第10讲 相似三角形的判定 优等生讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第10讲 相似三角形的判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 相似三角形定义 四种判定 格点判断 补充条件 乘积式证明 📚 知识梳理 ☆ 1.相似概念 对应角等对应边成比例 周长比=相似比面积比=平方 概念辨析例题：相似比2:3面积比 解析：平方关系 ☆ 2.判定方法 平行截相似 两角对应相等 两边成比例夹角等 三边成比例 概念辨析例题：两角对应相等 解析：AAA ☆ 3.基本图形 A字型DE∥BC 8字型AB∥CD 母子型 概念辨析例题：AB∥CD,AE=4,CE=6,BE=3求DE 解析：对应成比例 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 判定1 平行截相似 A字8字 判定2 两角等 最常用 判定3 两边成比例+夹角 注意夹角 判定4 三边成比例 格点图 乘积式 化为比例式 找相似三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】格点判定（共5题） 算边长看比例 1．（2024秋•嘉定区校级月考）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026•固镇县一模）如图，△ABC顶点均在正方形网格格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•安阳县一模）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠E C． D． 4．（2025秋•浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 __________ ． 5．（2025秋•象州县期末）如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【考点2】补充条件（共4题） 已有一角再找一角或夹边 6．（2026•洛阳模拟）下列说法： ①所有的等边三角形都相似； ②有一个底角相等的两个等腰三角形相似； ③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似； ④都有一个15°角的两个直角三角形相似． 其中正确的说法是（　　） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 7．（2025秋•池州月考）如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（　　） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 8．（2026•上饶校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为____________________ ． 9．（2025秋•台州期末）如图，在△ABC中，BC＝4cm，AC＝3cm，D是BC的中点，动点E从点A出发，在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到C点停止．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的运动时间为 ____________________ ． 【考点3】乘积式证明（共5题） b2=ac化比例式 10．（2026秋•同步）如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：1，S△AEF＝8．求△CDF的面积． 11．（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC． （1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB； （2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点． 12．（2024•兖州区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝12，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF． （1）求证：△EFD∽△FBC； （2）求tan∠AFB的值． 13．（2026•玄武区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD＝4，BD＝1，求AC． 14．（2025春•江汉区月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D． （1）若记AC为3，BC为4，直接写出CD＝ ___________________ ； （2）若AD＝4，BD＝9，求CD的长度． 【考点4】求线段长（共8题） 列比例式 15．（2026春•青浦区校级期中）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 16．（2025秋•北碚区校级月考）在正方形ABCD中，点E为AD中点，点F在对角线AC上，且AC＝6AF，连接EF，过点F作FG⊥EF交BD于点H，交BC于点G，连接EH，则的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•秦淮区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．若BC＝4，BD＝2，则AD的长为_____ ． 18．（2026•西城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F，若AB＝6，BE＝2，则BF＝____________________ ． 19．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝___________________ ． 20．（2026•广水市模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则__________________ ． 21．（2026•高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q． （1）求证：△ADE∽△CQD； （2）当AD＝5时，求CQ的长． 22．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长． 【考点5】判定证明（共11题） 找等角公共角 23．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F 24．（2026春•九龙坡区校级同步）如图，当x的值为多少时，△ABC∽△A1B1C1（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 25．（2026•西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2025秋•广安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过____________________ s，△PBQ与△ABC相似． 27．（2025秋•沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时出发，经过 ____________________ s，△CPQ与△CBA相似． 28．（2022秋•双牌县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 _______ （填序号）． 29．如图，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7．求证：△ABC∽△AED． 30．（2025秋•栾城区期中）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G． （1）若AC＝8，求AG的长； （2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF． 31．（2024秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得△DAB∽△ACB，并写出△DAB∽△ACB的证明过程． 32．（2025秋•寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且．求证：△BDF∽△BAD． 33．（2025秋•宣城期末）问题背景： 如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究： 如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 【考点6】定理应用（共6题） 一线三等角 34．（2025秋•随州期末）如图，为测量灯杆的高度DE，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度AB＝1.5m，小强与镜子的水平距离BC＝2m，镜子与灯杆的水平距离CD＝10m，则灯杆的高度DE约为（　　） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m 35．（2026•龙华区校级模拟）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 36．（2025秋•泰兴市期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2m，AC＝0.8m，AE＝0.2m，那么CD为（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 37．（2025秋•秦淮区校级期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为___________________ cm． 38．（2026•宁夏模拟）如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中对应的最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，对应的最大的“”字高度为 ____________ ． 39．（2026•潮阳区三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•长春校级期末）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B． C．，且∠B＝∠B′ D．，且∠C＝∠C′ 【练习 2】（2025秋•涟源市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【练习 3】（2026•太和县一模）观察下列每组三角形，不能判定相似的是（　　） A． B． C． D． 【练习 4】（2025秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【练习 5】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 __________ ． 【练习 6】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝________ 时，△CBF∽△ABE． 【练习 7】（2025秋•淇滨区校级期末）如图，∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：____________________ ，使△ABC∽△ADE．（写一个即可） 【练习 8】（2025秋•扶余市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，证明：△ABC∽△DEF． 【练习 9】（2025秋•宜阳县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 💯 课后巩固 复习建议 两角等最常用 对应边对应角 乘积式化比例 公共角对顶角 格点算边长 【作业 1】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2025秋•二七区期末）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【作业 3】（2026•衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH•PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③ 【作业 4】（2025秋•苏仙区期末）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件使△ABC∽△ADE，你添加的条件是_________________ ． 【作业 5】（2025秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过____________________ 秒后△PBQ和△ABC相似？ 【作业 6】（2025秋•志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是_________________ ．（写出一个即可） 【作业 7】（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 【作业 8】（2025秋•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 相似三角形的判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 相似三角形定义 四种判定 格点判断 补充条件 乘积式证明 📚 知识梳理 ☆ 1.相似概念 对应角等对应边成比例 周长比=相似比面积比=平方 概念辨析例题：相似比2:3面积比 解析：平方关系 ☆ 2.判定方法 平行截相似 两角对应相等 两边成比例夹角等 三边成比例 概念辨析例题：两角对应相等 解析：AAA ☆ 3.基本图形 A字型DE∥BC 8字型AB∥CD 母子型 概念辨析例题：AB∥CD,AE=4,CE=6,BE=3求DE 解析：对应成比例 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 判定1 平行截相似 A字8字 判定2 两角等 最常用 判定3 两边成比例+夹角 注意夹角 判定4 三边成比例 格点图 乘积式 化为比例式 找相似三角形 ⚠️ 核心考点 【考点1】格点判定（共5题） 算边长看比例 1．（2024秋•嘉定区校级月考）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【解答】解：由图可得， ∠CAB＝∠DAC， ∴添加∠B＝∠ACD，满足两组对应角相等，可以判定△ABC∽△ACD，故①符合题意； 添加∠ADC＝∠ACB，满足两组对应角相等，可以判定△ABC∽△ACD，故②符合题意； 添加，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定△ABC∽△ACD，故③不符合题意； 添加AC2＝AD•AB，即，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定△ABC∽△ACD，故④符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．（2026•固镇县一模）如图，△ABC顶点均在正方形网格格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中， ，BC＝1，， A、三边分别为，2，，则，故与△ABC相似，符合题意； B、三边分别为，，3，则，故与△ABC不相似，不符合题意； C、三边分别为2，，，则，故与△ABC不相似，不符合题意； D、三边分别为，，4，则，故与△ABC不相似，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 3．（2026•安阳县一模）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠E C． D． 【分析】先证明∠BAC＝∠DAE，然后根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可对A、B选项进行判断；根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”可对C、D选项进行判断． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， ∴当添加∠B＝∠ADE时，△ABC∽△ADE，所以A选项不符合题意； 当添加∠C＝∠E时，△ABC∽△ADE，所以B选项不符合题意； 当添加时，△ABC∽△ADE，所以C选项不符合题意； 当添加时，不能判定△ABC∽△ADE，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．（2025秋•浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 　（2，2）　 ． 【分析】所连的三角形中有一个角与∠QPR相等，则根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”得到B点满足条件． 【解答】解：∵∠QPR＝∠BQP，， ∴△BQP∽△QPR，B点坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法可解决问题的关键．也考查了坐标与图形性质． 5．（2025秋•象州县期末）如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是：　∠ACD＝∠B ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【分析】可由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC；也可由，∠A＝∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC，所以添加的条件可以是∠ACD＝∠B，或等． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， 故答案为：∠ACD＝∠B．（答案不唯一） 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【考点2】补充条件（共4题） 已有一角再找一角或夹边 6．（2026•洛阳模拟）下列说法： ①所有的等边三角形都相似； ②有一个底角相等的两个等腰三角形相似； ③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似； ④都有一个15°角的两个直角三角形相似． 其中正确的说法是（　　） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：①所有的等边三角形都相似，正确，故①符合题意； ②等腰三角形的两个底角相等，因此有一个底角相等的两个等腰三角形相似，故②符合题意； ③如果一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，那么这两个等腰三角形不一定相似，故③不符合题意； ④都有一个15°角的两个直角三角形相似，正确，故④符合题意． ∴其中正确的说法是①②④． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法． 7．（2025秋•池州月考）如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（　　） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【分析】分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【解答】解：由勾股定理可知，第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，①和③对应边成比例， ∴①③中的三角形相似， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2026•上饶校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使所分成的三角形与△ABC相似．若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP的长为　2或或3　 ． 【分析】分三种情况讨论，即△CDP∽△CBA，△BDP∽△BCA，△CDP∽△CAB．由相似三角形的性质分别求解． 【解答】解：如图1，若DP∥AB，则△CDP∽△CBA． ∴． ∵AB＝6，BC＝12，D是BC边上一点，CD＝4， ∴． ∴DP＝2． 如图2，若DP∥AC，则△BDP∽△BCA， ∴， ∴， ∴； 如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C， 则△CDP∽△CAB． ∴， ∴， ∴PD＝3， 综上所述，PD的长为2或或3， 故答案为：2或或3． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 9．（2025秋•台州期末）如图，在△ABC中，BC＝4cm，AC＝3cm，D是BC的中点，动点E从点A出发，在AC边上以1cm/s的速度向点C运动，运动到C点停止．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的运动时间为 　s或s ． 【分析】设点E的运动时间为ts，则AE＝tcm，CE＝（3﹣t）cm，由于∠DCE＝∠BCA，根据相似三角形的判定方法，当，△CDE∽△CBA，即；当，△CDE∽△CAB，即，然后分别解方程求出对应的t的值即可． 【解答】解：设点E的运动时间为ts，则AE＝tcm，CE＝（3﹣t）cm， ∵D是BC的中点， ∴CDBC＝2cm， ∵∠DCE＝∠BCA， ∴当，△CDE∽△CBA， 即， 解得t； 当，△CDE∽△CAB， 即， 解得t； 综上所述，点E的运动时间为s或s． 故答案为：s或s． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【考点3】乘积式证明（共5题） b2=ac化比例式 10．（2026秋•同步）如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：1，S△AEF＝8．求△CDF的面积． 【分析】利用平行四边形的性质结合相似三角形的判定与性质得出，进而求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥DC，AB＝DC， ∴△AEF∽△CDF， ∵AE：EB＝2：1， ∴， ∴， ∵S△AEF＝8， ∴， ∴△CDF的面积为18． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△AEF∽△CDF是解题关键． 11．（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC． （1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB； （2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠DAC，可推出∠BAF＝∠ACF，根据BE＝BF，可推出∠AEB＝∠CFA，结合AE＝CF证明△ABE≌△CAF即可得证； （2）由OF2＝EF•AF可得，又有∠AFO＝∠OFE，则△AFO∽△OFE，得∠AOF＝∠OEF，则∠COF＝∠AEO，结合∠BAF＝∠DAC可得∠COF＝∠BFE，又由（1）得∠BAF＝∠ACF，可证△ABF∽△CFO，得到AB∥OF，结合平行四边形的性质即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∵∠AEB+∠BEF＝180°，∠CFA+∠BFE＝180°， ∴∠AEB＝∠CFA， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴AB＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB； （2）∵OF2＝EF•AF， ∴， 又∵∠AFO＝∠OFE， ∴△AFO∽△OFE， ∴∠AOF＝∠OEF， ∴∠COF＝∠AEO， ∵∠AEO＝∠BEF， ∴∠COF＝∠BEF， 又∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠COF＝∠BFE， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∴△ABF∽△CFO， ∴∠ABF＝∠CFO， ∴AB∥OF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC中点， ∵AB∥OF， ∴F是BC的中点． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 12．（2024•兖州区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝12，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF． （1）求证：△EFD∽△FBC； （2）求tan∠AFB的值． 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可得∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可得∠BFE＝∠DAB＝90°，证明∠BFC＝∠FED，进而可得结论； （2）由折叠可得BF＝AB，根据勾股定理可得CF＝5，所以FD＝8，由折叠可得∠AFB＝∠FAB，由AB∥CD，可得∠AFD＝∠FAB，所以∠AFD＝∠AFB，进而可求tan∠AFB的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∠BAD＝∠D＝∠C＝90°， 由折叠可知：∠BFE＝∠DAB＝90°， ∴∠EFD+∠BFC＝∠EFD+∠FED＝90°， ∴∠BFC＝∠FED， ∴△EFD∽△FBC； （2）解：由折叠可知：BF＝AB＝13， 在Rt△BFC中，BC＝12， ∴CF5， ∴FD＝CD﹣CF＝13﹣5＝8， ∴tan∠AFD， 由折叠可知：∠AFB＝∠FAB， ∵AB∥CD， ∴∠AFD＝∠FAB， ∴∠AFD＝∠AFB， ∴tan∠AFB． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出∠AFD的正切是本题的关键． 13．（2026•玄武区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD＝4，BD＝1，求AC． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （2）由已知可得AB＝5，再根据相似三角形的性质解答即可求解． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， 在△ACD与△ABC中， ， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵AD＝4，BD＝1， ∴AB＝4+1＝5， ∵△ACD∽△ABC， ∴， 即， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（2025春•江汉区月考） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D． （1）若记AC为3，BC为4，直接写出CD＝ 　　 ； （2）若AD＝4，BD＝9，求CD的长度． 【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，再由面积法求出CD的长即可； （2）首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， 即5CD＝3×4＝12， ∴CD， 故答案为：； （2）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A， 又∵∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD＝36， ∴CD＝6． 【点评】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【考点4】求线段长（共8题） 列比例式 15．（2026春•青浦区校级期中）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．24 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3， ∵△ABC的周长为8，设△DEF的周长为x， ∴8：x＝2：3， 即2x＝8×3， 解得x＝12． 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 16．（2025秋•北碚区校级月考）在正方形ABCD中，点E为AD中点，点F在对角线AC上，且AC＝6AF，连接EF，过点F作FG⊥EF交BD于点H，交BC于点G，连接EH，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设正方形ABCD边长为6，则AE＝3，AC＝6，构造一线三垂直相似：过F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，可得GN、FG、CG的长度，在构造A字形相似：过G作GK⊥AC于点K，记AC与BD交点为点O，可得FH，进而在Rt△EFH中利用勾股定理求出HE，即可得解． 【解答】解：方法一：设正方形ABCD边长为6，则AE＝3，AC＝6， ∴AF 如图，过F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N， ， ∴△AMF为等腰直角三角形， ∴AM＝MF＝1， ∴EM＝2，FN＝5， ∴EF， ∵∠EFH＝90°， ∴∠EFM＝∠FGN＝90°﹣∠GFN， ∵∠EMF＝∠FNG＝90°， ∴△EMF∽△FNG， ∴， ∴GNFM，FGEF， ∴CG＝BC﹣BN﹣NG， 过G作GK⊥AC于点K，记AC与BD交点为点O， 则△CGK为等腰直角三角形， ∴GK＝CKCG， ∴OK＝OC﹣CK， ∵， ∴OF＝2，FK＝OF+OK， ∵OH∥GK， ∴△FOH∽△FKG， ∴， ∴FHFG， 在Rt△EFH中，HE， ∴； 方法二：如图，建立平面直角坐标系， 设正方形边长为6，易得E（3，6），D（6，6）， 如图，过F作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N， ∴△AMF为等腰直角三角形， ∴AM＝MF＝1， ∴EM＝2，FN＝5， ∴F（1，5）， 易证△EMF∽△FNG，可得GN， ∴CG，G（，0）， 由B（0，0）、D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x， 由F（1，5），G（，0）可得直线FG解析式为y＝﹣2x+7， 联立，解得， ∴H（，）， ∴HE， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（2025秋•秦淮区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．若BC＝4，BD＝2，则AD的长为　6　 ． 【分析】证明△BDC∽△BCA，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵CD是AB边上的高， ∴∠BDC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝∠BCA， ∵∠B＝∠B， ∴△BDC∽△BCA， ∴，即， 解得：BA＝8， ∴AD＝BA﹣BD＝8﹣2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18．（2026•西城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F，若AB＝6，BE＝2，则BF＝　　 ． 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出BD的长，证明△ADF∽△EBF求出，即可得到． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝6，∠BAD＝90°， ∴； ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△EBF， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 19．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝　　 ． 【分析】由勾股定理可得AB＝10，由直角三角形的性质可得，延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE，△ADC≌△BDE（SAS），则DE＝AC，∠E＝∠DCA，AC∥BE，连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F，由三角形重心的性质可得BH＝CH，证明△AHC≌△FHB（AAS），得出BF＝AC，从而可得EF＝BE+BF＝2AC，再证明△ACG∽△FEG，由相似三角形的性质即可得出结果． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ACB＝90°，AC＝8， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， 如图：延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠E＝∠DCA，DE＝AC， ∴AC∥BE， 连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F， ∵点G为△ABC的重心， ∴AH为△ABC的中线， ∴BH＝CH， ∵AC∥BE， ∴∠F＝∠CAH， ∵∠AHC＝∠FHB， ∴△AHC≌△FHB（AAS）， ∴BF＝AC， ∴EF＝BE+BF＝2AC， ∵AC∥BE， ∴△ACG∽△FEG， ∴， ∵EG＝ED+DG＝CD+DG＝CD+CD﹣CG＝2CD﹣CG， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2026•广水市模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则　　 ． 【分析】根据题意得到，再判定△DOE∽△COB，即可求解． 【解答】解：设点D到BE的高为h， ∴，， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC， ∴△DOE∽△COB， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 21．（2026•高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q． （1）求证：△ADE∽△CQD； （2）当AD＝5时，求CQ的长． 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠AED＝∠CDQ，进一步证明即可； （2）证明AC＝AB＝12，求解CD＝12﹣5＝7，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵等边△ABC， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣60°＝120°， ∵由旋转可得：∠EDF＝60°， ∴∠ADE+∠CDQ＝120°， ∴∠AED＝∠CDQ， ∴△ADE∽△CQD． （2）解：∵在等边△ABC中，AE＝4，AB＝12， ∴AC＝AB＝12， ∵AD＝5， ∴CD＝12﹣5＝7， ∵△ADE∽△CQD， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长． 【分析】根据DE∥BC，证明△ABC∽△ADE，进而得出，代入数据即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠D，∠C＝∠E， ∴△ABC∽△ADE， ∴． 根据题意AD＝3，AB＝5，DE＝5， 代入得， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点5】判定证明（共11题） 找等角公共角 23．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F 【分析】由旋转得∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，可判断B不符合题意，C不符合题意；由∠BFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCF∽△EC′F，可判断D不符合题意；当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′，而BC′＝BC，则AB＝BC′，所以∠BAC′＝∠BC′A，由∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，推导出∠BAC＝∠A′C′B，进而证明∠EAC′＝∠EC′A，则AE＝C′E，即可由C′E＞EF，证明AE＞EF，通过这个“反例”证明“AE＝EF”这一结论不一定正确，可判断A符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置， ∴∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′， ∴故B不符合题意，C不符合题意； ∵AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F， ∴∠BFC＝∠EFC′， ∵∠C＝∠C′， ∴△BCF∽△EC′F， 故D不符合题意； 如图，当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′， ∵BC′＝BC， ∴AB＝BC′， ∴∠BAC′＝∠BC′A， ∵∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C， ∴∠BAC＝∠A′C′B， ∴∠BAC′﹣∠BAC＝∠BC′A﹣∠A′C′B， ∴∠EAC′＝∠EC′A， ∴AE＝C′E， ∵C′E＞EF， ∴AE＞EF， ∴“AE＝EF”这一结论不一定正确， 故A符合题意， 故选：A． 【点评】此题重点考查旋转的性质、相似三角形的判定、垂线段最短等知识，正确理解和应用旋转的性质是解题的关键． 24．（2026春•九龙坡区校级同步）如图，当x的值为多少时，△ABC∽△A1B1C1（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【分析】根据题意当时，△ABC∽△A1B1C1即可求解． 【解答】解：根据题意可知，当时，△ABC∽△A1B1C1， 由图可知，AB＝15，A1B1＝27，BC＝25，B1C1＝45，AC＝20，A1C1＝x， ∴， ∴x＝36， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 25．（2026•西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得△AED≌△ABD，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定△CAD和△CBA与△ABD相似． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠ADE＝90°． ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴△AED∽△ABD． ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°． 又∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD． 在△CAD和△ABD中， ， ∴△CAD∽△ABD． 在△CBA和△ABD中， ， ∴△CBA∽△ABD． 综上所述，与△ABD相似的三角形有△AED、△CAD、△CBA，共3个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 26．（2025秋•广安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过　4或　 s，△PBQ与△ABC相似． 【分析】分两种情况：△PBQ∽△ABC或△PBQ∽△CBA，设经过ts，然后分别利用相似三角形的性质建立关于t的方程求解即可． 【解答】解：①设经过ts，△PBQ∽△ABC， ∴， 即， 解得t＝4． ∴经过4s，△PBQ∽△ABC． ②设经过ts后，△PBQ∽△CBA， ∴， 即， 解得， ∴经过，△PBQ∽△CBA． 综上，经过4s或，△PBQ与△ABC相似． 故答案为：4或， 【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键． 27．（2025秋•沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时出发，经过 　或　 s，△CPQ与△CBA相似． 【分析】设经过t秒时，当△ABC∽△PQC或当△ABC∽△QPC，根据相似三角形的性质得到比例线段，解方程即可得到结论． 【解答】解：如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m， 由勾股定理求得：AC6（m）． 设经过t秒△ABC和△PQC相似．则有BP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，CQ＝tcm， 分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有， 即，解得t； ②当△ABC∽△QPC时，有， 即，解得t， 综上可知，经过或秒时，△CPQ与△CBA相似， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似． 28．（2022秋•双牌县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△ECF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF．其中正确结论是 　②③　 （填序号）． 【分析】由正方形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，设AB＝BC＝CD＝AD＝m，则BE＝ECm，CFm，所以DFm，由tan∠BAE，可知∠BAE≠30°，可判断①错误；再证明2，则△ABE∽△ECF，可判断②正确；因为∠BAE＝∠CEF，所以∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，则∠AEF＝90°，所以AE⊥EF，可判断③正确；由2，3，得，则△ADF与△ECF不相似，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°， 设AB＝BC＝CD＝AD＝m， ∵E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD， ∴BE＝ECm，CFm， ∴DF＝CD﹣CF＝mmm， ∵tan∠BAE，而tan30°， ∴∠BAE≠30°， 故①错误； ∵2，2， ∴， ∴△ABE∽△ECF， 故②正确； ∴∠BAE＝∠CEF， ∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥EF， 故③正确； ∵2，3， ∴， ∴△ADF与△ECF不相似， 故④错误， 故答案为：②③． 【点评】此题重点考查正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，此外，还可以通过计算证明AE2+EF2＝AF2，根据勾股定理的逆定理证明∠AEF＝90°，从而证明AE⊥EF． 29．如图，D，E是△ABC的边AB，AC上的点，AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7．求证：△ABC∽△AED． 【分析】根据已知线段长度求出，再根据∠A＝∠A推出相似即可． 【解答】证明：在△ABC和△AED中， ∵． ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，解答本题的关键要注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 30．（2025秋•栾城区期中）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G． （1）若AC＝8，求AG的长； （2）如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得EF∥BD，由平行线分线段成比例定理得，继而得到AG＝GO，根据平行四边形性质得AO＝OC，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【解答】（1）解：如图，连接BD交AC于点O， ∵点E和点F分别为边AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线，AF＝FB， ∴EF∥BD， ∴， ∴AG＝GO， ∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8， ∴AO＝OC， ∴AOAC， ∴， ∴AG的长为2； （2）证明：∵F为边AB的中点， ∴， ∵AB＝AC， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在△AFG和△ACF中， 又∵∠FAG＝∠CAF， ∴△AFG∽△ACF． 【点评】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，属于中档题． 31．（2024秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得△DAB∽△ACB，并写出△DAB∽△ACB的证明过程． 【分析】作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAD＝∠C，即可求解． 【解答】解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，则点D即为所求． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵线段AB的垂直平分线交BC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠C＝∠BAD， 又∵∠B＝∠B， ∴△DAB∽△ACB． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 32．（2025秋•寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且．求证：△BDF∽△BAD． 【分析】先证明∠EAD＝∠BAC，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明△EAD∽△BAC，推出∠E＝∠B，再证明∠BDF＝∠BAD，再利用“两组对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论． 【解答】证明：∵△ABC和△AED中，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD， ∴∠BAD＝∠DAC，∠EAB＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠BAD＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠BAC， ∵， ∴△EAD∽△BAC， ∴∠E＝∠B， ∵∠EFA＝∠BFD， ∴∠BDF＝∠EAF， ∴∠BDF＝∠BAD， ∵∠DBF＝∠ABD， ∴△BDF∽△BAD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 33．（2025秋•宣城期末）问题背景： 如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究： 如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG． 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，根据点E，F分别是AB，BC的中点，可得，即可求证； 问题探究：取BD的中点H，连接EH、HC，得EH是△ABD的中位线，根据已知条件可得EH平行且等于FC，进而可得EFCH是平行四边形，得EF∥HC，则∠GFB＝∠HCB，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB＝HC，进而可得∠HBC＝∠HCB，等量代换可得∠GBF＝∠GFB，等角对等边，即可得证． 【解答】证明：问题背景：在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点， ∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，AB＝2BE，BC＝2BF， ∴， 即， ∴△BCD∽△FBE； 问题探究：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，如图2，取BD的中点H，连接EH、HC， ∴，EH∥AD， 又∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥FC， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠GFB＝∠HCB， 又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点， ∴， ∴∠HBC＝∠HCB， ∴∠GBF＝∠GFB， ∴GB＝GF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点6】定理应用（共6题） 一线三等角 34．（2025秋•随州期末）如图，为测量灯杆的高度DE，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度AB＝1.5m，小强与镜子的水平距离BC＝2m，镜子与灯杆的水平距离CD＝10m，则灯杆的高度DE约为（　　） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m 【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求△ABC∽△EDC，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【解答】解：如图所示，过点C作CF⊥BD， 由图可知，AB⊥BD，ED⊥CD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， ∵根据镜面的反射性质， ∴∠ACF＝∠ECF， ∴90°﹣∠ACF＝90°﹣∠ECF， ∴∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∵AB＝1.5m，BC＝2m，CD＝10m， ∴， ∴DE＝7.5， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 35．（2026•龙华区校级模拟）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】通过证明△POM∽△BON，得出PM：BN＝OM：ON＝5：3，即可解答． 【解答】解：根据题意可得：∠PMO＝∠BNO＝90°， ∵∠POM＝∠BON， ∴△POM∽△BON， ∴PM：BN＝OM：ON＝5：3， ∵PM＝10cm， ∴BN＝6cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 36．（2025秋•泰兴市期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的巧妙方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2m，AC＝0.8m，AE＝0.2m，那么CD为（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【解答】解：由题意知：AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴CD＝6， 经检验，CD＝6是所列方程的解． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键． 37．（2025秋•秦淮区校级期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD，若物体AB的高为5cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O到地面距离OE为　　 cm． 【分析】根据平行关系证明△AOB∽△COD，△BOE∽△BDC，从而得到，，计算可得，即可得到OE的长度． 【解答】解：∵OE⊥BC，DC⊥BC，AB⊥BC， ∴OE∥AB∥DC， ∴△BOE∽△BDC，△AOB∽△COD， ∴，， ∵CD＝3cm，AB＝5cm， ∴， ∴， ∴OE3（cm）， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 38．（2026•宁夏模拟）如图，小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中对应的最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，对应的最大的“”字高度为 　43.62mm ． 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论． 【解答】解：如图，标上字母A、B、C、D、E， 由题意得：CB∥DE， ∴， ∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm， ∴， ∴DE＝43.62（mm）， 故答案为：43.62mm． 【点评】本题考查相似三角形性质的应用，正确利用平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式是解题关键． 39．（2026•潮阳区三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB． 【分析】（1）证明△DCE∽△ACB，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出AB的值． （2）证明△CDG∽△ADH，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出AH的值，最后由线段的和差关系即可求出AB的值． 【解答】解：（1）小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB． ∵∠DCE＝∠ACB，∠DEC＝∠ABC＝90°， ∴△DCE∽△ACB． ∴． ∴． ∴AB＝7.5． 答：旗杆的高度AB为7.5米． （2）∵DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行， ∴∠CGD＝∠AHD＝90°，GF＝BH＝DE＝1.5米． ∵∠CDG＝∠ADH， ∴△CDG∽△ADH． ∴． ∵CG＝CF﹣GF＝4﹣1.5＝2.5（米），DG＝EF＝3米，DH＝BF+EF＝9+3＝12（米）， ∴． ∴AH＝10． ∴AB＝AH+BH＝10+1.5＝11.5（米）． 答：旗杆的高度AB为11.5米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，正确进行计算解题关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•长春校级期末）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B． C．，且∠B＝∠B′ D．，且∠C＝∠C′ 【分析】由∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断A不符合题意；由，可根据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断B不符合题意；由，且∠B＝∠B′，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断C不符合题意；由于，且∠C＝∠C′这两个条件不符合相似三角形的判定定理，因而不能由此判定△ABC∽△A′B′C′，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故A不符合题意； ∵在△ABC和△A′B′C′中，， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故B不符合题意； ∵在△ABC和△A′B′C′中，，且∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故C不符合题意； ∵，且∠C＝∠C′这两个条件不符合相似三角形的判定定理， ∴由，且∠C＝∠C′不能判定△ABC∽△A′B′C′， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•涟源市期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【练习 3】（2026•太和县一模）观察下列每组三角形，不能判定相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知： A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，58°＝58°，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中40°＝40°，且对顶角相等，选项正确，故不符合题意； D中35°＝35°，不能判定相似，故符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•新吴区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【解答】解：∵∠A＝∠A， A．∠ADE＝∠ACB，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； B．由DE∥BC得∠ADE＝∠B，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△ADE与△ACB相似， 故该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【练习 5】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 　14或25　 ． 【分析】当△DEF∽△DBC时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝40，利用勾股定理求出AB＝48，证明△DFC≌△DEA（AAS），可得CF＝AE，再证明△DCE∽△CAB，求出CE＝50，根据线段的和差即可求出CF的长；当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC，证明△DFC∽△ADC，对应边成比例即可求出CF的长． 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB＝80， ∴CDAB＝AD＝BD＝40， ∵AC＝64， ∴BC48， 当△DEF∽△DBC时，∠DEF＝∠B， ∴∠EDF＝∠BDC，∠DFE＝∠DCB， ∵CD＝BD， ∴DE＝DF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴∠DFC＝∠DEA， ∴△DFC≌△DEA（AAS）， ∴CF＝AE， ∵∠DCA＝∠A，∠DEF＝∠B＝∠DCB，∠A+∠B＝90°， ∴∠DCA+∠DEF＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠ACB＝90°， ∵∠DCE＝∠A， ∴△DCE∽△CAB， ∴， ∴， ∴CE＝50， ∴CF＝AE＝AC﹣CE＝64﹣50＝14； 当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC， ∵∠DFE＝∠FCD+∠FDC，∠BDC＝∠FCD+∠A， ∴∠FDC＝∠A， ∵∠DCF＝∠ACD， ∴△DFC∽△ADC， ∴， ∴， ∴CF＝25， 当△DEF∽△CBD时，同法可得CF＝25． 综上所述：CF的长为14或25． 故答案为：14或25． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．解决本题的关键是得到△CDE∽△ACB． 【练习 6】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在CD上取一点F，连接BE，BF，则当CF＝　1.8　 时，△CBF∽△ABE． 【分析】由平行四边形性质得∠A＝∠C，BC＝AD＝6，再由点E是AD的中点得AEAD＝3，在△CBF和△ABE中，由于∠A＝∠C，因此当时，△CBF∽△ABE，则，由此即可得出CF＝1.8． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6， ∴∠A＝∠C，BC＝AD＝6， ∵点E是AD的中点， ∴AEAD＝3， 在△CBF和△ABE中，∠A＝∠C， ∴当时，△CBF∽△ABE， ∵AB＝10， ∴， ∴CF＝1.8， ∴当CF＝1.8时，△CBF∽△ABE．故答案为：1.8． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【练习 7】（2025秋•淇滨区校级期末）如图，∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：　∠B＝∠D（或∠C＝∠E或）　 ，使△ABC∽△ADE．（写一个即可） 【分析】先由∠DAB＝∠EAC推出∠BAC＝∠DAE，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明△ABC∽△ADE． 【解答】解：情况1：添加条件∠B＝∠D， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC． ∵∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况2：添加条件∠C＝∠E， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC． ∵∠C＝∠E，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况3：添加条件， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC． ∵，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或）． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•扶余市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，证明：△ABC∽△DEF． 【分析】先根据勾股定理求出AC，BC，DE，DF的长，再根据两三角形的对应边成比例即可得出结论． 【解答】证明：根据勾股定理，得，，，， ∵AB＝5，EF＝2， ∴，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关内容是解题关键． 【练习 9】（2025秋•宜阳县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定解答即可． 【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝16． ∴CE＝AC﹣AE＝16﹣4＝12； ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴3， ∴； （2）证明：∵， ， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB． 💯 课后巩固 复习建议 两角等最常用 对应边对应角 乘积式化比例 公共角对顶角 格点算边长 【作业 1】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【解答】A、∵有两边对应边成比例但是夹角不相等， ∴两三角形不相似， 故该选项符合题意； B、∵，，∠A＝∠A，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意； C、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意； D、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键要明确：两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 【作业 2】（2025秋•二七区期末）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【解答】解：∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）， A、当∠A＝∠D时，则△AOB与△DOC相似，符合题意； B、当∠A＝∠B时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； C、当∠C＝∠D时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； D、∠AOB＝∠DOC，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键． 【作业 3】（2026•衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH•PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③ 【分析】①根据正方形的性质和等边三角形的性质，易得：∠ABE＝30°，∠DCP＝30°，进而得到BE＝2AE；②根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△PCD∽△PDH；③根据相似三角形的性质得出；④根据CP＝CD，得到，进而推出∠FDP＝15°，利用正方形的对角线平分一组对角，推出∠PBH＝15°，进而得到∠FDP＝∠PBH，根据AD∥BC，推出∠DFP＝∠BPH＝60°，即可证明△PFD∽△HPB． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形， ∴BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，BC＝PC＝PB，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∠DCP＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣60°＝30°，PC＝CD， ∴BE＝2AE，故①符合题意； ∵PC＝CD， ∴， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC＝45°， ∴∠PHD＝∠PCD+∠BDC＝30°+45°＝75°， ∴∠PDC＝∠PHD， ∵∠DPH＝∠CPD， ∴△PCD∽△PDH，故②符合题意； ∴， ∴DP2＝PH•PC，故③符合题意； ∵∠PDC＝∠DPC＝75°， ∴∠FDP＝∠FDC﹣∠PDF＝90°﹣75°＝15°， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝45°， ∴∠PBH＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠FDP＝∠PBH， ∵AD∥BC， ∴∠DFP＝∠PCB＝60°， ∴∠DFP＝∠BPH＝60°， ∴△PFD∽△HPB，故④符合题意； 综上：正确的是①②③④， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•苏仙区期末）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件使△ABC∽△ADE，你添加的条件是　∠C＝∠E（答案不唯一）　 ． 【分析】利用相似三角形的判定方法即可解答本题． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴当∠C＝∠E或∠B＝∠D或时，△ABC∽△ADE， 故答案为：∠C＝∠E（答案不唯一）． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【作业 5】（2025秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过　或2　 秒后△PBQ和△ABC相似？ 【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似． 则AP＝2xcm，BQ＝4xcm， ∵AB＝8cm，BC＝16cm， ∴BP＝（8﹣2x）cm， BP与AB边是对应边，则， 即， 解得x＝2． BP与BC边是对应边，则， 即， 解得， 综上所述，经过秒或2秒后△PBQ和△ABC相似． 故答案为：或2． 【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【作业 6】（2025秋•志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是　∠C＝∠E（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【分析】首先根据∠1＝∠2可推出∠BAC＝∠DAE，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定△ABC∽△ADE即可得到答案． 【解答】解：①添加∠C＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； ②添加∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； ③添加， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； 故答案为：∠C＝∠E（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到∠CBE＝∠AMN，结合（1）中的结论，即可得证． 【解答】证明：（1）由题意得∠BCD+∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠BMC+∠CBE＝90°， ∵MN⊥BM， ∴∠AMN+∠BMC＝90°， ∴∠CBE＝∠AMN， 又由（1）可知：∠BCD＝∠A， ∴△AMN∽△CBE． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD． 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据角的和差计算可得∠DPC＝∠BAP，结合相似三角形的判定和性质即可求证． 【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠APC＝∠ABC+∠BAP， ∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP， ∴∠DPC＝∠BAP， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴△ABP∽△PCD． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $