专题 5.3 二次函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦二次函数应用核心知识点，系统梳理三种解析式适用场景、建模通用步骤、四大核心应用模型（几何面积、销售利润、抛物线轨迹、区间最值）及高频易错点，构建从知识梳理到基础与综合题型精析再到同步检测的学习支架。 该资料特色在于结合拱桥、销售利润等生活实例，通过例题与变式训练，培养学生用数学眼光抽象现实问题、用数学思维推理建模的能力。课中辅助教师系统教学，课后同步检测帮助学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

专题 5.3 二次函数的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】二次函数三种解析式适用场景 1 【知识点二】二次函数实际应用建模通用步骤 2 【知识点三】四大核心实际应用模型 2 【知识点四】高频易错点总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】待定系数法求二次函数解析式 3 【题型 2】抛物线运动轨迹基础应用 5 【题型 3】矩形面积最值基础问题 10 【题型 4】基础销售利润问题 13 三.题型精析（综合提升） 15 【题型 5】二次函数区间最值问题 15 【题型 6】含限制条件的销售利润综合问题 19 【题型 7】抛物线落地求值综合问题 23 四.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 40 一.知识梳理解读 【知识点一】二次函数三种解析式适用场景 二次函数解析式是解决应用问题的基础，根据题目已知条件选择最优解析式，可大幅简化计算。 1. 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） 适用场景：已知抛物线上任意三个普通点坐标，代入解析式构建三元一次方程组，求解参数a、b、c。 2. 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0） 适用场景：已知抛物线顶点坐标(h，k)，再结合任意一个抛物线上的点，即可求出参数a，计算简便，是最值问题首选解析式。 3. 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0） 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x₁，0)、(x₂，0)，结合一个普通点即可求解，多用于抛物线轨迹、落地问题。 核心结论：确定二次函数解析式，必须保证至少三个独立条件。 【知识点二】二次函数实际应用建模通用步骤 所有二次函数实际应用题，均遵循固定建模流程，规避解题漏洞： 1. 审题定变量：区分题目中的常量与变量，确定自变量x、因变量y的实际意义； 2. 建立模型：根据几何关系、销售关系、运动规律，列出二次函数关系式； 3. 限定取值范围：结合实际场景确定自变量取值区间（长度、销量、价格等均为非负数）； 4. 求解最值：通过配方法或公式法求出顶点最值； 5. 验证取值：若顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点最值为实际最值；若超出范围，最值取自变量区间端点。 【知识点三】四大核心实际应用模型 模型一：几何图形面积最值模型 常见场景：铁丝围矩形、三角形内接矩形、窗框面积、隧道截面面积等。 解题核心：设图形一条边长为自变量x，利用周长、相似三角形等几何关系，表示出另一边长，根据“面积=长×宽”构建二次函数，求解最大面积。 模型二：销售利润最值模型 核心公式：总利润=单件利润×销售数量 解题核心：价格涨跌会同步改变单件利润和销售数量，根据题意分别表示涨跌后的单件利润、销量，构建利润二次函数，结合售价、销量非负的限制条件求最大利润。 模型三：抛物线运动轨迹模型 常见场景：篮球投篮、铅球投掷、小球抛射、高尔夫球飞行等抛体运动。 解题核心：运动轨迹为抛物线，自变量为水平距离，因变量为飞行高度，可求解最大飞行高度、落地水平距离、指定位置高度等问题。 模型四：区间最值特殊模型 实际问题中自变量大多有取值限制，二次函数顶点不一定可取，需根据函数单调性判断区间最值：开口向上，区间左端点取最小值、右端点取最大值；开口向下，区间左端点取最大值、右端点取最小值。 【知识点四】高频易错点总结 1. 忽略自变量实际取值范围，直接套用顶点最值导致答案错误； 2. 销售问题中，涨价、降价同时影响利润和销量，遗漏任意一个变化量； 3. 建系方式不同，抛物线解析式不同，但最终最值、实际结果不变，无需纠结建系形式； 4. 几何模型中，边长、周长必须为正数，需提前限定自变量范围。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】待定系数法求二次函数解析式 【例题1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数（）的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． （1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（    ） x 0 1 y 5 1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为 【答案】D 【分析】先代入表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质判断各选项即可． 解：将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为． ∵， ∴抛物线开口向上，A正确； 抛物线对称轴为直线，故B正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，C正确； 抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是，D错误． 【变式2】（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 【变式3】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【题型 2】抛物线运动轨迹基础应用 【例题2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的解析式． （2）若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． （1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 则的值可能是． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_________m时，水柱落点距O点． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的关系式， 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5米时，可设，将代入关系式得出；当喷头高度为时，可设，将代入关系式得，联立求出a，b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，此时的关系式为，将代入求出答案即可． 解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，对称轴也不变， ∴二次项系数和一次项系数都不变， 当喷头高时，可设， 将代入关系式，得； 当喷头高度为时，可设， 将代入关系式得. 联立，得， 解得． 设喷头高为h时，水柱落点距O点， 此时的关系式为， 将代入关系式，得， 解得． 当喷头高时，水柱落点距O点． 故答案为：20． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式； （2）根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）；（2）小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． （1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 【题型 3】矩形面积最值基础问题 【例题3】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）此时x的值为2；（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为， ， 解得或， 经检验，时，，不符合题意，舍去， ， 答：此时x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为13m， ， 根据题意得：， ， 当时，y取最大值，最大值为48， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解应用题，若设矩形小花园边的长为，则，由矩形面积公式代值得到，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答案，熟练掌握求二次函数最值的方法是解决问题的关键． 解：若设矩形小花园边的长为，则， ， ， ， ，则抛物线开口向下， 当时，取最大值，为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为____． 【答案】100 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．设，则，，再求面积最大值即可． 解：设，则， ， 此函数的对称轴为：， ，故函数有最大值， 当时，函数取得最大值， 则：， 故答案为：100． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为 （如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用， 由，求得，，根据矩形养殖场的总面积列一元二次方程，解方程即可求解； 设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． （1）解：∵，矩形的面积是矩形面积的2倍， ∴，即，， 依题意得：，解得：，， 经检验当，，不合题意，舍去， 即x的值为； （2）设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：， ∵墙的长度为， ∴，解得， ∵， ∴在时，S随着x的增大而增大， ∴当时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【题型 4】基础销售利润问题 【例题4】（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． （1）直接写出与的函数关系式： ； （2）当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，为正整数）；（2）当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． （1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【变式1】（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值． 解：∵，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入解析式得 即一周可获得的最大利润是1550元． 【变式2】（2026·山东东营·二模）中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）某网店销售一种小商品，成本每件元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 【答案】月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题．掌握销售利润的公式应用是解题关键．根据总利润=商品单件的利润×销售件数及二次函数的图象与性质求最值即可． 解：存在，设每件商品的售价为元． 根据题意，得． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． ∴月销售利润存在最大值，这个最大值为元，此时商品的售价为元． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】二次函数区间最值问题 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 【变式1】（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数在给定区间上的最值问题，关键在于掌握二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，灵活运用二次函数的性质判断最值点．根据二次函数的解析式，先确定其开口方向与对称轴，再比较区间端点到对称轴的距离，判断出最小值对应的自变量取值，进而求出常数的值． 解：二次函数的对称轴为， ， 二次函数图像开口向下，在处取得最大值， ，， 函数在处取得最小值， 即， 解得：． 故选：． 【变式2】（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 【变式3】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知关于x的二次函数（a为常数） （1）当时，求二次函数的对称轴； （2）当时，二次函数最大值为m，最小值为n，若，求a的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式即可解答； （2）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴与区间的位置关系分四类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内靠近左端点、区间内靠近右端点，分别求出对应区间的最值并代入列方程，舍去不符合前提条件的解后，最终得到符合条件的值即可． （1）解：∵， ∴， ∴二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为直线， ①若对称轴在区间左侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ， ， （舍去）； ②若对称轴在区间右侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ， （舍去）； ③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图， 则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ， 解得：（舍去）； ④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图， 则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ， 解得（舍去）； 综上所述，的值为或． 【题型 6】含限制条件的销售利润综合问题 【例题6】（2026·江苏盐城·模拟预测）2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． （1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； （2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）6000元；（2）第15天该网络销售平台的利润最大，最大利润是12500元 【分析】（1）根据图象得第30天的成本，求出此时的产量，然后求出该天的利润； （2）首先表示出，设第天该网络销售平台的利润为元，分类讨论，结合一次函数和二次函数的性质求解即可． （1）解：由图象可知，第30天时的成本为500元， 此时的产量为（台）， ∴第30天的利润为：（元）； （2）解：设线段的表达式为， 把，代入得，， 解得， 线段的解析式为， ，其中为整数， 设第天该网络销售平台的利润为元， ①当时， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，； ②当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：第15天的利润最大，最大利润为12500元． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（    ）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值问题．设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故选：B． 【变式2】（2026·广东佛山·模拟预测）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 解：设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． （1）请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； （2）物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． （1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 【题型 7】抛物线落地求值综合问题 【例题7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）图①是古代一种远程攻击的武器投石车，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且到发射点的水平距离m时达到最大高度．将投石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离，与地面的竖直距离，是高度为的防御墙．以点为原点，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）试求石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离． 【答案】（1）石块不能飞越防御墙；（2）石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离为 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式，将代入解析式，得出y的值，与作比较即可； （2）得出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点，则点的坐标为，表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （1）解：设抛物线的表达式为． 将点代入，得． 解得． ∴． 当时，． ∵， ∴石块不能飞越防御墙． （2）解：∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点． 设点，则点的坐标为， ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离为． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，求出点的坐标为，从而得到答案． 解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期中）掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】本题考查二次函数的实际应用． 根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标求出关于的函数表达式，令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断． 解：由题可知抛物线的顶点为， 故可设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； 令，即， 解得（负值舍去）． ， 该男生在此项考试中能得到满分． 故答案为：能． 【变式3】（2025九年级下·河北·专题练习）如图是某同学设计的动画游戏：矩形（其中）和矩形（其中，）的边在轴上，其中．长度为4的平台轴，点的坐标为，从点向右上方沿抛物线发出光点，点落在边上后立即弹起，形成最大高度为7的抛物线，点落在边上后又立即弹起，形成抛物线，经过两次弹起后点落在轴上，已知形状相同． （1）求点发出后达到最大高度时与轴的距离； （2）求点第一次弹起后形成的抛物线的解析式； （3）点发出点的位置从点开始，沿向左平移个单位长度（点只能在上发出，其他保持不变），若使点只经过在边上的一次弹起后就能直接落在轴上．求的最小值； （4）该同学发现，经过两次弹起后抛物线的顶点在同一条直线上，请直接写出点第二次弹起后达到的最大高度 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）3 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为，即可求解； （2）令，即可求出点落在矩形的边上的点的坐标；根据形状相同，设的解析式为，把求得点P坐标代入即可求得的解析式． （3）由点A的坐标及点落在矩形的边上的点的坐标，可得n的最大值；依题意，点向左平移个单位长度，则抛物线也向左平移个单位长度，从而可设平移后的解析式为，把点的坐标为代入解析式中，求得n的值，此即n的最小值； （4）由物线的顶点为，抛物线的顶点为，则由待定系数法可求得的解析式为；，设抛物线的顶点横坐标为，则纵坐标为， 写出抛物线的解析式为．当时可求得自变量x的值，代入中求得m的值，即可求得结果． （1）解：， 点发出后达到最高点的坐标为， ∴点发出后达到最大高度时与轴的距离为4： （2）解：在中，令，解得，（舍）， 点落在矩形的边上的点的坐标为． 形状相同，根据题意可设的解析式为． 将点代入中， 解得（舍）， 的解析式为； （3）解：点的坐标为，点落在矩形的边上的点的坐标为， ． 不能超过3． 点向左平移个单位长度，则抛物线也向左平移个单位长度， 平移后的解析式为．点的坐标为． 将代入中，解得（舍）． ， 的最小值为； （4）解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为． 设两个顶点所在直线的解析式为． 将代入．解得 ． 设抛物线的顶点横坐标为，则纵坐标为， 则抛物线的解析式为． 当时，（舍）， 将代入4中，解得（舍）， ， 即点第二次弹起后达到的最大高度为3． 【点拨】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，解一元二次方程等知识，理解题意是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 5．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论． 解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为W元，根据题意得， ， 故选：D． 7．（2026·广东广州·二模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，先利用表中对应值求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 解：由表格可知，二次函数过点，，， ∵当时，， ∴，将，代入解析式得方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A错误； 由解析式可知图象的对称轴为直线，选项D正确； ∵开口向下， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项B错误； ∵顶点坐标为，抛物线与轴交于和，开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，选项C错误； 8．（2026·陕西延安·一模）图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 10．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据题意得到利润关于售价的函数表达式，再依次验证三个结论即可． 解：设每日销售利润为元，根据题意，每件利润为元， 每日销量为 ， 因此得 ； ①当时， ，故①正确。 ②二次函数 开口向下，对称轴为 ， ∵为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低）， ∴满足要求，结论②错误； ③令 ，得方程： ， 整理得 ，解得 ，，两个根均为正整数， ∴有两种定价，③正确． 综上，正确的结论共2个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____． 【答案】 【分析】利用待定系数法解答即可． 本题考查了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 解： ∵二次函数的图象经过两点， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 13．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出（250-5x）盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 14．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 15．（2026·辽宁营口·二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 16．（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 17．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可． 解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值． 二次函数图象经过点， 将代入解析式得：， 整理得， 解得或． 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为， ， 解得， 因此舍去，得． 将代入二次函数解析式得：， 配方得， 因此该二次函数的最小值为． 18．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． （1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； （2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【答案】（1）；（2）米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． （1）解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； （2）解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数（其中为常数）． （1）若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； （2）若该二次函数的最大值是3，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为二次函数有最大值，得，即可作答． （2）先求出对称轴为直线，结合该二次函数的最大值是3，故顶点坐标为，，代入进行计算，即可作答． （1）解：∵二次函数有最大值， ∴开口向下，在对称轴处取得最大值，即； （2）解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵该二次函数的最大值是3， ∴二次函数的开口向下，二次函数的顶点坐标为， 故，， ∴， 解得（舍去）， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． （2）求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 【答案】（1）；（2）每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元 【分析】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出函数关系式． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）设该商品日销售额为w元，利用销售额每件售价销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，求解即可． （1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：设该商品日销售额为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2500， 即每件售价为50元时，日销售额最大，最大日销售额为2500元． 22．（本小题满分10分）（2026·山东潍坊·模拟预测）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． （1）直接写出的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】（1）；（2）大棚最高处到地面的距离为米；（3）共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． （1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 23．（本小题满分10分）（2026·山东潍坊·模拟预测）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】（1）①；②；（2）年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． （1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 24．（本小题满分12分）（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． （1）求抛物线的对称轴． （2）当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． （1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 二次函数的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】二次函数三种解析式适用场景 1 【知识点二】二次函数实际应用建模通用步骤 2 【知识点三】四大核心实际应用模型 2 【知识点四】高频易错点总结 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】待定系数法求二次函数解析式 3 【题型 2】抛物线运动轨迹基础应用 4 【题型 3】矩形面积最值基础问题 5 【题型 4】基础销售利润问题 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型 5】二次函数区间最值问题 7 【题型 6】含限制条件的销售利润综合问题 7 【题型 7】抛物线落地求值综合问题 8 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.知识梳理解读 【知识点一】二次函数三种解析式适用场景 二次函数解析式是解决应用问题的基础，根据题目已知条件选择最优解析式，可大幅简化计算。 1. 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） 适用场景：已知抛物线上任意三个普通点坐标，代入解析式构建三元一次方程组，求解参数a、b、c。 2. 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0） 适用场景：已知抛物线顶点坐标(h，k)，再结合任意一个抛物线上的点，即可求出参数a，计算简便，是最值问题首选解析式。 3. 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0） 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x₁，0)、(x₂，0)，结合一个普通点即可求解，多用于抛物线轨迹、落地问题。 核心结论：确定二次函数解析式，必须保证至少三个独立条件。 【知识点二】二次函数实际应用建模通用步骤 所有二次函数实际应用题，均遵循固定建模流程，规避解题漏洞： 1. 审题定变量：区分题目中的常量与变量，确定自变量x、因变量y的实际意义； 2. 建立模型：根据几何关系、销售关系、运动规律，列出二次函数关系式； 3. 限定取值范围：结合实际场景确定自变量取值区间（长度、销量、价格等均为非负数）； 4. 求解最值：通过配方法或公式法求出顶点最值； 5. 验证取值：若顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点最值为实际最值；若超出范围，最值取自变量区间端点。 【知识点三】四大核心实际应用模型 模型一：几何图形面积最值模型 常见场景：铁丝围矩形、三角形内接矩形、窗框面积、隧道截面面积等。 解题核心：设图形一条边长为自变量x，利用周长、相似三角形等几何关系，表示出另一边长，根据“面积=长×宽”构建二次函数，求解最大面积。 模型二：销售利润最值模型 核心公式：总利润=单件利润×销售数量 解题核心：价格涨跌会同步改变单件利润和销售数量，根据题意分别表示涨跌后的单件利润、销量，构建利润二次函数，结合售价、销量非负的限制条件求最大利润。 模型三：抛物线运动轨迹模型 常见场景：篮球投篮、铅球投掷、小球抛射、高尔夫球飞行等抛体运动。 解题核心：运动轨迹为抛物线，自变量为水平距离，因变量为飞行高度，可求解最大飞行高度、落地水平距离、指定位置高度等问题。 模型四：区间最值特殊模型 实际问题中自变量大多有取值限制，二次函数顶点不一定可取，需根据函数单调性判断区间最值：开口向上，区间左端点取最小值、右端点取最大值；开口向下，区间左端点取最大值、右端点取最小值。 【知识点四】高频易错点总结 1. 忽略自变量实际取值范围，直接套用顶点最值导致答案错误； 2. 销售问题中，涨价、降价同时影响利润和销量，遗漏任意一个变化量； 3. 建系方式不同，抛物线解析式不同，但最终最值、实际结果不变，无需纠结建系形式； 4. 几何模型中，边长、周长必须为正数，需提前限定自变量范围。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】待定系数法求二次函数解析式 【例题1】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数（）的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 【变式1】（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（    ） x 0 1 y 5 1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为 【变式2】（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【变式3】（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【题型 2】抛物线运动轨迹基础应用 【例题2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的解析式． （2）若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_________m时，水柱落点距O点． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式； （2）根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【题型 3】矩形面积最值基础问题 【例题3】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为____． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为 （如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【题型 4】基础销售利润问题 【例题4】（25-26九年级下·甘肃定西·开学考试）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． （1）直接写出与的函数关系式： ； （2）当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（2026·甘肃庆阳·一模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（2026·山东东营·二模）中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）某网店销售一种小商品，成本每件元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为元时，平均月销售量件；若每件商品的售价上涨元，则月销售量就减少件．设月销售利润为元，请问月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时商品的售价？ 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】二次函数区间最值问题 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【变式1】（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【变式3】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知关于x的二次函数（a为常数） （1）当时，求二次函数的对称轴； （2）当时，二次函数最大值为m，最小值为n，若，求a的值． 【题型 6】含限制条件的销售利润综合问题 【例题6】（2026·江苏盐城·模拟预测）2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． （1）求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； （2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（    ）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【变式2】（2026·广东佛山·模拟预测）某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． （1）请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； （2）物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【题型 7】抛物线落地求值综合问题 【例题7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）图①是古代一种远程攻击的武器投石车，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且到发射点的水平距离m时达到最大高度．将投石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离，与地面的竖直距离，是高度为的防御墙．以点为原点，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）试求石块在飞行过程中与坡面的竖直方向最大距离． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·期中）掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 【变式3】（2025九年级下·河北·专题练习）如图是某同学设计的动画游戏：矩形（其中）和矩形（其中，）的边在轴上，其中．长度为4的平台轴，点的坐标为，从点向右上方沿抛物线发出光点，点落在边上后立即弹起，形成最大高度为7的抛物线，点落在边上后又立即弹起，形成抛物线，经过两次弹起后点落在轴上，已知形状相同． （1）求点发出后达到最大高度时与轴的距离； （2）求点第一次弹起后形成的抛物线的解析式； （3）点发出点的位置从点开始，沿向左平移个单位长度（点只能在上发出，其他保持不变），若使点只经过在边上的一次弹起后就能直接落在轴上．求的最小值； （4）该同学发现，经过两次弹起后抛物线的顶点在同一条直线上，请直接写出点第二次弹起后达到的最大高度 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 6．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某商店销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价．经调查，每千克售价为60元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，设每千克售价为x元，每天利润为W元，则W与x的关系式是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·二模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 8．（2026·陕西延安·一模）图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 9．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 10．（2026·天津河北·二模）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件元，为正整数．有下列结论： ①若，则销售该商品当日利润为900元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则； ③有两种定价方式可以使利润为1008元 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____． 12．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 13．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出（250-5x）盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 14．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 15．（2026·辽宁营口·二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 16．（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 17．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________． 18．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． （1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； （2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数（其中为常数）． （1）若该二次函数有最大值，则的取值范围是________； （2）若该二次函数的最大值是3，求的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． （2）求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？ 22．（本小题满分10分）（2026·山东潍坊·模拟预测）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． （1）直接写出的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 23．（本小题满分10分）（2026·山东潍坊·模拟预测）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 24．（本小题满分12分）（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． （1）求抛物线的对称轴． （2）当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $