第16讲 二次函数表达式与一元二次方程综合 优等生讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第16讲 二次函数表达式与一元二次方程综合 优等生讲义 2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 待定系数法 抛物线与x轴交点 图象法求根 函数与不等式 综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.待定系数法 三点设一般式 顶点设顶点式 交点设交点式 概念辨析例题：过三点求解析式 解析：解方程组 ☆ 2.抛物线与x轴交点 令y=0解方程 Δ定交点个数 概念辨析例题：y=x2-4x+3与x轴交点 解析：解方程 ☆ 3.函数与不等式 >0取x轴上方 <0取x轴下方 a>0时<0取中间 概念辨析例题：a>0时ax2+bx+c<0 解析：开口向上中间低 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 三点 y=ax2+bx+c 顶点式 已知顶点 y=a(x-h)2+k 交点式 已知交点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴交点 令y=0 Δ定个数 不等式 看图像上下 数形结合 ⚠️ 核心考点 【考点1】待定系数法（第1-12题） 选合适形式 代入求解 1．（2025秋•西宁期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•阳谷县模拟）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2025秋•和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 6．（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 ____________________ ． 7．已知二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，图象与y轴交点的纵坐标是﹣6，且经过点（2，10），则此二次函数的表达式为 ________________ ． 8．（2026•紫金县校级二模）已知二次函数满足条件： ①图象过原点； ②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：____________________ ． 9．（2026春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 10．（2025秋•许昌校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 11．（2025•敦化市一模）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 12．（2024秋•吉林期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，0）和（﹣1，4）． （1）求此抛物线的解析式． （2）若点A（2，y1），B（3，y2）都在该抛物线上，则y1_____ y2.（填“＞”“＜”或“＝”） 【考点2】与x轴交点（第13-22题） 令y=0解方程 Δ判断 13．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+2的图象与x轴的交点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2026•南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2026•绵阳一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4； ②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2； ③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2025秋•南京期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是____________ ． 17．（2025秋•武威期中）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的解是_______________ ． 18．（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 19．（2026•潍坊模拟）已知y与x满足二次函数（m为常数）． （1）若点（4，1）在该函数图象上，则m＝_______ ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点A（﹣m+2，y1），B（﹣m+p，y2），当y1＜y2时，请直接写出p的取值范围． 20．（2024秋•纳溪区期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点． （1）求二次函数解析式； （2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 21．（2025春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式． 22．（2025秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴的交点坐标为（0，﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线的顶点坐标为____________ ； （3）当y＜0时，直接写出x的取值范围． 【考点3】图象法求近似根（第23-29题） 看交点位置 23．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 24．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 25．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 26．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 27．（2026•银川三模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是_________ （结果保留小数点后一位）． 28．（2024秋•城关区校级期末）二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象如图所示，若方程2x2+4x﹣1＝0的一个近似根是x＝﹣2.2，则方程的另一个近似根为 ________ ．（结果精确到0.1） 29．（2025秋•东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是______________ ． x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 【考点4】二次函数与不等式（第30-37题） 看图像上下方 数形结合 30．（2024秋•河东区期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞5 31．（2026•和县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴交于点（m，0），（n，0），其中0＜n＜1．下列结论中错误的是（　　） A．1＜m＜2 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 32．（2026春•浦东新区校级期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0），此时一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是___________ ． 33．（2026•綦江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+b与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，则不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是_____________ ． 34．（2023秋•青山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），且0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中一定正确的是 ________ （填写序号）． 35．（2023秋•江岸区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x _____ 1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点 __________ ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ___________ ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ____________ ． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线________ ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为____________ ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为__________ ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是____________ ． 37．（2026•如皋市二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣a的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）若该二次函数的图象经过原点，求a的值； （2）线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点C（x3，y3）为二次函数图象上一点，当时，1＜y3﹣y1＜4，求a的取值范围． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为___________________ ． 【练习 2】（2026•静安区）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 ________________ ． 【练习 3】（2026•高新区一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则m的值为________ ． 【练习 4】（2025秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过（﹣1，﹣2），（1，0），（m，0）三点，其中m≠1．下列结论：①b＝1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则﹣1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b﹣1）x+c+1＞0的解集是﹣1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；⑤抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜﹣1．其中正确的是_________ （填写序号）． 【练习 5】（2026•东平县二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 ___________ ． 💯 课后巩固 复习建议 选合适形式 交点=方程根 Δ定交点 看图上下方 数形结合 【作业 1】（2026•固镇县一模）抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是（　　） A． B． C．1＜n＜2 D．2＜n＜3 【作业 2】（2025秋•上海校级月考）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点（3，0）；乙说：过点（4，3）；丙说：a＝1；丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（　　） 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（1，0），试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线x＝2，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【作业 3】（2025秋•金华期末）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则（　　） A．c﹣4b≥0 B．c﹣4b＞0 C．c﹣4b＜0 D．c﹣4b≤0 【作业 4】（2026•平武县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）经过（0，3），且当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线与x轴交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【作业 5】（2022秋•惠城区校级期中）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2 【作业 6】（2026•静安区校级模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为_______ ． 【作业 7】（2024秋•东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 ____________________ ． 【作业 8】（2025秋•海城市期末）二次函数y＝ax2+bx+c经过（﹣2，3），（6，3）两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝3的两个根是_______________ ． 【作业 9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 ____________________ ． 【作业 10】（2025秋•临漳县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为 _______________ ． 【作业 11】（2026•卫滨区模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示． x … ﹣1 0 2 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值． 【作业 12】（2023秋•河东区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标． 【作业 13】（2025秋•徐汇区校级月考）二次函数y＝a（x﹣2）2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0）． （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线 ________ ； ②图象与x轴的另一个交点坐标为 ___________ ． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【作业 14】（2026•驻马店校级四模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且x2﹣x1＝4，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，直接写出t的值． 【作业 15】（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为___________ ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 二次函数表达式与一元二次方程综合 优等生讲义 2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 待定系数法 抛物线与x轴交点 图象法求根 函数与不等式 综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.待定系数法 三点设一般式 顶点设顶点式 交点设交点式 概念辨析例题：过三点求解析式 解析：解方程组 ☆ 2.抛物线与x轴交点 令y=0解方程 Δ定交点个数 概念辨析例题：y=x2-4x+3与x轴交点 解析：解方程 ☆ 3.函数与不等式 >0取x轴上方 <0取x轴下方 a>0时<0取中间 概念辨析例题：a>0时ax2+bx+c<0 解析：开口向上中间低 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 三点 y=ax2+bx+c 顶点式 已知顶点 y=a(x-h)2+k 交点式 已知交点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴交点 令y=0 Δ定个数 不等式 看图像上下 数形结合 ⚠️ 核心考点 【考点1】待定系数法（第1-12题） 选合适形式 代入求解 1．（2025秋•西宁期末）某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【解答】解：根据二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负可得： ∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（﹣6，0），开口向下． ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质，正确进行计算是解题关键． 2．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a， 由条件可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2026•阳谷县模拟）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案． 【解答】解：由题意，∵顶点为（﹣6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2， ∵开口向下，形状与函数yx2的图象相同， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x+6）2． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 4．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0，得出，故①正确；将点（﹣2，0），（3，0）代入，得出：a+b＝0，再求出c＝﹣6b，故②不正确；根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【解答】解：根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0， ∴b＞0， ∴，故①正确，符合题意； 由条件可得：， ②﹣①得出：a+b＝0， ∴a＝﹣b， 再代入①得出：c＝6b，故②不正确，不符合题意； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为（﹣2，0），（3，0）， ∵， ∴y2＜0，y3＞0，y1＞0， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴y3＞y1＞0， ∴y2＜y1＜y3，故③正确，符合题意； ④∵a＝﹣b，c＝6b， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， 当时，取得最大值，最大为， 当x＝﹣2或x＝3时，取得最小值为0， ∴当﹣2＜x＜3时，，故④错误，不符合题意； ⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且， 当m1+m2＞1时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴n1＞n2，故⑤正确，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2025秋•和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 【分析】先由表格中x＝﹣5和x＝3时y值相等，可知对称轴为x＝﹣1，结合对称轴公式得出b＝2a，再结合x＝﹣1时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y轴的交点，从而得到答案． 【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3． 当x＝﹣1时，，抛物线经过点， 得：， ， ∴，， ∴， ∵， ∴二次函数开口向上， 当﹣5＜x＜0时， 当x＝0时，y＝3， 当x＝﹣5时，y＝8， 当x＝﹣1时，有最小值， ∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 6．（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 y＝x2﹣4x+3（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数的性质得到二次项系数为正数，常数项为3，利用此要求写一个二次函数解析式即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3）， ∴二次项系数为正数，常数项为3， ∴符合题意的抛物线表达式可为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3．（答案不唯一） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 7．已知二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，图象与y轴交点的纵坐标是﹣6，且经过点（2，10），则此二次函数的表达式为 y＝2（x+1）2﹣8　 ． 【分析】根据所给条件，利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：因为二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1， 所以令二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+k， 将点（0，﹣6）和（2，10）代入函数表达式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝2（x+1）2﹣8． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣8． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 8．（2026•紫金县校级二模）已知二次函数满足条件： ①图象过原点； ②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大． 请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）　 ． 【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2，不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2，设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，进而求出c＝4，即可解答． 【解答】解：当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x满足x≥2． 不妨设a＝﹣1，对称轴为x＝2， 设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+c，由条件可得： ﹣（0﹣2）2+c＝0， 解得c＝4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x． 满足上述条件的二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x2+4x（答案不唯一）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）， ∴， 解得， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为； （2） ， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10．（2025秋•许昌校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）将两点坐标代入解析式，解得b，c的值，求出二次函数的解析式即可； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）， 将A（0，1）、B（1，﹣5）代入y＝﹣2x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x2﹣4x+1． （2）y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3， ∴顶点式为：y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3）；对称轴为直线x＝﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． 11．（2025•敦化市一模）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣2，然后把（3，10）代入求出a即可； （2）先分别计算出x＝0和x＝3对应的函数值，再根据二次函数的性质得到x＝1时，y有最小值﹣2，然后写出当0＜x＜3时，y的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点坐标为（1，﹣2） ∴二次函数的表达式可设为y＝a（x﹣1）2﹣2， ∵二次函数的图象经过点（3，10）， ∴a（3﹣1）2﹣2＝10， 解得a＝3， ∴二次函数的表达式为y＝3（x﹣1）2﹣2； （2）∵x＝0时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝1； x＝3时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝10 而x＝1时，y有最小值﹣2， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣2≤y＜10． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 12．（2024秋•吉林期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，0）和（﹣1，4）． （1）求此抛物线的解析式． （2）若点A（2，y1），B（3，y2）都在该抛物线上，则y1　＜　 y2.（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用对称轴和二次项系数的符号确定增减性，然后写出答案即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，0）和（﹣1，4）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1； （2）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随着x的增大而增大， ∵1＜2＜3， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了待定系数法求如此函数的解析式，二次函数图象上点的在特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点2】与x轴交点（第13-22题） 令y=0解方程 Δ判断 13．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+2的图象与x轴的交点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】令y＝0，则x2﹣4x+2＝0，求得根的判别式的值即可判断． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝24＞0， ∴二次函数y＝x2﹣4x+2的图象与x轴的交点有2个， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 14．（2026•南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点，再根据抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为2个． 【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点． ∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点， ∴抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为1+1＝2（个）． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2026•绵阳一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论： ①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4； ②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2； ③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系判断①，由抛物线对称轴及二次函数性质判定②，根据抛物线平移特征判断③，根据平移特征和抛物线性质判定④． 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝2，x2＝﹣4，则结论①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴当x＝3时的函数值与x＝﹣5的函数值相等， ∵a＜0， ∴当x≥﹣1，y随x的增大而减小， ∵﹣1＜3＜π， ∴y1＞y2，②结论错误； ③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，则抛物线顶点的纵坐标为：a﹣b+c，且a﹣b+c＞0， 将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移a﹣b+c个单位得到新的抛物线解析式为： y＝ax2+bx+c﹣（a﹣b+c）＝ax2+bx﹣a+b，由二次函数图象特征可知，y＝ax2+bx﹣a+b的图象位于x轴下方，顶点恰好在x轴上，即y≤0恒成立， ∴对于任意实数t总有at2+bt﹣a+b≤0，即at2+bt≤a﹣b，③正确； ④将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移P个单位长度得到抛物线解析式为y＝ax2+bx+c﹣p，函数y＝ax2+bx+c﹣p对应的一元二次方程ax2+bx+c＝p， ∴若方程的根为整数，则其根只能是x1＝1，x2＝﹣3或x1＝0，x2＝﹣2或x1＝x2＝﹣1，对应的P值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 16．（2025秋•南京期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是　﹣5＜b＜﹣3　 ． 【分析】由题意得：y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m，即m＝﹣b﹣1，结合2＜m＜4，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）， ∴y＝（x﹣1）（x﹣m）＝x2﹣（m+1）x+m， ∴b＝﹣（m+1）． ∵2＜m＜4， ∴2＜﹣b﹣1＜4， ∴3＜﹣b＜5， ∴﹣5＜b＜﹣3． 故答案为：﹣5＜b＜﹣3． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，利用二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求函数的表达式是解题的关键． 17．（2025秋•武威期中）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1　 ． 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+x﹣m＝（x）2m， ∴该函数的对称轴为直线x， ∵二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2， ∴二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的另一个交点的横坐标为2﹣（﹣2）＝1， ∴关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 【分析】（1）把A点坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣5中求出a得到抛物线解析式； （2）先通过平移求出P点坐标，进而得到C，D两点的纵坐标，代入抛物线可得两点的横坐标，进而可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣5得a+4a﹣5＝0，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5， （2）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9）， ∵抛物线顶点向上平移个单位得点P， ∴， ∵过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D， ∴C，D两点的纵坐标都为， 当时，， 解得，， ∴CD的长为：． 【点评】本题考查二次函数的基本性质，能够利用待定系数法求出二次函数解析式是解题关键． 19．（2026•潍坊模拟）已知y与x满足二次函数（m为常数）． （1）若点（4，1）在该函数图象上，则m＝　﹣2　 ； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）若该函数图象上有两个点A（﹣m+2，y1），B（﹣m+p，y2），当y1＜y2时，请直接写出p的取值范围． 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【解答】（1）解：将（4，1）代入， 得：； 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）证明： ＝m2+2m+2 ＝（m+1）2+1 ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+1≥1＞0， ∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （3）解：的对称轴为直线x＝﹣m， ∵二次项系数， ∴二次函数图象开口向上， ∵y1＜y2， ∴点A（﹣m+2，y1）到对称轴的距离小于点B（﹣m+p，y2）到对称轴的距离， ∴|﹣m+2﹣（﹣m）|＜|﹣m+p﹣（﹣m）|， 即|p|＞2， ∴p＞2或p＜﹣2． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2024秋•纳溪区期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点． （1）求二次函数解析式； （2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 【分析】（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2），根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：， 解得； （2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2， 设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2）， ∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△PABAB•|yP|3×|﹣m2﹣m+2|＝6，∴|m2+m﹣2|＝4， 即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4， 解得m＝﹣3或m＝2， ∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． 21．（2025春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式． 【分析】先设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，然后由根与系数关系，x1+x22，x1•x2，然后根据10，求出a的值即可． 【解答】解：设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4， 由根与系数关系：x1+x22，x1•x2， ∴xx（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2）2﹣2， 依题意得：10， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练运用根与系数关系是解题的关键． 22．（2025秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴的交点坐标为（0，﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线的顶点坐标为　（﹣1，﹣4）　 ； （3）当y＜0时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据函数对称轴和与y轴交点可直接得到结论； （2）画出顶点式即可求解； （3）求得抛物线与x轴的交点，然后利用二次函数的性质即可求得． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝﹣1， ∴x1， ∴b＝2， ∵抛物线与y轴交于点（0，﹣3）， ∴c＝﹣3． ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 故答案为：（﹣1，﹣4）； （3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0）， ∵抛物线开口向上， ∴当y＜0时，﹣3＜x＜1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点坐标的特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【考点3】图象法求近似根（第23-29题） 看交点位置 23．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 又∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确，符合题意； ∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，am2﹣a≤b﹣bm，即a（m+1）（m﹣1）≤b（1﹣m），故④正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， 又b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+2＜0， ∴，故⑤正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0的根对应二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间6.8＜x＜6.9，再结合区间内函数值与0的接近程度，判断近似根更靠近6.8． 【解答】解：观察表格： 当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0； 当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远； 又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间， ∴x＝6.8对应的函数值更接近0， ∴一元二次方程的一个近似根是6.8． 故选：B． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【分析】根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【解答】解：根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 26．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当x＝2.02时，y＝﹣0.01；当x＝2.03时，y＝0.02， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是2.02＜x＜2.03． 故选：B． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 27．（2026•银川三模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　﹣2.7　 （结果保留小数点后一位）． 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7， 根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是x＝0.7，且对称轴是直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是x＝﹣1×2﹣0.7＝﹣2.7， 所以方程x2+2x﹣2＝0的负实数根可能是﹣2.7． 故答案为：﹣2.7． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，正确进行计算是解题关键． 28．（2024秋•城关区校级期末）二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象如图所示，若方程2x2+4x﹣1＝0的一个近似根是x＝﹣2.2，则方程的另一个近似根为 　0.2　 ．（结果精确到0.1） 【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根． 【解答】解：由题意可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣2.2，0）， 又∵抛物线的对称轴为：x1， ∴另一个交点坐标为：（0.2，0）， 则方程的另一个近似根为x＝0.2， 故答案为：0.2． 【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 29．（2025秋•东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是　1.2＜x＜1.3　 ． x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【解答】解：从表中可以看出， ∴当y＝0对应的x的值一定有1.2＜x＜13， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是1.2＜x＜1.3． 故答案为：1.2＜x＜1.3． 【点评】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 【考点4】二次函数与不等式（第30-37题） 看图像上下方 数形结合 30．（2024秋•河东区期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞5 【分析】由表格可知一次函数过 （﹣1，0）、（0，1）两点，得出一次函数y1解析式为：y1＝x+1，二次函数与x轴交点为（﹣1，0）、（2，0），得出二次函数解析式为：， 因为y2＞y1，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围． 【解答】解：由表格可知一次函数过 （﹣1，0）、（0，1）两点， ∴， ∴， ∴一次函数y1解析式为：y1＝x+1， ∴二次函数与x轴交点为（﹣1，0）、（2，0）， ∴y2＝a（x+1）（x﹣2）， ∵二次函数经过点（0，﹣1）， ∴a（0+1）×（0﹣2）＝﹣1， 解得 ， 则二次函数解析式为：， 当y2＞y1时， ∴y2﹣y1x﹣1﹣（x+1）， ∴（x﹣4）（x+1）＞0， ∴或， 解不等式得：x＞4或x＜﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 31．（2026•和县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴交于点（m，0），（n，0），其中0＜n＜1．下列结论中错误的是（　　） A．1＜m＜2 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 【分析】利用对称轴性质、交点式、不等式变形逐一判断选项即可． 【解答】解：对于A选项，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）对称轴为x＝1，与x轴交于（n，0），（m，0）， ∴，即 m+n＝2，得n＝2﹣m． ∵0＜n＜1， ∴0＜2﹣m＜1，即1＜m＜2，A正确； 对于B选项，原抛物线可写为y＝a（x﹣m）（x﹣n），方程 a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1 即抛物线与直线 y＝﹣1有交点； ∵顶点纵坐标为， ∴， ∵a＞0，不等式变形得 4ac﹣b2≤﹣4a，即 b2﹣4ac≥4a，B正确； 对于C选项，由对称轴 得b＝﹣2a； ∵抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方， ∴x＝1时，y＝a+b+c＜0；代入b＝﹣2a得 a﹣2a+c＝c﹣a＜0，即 c＜a； ∴b+2c＝﹣2a+2c＝2（c﹣a）＜0，C错误； 对于D选项，整理不等式 ：即 ； ∵（m，0）在抛物线上， ∴am2+bm+c＝0，两边除以m得 ，即 ；代入得 x•a（x﹣m）＜0， ∵a＞0， ∴x（x﹣m）＜0解集为0＜x＜m，D正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根的判别式，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 32．（2026春•浦东新区校级期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0），此时一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是　﹣3≤x≤1　 ． 【分析】由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0．画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象，观察图象可得答案． 【解答】解：由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0． 画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示， 可知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣3，0），B（1，0）， 则x2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣3，x2＝1． 由此观察图象可知：不等式x2+2x﹣3≤0的解集为：﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2026•綦江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+b与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，则不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是x＜﹣2或x＞5　 ． 【分析】因为ax2﹣mx+b＞n，则ax2+b＞mx+n，所以不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是x＜﹣2或x＞5． 【解答】解：由题意可得： ∴ax2+b＞mx+n， ∴不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是x＜﹣2或x＞5． 故答案为：x＜﹣2或x＞5． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 34．（2023秋•青山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），且0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中一定正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②错误． ∵抛物线过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2a，abc， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2ac＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴﹣bc﹣c＞0， ∴﹣2b﹣3c＞0， ∴2b+3c＜0， ∴③正确． 如图： 设y1＝ax2+bx+c，y2x+c， 由图知，y1＜y2时，0＜x＜2， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 35．（2023秋•江岸区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x　≥　 1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点 　（1，4）　 ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 　﹣1＜x＜3　 ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 【分析】（1）根据图象即可得到结论； （2）利用待定系数法求得函数的解析式，利用顶点式即可求得顶点坐标； （3）观察图象即可求解； （3）求得x＝5时的函数值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1． 故答案为：≥； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴y＝a（x+1）（x﹣3）， 代入（0，3）得，3＝﹣3a，解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）； （3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3； （4）∵x＝5时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣12，x＝1时，y＝4， ∴当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣12＜y≤4． 故答案为：﹣12＜y≤4． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为x＝0或x＝2　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　2＜x＜4　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　﹣9＜k≤﹣5　 ． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0），则根据对称性可得，对称轴是直线x1，从而得解； （2）依据题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值，结合抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8），从而根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8），进而可以得解； （3）依据题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2），又抛物线过B（2，8），则a×（﹣2）×4＝8，可得a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，又直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0），可得该直线为y＝﹣4x+16，然后同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象，结合图象可以判断得解； （4）依据题意，由关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点，进而结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0）， ∴根据对称性可得，对称轴是直线x1． 故答案为：x＝1； （2）由题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8）， ∴根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8）， ∴方程ax2+bx+c＝8的解是x＝0或x＝2． 故答案为：x＝0或x＝2； （3）由题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2）， 又∵抛物线过B（2，8）， ∴a×（﹣2）×4＝8． ∴a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∵直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0）， ∴该直线为y＝﹣4x+16． 同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象如下： 又∵不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是y＝ax2+bx+c（a≠0）图象在直线y＝mx+n的图象上方对应的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞mx+n的解是2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4； （4）由题意，∵关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根， ∴直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点， ∴结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5． 故答案为：﹣9＜k≤﹣5． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 37．（2026•如皋市二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣a的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）若该二次函数的图象经过原点，求a的值； （2）线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点C（x3，y3）为二次函数图象上一点，当时，1＜y3﹣y1＜4，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由（0，0）在函数图象上，则a2+a＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，联立方程组，则x2﹣2ax+a2+a＝2x﹣a，可得x1＝a，x2＝a+2，从而y1＝a，y2＝a+4，故A（a，a），B（a+2，a+4）， 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两条平行线相交于点C，则AC＝a+2﹣a＝2，BC＝a+4﹣a＝4，进而，即可得解； （3）由（2）可知，y1＝a，则1＜y3﹣a＜4，解得a+1＜y3＜a+4，又令y＝a+1，得x2﹣2ax+a2+a＝a+1，可得x2﹣2ax+a2＝1，则（x﹣a）2＝1，故x＝a+1或x＝a﹣1，令y＝a+4，得x2﹣2ax+a2+a＝a+4，则x2﹣2ax+a2＝4，从而（x﹣a）2＝4，可得x＝a+2或x＝a﹣2，进而或最后计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵（0，0）在函数图象上， ∴将（0，0）代入解析式，得a2+a＝0， ∴a＝﹣1或a＝0， ∵a≠0， ∴a＝﹣1； （2）线段AB的长度为定值，理由如下： 联立方程组， ∴x2﹣2ax+a2+a＝2x﹣a，则x2﹣（2a+2）x+a2+2a＝0， ∴（x﹣a）[x﹣（a+2）]＝0． ∴x1＝a，x2＝a+2， ∴y1＝a，y2＝a+4． ∴A（a，a），B（a+2，a+4）， 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两条平行线相交于点C， ∴AC＝a+2﹣a＝2，BC＝a+4﹣a＝4， ∴； （3）由（2）可知，y1＝a， ∴1＜y3﹣a＜4，解得a+1＜y3＜a+4， 令y＝a+1，得x2﹣2ax+a2+a＝a+1， ∴x2﹣2ax+a2＝1，则（x﹣a）2＝1． ∴x＝a+1或x＝a﹣1， 令y＝a+4，得x2﹣2ax+a2+a＝a+4， ∴x2﹣2ax+a2＝4， ∴（x﹣a）2＝4． ∴x＝a+2或x＝a﹣2， ∴或 ∴或． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为　　 ． 【分析】依据题意，令二次函数y＝ax2+6ax+6＝0，可得含参数a的A、B点的公式，再由△ABC是以BC为底的等腰三角形，可知|AB|＝|AC|，根据两点间距离公式可算出a的值． 【解答】解：由题意，a≠0， 令y＝ax2+6ax+6＝0， ∴Δ＝36a2﹣24a＞0， ∴a＜0或a， 又∵对称轴是直线x3， ∴a时，不合题意， ∴，， 再令x＝0，y＝6，则可以得出点C（0，6）， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴AB＝AC，则|AB|＝|AC|， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【练习 2】（2026•静安区）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 　（0，0），（4，0）　 ． 【分析】先利用抛物线的变换规律得到抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k，然后把点A、B向右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k， 而抛物线y＝a（x+m）2+k与x轴的交点坐标为A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是（0，0），（4，0）． 故答案为：（0，0），（4，0）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【练习 3】（2026•高新区一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则m的值为　4或0　 ． 【分析】根据题意可知该函数图象与y轴交于一个点（非原点），与x轴一个点或与x轴两个交点，其中一个交点为原点，然后计算出m的值即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与坐标轴有且只有2个公共点， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0且m≠0或经过原点，此时函数与x轴的交点为（0，0），（4，0）， 解得m＝4或m＝0， 故答案为：4或0． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的思想解答． 【练习 4】（2025秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过（﹣1，﹣2），（1，0），（m，0）三点，其中m≠1．下列结论：①b＝1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则﹣1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b﹣1）x+c+1＞0的解集是﹣1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；⑤抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜﹣1．其中正确的是　①②④⑤　 （填写序号）． 【分析】把（﹣1，﹣2），（1，0）代入解析式求出b的值，判断①，把（m，0）代入y＝ax2+x+c，推出，求出m的范围，判断②，根据函数与不等式的关系，推出a＜0，判断③，求出顶点坐标，分a＞0，a＜0两种情况判断④，求出y1﹣y2，推出a的范围，判断⑤． 【解答】解：把（﹣1，﹣2），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得： ， ②﹣①，得2b＝2，解得b＝1；故①正确； 由①可知：b＝1且a+b+c＝0，则c＝﹣1﹣a，y＝ax2+x+c， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，则：c＞0， ∴c＝﹣1﹣a＞0，解得a＜﹣1， 把（m，0）代入y＝ax2+x+c，得am2+m+c＝0，则am2+m﹣1﹣a＝0， ∴a（m2﹣1）+（m﹣1）＝0， ∴（m﹣1）[a（m+1）+1]＝0， ∵m≠1， ∴a（m+1）+1＝0， ∴， ∵a＜﹣1， ∴， ∴﹣1＜m＜0；故②正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c+1＞0，即ax2+c+1＞0的解集为﹣1＜x＜1， ∴抛物线y＝ax2+c+1的开口向下， ∴a＜0；故③错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2+x﹣1﹣a ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵当a＞0时， ∴， ∴； 当a＜0时，（2a+1）2≥0，4a＜0， ∴k≥0， 当k＝0时，，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意； 故k＞0；综上：若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；故④正确； ∵y＝ax2+bx+c＝ax2+x﹣1﹣a， ∵抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立， ∴ ＝﹣2la﹣2l ＝﹣2l（a+1）＞0， ∵l＞0， ∴﹣2l＜0， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【练习 5】（2026•东平县二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【分析】先确定直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b，再确定点A、B关于y轴的对称点的坐标，然后写出直线y＝﹣kx+b在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b的交点坐标为（3，m），（﹣1，n）， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+c＜﹣kx+b， ∴不等式ax2+kx+c＜b的解集是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 💯 课后巩固 复习建议 选合适形式 交点=方程根 Δ定交点 看图上下方 数形结合 【作业 1】（2026•固镇县一模）抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0），若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是（　　） A． B． C．1＜n＜2 D．2＜n＜3 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点A与点B关于直线对称，然后根据点A在（﹣1，0）与（0，0）之间可判断点B在（1，0）与（2，0）之间，从而得到n的取值范围． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交x轴于点A（m，0），B（n，0）， ∴点A与点B关于直线对称， ∵﹣1＜m＜0， 即点A在（﹣1，0）与（0，0）之间， ∴点B在（1，0）与（2，0）之间， ∴若﹣1＜m＜0，则n的取值范围是1＜n＜2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【作业 2】（2025秋•上海校级月考）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点（3，0）；乙说：过点（4，3）；丙说：a＝1；丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（　　） 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（1，0），试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线x＝2，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线x＝2． 【解答】解：当添加的条件为甲的说法时， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（3，0）、（1，0）， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故甲的说法正确； 当添加的条件为乙的说法时， ∵抛物线过（4，3）、（1，0）， ∴， 解得a＝1、b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+3， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故乙的说法正确； 当添加的条件为丙的说法时，y＝x2+bx+3， ∵抛物线过点（1，0）， ∴1+b+3＝0， 解得b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+3，此时对称轴为x＝2，与题目中结论一致； 故丙的说法正确； 当添加的添加为丁的说法时， ∵抛物线被x轴截得的线段长为2，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）或（3，0），所以对称轴为y轴或直线x＝2，与题目中的结论不符； 故丁的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，只有丁的说法错误． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2025秋•金华期末）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则（　　） A．c﹣4b≥0 B．c﹣4b＞0 C．c﹣4b＜0 D．c﹣4b≤0 【分析】由抛物线开口向上知a＞0，由对称轴得 ，结合根与系数的关系表示 c﹣4b，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， 由题意可得： ，， ∴c＝ax1x2， ∴， ∵a＞0， ∴c﹣4b的符号取决于 ， ∵1＜x2＜2， ∴， 解得， 又﹣1＜x1＜0， ∴； 设， 可将t看作是关于x1的二次函数，其图象开口向下，对称轴为， 当时，， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业 4】（2026•平武县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）经过（0，3），且当x＜0时，y的值随x值的增大而减小，则该抛物线与x轴交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【分析】根据抛物线（m为常数）经过（0，3），可以得到m的值，根据当x＜0时，y的值随x值的增大而减小和该抛物线的对称轴可以得到二次项系数的正负情况，从而可以得到m的值，再令y＝0求出Δ的正负，从而可以判断该抛物线与x轴交点的个数． 【解答】解：∵抛物线（m为常数）经过（0，3）， ∴m2+2m＝3， 解得m＝﹣3或m＝1， ∵抛物线的对称轴为直线x2，当x＜0时，y的值随x值的增大而减小， ∴该函数图象开口向上， ∴0， ∴m＞0， ∴m＝1， ∴抛物线yx2﹣x+3， 当y＝0时，0x2﹣x+3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣43＝﹣5＜0， ∴该抛物线与x轴交点的个数为0个， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 【作业 5】（2022秋•惠城区校级期中）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2 【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围． 【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3）， ∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式组，掌握借助图象求不等式的解是解题关键． 【作业 6】（2026•静安区校级模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得k＜0，△ABC是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点A横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2+k， ∴该抛物线的顶点（0，k），对称轴为y轴， ∴AB＝AC， ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC是直角顶点为A的等腰直角三角形， ∵抛物线和x轴有两个交点， ∴﹣4k＞0， ∴k＜0， 令y＝0，得， 又∵抛物线y＝x2+k与x轴的两个交点以及顶点围成的△ABC是直角三角形， ∴． 解得k＝﹣1或k＝0（不合题意，舍去）， 即k的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练运用以上知识点． 【作业 7】（2024秋•东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 f（x）＝﹣4x2+16x﹣11　 ． 【分析】把三个已知点的坐标分别代入f（x）＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）． ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣4x2+16x﹣11． 故答案为：f（x）＝﹣4x2+16x﹣11． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【作业 8】（2025秋•海城市期末）二次函数y＝ax2+bx+c经过（﹣2，3），（6，3）两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝﹣2，x2＝6　 ． 【分析】由方程的解可得出二次函数图象与直线y＝3的交点坐标． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c经过（﹣2，3），（6，3）两点， 当x＝﹣2或x＝6时，函数值y＝3， ∴方程ax2+bx+c＝3的两个根为x1＝﹣2和x2＝6， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝6． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，牢记解一元二次方程得出的值为直线y＝3与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 【作业 9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 　﹣1　 ． 【分析】由根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2，再设方程cx2﹣bx+a＝0的为x3，x4，根据根与系数的关系得出x3+x4＝﹣（），x3x4，从而得出方程cx2﹣bx+a＝0的两根为，，然后由1＜x1＜2＜x2＜4，求出，的取值范围，从而得出结论． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2， ∴x1+x2，x1•x2， 设方程cx2﹣bx+a＝0的为x3，x4， 则x3+x4，x3x4， ∵x3+x4•（），x3x4， ∴x3+x4＝﹣（x1+x2）•（）， ∴方程cx2﹣bx+a＝0的两根为，， ∵1＜x1＜2＜x2＜4， ∴1，， ∴﹣1， ∴方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是正确记忆相关知识点． 【作业 10】（2025秋•临漳县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为 x1＝3，x2＝﹣1　 ． 【分析】根据图表中的数据可以推知该抛物线的对称轴是直线x＝1，所以由抛物线的轴对称性质求得点（3，﹣9）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣9）．由此得到答案． 【解答】解：由图中数据可知：该抛物线的对称轴是直线x＝1， 则点（3，﹣9）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣9）． 所以方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为x1＝3，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 【作业 11】（2026•卫滨区模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示． x … ﹣1 0 2 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），再通过画函数图象的方法即可画出函数图象； （3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，然后分①当m≥1时；②当m+3≤1，即m≤﹣2时；③当，即时；④当，即时，四种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， 列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 描点，连线， ∴二次函数的图象如图所示： （3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1， ①当m≥1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3；x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2+4m﹣（m2﹣2m﹣3）＝6m+3＝3， 解得m＝0（舍去）； ②当m+3≤1，即m≤﹣2时，x＝m时， p＝m2﹣2m﹣3；当x＝m+3时，q＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m2+4m）＝﹣6m﹣3＝3， 解得m＝﹣1（舍去）； ③当，即时，x＝1时，q＝﹣4，当x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2+4m﹣（﹣4）＝（m+2）2＝3， 解得或（舍去）； ④当，即时，x＝1时，q＝﹣4；当x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， 则p﹣q＝（m﹣1）2＝3， 解得或（舍去）； 综上所述：m的值或． 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 12】（2023秋•河东区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）先用待定系数法求出直线AB的解析式，再设P（m，m2﹣3m﹣4），则PD＝﹣m2+3m+4，求出点C坐标，再求出PC+PD，由二次函数的性质求最值，并得出点P坐标． 【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝x﹣4， 设P（m，m2﹣3m﹣4），则PD＝﹣m2+3m+4， 在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣3m﹣4得x＝m2﹣3m， ∴C（m2﹣3m，m2﹣3m﹣4）， ∴PC＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m， ∴PC+PD＝﹣m2+4m﹣m2+3m+4＝﹣2m2+7m+4＝﹣2（m）2， ∵﹣2＜0， ∴当m时，PC+PD有最大值，最大值为， 此时点P坐标为（，）． ∴PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 【作业 13】（2025秋•徐汇区校级月考）二次函数y＝a（x﹣2）2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0）． （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线 x＝2　 ； ②图象与x轴的另一个交点坐标为 　（﹣2，0）　 ． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【分析】（1）①根据所给解析式可直接得出答案． ②根据抛物线的对称性可得答案． （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得答案． 【解答】解：（1）①∵y＝a（x﹣2）2+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． 故答案为：x＝2． ②∵抛物线的对称轴为直线x＝2，它与x轴的一个交点坐标是（6，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （2）将（6，0），（0，﹣3）代入y＝a（x﹣2）2+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2﹣4， ∴它的顶点坐标为（2，﹣4）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 14】（2026•驻马店校级四模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且x2﹣x1＝4，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，直接写出t的值． 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，分情况讨论：当t≤x≤t+3时，y有最大值为3，可得t≤1≤t+3不成立，则t＞1或者t+3＜1，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． ∴把点（2，3）代入y＝ax2+bx+3， 得4a+2b+3＝3， 整理得：b＝﹣2a， ∴对称轴为直线． （2）由（1）可得，b＝﹣2a，而抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）， 当y＝0时，ax2+bx+3＝0， ∴，， ∴， ∴a＝﹣1， ∴b＝2， ∴解析式为y＝﹣x2+2x+3． （3）由（2）可得：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴当x＝1时，y有最大值为4， ∵当t≤x≤t+3时，y有最大值为3， ∴t≤1≤t+3不成立， ∴t＞1或者t+3＜1： 当t+3＜1，即t＜﹣2时，y随x的增大而增大， 当x＝t+3时，y有最大值为3， 把x＝t+3，y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣（t+3）2+2（t+3）+3＝3， 解得t＝﹣3或﹣1， ∵t＜﹣2， ∴t＝﹣3， 当t＞1时，y随x的增大而减小， 当x＝t时，y有最大值为3， 把x＝t，y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣t2+2t+3＝3， 解得t＝0或2， ∵t＞1， ∴t＝2， 综上所述，t＝2或﹣3． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 15】（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　﹣1≤x≤3　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即b2﹣4a（b﹣1）＞0，然后令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，看成y关于b的二次函数，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）解不等式﹣x2+2x+3≥0，我们构造函数y＝﹣x2+2x+3， 作出它的图象如图所示，可知它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）和（3，0）， 结合图象可知不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （2）∵对于任意实数b，关于x的方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根， ∴方程ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实数根对任意的b恒成立． ∴b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的实数b恒成立． 令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，则有（﹣4a）2﹣4×4a＜0，即a2﹣a＜0． 令y＝a2﹣a作出其函数图象如图所示， 对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，当a2﹣a＜0时，实数a的取值范围为0＜a＜1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $