第7讲 一元二次方程应用8类必考题 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第7讲 一元二次方程应用8类必考题 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 列方程解应用题 八类题型 增长率销售 面积动态 检验合理性 📚 知识梳理 ☆ 1.列方程步骤 审题设未知数列解方程验根 找等量关系是关键 概念辨析例题：列方程第一步 解析：审题是关键 ☆ 2.八类题型 数字问题 传播问题(1+x)2 单循环n(n-1) 双循环n(n-1) 增长率a(1+x)2=b 销售利润 面积问题 动态几何 概念辨析例题：两轮传染共25人方程 解析：每轮传染 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 传播 (1+x)2 两轮 单循环 n(n-1) 一场 双循环 n(n-1) 两场 增长率 a(1+x)2=b 连续两次 销售 每件利润×销量 注意单价关系 面积 平移道路 注意扣除 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字问题（共6题） 两位数=10a+b 1．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 2．（2025秋•安定区期末）方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2、3、1 B．2、﹣3、1 C．2、3、﹣1 D．2、﹣3、﹣1 3．（2025秋•温江区校级期末）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4＝0的一个实根小于2，一个实根大于3，则实数a的取值范围是__________ ． 4．（2024秋•清原县期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（　　） A．6 B．7 C．14 D．16 5．（2023秋•陇县期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 6．（2024秋•永寿县校级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【考点2】传播问题（共7题） (1+x)2=总数 7．（2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 8．（2024秋•北碚区校级期中）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出2x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1+x+（2x）2＝68 B．1+（1+2x）2＝68 C．1+x+2x2＝68 D．x+（1+2x）2＝68 9．（2024秋•武鸣区期中）近期爆发的流感，叫甲型H1N1流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 10．（2026春•利津县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 _______ 小分支． 11．（2025秋•新安县期中）网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 _____ ． 12．（2025秋•平塘县期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 13．（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【考点3】单循环（共6题） n(n-1) 14．（2025秋•遂宁校级月考）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（　　） A．x（ x﹣1）＝36 B．x（ x+1）＝36 C．x（ x﹣1）＝36 D．x（ x+1）＝36 15．（2025春•长兴县期中）龙山中学第二届“龍BA”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝60 B．x（x+1）＝60 C．2x（x﹣1）＝60 D． 16．（2024秋•太平区期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 _____ ． 17．（2025秋•新化县期中）某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为 ____________________ ． 18．（2026秋•单元）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，这次到会的人数是多少？ 19．（2024•开平市模拟）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 【考点4】双循环（共6题） n(n-1) 20．（2026•禄丰市二模）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 21．（2026•东莞市校级二模）在一次足球联赛中，每个队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队，如果小组中有x支球队，共比赛了90场，那么列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1） C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90 22．（2024秋•鄂温克族自治旗期末）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，则参赛队伍有 _______ 支． 23．（2024秋•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 ______________ ． 24．（2024秋•同步）（1）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一场，结果共进行了45场比赛，问这个学校八年级共有几个班级？ （2）八年级某班一个小组同学在春节期间互寄贺卡，每人向小组里的其他同学寄一张贺卡全组互寄的贺卡共计90张，问该小组有多少人？ 25．（2024•韩城市模拟）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 【考点5】增长率（共7题） a(1+x)2=b 26．（2026•贺州模拟）在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为x，则可列方程为（　　） A．60（1+x）2＝90 B．60（1+x2）＝90 C．90（1﹣x）2＝60 D．90（1﹣x2）＝60 27．（2026春•怀远县期末）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约6.94万人增加到约8.14万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　） A．6.94（1+x）＝8.14 B．6.94（1+2x）＝8.14 C．6.94（1﹣x）2＝8.14 D．6.94（1+x）2＝8.14 28．（2025秋•九龙坡区期末）某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为________ ． 29．（2025秋•吴中区期中）某款汽车价格由2024年8月份29万元/辆下降到10月份的23.49万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为 ___________________ ． 30．（2025春•嘉定区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 __________________ ． 31．（2026春•舒城县期末）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 32．（2026秋•单元）某养鱼户经营池塘养鱼已3年，第一年春季放养鱼苗20000尾，成活率约为70%，秋季捕捞前随意捞出10尾鱼，称得质量如下（单位：kg）：0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、0.9、1.1、1.0、1.2、0.8． （1）根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是多少kg； （2）第一年秋季把这池塘中的鱼全部捞出卖掉，售价为4元/kg．除去当年投资成本16000元，求第一年的纯收入； （3）该养鱼户每年春季放养鱼苗，秋季捕捞后全部卖出，已知这3年的纯收入为132400元，求第二年与第三年纯收入的平均年增长率． 【考点6】销售问题（共8题） 每件利润×总销量 33．（2024春•海阳市期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 34．（2024•祁县模拟）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低x元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5000元，则可列方程为（　　） A．（60﹣40+x）（300+20x）＝5000 B．（60﹣40+x）（300﹣20x）＝5000 C．（60﹣40﹣x）（300﹣20x）＝5000 D．（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000 35．（2024秋•邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为________ ． 36．（2024•广东一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 _______ 元． 37．（2026•兖州区二模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：y＝﹣10x+1200． （1）求一盒果篮的成本（成本＝进价+包装费）； （2）若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 38．（2026春•高新区校级期末）某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 39．（2026春•新余校级同步）春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元． （1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ （2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 40．（2026•曲靖模拟）5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G产品充满期待．华为集团计划2020年元月开始销售一款5G产品．根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化．若该产品第x个月（x为正整数）销售价格为y元/台，y与x满足如图所示的一次函数关系：且第x个月的销售数量p（万台）与x的关系为p＝x+1． （1）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？ （2）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m元推广费用，当6≤x≤8时销售利润最大值为22500万元时，求m的值． 【考点7】面积问题（共4题） 平移法 41．（2025秋•湄潭县期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 42．（2026秋•同步）如图，某小区要在小区内墙边的空地上修建一个长方形的儿童游乐场，游乐场的一面靠墙（墙长22m），另外三面用90m长的铁栅栏围起来．若所围成的游乐场的面积为700m2，求这个长方形游乐场的长和宽． 43．（2025秋•襄州区月考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长72m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若矩形车棚ABCD的面积为285m2，试求出自行车车棚的长BC和宽AB； （2）请问能围成面积为450m2的矩形车棚ABCD吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 44．（2025秋•钟山区期中）《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长80cm的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为xcm，则另一个正方形配件的周长为___________ cm（请用含x的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于100cm2，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 【考点8】动态几何（共3题） 设t列方程 45．（2025秋•新疆期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 46．（2026春•合肥校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 47．（2024秋•惠阳区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts． （1）根据题意知：CE＝__________ ，CD＝_____________ ；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？ （3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 找等量关系 熟记八类公式 增长率平方 销售注意关系 检验实际意义 【作业 1】（2026•阳谷县校级模拟）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）＝480 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝480 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（30﹣x）（20﹣2x）＝480 【作业 2】（2026•隆林县校级模拟）某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100 【作业 3】（2025秋•汉川市期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．2x（x+1）＝1560 D．x（x﹣1）＝1560 【作业 4】（2026春•迎江区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 ___________________ ． 【作业 5】（2025秋•镇江期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为____________________ ． 【作业 6】（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有________ 个人患流感． 【作业 7】（2024秋•南昌期中）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【作业 8】（2023秋•东港区校级月考）小卜家庵子村养鸡专业户李明2021年的纯收入是6万元，预计2023年的纯收入是7.26万元． （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形养鸡场ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． ①当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的养鸡场？ ②养鸡场的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【作业 9】（2026秋•同步）某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果应涨价多少元？ （1）解法1：设每千克水果应涨价x元，由题意得方程：____________________ ； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程：____________________ ． （2）请你选择一种解法完成解答． 【作业 10】（2026春•蜀山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【作业 11】（2024秋•琼中县期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场ABCD，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，篱笆总长为33m，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若AB＝xm，则BC＝____________ m． （2）要使围成的养鸡场面积为150m2，则AB的长为多少？ 【作业 12】（2025秋•沙县区期中）综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长AB为35m，宽AD为15m． 信息2，扩建后的长AE最大为48m，宽AG最大为20m． 问题解决：（1）如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为800m2的新停车场，求新停车场的长与宽． （2）如图2，当BE＝3DG时，新停车场的面积可以为1000m2吗？请说明理由． 【作业 13】（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 一元二次方程应用8类必考题 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 列方程解应用题 八类题型 增长率销售 面积动态 检验合理性 📚 知识梳理 ☆ 1.列方程步骤 审题设未知数列解方程验根 找等量关系是关键 概念辨析例题：列方程第一步 解析：审题是关键 ☆ 2.八类题型 数字问题 传播问题(1+x)2 单循环n(n-1) 双循环n(n-1) 增长率a(1+x)2=b 销售利润 面积问题 动态几何 概念辨析例题：两轮传染共25人方程 解析：每轮传染 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 传播 (1+x)2 两轮 单循环 n(n-1) 一场 双循环 n(n-1) 两场 增长率 a(1+x)2=b 连续两次 销售 每件利润×销量 注意单价关系 面积 平移道路 注意扣除 ⚠️ 核心考点 【考点1】数字问题（共6题） 两位数=10a+b 1．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 【分析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【解答】解：个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得： 10（x﹣3）+x＝x2， 原方程可化为：x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，x﹣3＝2，两位数为25； 当x＝6时，x﹣3＝3，两位数为36； 答：这个两位数是25或36． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 2．（2025秋•安定区期末）方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2、3、1 B．2、﹣3、1 C．2、3、﹣1 D．2、﹣3、﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义来判断即可． 【解答】解：方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的系数，关键要掌握一元二次方程的定义． 3．（2025秋•温江区校级期末）已知方程x2﹣2ax+a2﹣4＝0的一个实根小于2，一个实根大于3，则实数a的取值范围是　1＜a＜4　 ． 【分析】将方程转化为开口向上的二次函数，“一个根小于2、一个根大于3”等价于x＝2和x＝3时函数值小于0，据此分别代入函数后解不等式，再找出同时满足两个条件的a的取值范围． 【解答】解：令y＝x2﹣2ax+a2﹣4，依据二次函数的性质作图如下： ∵二次项系数为1＞0， ∴函数图像开口向上， ∵方程一个实根小于2，一个实根大于3， ∴当x＝2或3时，y＜0， 将x＝2代入得：4﹣4a+a2﹣4＜0， 解得：0＜a＜4， 将x＝3代入得：9﹣6a+a2﹣4＜0， 解得：1＜a＜5， 综上所述，实数a的取值范围是1＜a＜4， 故答案为：1＜a＜4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的分布，解答本题的关键是将方程转化为开口向上的二次函数，利用二次函数的性质解答． 4．（2024秋•清原县期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（　　） A．6 B．7 C．14 D．16 【分析】设这个最大的数为x，则最小的数为（x﹣9），根据圈出的六个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，设这个最大的数为x，则最小的数为（x﹣9）， 依题意得：x（x﹣9）＝112， 解得：x1＝16，x2＝﹣7（不合题意，舍去）， 答：这个最大的数为16， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023秋•陇县期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x， 依题意得：x2＝10（x﹣3）+x， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， ∴x﹣3＝2或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 6．（2024秋•永寿县校级期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7， 依题意，得（x+7+x）2＝10（x+7）+x， 整理得：4x2+17x﹣21＝0， 解得：x1＝1，（舍去）， 所以，x＝1，x+7＝8． 答：这个两位数是81． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握用数位上的数字表示两位数的方法，充分理解“和的平方”． 【考点2】传播问题（共7题） (1+x)2=总数 7．（2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由每轮传染中平均1人传染x人，可得出第一、二轮被传染的人数，结合经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均1人传染x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（2024秋•北碚区校级期中）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出2x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．1+x+（2x）2＝68 B．1+（1+2x）2＝68 C．1+x+2x2＝68 D．x+（1+2x）2＝68 【分析】由枝干数及每个枝干又长出2x个小分支，可得出x个枝干上共长出2x2个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出2x个小分支， ∴x个枝干上共长出2x2个小分支． 根据题意得：1+x+2x2＝68． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（2024秋•武鸣区期中）近期爆发的流感，叫甲型H1N1流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 【分析】由每一轮传染中平均每人传染了x人，可得出第一轮及第二轮传染中被感染的人数，结合经过两轮传染后共有81人患了流感，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每一轮传染中平均每人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2026春•利津县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 　9个　 小分支． 【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91， 解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去）， ∴每个支干长出9个小分支． 故答案为：9个． 【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键． 11．（2025秋•新安县期中）网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 　9　 ． 【分析】由题意可知：第一轮传播，发给了n个人，第二轮传播，发给了n2个人，根据经过两轮传播后共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，可列出关于n的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：第一轮传播，发给了n个人，第二轮传播，发给了n2个人， ∴1+n+n2＝91， 整理得：n2+n﹣90＝0 解得：n1＝9，n2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴n的值为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2025秋•平塘县期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【分析】（1）根据两周后将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）由三人号召人数间的关系可得出小丽号召了（n+2）人、小红号召了（15﹣2n）人，根据小红的成功率比小颖的两倍少10%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值，再利用号召的成功率100%，即可求出他们三人号召的成功率． 【解答】解：（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121， 整理得：（1+m）2＝121， 解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）． 答：m的值为10． （2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人， ∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人． 依题意得：100%＝2100%﹣10%， 解得：n＝4， ∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%． 答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 13．（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【分析】（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1+8），即可求出结论． 【解答】解：（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：81×（1+8） ＝81×9 ＝729（人）， ∵729＞700， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点3】单循环（共6题） n(n-1) 14．（2025秋•遂宁校级月考）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，设有x个人参加酒会，根据题意，可列方程为（　　） A．x（ x﹣1）＝36 B．x（ x+1）＝36 C．x（ x﹣1）＝36 D．x（ x+1）＝36 【分析】利用碰杯的总次数＝参加酒会的人数×（参加酒会的人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得x（x﹣1）＝36． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2025春•长兴县期中）龙山中学第二届“龍BA”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝60 B．x（x+1）＝60 C．2x（x﹣1）＝60 D． 【分析】赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【解答】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛（x﹣1）场，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛， 由题意，得， 整理得：2x（x﹣1）＝60， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 16．（2024秋•太平区期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 　6　 ． 【分析】设八年级有x个班，利用比赛的总场次数＝八年级的班级数×（八年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出八年级共有6个班． 【解答】解：设八年级有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2025秋•新化县期中）某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为 　x（x﹣1）＝55　 ． 【分析】利用比赛的总场数＝该校九年级参赛班级数×（该校九年级参赛班级数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝55． 故答案为：x（x﹣1）＝55． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（2026秋•单元）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，这次到会的人数是多少？ 【分析】用每人握（x﹣1）次、再除以2消去重复计数“得到总次数，等于66列方程，再由人数为正舍去负根﹣11，得x＝12． 【解答】解：设这次到会的人数为x人， 每个人都要和其余（x﹣1）个人各握一次手， x个人共握手x（x﹣1）次， 但每次握手被参与的两人各计算了一次， 所以实际握手总次数为， 由题意：， 解得：x＝12或x＝﹣11，人数不能为负数， 舍去x＝﹣11， 答：所以这次到会的人数是12人． 【点评】本题主要考查了用一元二次方程解决握手（单循环）计数问题，理解每两人握一次手对应且正确消除重复计数是解题的关键．教学中要强调：直接算x（x﹣1）会把每一次握手算两遍，必须除以2；解方程后负根要结合实际意义舍去． 19．（2024•开平市模拟）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 【分析】设该校九年级共有x个班，利用比赛的总场数＝该校九年级的班数×（该校九年级的班数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该校九年级共有x个班， 根据题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该校九年级共有6个班． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点4】双循环（共6题） n(n-1) 20．（2026•禄丰市二模）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【解答】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 21．（2026•东莞市校级二模）在一次足球联赛中，每个队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队，如果小组中有x支球队，共比赛了90场，那么列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1） C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90 【分析】根据“每个队都要与同组的其他队比赛两场，且小组中有x支球队”，可得出每支球队都需比赛（x﹣1）场，再结合该小组共比赛了90场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每个队都要与同组的其他队比赛两场，且小组中有x支球队， ∴每支球队都需比赛（x﹣1）场， 又∵该小组共比赛了90场， ∴x（x﹣1）＝90． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（2024秋•鄂温克族自治旗期末）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，则参赛队伍有 　20　 支． 【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程． 【解答】解：设参赛队伍有x支，则 x（x﹣1）＝380． 解得x＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 23．（2024秋•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝90　 ． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝90． 故答案为：x（x﹣1）＝90． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2024秋•同步）（1）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一场，结果共进行了45场比赛，问这个学校八年级共有几个班级？ （2）八年级某班一个小组同学在春节期间互寄贺卡，每人向小组里的其他同学寄一张贺卡全组互寄的贺卡共计90张，问该小组有多少人？ 【分析】（1）设这个学校八年级共有x个班级，根据该校八年级共进行了45场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该小组有y人，则每人需寄出（y﹣1）张贺卡，根据该小组共互寄贺卡90张，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个学校八年级共有x个班级， 依题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：这个学校八年级共有10个班级． （2）设该小组有y人，则每人需寄出（y﹣1）张贺卡， 依题意得：y（y﹣1）＝90， 整理得：y2﹣y﹣90＝0， 解得：y1＝10，y2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：该小组有10人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（2024•韩城市模拟）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 【分析】设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言，利用全班写祝福留言的总条数＝全班人数×（全班人数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言， 根据题意得：x（x﹣1）＝1640， 整理得：x2﹣x﹣1640＝0， 解得：x1＝41，x2＝﹣40（不符合题意，舍去）． 答：九年级（1）班共有41名学生． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点5】增长率（共7题） a(1+x)2=b 26．（2026•贺州模拟）在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为x，则可列方程为（　　） A．60（1+x）2＝90 B．60（1+x2）＝90 C．90（1﹣x）2＝60 D．90（1﹣x2）＝60 【分析】利用经过两个学期的两次调整后每天作业平均时长＝原来每天作业平均时长×（1﹣这两次该校每天作业平均时长的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：90（1﹣x）2＝60． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．（2026春•怀远县期末）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约6.94万人增加到约8.14万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（　　） A．6.94（1+x）＝8.14 B．6.94（1+2x）＝8.14 C．6.94（1﹣x）2＝8.14 D．6.94（1+x）2＝8.14 【分析】利用2022年底全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数＝2020年底全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数×（1+全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：6.94（1+x）2＝8.14． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 28．（2025秋•九龙坡区期末）某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为　20%　 ． 【分析】设年平均增长率为x，根据增长问题模型，列出方程 300（1+x）2＝432，再解方程求出x，即可解题． 【解答】解：设年平均增长率为x， 依题意得：300（1+x）2＝432． 解得：x＝0.2（舍去负值）， ∴x＝0.2＝20%． 故答案为：20%． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 29．（2025秋•吴中区期中）某款汽车价格由2024年8月份29万元/辆下降到10月份的23.49万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为 　29（1﹣x）2＝23.49　 ． 【分析】利用该款汽车2024年10月份的价格＝该款汽车2024年8月份的价格×（1+月平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：29（1﹣x）2＝23.49． 故答案为：29（1﹣x）2＝23.49． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 30．（2025春•嘉定区期末）某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 　30（1﹣x）2＝24.3　 ． 【分析】利用连续两次降价后的售价＝原价×（1﹣每次平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：30（1﹣x）2＝24.3． 故答案为：30（1﹣x）2＝24.3． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（2026春•舒城县期末）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 【分析】（1）设这个降价率为x，利用每根跳绳经过两次降价后的价格＝每根跳绳的原价×（1﹣每次调价的降价率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每根跳绳应定价为y元，则每根跳绳的销售利润为（y﹣20），每月可销售（2500﹣50y）根，利用总利润＝每根跳绳的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能扩大销售量，即可确定结论． 【解答】解：（1）设这个降价率为x， 根据题意得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）． 答：这个降价率为10%； （2）设每根跳绳应定价为y元，则每根跳绳的销售利润为（y﹣20），每月可销售50010＝（2500﹣50y）根， 根据题意得：（y﹣20）（2500﹣50y）＝10800， 整理得：y2﹣70y+1216＝0， 解得：y1＝32，y2＝38， 又∵要尽可能扩大销售量， ∴y＝32． 答：每根跳绳应定价为32元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．（2026秋•单元）某养鱼户经营池塘养鱼已3年，第一年春季放养鱼苗20000尾，成活率约为70%，秋季捕捞前随意捞出10尾鱼，称得质量如下（单位：kg）：0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、0.9、1.1、1.0、1.2、0.8． （1）根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是多少kg； （2）第一年秋季把这池塘中的鱼全部捞出卖掉，售价为4元/kg．除去当年投资成本16000元，求第一年的纯收入； （3）该养鱼户每年春季放养鱼苗，秋季捕捞后全部卖出，已知这3年的纯收入为132400元，求第二年与第三年纯收入的平均年增长率． 【分析】（1）利用第一年总产量＝平均每尾鱼的质量×放养鱼苗尾数×成活率，即可求出结论； （2）利用第一年的纯收入＝每千克鱼的售价×第一年总产量﹣当年投资成本，即可求出结论； （3）设第二年与第三年纯收入的平均年增长率为x，则第二年的纯收入为40000（1+x）元，第三年的纯收入为40000（1+x）2元，根据这3年的纯收入为132400元，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：20000×70% 20000×70% ＝14000（kg）． 答：根据样本平均数估计这池塘中鱼的第一年总产量是14000kg； （2）根据题意得：4×14000﹣16000 ＝56000﹣16000 ＝40000（元）． 答：第一年的纯收入为40000元； （3）设第二年与第三年纯收入的平均年增长率为x，则第二年的纯收入为40000（1+x）元，第三年的纯收入为40000（1+x）2元， 根据题意得：40000+40000（1+x）+40000（1+x）2＝132400， 整理得：100x2+300x﹣31＝0， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣3.1（不符合题意，舍去）． 答：第二年与第三年纯收入的平均年增长率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【考点6】销售问题（共8题） 每件利润×总销量 33．（2024春•海阳市期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】当每顶帐篷降价x元时，每顶帐篷利润为（200﹣x）元，平均每天可售出（604）顶，利用总利润＝每顶帐篷的销售利润×日销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每顶帐篷降价x元时，每顶帐篷利润为（200﹣x）元，平均每天可售出（604）顶， 根据题意得：（200﹣x）（604）＝12160． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2024•祁县模拟）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低x元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5000元，则可列方程为（　　） A．（60﹣40+x）（300+20x）＝5000 B．（60﹣40+x）（300﹣20x）＝5000 C．（60﹣40﹣x）（300﹣20x）＝5000 D．（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000 【分析】设销售单价降低x元，则每天可售出（300+20x）袋，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：依题意得：（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．（2024秋•邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为　10%　 ． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得： 300（1﹣x）2＝243， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）， 故x的值为10%， 故答案为：10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（2024•广东一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　80　 元． 【分析】设每件应降价x元，则每件的销售利润为（200﹣x）元，每月可售出（120+1.5x）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【解答】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为（200﹣x）元，每月可售出12030＝（120+1.5x）件， 根据题意得：（200﹣x）（120+1.5x）＝28800， 整理得：x2﹣120x+3200＝0， 解得：x1＝40，x2＝80， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝80， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 37．（2026•兖州区二模）某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：y＝﹣10x+1200． （1）求一盒果篮的成本（成本＝进价+包装费）； （2）若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【分析】（1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为（a+2）元，根据用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润＝每盒果篮的利润×销量得到函数解析式； （3）分两种情况讨论：当70＜m＜84且m为整数时，当m≥84时，根据函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为（a+2）元． 依题意，得， 解得：a＝6， 经检验，a＝6是原分式方程的解，a+2＝8， ∴一盒果篮的成本为：4×6+8×2+8＝48（元）； （2）依题意，得w＝（x﹣48）（﹣10x+1200）＝﹣10x2+1680x﹣57600； （3）当70＜m＜84且m为整数时，每月的最大利润为﹣10（m﹣84）2+12960；m≥84时，每月的最大利润为12960元．理由如下： 由（2）可知每月的利润w＝﹣10x2+1680x﹣57600， 可化简为w＝﹣10（x﹣84）2+12960， ∵﹣10＜0， 当70＜m＜84且m为整数时， y随x增大而增大，当x＝m时，w取得最大值， 即w＝﹣10（m﹣84）2+12960； 当m＞＝84时，当x＝84时，w取最大值， ∴当x＝m＝84时w最大，此时：w＝（84﹣48）（﹣10×84+1200）＝12960， m＞＝84时，当x＝84时，w取最大值， ∴每月的最大利润为12960元； 综上所述，当70＜m＜84且m为整数时，每月的最大利润为﹣10（m﹣84）2+12960；m≥84时，每月的最大利润为12960元． 【点评】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． 38．（2026春•高新区校级期末）某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 【分析】第二周销售的销量＝400+降低的元数×100；第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可． 【解答】解：第二周单价降低x元后，这周销售的销量为（400+100x）件，由题意得出： 400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500， 即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 则10﹣1＝9（元）． 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 39．（2026春•新余校级同步）春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元． （1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ （2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【分析】（1）根据题意得涨价x元，单个利润为（40+x）﹣30＝10+x元，每天销售量为（50﹣x）个，根据题意列出方程（10+x）（50﹣x）＝800，结合x的限定范围求解得到最终售价； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为y元，先列出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的最值性质结合x的范围求出最大利润和对应售价． 【解答】解：（1）设该商场决定把售价上涨x（0≤x≤20，且x是整数）元，则单个利润为（40+x）﹣30＝（10+x）元，每天销售量为（50﹣x）个， 依题意得：（10+x）（50﹣x）＝800， 解得x＝10或x＝30（0≤x≤20，不合题意，舍去）， 此时售价为：40+10＝50（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为y元， 依题意得：y＝（10+x）（50﹣x）＝﹣（x﹣20）2+900， 当x＝20时，y取得最大值，最大值为900，此时售价为40+20＝60（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，列出二次函数解析式是解答本题的关键． 40．（2026•曲靖模拟）5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G产品充满期待．华为集团计划2020年元月开始销售一款5G产品．根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化．若该产品第x个月（x为正整数）销售价格为y元/台，y与x满足如图所示的一次函数关系：且第x个月的销售数量p（万台）与x的关系为p＝x+1． （1）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？ （2）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m元推广费用，当6≤x≤8时销售利润最大值为22500万元时，求m的值． 【分析】（1）求销售额z与x之间的函数关系式，利用二次函数的最大值问题求解； （2）分三种情况讨论假设6月份，7月份，8月份的最大销售为22500万元时，求相应的m值，再分别求出此时另外两月的总利润，通过比较作出判断． 【解答】解：（1）该产品第x个月（x为正整数）销售价格为y元/台，设y＝kx+b，将（2，6500），（4，5500）分别代入得： ， 解得：， ∴y＝﹣500x+7500， 设销售额为z元， 依题意得：z＝yp＝（﹣500x+7500）（x+1）＝﹣500（x﹣7）2+32000， ∵a＝﹣500＜0，开口向下， ∴当x＝7时，z有最大值， 当x＝7时，y＝﹣500×7+7500＝4000元， 答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台； （2）设总利润为W， 依题意得：W＝﹣500x2+7000x+7500﹣m（x+1）＝﹣500x2+（7000﹣m）x+7500﹣m， 分三种情况讨论： 当x＝6时，﹣500×62+（7000﹣m）×6+7500﹣m＝22500， 解得：， 此时7月份的总利润为， 此时8月份的总利润为， ∴当时，6月份利润最大，且最大值为22500万元； 当x＝7时，﹣500×72+（7000﹣m）×7+7500﹣m＝22500， 解得：m＝1187.5， 此时6月份的总利润为﹣500×62+（7000﹣1187.5）×6+7500﹣1187.5＝23187.5＞22500， ∴当m＝1187.5不符合题意，此种情况不存在； 当x＝8时，﹣500×82+（7000﹣m）×8+7500﹣m＝22500， 解得：m＝1000， 此时7月份的总利润为﹣500×72+（7000﹣1000）×7+7500﹣1000＝24000＞22500， ∴当m＝1000不符合题意，此种情况不存在． 综上所述，当6≤x≤8时销售利润最大值为22500万元时，此时． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程或二次函数解析式是解答本题的关键． 【考点7】面积问题（共4题） 平移法 41．（2025秋•湄潭县期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【分析】（1）根据AB+BC+CD＝80可求出y与x之间的关系，根据墙的长度可确定x的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令S＝750，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【解答】解：（1）∵矩形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，篱笆长80m，围成的矩形面积为Sm2， ∴AB+BC+CD＝80m，AB＝CD＝xm，BC＝ym， ∴x+y+x＝80， ∴y＝80﹣2x， ∵墙长42m， ∴0＜80﹣2x≤42， 解得：19≤x＜40， ∴y＝80﹣2x（19≤x＜40）； 又∵矩形面积S＝BC•AB ＝y•x ＝（80﹣2x）x ＝﹣2x2+80x； （2）围成的矩形花圃面积能为750m2；理由如下： 当S＝750时，得：﹣2x2+80x＝750， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0， ∴一元二次方程x2﹣40x+375＝0有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为750m2； ∴， 解得：x1＝25，x2＝15， ∵19≤x＜40， ∴x＝25； （3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且﹣2＜0， ∴S有最大值， 又∵19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800， 即当x＝20时，S的最大值为800． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 42．（2026秋•同步）如图，某小区要在小区内墙边的空地上修建一个长方形的儿童游乐场，游乐场的一面靠墙（墙长22m），另外三面用90m长的铁栅栏围起来．若所围成的游乐场的面积为700m2，求这个长方形游乐场的长和宽． 【分析】设元并表达三边：设垂直于墙的宽为x，利用“三面围栏共90 m得到与墙平行的长为（90﹣2x）米，由长×宽＝面积列出一元二次方程x（90﹣2x）＝700，化简为x2﹣45x+350＝0，用因式分解法求得x＝10或x＝35，根据墙长22米这一隐含条件，长不能超过22米，排除x＝10时长为70米的不合理解． 【解答】解：设垂直于墙的边（宽）为x米， ∵三面共用栅栏90米，且一面靠墙， ∴与墙平行的边（长）为（90﹣2x）米． 由面积关系列方程： x（90﹣2x）＝700． 展开：90x﹣2x2＝700． 整理：（x﹣10）（x﹣35）＝0． ∴x＝10 或 x＝35． **检验墙长限制（靠墙边⩽22 m）： 当x＝10时，长＝90﹣2×10＝70（米），70＞22，超过墙长，舍去， 当x＝35时，长＝90﹣2×35＝20（米），20⩽22，符合题意， 此时宽＝x＝35米，长＝20米． 答：这个长方形游乐场的长和宽分别为35米和20米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，正确建立长×宽＝面积的等量关系并结合墙长22米这一隐含条件对方程的解进行取舍是解题的关键．题目源于真实的小区修建情境，让学生经历设元—列方程—解方程—检验实际意义的完整建模过程，尤其突出方程有两个解、但需根据实际约束（靠墙边不能超过墙长）排除不合理解这一易错点，既考查了因式分解解方程的基本功，又强化了数学结论要回到实际问题中检验的应用意识，是一道情境真实、难度适中的经典应用题． 43．（2025秋•襄州区月考）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长72m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若矩形车棚ABCD的面积为285m2，试求出自行车车棚的长BC和宽AB； （2）请问能围成面积为450m2的矩形车棚ABCD吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（72﹣3x）m，根据矩形车棚ABCD的面积为285m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值（即AB的长），再将其代入（72﹣3x）中，即可求出BC的长； （2）假设能围成面积为450m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（72﹣3y）m，根据矩形车棚ABCD的面积为450m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣24＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为450m2的自行车车棚． 【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（72﹣3x）m， 根据题意得：x（72﹣3x）＝285， 整理得：x2﹣24x+95＝0， 解得：x1＝5，x2＝19， 当x＝5时，72﹣3x＝72﹣3×5＝57＜60，符合题意； 当x＝19时，72﹣3x＝72﹣3×19＝15＜60，符合题意． 答：自行车车棚的长BC为57m或15m，宽AB为5m或19m； （2）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为450m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（72﹣3y）m， 根据题意得：y（72﹣3y）＝450， 整理得：y2﹣24y+150＝0， ∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为450m2的自行车车棚． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 44．（2025秋•钟山区期中）《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长80cm的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为xcm，则另一个正方形配件的周长为　（80﹣x）　 cm（请用含x的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于100cm2，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 【分析】（1）用铁丝的总长度减去x即可得到另一个正方形配件的周长； （2）根据两个正方形配件面积之和等于100cm2，可列方程x2﹣80x﹣4800＝0，一元二次方程的解不符合实际情况，所以小杰的想法不能实现． 【解答】解：（1）铁丝总长80cm，其中一个正方形周长为xcm， 则另一个正方形周长为（80﹣x）cm， 故答案为：（80﹣x）； （2）小杰的想法不能实现．理由如下： 两个正方形的边长分别为cm、cm， 化简可得：x2﹣80x+2400＝0， 判别式Δ＝（﹣80）2﹣4×1×2400＝6400﹣9600＝﹣3200＜0， 该方程无实数解，说明不存在这样的剪法使面积之和等于100cm2，故小杰的想法不能实现． 【点评】本题主要考查了一元二次方程在几何最值、可行性问题中的应用，把面积之和转化为关于周长的方程、再用判别式判断是否有实数解是解题的关键． 【考点8】动态几何（共3题） 设t列方程 45．（2025秋•新疆期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 【分析】（1）等量关系为：AB﹣AP＝CQ，即16﹣2t＝t； （2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：BP＝QP，BP＝BQ和QP＝BQ三种情况． 【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ． 则16﹣2t＝t， 解得 t． 答：两动点经过秒时，使得BP＝CQ； （2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的．则 （CQ+BP）•BCAB•AD，即（x+16﹣2x）×616×6， 解得 x． 答：两动点经过秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形 ①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H． 则PQ， 所以 16﹣2k， 整理 得5k2﹣32k+36＝0， 解得 k1，k2； ②当BP＝BQ时，BQ． 则16﹣2k， 整理 得3k2﹣64k+220＝0． 解得k或（舍）； ③当QP＝BQ时，，即， 整理 得，（16﹣3k）2＝k2， 解得 k3＝4，k4＝8（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或秒或4秒或k时，使得△BQP是等腰三角形 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 46．（2026春•合肥校级期中）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程＝速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度； （2）由于∠B＝90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP＝BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值； （3）根据四边形APQC的面积＝△ABC的面积﹣△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB＝8． ∴BQ＝x，PB＝8﹣2x； （2）由题意，得 8﹣2x＝x， ∴x． ∴当x时，△PBQ为等腰三角形； （3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2， 则， 解得x1＝x2＝2． 假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm2． 【点评】本题借助动点问题考查了勾股定理，路程与速度、时间的关系，等腰三角形的性质以及不规则图形的面积计算，综合性较强． 47．（2024秋•惠阳区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts． （1）根据题意知：CE＝　3tcm ，CD＝　（8﹣4t）cm ；（用含t的代数式表示） （2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？ （3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，可以得出CE＝3t，CD＝8﹣4t； （2）先确定当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，再列方程求出t的值； （3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明DE的长不可以是8cm． 【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动， ∴CE＝3tcm， ∵动点D从点A出发向点C移动， ∴CD＝（8﹣4t）cm， 故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm． （2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的， 根据题意得3t（8﹣4t）8×6， 整理得t2﹣2t+1＝0， 解得t1＝t2＝1， 答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的． （3）不可以，理由如下： 如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42， 整理得25t2﹣64t+48＝0， ∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0， ∴该方程没有实数根， ∴DE的长不可以是4cm． 【点评】此题考查解一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解第（3）题时应注意根据一元二次方程根的判别式判定方程没有实数根． 💯 课后巩固 复习建议 找等量关系 熟记八类公式 增长率平方 销售注意关系 检验实际意义 【作业 1】（2026•阳谷县校级模拟）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　） A．（30﹣x）（20﹣x）＝480 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝480 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（30﹣x）（20﹣2x）＝480 【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的长方形，结合活动场所的总面积为480平方米，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵绿化带的宽度为x米， ∴六块活动场所可合成长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的长方形． 根据题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝480． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 2】（2026•隆林县校级模拟）某种植基地2019年蔬菜产量为80吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80 C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100 【分析】利用该种植基地2021年蔬菜产量＝该种植基地2019年蔬菜产量×（1+蔬菜产量的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：80（1+x）2＝100． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•汉川市期末）班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．2x（x+1）＝1560 D．x（x﹣1）＝1560 【分析】利用赠送小礼物的总数量＝参会人数×（参会人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵参加这次聚会的人数为x，且同学们互送一件不同的小礼物， ∴每人需送出（x﹣1）件小礼物． 根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 4】（2026春•迎江区校级月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 x（30+2﹣2x）＝120　 ． 【分析】由各边之间的关系，可得出BC＝（30+2﹣2x）m，根据养鸡场面积为120m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵木栏长30m，且EF＝2m，AB＝xm， ∴BC＝30+EF﹣2AB＝（30+2﹣2x）m． 根据题意得：x（30+2﹣2x）＝120． 故答案为：x（30+2﹣2x）＝120． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•镇江期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为　（40﹣x）（22﹣x）＝520　 ． 【分析】设停车场内车道的宽度为x米，则两排停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（22﹣x）米的矩形，根据停车位的占地面积为520平方米，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为x米，则两排停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（22﹣x）米的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故答案为：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•沈河区校级期中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有25个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有　125　 个人患流感． 【分析】根据两轮传染后的总人数列出方程，求解即可． 【解答】解：（1+x）2＝25， 解得x＝4或﹣6（舍去）， 25+25×4＝125人． 故答案为：125． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题的公式并应用，是解决本题的关键． 【作业 7】（2024秋•南昌期中）要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【分析】设应邀请x个球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝30， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：应邀请6个球队参加比赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 8】（2023秋•东港区校级月考）小卜家庵子村养鸡专业户李明2021年的纯收入是6万元，预计2023年的纯收入是7.26万元． （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形养鸡场ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． ①当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的养鸡场？ ②养鸡场的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程6（1+x）2＝7.26，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，①根据长方形的面积公式列出方程即可求解；②列方程•a＝650，判断此方程无解可得结论． 【解答】解：（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：6（1+x）2＝7.26， 解得，x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为10%； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米， ①根据题意可得：•a＝640， 解得，x1＝40，x2＝32， 当BC＝40时，AB＝16； 当BC＝32时，AB＝20， 答：当养鸡场的长40米，宽16米或长32米，宽20米时，能围成一个面积为640的养鸡场； ②•a＝650， ∴（a﹣36）2＝﹣4， 此方程无实数解， ∴养鸡场的面积不能达到650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 【作业 9】（2026秋•同步）某水果批发商经销一种高档水果，卖出每千克水果盈利（毛利润）5元，每天可卖出1000千克．经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价涨0.5元，每天销量将减少40千克．若水果批发商想保证每天销售这种水果的毛利润为6000元，同时又要使顾客觉得价格不太贵，则每千克水果应涨价多少元？ （1）解法1：设每千克水果应涨价x元，由题意得方程：　（5+x）（1000﹣80x）＝6000　 ； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，由题意得方程：x（1400﹣80x）＝6000　 ． （2）请你选择一种解法完成解答． 【分析】（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的销售利润为（5+x）元，每天可售出（1000﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程；解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出（1400﹣80x）千克，利用水果批发商每天销售这种水果的毛利润＝每千克的毛利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程； （2）选择解法1，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，即可确定结论；选择解法2，解之可得出x的值，结合要使顾客觉得价格不太贵，可确定x的值，再将其代入（x﹣5）中，即可求出结论． 【解答】解：（1）解法1：设每千克水果应涨价x元，则每千克的毛利润为（5+x）元，每天可售出1000﹣40（1000﹣80x）千克， 根据题意得：（5+x）（1000﹣80x）＝6000； 解法2：设每千克水果涨价后盈利（毛利润）x元，则每天可售出1000﹣40（1400﹣80x）千克， 根据题意得：x（1400﹣80x）＝6000． 故答案为：（5+x）（1000﹣80x）＝6000，x（1400﹣80x）＝6000； （2）选择解法1：（5+x）（1000﹣80x）＝6000， 整理得：2x2﹣15x+25＝0， 解得：x1＝2.5，x2＝5， 又∵要使顾客觉得价格不太贵， ∴x＝2.5． 答：每千克水果应涨价2.5元； 选择解法2：x（1400﹣80x）＝6000， 整理得：2x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝7.5，x2＝10， 又∵要使顾客觉得价格不太贵， ∴x＝7.5， ∴x﹣5＝7.5﹣5＝2.5． 答：每千克水果应涨价2.5元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 10】（2026春•蜀山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【分析】（1）由中间部分种植面积是13552m2，列出一元二次方程，求解方程得x的值，再进行取值即可； （2）设草莓存放了m天，根据利润＝总销售额一收购成本﹣冷库费用，且利润为800元列一元二次方程并求解即可． 【解答】解：（1）依题意得：（100﹣4x）（160﹣2x）＝13552， 整理得：x2﹣105x+306＝0， 解得：x1＝3，x2＝102（2.5≤x≤6，不符合题意，舍去）， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）设草莓存放了m天， 依题意得：（8+0.4m）（1000﹣10m）﹣8000﹣200m＝800， 整理得：m2﹣30m+200＝0， 解得，m1＝10，m2＝20（超出最大保存期限，不合题意，舍去）， 答：在第10天出售． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式或一元二次方程． 【作业 11】（2024秋•琼中县期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场ABCD，养鸡场的一边靠墙，另三边用篱笆围成，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，篱笆总长为33m，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若AB＝xm，则BC＝　（35﹣2x）　 m． （2）要使围成的养鸡场面积为150m2，则AB的长为多少？ 【分析】（1）根据篱笆的长度及门的宽度，即可得出AB+BC+CD＝33+2，代入CD＝AB＝xm，即可用含x的代数式表示出BC的长； （2）根据养鸡场的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长为18m，即可得出AB的长． 【解答】解：（1）∵AB+BC+CD＝33+2，CD＝AB＝xm， ∴BC＝（35﹣2x）m． 故答案为：（35﹣2x）； （2）依题意得：x（35﹣2x）＝150， 整理得：2x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝10，x2， 当x＝10时，35﹣2x＝35﹣2×10＝15＜18，符合题意； 当x时，35﹣2x＝35﹣220＞18，不符合题意，舍去． 答：AB的长为10m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【作业 12】（2025秋•沙县区期中）综合与实践 项目主题：设计小区停车场扩建方案 项目背景：随着生活条件的改善，某小区停车场不能满足业主的需求，学校综合与实践活动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为主题开展了项目学习． 数据信息：（如图1所示） 信息1，原停车场的长AB为35m，宽AD为15m． 信息2，扩建后的长AE最大为48m，宽AG最大为20m． 问题解决：（1）如图1，若将原停车场的长、宽增加相同的长度后，得到一个面积为800m2的新停车场，求新停车场的长与宽． （2）如图2，当BE＝3DG时，新停车场的面积可以为1000m2吗？请说明理由． 【分析】（1）设将原停车场的长增加xm，则新停车场的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据新停车场的面积为800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论； （2）假设新停车场的面积可以为1000m2，设DG＝ym，则BE＝3ym，根据新停车场的面积为1000m2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其正值代入35+3y中，可求出35+3y＝50，由该值大于48，即可得出假设不成立，即当BE＝3DG时，新停车场的面积不能为1000m2． 【解答】解：（1）设将原停车场的长增加xm，则新停车场的长为（35+x）m，宽为（15+x）m， 根据题意得：（35+x）（15+x）＝800， 整理得：x2+50x﹣275＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去）， ∴35+x＝35+5＝40（m），15+x＝15+5＝20（m）． 答：新停车场的长为40m，宽为20m； （2）当BE＝3DG时，新停车场的面积不能为1000m2，理由如下： 假设新停车场的面积可以为1000m2，设DG＝ym，则BE＝3ym， 根据题意得：（35+3y）（15+y）＝1000， 整理得：3y2+80y﹣475＝0， 解得：y1＝5，y2（不符合题意，舍去）， ∴35+3y＝35+3×5＝50＞48，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当BE＝3DG时，新停车场的面积不能为1000m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业 13】（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解． 【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQS△ABC时， t（8﹣2t）＝16， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $