第15讲 二次函数的图像及性质 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第15讲 二次函数的图像及性质 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 二次函数概念 y=ax2 顶点式 一般式 比较函数值 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数概念 y=ax2+bx+c(a≠0) a≠0是关键 概念辨析例题：y=(m-1)x2是二次函数 解析：二次项不为0 ☆ 2.y=ax² 顶点(0,0)对称轴y轴 a>0向上|a|大开口小 概念辨析例题：y=2x2开口 解析：a>0 ☆ 3.顶点式 y=a(x+m)2+h顶点(-m,h) 左加右减上加下减 概念辨析例题：y=2(x-1)2+3顶点 解析：顶点式直读 ☆ 4.一般式 对称轴x=- 顶点(-,) 概念辨析例题：y=x2-4x+5对称轴 解析：x=-=2 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 a≠0 最高次2 y=ax2 顶点原点 a定方向 顶点式 y=a(x-h)2+k 直读顶点 一般式 x=- 公式求对称轴 平移 左加右减上加下减 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数定义（共4题） a≠0 1．（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 2．（2024秋•内黄县期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝x2+5 D．y＝2x﹣7 3．（2025秋•香洲区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为_______ ． 4．（2026•七星关区校级模拟）如果函数是关于x的二次函数，则k＝_____ ． 【考点2】y=ax²性质（共5题） 顶点原点对称轴y轴 5．（2026•汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：____________________ ． 6．（2026•芜湖模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•浦东新区校级模拟）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝3x2 D．y＝﹣3x2 8．（2025秋•江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 ____________________ ． 9．（2025秋•吴兴区期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+7． （1）将y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣b）2+k的形式； （2）若不同两点A（m，4），B（n，4）均在抛物线上，求m+n的值． 【考点3】顶点式（共11题） 直读顶点 平移规律 10．（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 11．（2025秋•南宫市期末）设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 12．（2025秋•新华区校级期末）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025秋•泸州期末）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数．y＝x2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 14．（2025秋•江津区期末）已知点（﹣2，y1），（4，y2），（1，y3）都在函数y＝x2+3x+5的图象上，请将y1，y2，y3按从大到小的顺序排列 _____________ ． 15．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为_________ ． 16．（2025秋•金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 _____________ .（用“＜”连接）． 17．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1_____ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 18．（2025•徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积． 19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，求它的顶点坐标． 20．（2026•漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【考点4】一般式（共14题） 对称轴公式 增减性 21．（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．（2026•海州区二模）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4） 23．（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 24．（2025秋•南关区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b；其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 25．（2026•西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．（2026春•渝中区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_____________ ． 27．（2025•邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ________ ． 28．（2025秋•包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是____________________ ． 29．（2024秋•东湖区校级期末）把二次函数y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是_______________ ． 30．（2025秋•松滋市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____ ． 31．（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0），若A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上． （1）若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2． （2）若，x2＝2a+1，x1≠x2，存在y1＝y2，求a的取值范围． 32．已知二次函数，解答下列问题： （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； （2）判断点（﹣2，﹣4）是否在这个函数图象上，说明理由； （3）观察图象，直接写出当y＝8时对应的函数图象上的点的坐标． 33．（2026•蚌埠模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＞0），a，b满足2a+b＝0，抛物线的最低点纵坐标为p． （1）若p＝﹣5，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知（m，n）是该抛物线上的一点： ①若n＝16a+p，求m的值； ②点A（m+t，n+t）与点B（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，求的值． 34．（2026•广州校级模拟）我们约定：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；我们发现：若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，那么我们称抛物线C2是抛物线C1的“派生抛物线”． （1）点A（3，4）的“衍生点”是__________ ；抛物线l：y＝x2+3x﹣2的“派生抛物线”是______________ ； （2）已知点A（x，y）在抛物线C1：y＝x2+bx+c图象上，点A的“衍生点”为点B（﹣2，2）．该抛物线的“派生抛物线”C2的顶点为（m，n）．当0≤c≤4时，求n的取值范围； （3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝_______ ． 【练习 2】（2026•萨尔图区校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当自变量x的取值范围为p≤x≤q（p＜q）时，对应的函数值y的取值范围也恰好是p≤y≤q，我们称p≤x≤q为该二次函数的“保值范围”．若二次函数y＝x2﹣2x+m存在“保值范围”p≤x≤q，且p＜1＜q，则实数m的取值范围是__________ ． 【练习 3】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为____________________ ． 【练习 4】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为___________ ． 【练习 5】（2026•闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为__________ ． 💯 课后巩固 复习建议 a定开口 顶点式直读 公式求对称轴 平移规律 对称点比较 【作业 1】（2025秋•渝中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0 C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0 【作业 2】（2025秋•沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【作业 3】（2026春•南通期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y的值 … ﹣22 ﹣7 2 5 2 … 当x＝3时，函数y的值是（　　） A．2 B．5 C．﹣7 D．﹣22 【作业 4】（2025秋•临高县期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【作业 5】（2026•鸠江区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【作业 6】（2025秋•虹口区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是________ ． 【作业 7】（2025秋•长春期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 … 则该二次函数图象与x轴除（﹣1，0）外的交点坐标是__________ ． 【作业 8】（2026•沛县模拟）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________ ． 【作业 9】（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 ____________________ ． 【作业 10】（2024秋•浦东新区期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1_____ y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【作业 11】（2026•阳谷县校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2． （1）求函数图象的顶点； （2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值； （3）若y1≥y2，求y1的最小值． 【作业 12】（2025秋•浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【作业 13】（2025秋•龙湾区期中）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线x＝2，求b的值． （2）若该函数解析式可以写成y＝﹣（x﹣h）2+1，求证：c+b2＝1． （3）设m＞0，n＞0，在（2）的条件下，当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值． 【作业 14】（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式___________________ ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 二次函数的图像及性质 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 二次函数概念 y=ax2 顶点式 一般式 比较函数值 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数概念 y=ax2+bx+c(a≠0) a≠0是关键 概念辨析例题：y=(m-1)x2是二次函数 解析：二次项不为0 ☆ 2.y=ax² 顶点(0,0)对称轴y轴 a>0向上|a|大开口小 概念辨析例题：y=2x2开口 解析：a>0 ☆ 3.顶点式 y=a(x+m)2+h顶点(-m,h) 左加右减上加下减 概念辨析例题：y=2(x-1)2+3顶点 解析：顶点式直读 ☆ 4.一般式 对称轴x=- 顶点(-,) 概念辨析例题：y=x2-4x+5对称轴 解析：x=-=2 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 a≠0 最高次2 y=ax2 顶点原点 a定方向 顶点式 y=a(x-h)2+k 直读顶点 一般式 x=- 公式求对称轴 平移 左加右减上加下减 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数定义（共4题） a≠0 1．（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合y＝ax2+bx+c（a≠0，整式函数）的特征． 【解答】解：A、不是整式，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意； C、y是二次函数，故此选项符合题意； D、不是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），并能据此判断函数类型． 2．（2024秋•内黄县期末）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝x2+5 D．y＝2x﹣7 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，则A不符合题意； y不符合二次函数的定义，则B不符合题意； y＝x2+5符合二次函数的定义，则C符合题意； y＝2x﹣7不符合二次函数的定义，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2025秋•香洲区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　 ． 【分析】根据二次函数的定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2026•七星关区校级模拟）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　0　 ． 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， 根据二次函数的定义， 得， 解方程k2﹣3k+2＝2， 解得k＝0或k＝3． 由k﹣3≠0得k≠3， 因此k＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2】y=ax²性质（共5题） 顶点原点对称轴y轴 5．（2026•汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）　 ． 【分析】三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【解答】解：∵三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式， ∴二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， 故答案为：顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（2026•芜湖模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a， 消去y得，ax2+a＝0， ∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令ax2+bx＝0， 解得：x1＝0，， ∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2025•浦东新区校级模拟）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝3x2 D．y＝﹣3x2 【分析】根据正比例函数y＝kx，k＜0时，y随x的增大而减小，k＞0时，y随x的增大而增大，二次函数y＝ax2（a≠0），a＞0时，开口向上，在x＜0上，y随x的增大而减小，在x＞0上，y随x的增大而增大，a＜0时，开口向下，在x＜0上，y随x的增大而增大，在x＞0上，y随x的增大而减小，解答即可． 【解答】解：A、正比例函数y＝3x的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数y＝﹣3x的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数y＝3x2的对称轴为x＝0，且开口向上，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数y＝﹣3x2的对称轴为x＝0，且开口向下，x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，掌握以上性质是解题的关键． 8．（2025秋•江门期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 　　 ． 【分析】根据顶点为（﹣3，2），可设该抛物线的顶点式，即y＝a（x+3）2+2，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，从而可以得到该抛物线的解析式． 【解答】解：∵该抛物线的顶点为（﹣3，2）， ∴设此抛物线解析式为y＝a（x+3）2+2， ∵抛物线y＝a（x+3）2+2的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 9．（2025秋•吴兴区期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+7． （1）将y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣b）2+k的形式； （2）若不同两点A（m，4），B（n，4）均在抛物线上，求m+n的值． 【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令y＝4得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2﹣4+7＝（x﹣2）2+3，即y＝（x﹣2）2+3， 即将y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣b）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+3； （2）令y＝4，则4＝x2﹣4x+7， ∵不同两点A（m，4），B（n，4）均在抛物线上， ∴m、n是方程4＝x2﹣4x+7的根，即m、n是方程x2﹣4x+3＝0的根， ∴m+n＝4， 即m+n的值为4． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数的三种形式，灵活运用相关知识是解题的关键． 【考点3】顶点式（共11题） 直读顶点 平移规律 10．（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【分析】根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点， ∴抛物线开口向上， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟记当二次项系数大于零时，抛物线开口向上是解题的关键． 11．（2025秋•南宫市期末）设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， 而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（1，y2）点离直线x＝﹣1最近， ∴y2＞y3＞y1． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 12．（2025秋•新华区校级期末）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先确定对称轴，对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，即抛物线在4≤x1≤2a+3上的函数值均小于，通过分析抛物线性质，从而解得a的范围，再求整数解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点， ∵y＝ax2﹣6a2x＝a（x﹣3a）2﹣9a3，开口向上， 对称轴为直线x3a， ∵x2＝5a， ∴， 根据对称性判断当x＝a时，y＝﹣5a3， ∴对于4≤x1≤2a+3，， 即， 解得1＜a＜4， ∵a为整数且a＞0， ∴a＝3或2， ∴若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．（2025秋•泸州期末）已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数．y＝x2+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【解答】解：当x＝﹣1时，， 当x＝2时，， 当x＝3时，， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 14．（2025秋•江津区期末）已知点（﹣2，y1），（4，y2），（1，y3）都在函数y＝x2+3x+5的图象上，请将y1，y2，y3按从大到小的顺序排列 y2＞y3＞y1 ． 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴，根据函数的性质得出图象的开口向上，当x时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【解答】解：∵y＝x2+3x+5， ∴函数图象的对称轴是直线x，图象的开口向上， ∴当x时，y随x的增大而增大， ∵点（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y1），且﹣1＜1＜4， ∴y2＞y3＞y1， 故答案为：y2＞y3＞y1． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 15．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为m＜﹣1　 ． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m且a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 16．（2025秋•金湾区期末）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 .（用“＜”连接）． 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据x＜3时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3， A（4，y3）关于直线x＝3的对称点是（2，y3）， ∵﹣1＜1＜2＜3， 在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴y1＜y2＜y3， 故答案为：y1＜y2＜y3，． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 17．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先求出抛物线对称轴x＝2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，分别判断x1、x2到对称轴的距离长短，对比y1，y2大小， 【解答】解：y＝x2﹣4x+2，对称轴x2， ∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上， 1＜x1＜2，x1到对称轴距离：0＜|x1﹣2|＜1， 3＜x2＜4，x2到对称轴距离：1＜|x2﹣2|＜2， x2离对称轴更远，函数值更大，故y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查二次函数对称轴、开口方向与函数值大小比较，熟练掌握抛物线上点到对称轴距离和函数值的变化规律是解题的关键． 18．（2025•徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把B点坐标代入求出a，从而确定抛物线解析式； （2）先利用抛物线解析式确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣2x+5，则可确定直线AC与y轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD进行计算即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3， 把B（0，2）代入得2＝a（0﹣1）2+3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3； （2）把抛C（3，t）代入y＝﹣（x﹣1）2+3得t＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1， ∴C（3，﹣1）， 延长CA交y轴于D点，如图， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（1，3），C（3，﹣1）分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+5， 当x＝0时，y＝﹣2x+5＝5， ∴D（0，5）， ∴S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD（5﹣2）×3（5﹣2）×1＝3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，求它的顶点坐标． 【分析】利用配方法或公式法求二次函数图象的顶点坐标． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3， ∴y＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点坐标为（﹣1，4）． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式，配方法是解答本题的关键． 20．（2026•漳州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）． （1）求a与b之间关系； （2）已知二次函数的y＝ax2+bx+4最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）由点A（2，t），B（3，t）在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到x1+x2＝5，代入等式左边和右边即可判断． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象的对称轴为， ， ， ∴； （2）①由（1）可得b＝﹣5a， ∴， 则函数图象的顶点坐标为． ∴a＞0，且， 解得a＝1，或a＝﹣26（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣5x+4． ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝x2﹣5x+4的图象上， ∴． 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称， 不妨设x1＜x2，则， ∴x1+x2＝5，即x1＝5﹣x2， ∴， ∴． 【点评】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【考点4】一般式（共14题） 对称轴公式 增减性 21．（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项错误； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＜b，正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ④由对称轴为直线x＝1， 1， ∴2a+b＝0，故此选项正确； ⑤∵x＝1时，y的值最大． 当m≠1的实数时a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞am2+bm，故此选项错误． 故②③④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 22．（2026•海州区二模）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4） 【分析】由抛物线的对称性求得对称轴为直线x＝0，即可得到0，即a2﹣4a＝0，求得a＝4，即可求得a﹣5＝﹣1，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 【解答】解：∵（﹣m，n）和（m，n）两点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线x0， ∴0，即a2﹣4a＝0， 解得a＝4或a＝0（舍去）， ∴a﹣5＝﹣1， ∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用对称轴公式求得a的值是解题的关键． 23．（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】根据抛物线的性质得：抛物线y＝﹣（x+1）2+m（m为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远， ∴y1最大，y3最小， ∴y3＜y2＜y1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 24．（2025秋•南关区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b；其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，即可判断②，把x＝﹣3代入二次函数的解析式，再根据图象及b＝2a即可判断③，当x＝﹣1时，y的值最小，可得am2+bm+c≥a﹣b+c，据此即可判断④． 【解答】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，故①正确，符合题意； ∵b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②正确，符合题意； ∵当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0， ∵b＝2a， ∴9a﹣6a+c＝0，即3a+c＝0，故③正确，符合题意； ∵当x＝﹣1时，y的值最小， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， ∴对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b，故④正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 25．（2026•西安校级一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3＝（x﹣m）2+2m+3， ∴图象开口向上，顶点为（m，2m+3），对称轴为直线x＝m， ∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴m． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键． 26．（2026春•渝中区校级期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1＜y2＜y3 ． 【分析】根据二次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣5， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其纵坐标约小． 因为点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣5的图象上， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1且3＞2＞1， 所以y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 27．（2025•邗江区三模）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 m≥4　 ． 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤2时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴直线x2，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴直线x2，即2 解得m≥4． 故答案为：m≥4． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 28．（2025秋•包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是k　 ． 【分析】根据抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，可知二次函数的开口向下，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降， ∴抛物线开口向下， ∴2k﹣1＜0， 解得k． 故答案为：k． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解答此题的关键． 29．（2024秋•东湖区校级期末）把二次函数y＝x2﹣4x+7化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝（x﹣2）2+3　 ． 【分析】利用配方法解答即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+7 ＝x2﹣4x+4+3 ＝（x﹣2）2+3． 故答案为：y＝（x﹣2）2+3． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键． 30．（2025秋•松滋市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　2　 ． 【分析】先依据配方法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到BD＝AC，然后确定出AC的最小值即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（2，2）， ∴当x＝2时，y有最小值2， ∴AC的最小值为2． ∵AC，BD是矩形ABCD的对角线， ∴BD＝AC， ∴BD的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得AC的最小值是解题的关键． 31．（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0），若A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上． （1）若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2． （2）若，x2＝2a+1，x1≠x2，存在y1＝y2，求a的取值范围． 【分析】（1）当a＜0时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线x＝2，根据题意推出x1到对称轴的距离比x2到对称轴的距离小即可解答； （2）根据y1＝y2，可得x1＝x2或x1+x2＝4，代入不等式即可解答． 【解答】解：（1）证明：抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）的对称轴为直线x2， ∵x1+x2＞4， ∴x2﹣2＞2﹣x1， ∵x1＜2＜x2， ∴x2﹣2为B（x2，y2）到抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）对称轴直线x＝2的距离， 2﹣x1为A（x1，y1）到抛物线对称轴直线x＝2的距离， ∵a＜0， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ∴y1＞y2； （2）∵y1＝y2 ∴x1＝x2或， 当x1＝x2时，x1＝x2＝2a+1， ∴a＜2a+1a， ∴不等式组无解，并且x1≠x2，舍去； 当时，即x1+x2＝4， ∴x1＝4﹣x2＝4﹣（2a+1）＝3﹣2a， ∴a＜3﹣2aa， ∴不等式组的解集为a＜2且a≠0， 综上，a＜2且a≠0． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 32．已知二次函数，解答下列问题： （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）； （2）判断点（﹣2，﹣4）是否在这个函数图象上，说明理由； （3）观察图象，直接写出当y＝8时对应的函数图象上的点的坐标． 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入y＝8即可求出坐标． 【解答】解：（1）这个函数图象的另一部分如图所示； （2）点（﹣2，﹣4）不在这个函数图象上；理由如下： 当x＝﹣2时，y2， ∴点（﹣2，﹣4）不在这个函数图象上； （3）当y＝8时，8， ∴x＝±4 ∴y＝8时，对应的函数图象上的点的坐标为：（4，8）和（﹣4，8） 【点评】本题考查了二次函数的图象，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 33．（2026•蚌埠模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＞0），a，b满足2a+b＝0，抛物线的最低点纵坐标为p． （1）若p＝﹣5，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知（m，n）是该抛物线上的一点： ①若n＝16a+p，求m的值； ②点A（m+t，n+t）与点B（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，求的值． 【分析】（1）先根据已知求出抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的最低点纵坐标为p，且p＝﹣5，即可得出答案； （2）①由（1）可知该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+p，将（m，n）代入得n＝a（m﹣1）2+p，结合n＝16a+p，得出方程求解即可； ②将A（m+t，n+t），B（2﹣m+t，n﹣2t）代入y＝a（x﹣1）2+p，得到n+t＝a（m+t﹣1）2+p，n﹣2t＝a（2﹣m+t﹣1）2+p，消去n和p，得到，再结合n＝a（m﹣1）2+p，n+t＝a（m+t﹣1）2+p，消去n和p，得到2a（m﹣1）+at＝1，可求得2at＝﹣1，再计算即可． 【解答】解：（1）∵2a+b＝0， ∴b＝﹣2a， ∴对称轴为直线， 又∵最低点纵坐标为p，且p＝﹣5， ∴顶点坐标为（1，﹣5）； （2）①由（1）可知该抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+p， ∵（m，n）在函数y＝a（x﹣1）2+p的图象上， ∴n＝a（m﹣1）2+p， 又∵n＝16a+p，a＞0， ∴16a+p＝a（m﹣1）2+p， 整理，得（m﹣1）2＝16， 解得m1＝5，m2＝﹣3； ②∵点A（m+t，n+t）和点B（2﹣m+t，n﹣2t）都在函数y＝a（x﹣1）2+p的图象上， ∴n+t＝a（m+t﹣1）2+p，n﹣2t＝a（2﹣m+t﹣1）2+p， 两式相减，得3t＝a（m+t﹣1）2﹣a（2﹣m+t﹣1）2， 化简，得3t＝4at（m﹣1）， ∵t≠0， ∴， ∵（m，n）在函数y＝a（x﹣1）2+p的图象上， ∴n＝a（m﹣1）2+p， 又∵n+t＝a（m+t﹣1）2+p， 两式相减，得t＝at（2m+t﹣2）， ∵t≠0， ∴2a（m﹣1）+at＝1， ∴， ∴， ∴2at＝﹣1， ∴． ∴点A（m+t，n+t）与点B（2﹣m+t，n﹣2t）（t≠0）也在该函数图象上，则． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 34．（2026•广州校级模拟）我们约定：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；我们发现：若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，那么我们称抛物线C2是抛物线C1的“派生抛物线”． （1）点A（3，4）的“衍生点”是　（3，7）　 ；抛物线l：y＝x2+3x﹣2的“派生抛物线”是y＝x2+4x﹣2　 ； （2）已知点A（x，y）在抛物线C1：y＝x2+bx+c图象上，点A的“衍生点”为点B（﹣2，2）．该抛物线的“派生抛物线”C2的顶点为（m，n）．当0≤c≤4时，求n的取值范围； （3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 【分析】（1）根据“衍生点”和“派生抛物线”的定义即可求解； （2）根据点A（x，y）的“衍生点”为点B（﹣2，2）．求得y＝4，进而可得c＝2b，根据“派生抛物线”的定义得C2的方程为y＝x2+（b+1）x+2b，求得，即进而可得，根据二次函数的性质，即可得出n的取值范围； （3）若t＜0，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有y1＜y2，与y1＞y2矛盾，舍去；若t＞0，符合题意，由题意得到，结合4＜x3＜5，据此求解即可． 【解答】解：（1）若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”； 根据“衍生点”定义，点A（3，4）的“衍生点”坐标为：横坐标不变为3， 纵坐标为3+4＝7， 故“衍生点”为：（3，7）； 原抛物线y＝x2+3x﹣2， 设其上任意点A的坐标为（a，a2+3a﹣2），其“衍生点”B的坐标为（a，a+a2+3a﹣2），即（a，a2+4a﹣2）， ∴“派生抛物线”的解析式为y＝x2+4x﹣2； 故答案为：（3，7），y＝x2+4x﹣2； （2）∵点A（x，y）的“衍生点”为点B（﹣2，2）． ∴x＝﹣2，x+y＝2， ∴y＝4， ∴点A（﹣2，4）， 代入抛物线C1：y＝x2+bx+c， 得4＝4﹣2b+c， ∴c＝2b， ∴C1：y＝x2+bx+2b， 设C1上点A（m，n）：n＝m2+bm+2b，“衍生点”为点B（x，y）＝（m，m+n）， 则x＝m，y＝m+n， ∴y＝m+m2+bm+2b＝x2+（b+1）x+2b， C2：y＝x2+（b+1）x+2b，顶点纵坐标为， 由c＝2b，0≤c≤4， 得0≤2b≤4， ∴0≤b≤2， 当b＝0时，n的最小值为， 当b＝2时，n的最大值为， 故n的取值范围为． （3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上， 原抛物线C1：y＝tx2﹣（2t2+1）x+1， 设A（m，n）在C1，则n＝tm2﹣（2t2+1）m+1， “衍生点”P（x3，y3）＝（m，m+n），即x3＝m，y3＝m+n， ， “派生抛物线”C2：y＝tx2﹣2t2x+1，对称轴为， M（t﹣4，y1）和N（t+2，y2）横坐标到对称轴x＝t的距离为：|t﹣4﹣t|＝4，|t+2﹣t|＝2， 当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，分情况讨论： 若t＞0，抛物线开口向上：离对称轴越远函数值越大，y1＞y2符合距离4＞2； y1＞y3＞y2等价于x3到对称轴距离在2和4之间，2＜|x3﹣t|＜4，4＜x3＜5， ∴， 对于|x3﹣t|＜4，即t﹣4＜x3＜t+4，对所有4＜x3＜5成立， ∴，解得1≤t≤8； 对于|x3﹣t|＞2，即x3＞t+2或x3＜t﹣2，对所有4＜x3＜5成立， 若x3＞t+2，即t+2≤4，解得t≤2； 若x3＜t﹣2，即t﹣2≥5，解得t≥7； 结合t＞0与1≤t≤8，得1≤t≤2或7≤t≤8． 若t＜0，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有y1＜y2，与y1＞y2矛盾，舍去； 综上，t的取值范围为1≤t≤2或7≤t≤8． 【点评】本题考查二次函数与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　﹣3　 ． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：如果函数是关于x的二次函数， 由题意，可得 ， 解方程k2﹣7＝2，得k2＝9， 解得k＝3或k＝﹣3； 由k﹣3≠0，得k≠3， 故k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查二次函数的定义，正确进行计算是解题关键． 【练习 2】（2026•萨尔图区校级模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当自变量x的取值范围为p≤x≤q（p＜q）时，对应的函数值y的取值范围也恰好是p≤y≤q，我们称p≤x≤q为该二次函数的“保值范围”．若二次函数y＝x2﹣2x+m存在“保值范围”p≤x≤q，且p＜1＜q，则实数m的取值范围是　0≤m＜2　 ． 【分析】先得到二次函数的顶点坐标为（1，m﹣1），结合条件可知最小值可取到顶点处，再根据二次函数的性质和最值解题． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，顶点坐标为（1，m﹣1）； ∴当p＜1＜q且p≤x≤q时，二次函数的最小值为m﹣1， ∵函数y＝x2﹣2x+m存在“保值范围”p≤x≤q， ∴p≤y≤q， ∴p＝m﹣1； 则或， 对于，则p2﹣2p+m≤q2﹣2q+m， 整理得：（p﹣q）（p+q﹣2）≤0， ∵p＜1＜q， ∴p﹣q＜0，q﹣1＞0， 此情况对应p+q﹣2≥0， 由q2﹣2q+m＝q及p＝m﹣1，可得p＝﹣q2+3q﹣1， ∴（﹣q2+3q﹣1）+q﹣2≥0， 即（q﹣1）（q﹣3）≤0， 由于q﹣1＞0，则q﹣3≤0， ∴q≤3， ∵p＜1＜q， ∴1＜q≤3； ∴， ∴， 又∵p＜1， ∴m﹣1＜1，即m＜2， 故此情况下0≤m＜2； 对于，则（q﹣p）（q+p﹣2）≤0， ∵p＜1＜q， 此情况对应p+q﹣2≤0， 由p2﹣2p+m＝q及p＝m﹣1，得p2﹣p+1＝q， ∴p2﹣p+1＞1， ∴p2﹣p＞0， ∴p（p﹣1）＞0， ∵p＜1，即p﹣1＜0， ∴p＜0， ∵p+q﹣2≤0， ∴p+p2﹣p+1﹣2≤0， 解得﹣1≤p≤1， 又∵p＜0， ∴﹣1≤p＜0，即﹣1≤m﹣1＜0， 则0≤m＜1； 综上所述，合并两种情况的范围，可得0≤m＜2． 故答案为：0≤m＜2． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 【练习 3】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为yx2或yx2．　 ． 【分析】根据题意求出这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5），然后分别把坐标代入解析式得出a即可． 【解答】解：根据题意知，这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5） 把（3，5）代入y＝ax2，得9a＝5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 把（3，﹣5）代入y＝ax2，得9a＝﹣5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 综上所述，二次函数的解析式是yx2或yx2． 故答案为：yx2或yx2． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是根据题意得到抛物线上这一点的坐标． 【练习 4】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　3≤y＜11　 ． 【分析】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围． 【解答】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值3， 当x＝﹣1时，y＝11， ∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11． 故答案为：3≤y＜11． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键． 【练习 5】（2026•闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　直线x＝0　 ． 【分析】根据题意可得，然后即可得到a+c＝0，b＝0，再求出二次函数的对称轴即可． 【解答】解：由题意可得， ， 由上可得a+c＝0，b＝0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x0， 故答案为：直线x＝0． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、新定义，解答本题的关键是明确二次函数图象的对称轴公式． 💯 课后巩固 复习建议 a定开口 顶点式直读 公式求对称轴 平移规律 对称点比较 【作业 1】（2025秋•渝中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a+2b+c＜0 C．2a﹣b＝0 D．当x＞2时，y＞0 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示， 根据二次函数图象可知，开口向上， 则a＞0， 由于该函数图象与y轴负半轴有交点， 则c＜0， 由图可知，对称轴为直线x1＞0， 则b＝﹣2a＜0， 故abc＞0，故A错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a﹣b＝4a＞0，故C错误； 由图象可知，当x＝2时，对应的函数值在x轴下方， 则4a+2b+c＜0， 故B正确， 根据图片可知，当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0， 所以D错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业 3】（2026春•南通期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x的值 … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y的值 … ﹣22 ﹣7 2 5 2 … 当x＝3时，函数y的值是（　　） A．2 B．5 C．﹣7 D．﹣22 【分析】根据题意，先确定二次函数的对称轴，再根据对称性质得到结果． 【解答】解：由表格可知纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵x＝3关于直线x＝1的对称点为x＝﹣1， 由表格得x＝﹣1时，y＝﹣7， ∴当x＝3时，y＝﹣7． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 4】（2025秋•临高县期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出二次函数函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键． 【作业 5】（2026•鸠江区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得a＜0，c＞0，可知一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c，然后结合图象可得y＝a+2a+c＝3a+c＜0，最后根据一次函数y＝ax+c，当x＝3时，y＝3a+c＜0判断即可． 【解答】解：由条件可知a＜0．c＞0， ∴一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴b＝﹣2a，即二次函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c． 当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c＜0． 对于一次函数y＝ax+c，当x＝3时，y＝3a+c＜0， 所以图象D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 6】（2025秋•虹口区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是a＜1　 ． 【分析】利用二次函数的图象及性质，列不等式求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下， ∴a﹣1＜0， 解得：a＜1． 故答案为：a＜1． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．”是解题的关键． 【作业 7】（2025秋•长春期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 … 则该二次函数图象与x轴除（﹣1，0）外的交点坐标是　（4，0）　 ． 【分析】根据所给表格中的数据，得出抛物线的对称轴，据此求出抛物线与x轴的另一个交点坐标即可． 【解答】解：由所给表格可知， 当x＝1和x＝2时，函数值都是﹣6， 所以抛物线的对称轴为直线x． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 则， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）． 故答案为：（4，0）． 【点评】本题主要考查了二次函数图象、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业 8】（2026•沛县模拟）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　3≤k＜4　 ． 【分析】由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，求得直线与抛物线相切时和直线过点（3，0）时的k的值，结合图象即可求得． 【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点， 令y＝﹣x2+3x＝0，解得x＝0或3， ∴二次函数y＝﹣x2+3x的图象与x轴的交点为（0，0），（3，0）， 令﹣x2+3x＝k﹣x， 方程整理得x2﹣4x+k＝0， 当直线y＝k﹣x与抛物线相切时，Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0， 解得k＝4， 当直线过点（3，0）时，0＝k﹣3， 解得k＝3， ∴若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为3≤k＜4． 故答案为：3≤k＜4． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键． 【作业 9】（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 　k　 ． 【分析】根据顶点纵坐标为求得a＝2，即可求得抛物线为y＝2x2+2x﹣4，然后令y，解方程求得x或x，令y，解方程求得x或x，根据抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为，即可得k． 【解答】解：如图： ∵y＝ax2+ax﹣4＝a（x）24， ∴抛物线的顶点为（，4）， ∵顶点纵坐标为， ∴4， ∴a＝2， ∴y＝2x2+2x﹣4， 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴K（，），T（，） 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴R（，），S（，）， ∵抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为， ∴Q在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴k． 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【作业 10】（2024秋•浦东新区期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），且1＜2＜3， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业 11】（2026•阳谷县校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）都在该函数的图象上，且x1+x2＝2． （1）求函数图象的顶点； （2）若点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等，求m的值； （3）若y1≥y2，求y1的最小值． 【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）根据题意，列出方程，化简后将x1+x2＝2代入即可求解； （3）根据题意，由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上，根据二次函数的增减性即可求解． 【解答】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数图象的顶点为（2，﹣9）． （2）∵点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）与直线x＝m的距离恒相等， ∴|x1﹣m|＝|x2﹣m|， ∴（x1﹣m）2＝（x2﹣m）2， 化简得（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2m]＝0， 又∵x1+x2＝2，x1≠x2， ∴m＝1． 故m的值为1． （3）∵y1≥y2， 由（1）（2）可得，P1在直线x＝1的左侧，P2在直线x＝1的右侧或重合在直线x＝1上， ∴x1≤1， ∵y1随x1的增大而减小， ∴当x1＝1时，y1的最小值为﹣8． 故y1≥y2时，y1的最小值为﹣8． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数的性质及二次函数上点的坐标特征． 【作业 12】（2025秋•浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1 ＝2（x﹣1）2﹣1， ∴y＝2（x﹣1）2﹣1， ∴二次函数y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝2（x﹣1）2﹣1． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的三种形式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 13】（2025秋•龙湾区期中）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线x＝2，求b的值． （2）若该函数解析式可以写成y＝﹣（x﹣h）2+1，求证：c+b2＝1． （3）设m＞0，n＞0，在（2）的条件下，当h﹣n≤x≤h+m时，函数的最大值与最小值差为10，求m+n的最大值． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可； （2）先将函数解析式展开，得到﹣x2+2hx﹣h2+1＝﹣x2+2bx+c，从而得到b＝h，c＝﹣h2+1，即可得出结论； （3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为﹣9，解出，，得到，，从而得出结果． 【解答】（1）解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2bx+c（b，c为常数）， ∴对称轴为直线xb， ∵函数图象对称轴为直线x＝2， ∴b＝2； （2）证明：∵y＝﹣（x﹣h）2+1＝﹣x2+2hx﹣h2+1＝﹣x2+2bx+c， ∴b＝h，c＝﹣h2+1， ∴b2＝h2， ∴c＝﹣b2+1， ∴c+b2＝1； （3）解：∵y＝﹣（x﹣h）2+1，m＞0，n＞0，h﹣n≤x≤h+m， ∴当x＝h时，函数最大值为1， ∵函数的最大值与最小值差为10， ∴函数最小值为﹣9， ∴﹣9＝﹣（x﹣h）2+1， ∴（x﹣h）2＝10， ∴，， ∵h﹣n≤x≤h+m， ∴，，且两个等号至少有一个可取， ∴，， ∴m+n的最大值为． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识为解题关键． 【作业 14】（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式y＝ax2+4ax+4a﹣3　 ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据题意可得方程4a﹣3＝﹣1，求出a的值即可求函数解析式； （3）根据对称轴和范围的位置关系分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a＞0）的“孪生抛物线”为C2， ∴y＝ax2+4ax+4a﹣3； 故答案为：y＝ax2+4ax+4a﹣3； （2）当x＝0时，y＝4a﹣3， ∴E（0，4a﹣3）， ∵E（0，﹣1）， ∴4a﹣3＝﹣1， 解得a， ∴yx2+2x﹣1； （3）∵C2的解析式为y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3； 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ，当a﹣4＜﹣2＜a﹣2时，0＜a＜2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3； 函数的最小值为﹣3． ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a＝2或a＝2（舍）或a＝0（舍）； 当1＜a＜2时，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为﹣3． ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a或a（舍）或a＝0（舍）； II，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3， ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）或a＝0（舍）； III，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去． 综上，a的值为2或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $