域角的写法: (1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可. (2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可. 题型3：区域角的表示 12．（2026高一·广西钦州·阶段检测）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 13．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ）    A． B． C． D． 14．（2026高一·河南驻马店·阶段检测）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.    15．（2026高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   16．（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合______． 17．如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______． （四） 象限角轴线角的判定 1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例如：由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角． 2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角． 3.象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 题型4：象限角的判定 18．（2026高一·江西赣州·期中）若是第四象限角，则是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 19．（数学终极押题猜想01（天津专用））“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2026高一·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 21．【多选】（2026高一·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 （五） 角度与弧度的互化 1．将角度化为弧度 rad；rad；rad． 2．将弧度化为角度 ；；． 3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值 度 弧度 0 【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去． （2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度． （3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便． （4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了． （5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度． 题型5：弧度制的概念 22．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列各说法中，正确的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 23．【多选】（5.1.2弧度制）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 24．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 25．【多选】（2026高一·全国·课后作业）（多选题）下列说法中错误的是（    ）． A．弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． 题型6：角度与弧度的互化 26．（2026高一·广西钦州·阶段检测） 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 27．（2026高一·云南昆明·阶段检测）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 28．（2026高一·江西·阶段检测）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 29．（2026高一·全国·课后作业）已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为______，______．（用弧度制表示） （六） 利用弧度制表示角 1、弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域角． 用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并． 题型7：利用弧度制表示角 30．（2026高一·四川南充·期中）下列各角中，与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 31．（2026高一·四川成都·期末）与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． （七） 弧长公式 1、弧长公式 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角． 2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略 ①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． ②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解． 题型8：弧长公式及应用 32．（2026高一·上海·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 33．（2026高一·安徽淮北·期末）扇形圆心角是弧度，弧长为2，则半径为（    ） A． B． C． D． 34．（2026高一·全国·课堂例题）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________． 35．（2026高二·江苏常州·期末）两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 36．（重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一学期4月联考数学试题）已知某扇形的圆心角的弧度数为3，且该扇形的周长为25cm，则该扇形的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm （八） 扇形的面积公式的应用 1、扇形面积公式 因为圆心角为1 rad的扇形面积为，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式． 2、扇形的面积公式的应用注意点 ①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负． ②看清角的度量制，选用相应的公式． ③扇形的周长等于弧长加两个半径长． 题型9：扇形的面积公式的应用 37．（2026高一·河南焦作·期末）已知某扇形的面积为，弧长为，若，则该扇形的圆心角对应的弧度数为________. 38．【多选】（2026高一·山西晋城·期末）晋祠博物馆的折扇馆藏是其重要的艺术珍品，以清代至民国时期的扇面为主，融合了绘画、书法、诗文等传统元素，体现了中国扇子艺术的精髓，已知某折扇展开后其示意图如图所示，若的长为，则（   ） A． B． C．扇形的面积为 D．扇形的面积为 39．（2026高一·云南昆明·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 40．（2026高一·山西晋城·阶段检测）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 题型10：扇形的最值问题 41．（2026高一·广东深圳·期末）已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 42．（2026高一·云南昆明·期末）已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 43．【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 44．（2026高一·河南·阶段检测）已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 45．（2026高一·安徽六安·阶段检测）已知扇形的圆心角为，半径为R. （1）若，求该扇形的弧长和面积； （2）若该扇形的面积为20cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时的值. 46．（2026高一·湖南岳阳·阶段检测）面积为8的扇形，要使它的周长最小，则它的圆心角为多少（ ）rad． A．2 B． C． D． 1．（2026高一·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2．（2026高一·山东日照·期中）在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026高一·北京朝阳·期中）集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 4．（2026高一·上海浦东新·期末）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 5．（2026高一·湖北·期中）已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（   ）. A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·课后作业）下列转化结果错误的是 A．60°化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是15° 7．（2026高一·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 8．（2026高一·山东淄博·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·江西赣州·期中）周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 10．（2026高一·全国·课后作业）扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则 A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 11．（2026高一·辽宁沈阳·阶段检测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   13．【多选】（2026高二·全国·暑假作业）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·河南·开学考试）已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（    ） A．分针转过的角的弧度为 B．分针转过的角的弧度为 C．分针尖端所走过的弧长为 D．分针扫过的扇形面积为 15．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 16．【多选】（2026高一·山东潍坊·阶段检测）下列给出的各角中，与的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026高一·宁夏银川·阶段检测）以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 18．（2026高一·上海·期末）与的角终边相同的最小正角为______． 19．（2026高一·上海·期中）扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 20．（2026高一·陕西渭南·期中）某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留） 21．（2026高一·黑龙江牡丹江·期末）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 22．（2026高一·广东广州·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是__________． 23．（2026高一·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 24．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 25．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.1任意角和弧度制10题型分类 一、角的相关概念 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示 如图，①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”． (3)角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 二、角的相等与加减 (1)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. (2)角的加法 设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (3)相反角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)角的减法 角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)． 三、平面直角坐标系中的任意角 条件 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 轴线角 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字 (1)要明确旋转方向； (2)要明确旋转的大小； (3)要明确射线未作旋转时的位置． 2．对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一； (4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 四、度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的为1度的角，记作1°. (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1_rad. 五、弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算 (2)弧度与角度的互化 (3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π 六、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. (1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． (2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去． (3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋，k∈Z，都不正确． （一） 任意角的概念 1.引入任意角的概念后需要注意： （1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． （2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置． （3）角的范围不再限于． （4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等． （5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负． （6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”． （7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为．　　 2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 题型1：任意角的概念 1．（2026高一·江西赣州·期中）若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调快10分钟，为顺时针， 则分针转动的角为． 2．（2026高一·全国·课后作业）若角，把角逆时针旋转得到角，则________． 【答案】 【分析】逆时针旋转得到的是正角，由此得到角，再求出即可. 【详解】∵角是由角逆时针旋转所得 ∴， ∴. 故答案为：. 3．（2026高一·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. 4．（2026高一·广东广州·阶段检测）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角定义，结合集合描述判断各集合的关系即可. 【详解】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错； 故选：B 5．（2026高一·全国·课堂例题）下列所示图形中，的是__________；的是__________．    【答案】 ①④ ②③ 【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可. 【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以. 的是①④；的是②③. 故答案为：①④；②③. （二） 终边相同的角 1．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 2．象限角的分类及表示方法如下： 象限角 集合的表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3．设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 4．利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合． 如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得． 若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合． 5.寻求终边相同的角的方法与技巧 在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法： (1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．　 6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤 (1)写出在[0°，360°)范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； 题型2：终边相同的角 6．（2026高一·全国·专题练习）与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角与角的终边相同可确定正确的表示方法. 【详解】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为. 7．（2026高一·吉林四平·阶段检测）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 8．（2026高一·天津·期末）下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义判断即可. 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时，当时，当时， 当且时，当且时， 故符合题意的只有. 故选：B 9．（2026高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在找到与的角终边相同的角，然后写出与终边相同的角的集合即可. 【详解】,所以角与角的终边相同, 所以与角终边相同的角的集合是. 故选：C 10．【多选】（2026高一·陕西汉中·阶段检测）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意得，，两式相减即可得解. 【详解】因为角与角的终边相同，所以， 同理得，所以， 故选：AD． 11．（2026高一·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. （三） 区域角的表示 1、区域角的写法可分三步 (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 注：区域角的写法: (1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可. (2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可. 题型3：区域角的表示 12．（2026高一·广西钦州·阶段检测）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 13．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 14．（2026高一·河南驻马店·阶段检测）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.    【答案】（1）；（2） 【分析】根据给定的图形，直接写出角的集合表示作答. 【详解】（1）； （2） . 15．（2026高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 16．（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合______． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出． 【详解】阴影部分内的角的集合为 故答案为：. 17．如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______． 【答案】 【分析】找出以为终边的一个角，用终边相同角的表示法表示即可得终边上的角的集合，同样得终边在上的角的集合，然后确定在已知范围内的即可得，在以，边终边的角中各找一个在一个周期内且以为终边较小的角，然后由不等关系写出结论． 【详解】由题意以为终边的一个角是，因此以为终边的角的集合是； 以为终边的角的集合是，在已知范围内的有两个角，集合表示为； ∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，对于阴影部分角的表示要注意，特别象题中阴影部分，要抓住终边按逆时针方向旋转时角在增大，就不容易出错． （四） 象限角轴线角的判定 1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例如：由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角． 2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角． 3.象限角的判定方法 (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论． ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 题型4：象限角的判定 18．（2026高一·江西赣州·期中）若是第四象限角，则是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】B 【详解】解：因为是第四象限角，且与的终边关于x轴对称， 所以是第一象限角，将的终边按逆时针方向旋转，角的终边落在第三象限． 19．（数学终极押题猜想01（天津专用））“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 20．（2026高一·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 21．【多选】（2026高一·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD （五） 角度与弧度的互化 1．将角度化为弧度 rad；rad；rad． 2．将弧度化为角度 ；；． 3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值 度 弧度 0 【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去． （2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度． （3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便． （4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了． （5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度． 题型5：弧度制的概念 22．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列各说法中，正确的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【答案】ABC 【分析】根据角度制与弧度制的定义即可得出答案. 【详解】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确； 1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，故B正确； 根据弧度的定义，一定等于弧度，故C正确； 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制， 角的大小均与圆的半径长短无关，而是跟弧长与半径的比值有关，故D错误的. 故选：ABC. 23．【多选】（5.1.2弧度制）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 故选：AC 24．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从清明节气点沿顺时针方向旋转到小寒节气点，共经过18个节气点， 所以旋转的角度为． 25．【多选】（2026高一·全国·课后作业）（多选题）下列说法中错误的是（    ）． A．弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． 【答案】BD 【详解】由弧度制的定义知AC正确，B错误； 用弧度作单位不仅可以表示正角，也可以表示负角与零角，D错误． 题型6：角度与弧度的互化 26．（2026高一·广西钦州·阶段检测） 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 27．（2026高一·云南昆明·阶段检测）弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A 28．（2026高一·江西·阶段检测）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【详解】. 故选：C. 29．（2026高一·全国·课后作业）已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为______，______．（用弧度制表示） 【答案】/ 【详解】设这两个角为弧度，不妨设， 则，解得. （六） 利用弧度制表示角 1、弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤 (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域角． 用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并． 题型7：利用弧度制表示角 30．（2026高一·四川南充·期中）下列各角中，与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将角度化为弧度，再根据终边相同的角关系判断可得. 【详解】因为，所以与角终边相同的角为. 当时，，所以与角终边相同. 而，，所以与角的终边关于轴对称， 与角的终边关于轴对称，与角的终边关于原点对称. 31．（2026高一·四川成都·期末）与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由终边相同的角运算求解即可. 【详解】与角终边相同的角为， 令，解得， 且，则的最小值为1， 所以与角终边相同的最小正角是，即为. 故选：C. （七） 弧长公式 1、弧长公式 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角． 2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略 ①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)． ②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解． 题型8：弧长公式及应用 32．（2026高一·上海·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【答案】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 33．（2026高一·安徽淮北·期末）扇形圆心角是弧度，弧长为2，则半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得扇形的半径. 34．（2026高一·全国·课堂例题）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________． 【答案】 / / 【分析】利用扇形的弧长公式及面积公式可得. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则. 所以扇形的弧长为； 扇形的面积为. 故答案为：；. 35．（2026高二·江苏常州·期末）两个相互啮合的齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．已知大轮的转速为（转/分钟），小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得. 【详解】大轮有60齿，小轮有45齿，当大轮转动一周时小轮转动周， 当大轮的转速为时，小轮转速为， 小轮周上一点每1s转过的弧度数为：. 又小轮的半径为，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：. 36．（重庆市万州第一中学等校2025-2026学年高一学期4月联考数学试题）已知某扇形的圆心角的弧度数为3，且该扇形的周长为25cm，则该扇形的半径为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm 【答案】C 【详解】设该扇形的半径为r cm，则该扇形的弧长为3r cm， 周长为，解得. （八） 扇形的面积公式的应用 1、扇形面积公式 因为圆心角为1 rad的扇形面积为，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式． 2、扇形的面积公式的应用注意点 ①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负． ②看清角的度量制，选用相应的公式． ③扇形的周长等于弧长加两个半径长． 题型9：扇形的面积公式的应用 37．（2026高一·河南焦作·期末）已知某扇形的面积为，弧长为，若，则该扇形的圆心角对应的弧度数为________. 【答案】 【分析】由弧长公式及扇形的面积公式求解. 【详解】记扇形的圆心角为，半径为，显然，， 于是，易知，于是. 故答案为: 38．【多选】（2026高一·山西晋城·期末）晋祠博物馆的折扇馆藏是其重要的艺术珍品，以清代至民国时期的扇面为主，融合了绘画、书法、诗文等传统元素，体现了中国扇子艺术的精髓，已知某折扇展开后其示意图如图所示，若的长为，则（   ） A． B． C．扇形的面积为 D．扇形的面积为 【答案】AC 【分析】利用扇形的弧长公式、面积公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为， 所以扇形的面积． 结合选项可知BD错误，AC正确． 故选：AC． 39．（2026高一·云南昆明·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形弧长公式及面积公式求解即可． 【详解】设扇形的半径r，根据扇形弧长公式可得， 解得，根据扇形面积公式可得， 故选：C． 40．（2026高一·山西晋城·阶段检测）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 题型10：扇形的最值问题 41．（2026高一·广东深圳·期末）已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用面积公式得到，结合基本不等式可求周长最小值，从而可得答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形面积为，所以，即； 周长为，因为，当且仅当时，取到最小值， 所以当其周长最小时，圆心角的弧度数为. 故选：D 42．（2026高一·云南昆明·期末）已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出扇形的半径和弧长，根据周长得到弧长与半径的关系，再表示出扇形面积，最后利用二次函数性质求面积最大时的半径. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 扇形的周长为弧长与两个半径之和，即，因此， 扇形的面积公式为，将代入得： ， 这是一个关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向下，当时，取得最大值. 故选：A. 43．【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 44．（2026高一·河南·阶段检测）已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 45．（2026高一·安徽六安·阶段检测）已知扇形的圆心角为，半径为R. （1）若，求该扇形的弧长和面积； （2）若该扇形的面积为20cm2，求扇形周长的最小值，并指出此时的值. 【答案】（1）扇形的弧长和面积分别为、；（2）扇形周长的最小值为cm2，此时为2. 【分析】（1）由，结合扇形的弧长公式、面积公式，即可求弧长和面积； （2）由题设知扇形弧长，而扇形的周长为，利用基本不等式求其最小值，注意等号成立的条件，进而求值. 【详解】（1）由题意，知，根据扇形弧长；扇形面积； （2）由，即，而扇形的周长为当且仅当cm等号成立， ∴由知：. 46．（2026高一·湖南岳阳·阶段检测）面积为8的扇形，要使它的周长最小，则它的圆心角为多少（ ）rad． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由扇形面积面积公式可得，利用均值不等式求出周长最值，根据等号成立条件求此时对应圆心角即可. 【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为， 由题意知， 周长，当且仅当，即时等号成立， 此时， 故选：A 1．（2026高一·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2．（2026高一·山东日照·期中）在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】，故从x轴正半轴开始，顺时针旋转，正好落在第三象限 3．（2026高一·北京朝阳·期中）集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 【答案】B 【详解】若为偶数，设，则，角终边与终边相同，落在轴正半轴； 若为奇数，设，则，角终边与终边相同，落在轴负半轴. 综上，终边整体落在轴上. 4．（2026高一·上海浦东新·期末）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果. 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 5．（2026高一·湖北·期中）已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用扇形面积公式计算求解. 【详解】扇形的面积. 6．（2026高一·全国·课后作业）下列转化结果错误的是 A．60°化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是15° 【答案】C 【解析】由,求解即可 【详解】对于选项A,,故A正确； 对于选项B,,故B正确； 对于选项C,,故C错误； 对于选项D,,故D正确 故选：C 【点睛】本题考查角度制与弧度制的转化,属于基础题 7．（2026高一·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 8．（2026高一·山东淄博·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据弧长与圆心角的关系求出扇形半径，再计算面积即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为 因为圆心角为的扇形的弧长为 所以由得，解得， 所以该扇形的面积为 故选：C 9．（2026高一·江西赣州·期中）周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，其面积， 由，当且仅当，即时取等号， 所以，即扇形面积的最大值为. 10．（2026高一·全国·课后作业）扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则 A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 【答案】B 【详解】试题分析：由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在的圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形的圆心角不变，故选B． 考点：本题主要考查弧度制的概念． 点评：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 11．（2026高一·辽宁沈阳·阶段检测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所在圆半径为，所在圆半径为，由，得， 又，则， 所以该梅花砖雕的平面图形的面积为（）. 12．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分是奇数、偶数两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 13．【多选】（2026高二·全国·暑假作业）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定第四象限在一个周期内的基础开区间（如270°到360°或到 0°），再给两端加上360°的整数倍以涵盖所有同终边的角即可求解. 【详解】A选项仅仅表示了在范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角， 缺少了周期，表示不完整，故A错误， B选项包含了轴线角，故B错误， C选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故C正确， D选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故D正确. 14．【多选】（2026高一·河南·开学考试）已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（    ） A．分针转过的角的弧度为 B．分针转过的角的弧度为 C．分针尖端所走过的弧长为 D．分针扫过的扇形面积为 【答案】BC 【分析】由任意角的概念及扇形弧长、面积公式逐个判断即可； 【详解】由题意得分针转过的角的弧度为， 所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为． 故选：BC 15．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（　　） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 【答案】ABC 【分析】根据弧度制的定义即可判断． 【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误， 根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确． 故选：ABC 16．【多选】（2026高一·山东潍坊·阶段检测）下列给出的各角中，与的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】与的终边相同的角， 对于A，，A是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，显然无整数解，D不是. 17．【多选】（2026高一·宁夏银川·阶段检测）以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以与的终边相同的角的集合是，故B正确； 对于C，将表的分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是，故C不正确； 对于D，设扇形的弧长，半径为，由于扇形的周长为，圆心角为， 则，解得，则该扇形的面积为，故D正确. 故选：ABD. 18．（2026高一·上海·期末）与的角终边相同的最小正角为______． 【答案】 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 19．（2026高一·上海·期中）扇形的圆心角是，半径是，则扇形的面积是_________． 【答案】/ 【详解】扇形的面积为． 20．（2026高一·陕西渭南·期中）某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【详解】该扇形区域的面积为． 21．（2026高一·黑龙江牡丹江·期末）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 22．（2026高一·广东广州·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是__________． 【答案】9 【分析】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，在中，求出半径及，求出弦AB，即可求出结论． 【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，如图所示， 由题意可得∠AOB＝，OA＝4， 在Rt△AOC中，易得∠AOC＝，∠CAO＝， OC＝OA＝，可得矢＝4－2＝2， 由AC＝OA＝，可得弦AB＝2AC＝， 所以弧田面积＝×()＝， 因为，则，从而， 因此，所得弧田面积最接近的整数是9. 故答案为：9. 23．（2026高一·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 24．（2026高一·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 25．（2026高一·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用扇形的面积、弧长公式求扇形周长； （2）扇形面积减去三角形面积为所求面积． 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $