3.4相似三角形的性质 第1课时 教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形性质，核心为对应高、角平分线、中线的比等于相似比。课堂导入通过回顾相似三角形定义及判定方法，搭建前后知识支架，自然引出性质探究。 资料亮点在于情境导入生活化，以模型房立柱问题激发兴趣，体现数学眼光观察现实。探究过程从具体到一般，通过推理证明性质并拓展至对应线段，培养数学思维。练习分层设计，助力学生巩固应用，教师使用可高效引导，提升教学效果。

第三章 图形的相似 4 相似三角形的性质 第1课时   一、教学目标 1.熟练掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 2.能利用相似三角形的性质解决一些实际问题. 3.经历探索相似三角形中对应线段的比值与相似比的关系的过程，提高自主探究能力. 4.通过探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验.   二、教学重难点 重点：掌握相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 难点：利用相似三角形的性质解决一些实际问题.   三、教学过程 · 情境导入 教师活动：引导学生回忆前面课程学习的内容，提问学生回答下面问题. 问题1：什么叫相似三角形? 预设答案：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 问题2：我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法？ 预设答案：定义法：三角分别相等、三边成比例. 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 问题3：如果两个三角形是相似三角形，那么能得到什么关系? 两个三角形的对应角相等. 两个三角形的对应角相等. 设计意图：通过回忆上一节内容的基础上，引出本节课内容，探索三角形相似的性质. 追问：相似三角形中其他的对应线段有什么关系呢？ · 探究新知 活动：相似三角形的性质 思考：如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的屋架△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱.如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？你是怎样想的？ 预设答案：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A=∠A'，.又∠ADC=∠A'D'C'=90°. ∴△ACD∽△A'C'D'.∴.∵CD=1.5cm，∴C'D'=3cm. 设计意图：设置生活情境中的例子，让学生体会三角形相似可以解决实际问题，同时引导学生发现相似三角形的高对应成比例. 想一想：(1)如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C' 的相似比为3，那么这两个三角形的两条中线AD，A'D'有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流. 预设答案：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B'，. ∵AD，A'D'是△ABC与△A'B'C'的两条中线， ∴BC=2BD，B'C'=2B'D'. ∴=3. ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴ =3. (2)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由. 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k. 预设答案：如图，分别过A'和A作△A'B'C'与△ABC的高A'D'和AD， ∴∠ADB=∠A'D'B'=90°. 又有∠B=∠B'， ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴=k. 类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 结论：相似三角形对应高的比等于相似比. 如图，分别作△A'B'C'与△ABC中∠B'A'C'和∠BAC的平分线A'D'和AD. ∵∠B'A'C'=∠BAC，∴∠B'A'D'=∠BAD. 又∵∠B=∠B'，∴△ABD∽△A'B'D'. ∴=k. 类似的，我们可以得到其余两组对应角平分线的比也等于相似比. 结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 如图，分别作△A'B'C'与△ABC中B'C'和BC边的中线A'D'和AD. ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B'，. ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴BC=2BD，B'C'=2B'D'. ∴. ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴= k. 类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比. 结论：相似三角形对应中线的比等于相似比. 设计意图：把问题由具体推广到一般，由研究三角形的高推广到研究三角形的角平分线、中线. 引导学生应用三角形相似的判定定理解决问题. 总结：相似三角形的性质定理： 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 设计意图：依据题目的证明总结相似三角形的性质，易于学生理解并记忆. 做一做：如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k；点D，E在边BC上，点D'，E'在边B'C'上. (1)若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则的值等于多少？ 提示：通过△ABC∽△A'B'C'，找到角度对应相等的条件，证明△ABD∽△A'B'D'，再通过相似比求出. 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， 则∠B'=∠B，∠B'A'C'=∠BAC， =k. 而∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′. ∴∠B'A'D'=∠BAD， 则有△ABD∽△A'B'D'. ∴=k. (2)若BE=BC，B′E′=B′C′，则的值等于多少？ 提示：通过△ABC∽△A'B'C'，找到边对应成比例的条件，结合夹角相等，证明△ABE∽ △A'B'E'，通过相似比求出. 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B，= k. 而，即=k. ∴△ABE∽△A'B'E'. ∴=k. 设计意图：把上述相似三角形的性质定理推广到更一般情况：相似三角形对应线段的比等于相似比.推广的过程是由特殊到一般. (3)你能提出更一般性的问题吗？ 提示：问题(1)中，若将换成，结论还成立吗？若换成呢？ 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B，∠B'A'C'=∠BAC， 而. ∴∠B'A'D'=∠BAD，则有△ABD∽△A'B'D'. ∴. 提示：问题(2)中，若将换成，结论还成立吗？若换成呢？ 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，则∠B'=∠B， . 而， ∴，即. ∴△ABE∽△A'B'E'. ∴. 设计意图：鼓励学生大胆提出问题，发展他们发现问题、提出问题的能力，对于有困难的学生，教师要进行适当引导 总结：相似三角形对应线段的比等于相似比. 设计意图：帮助学生总结解题规律. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1.如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当时，求DE的长.如果 呢？ 分析：由已知条件中两个垂直关系可证得SR∥BC，则可证得△ABC∽△ASR，从而得到两个三角形的相似比，再利用相似三角形的高的比等于相似比，求出AE的长，从而算出DE的长. 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比)，即 当时，得解得 当时，得解得 设计意图：通过对典型例题的分析和解答，让学生体会应用相似三角形的性质解决问题时一定要注意先引导学生阅读、理解题意. · 课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【教材练习】 1. 已知△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应中线，，B'D'=4cm，求BD的长. 解：由题意，得，即. 所以BD=6cm. 2. 两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短中线的长是3cm，那么较长的中线有多长？ 解：由题意，得相似比为，设较长的中线长为xcm. 则，解得x=7.5. 答：这两个三角形的相似比为2∶5，较长的中线长为7.5cm. 【自选练习】 3. △ABC ∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，已知AD=8cm，A'D'=3cm ，则△ABC与△A'B'C' 的对应高之比为 . 答案：83 4.如图，AD是BC边的高，点I，H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上， BC=60cm，AD=40cm，四边形FGHI是正方形，则 (1) △AFG与△ABC相似吗？为什么？ (2)求正方形FGHI的边长. 解：(1)△AFG与△ABC相似. ∵四边形FGHI是正方形， ∴FG∥BC. ∴ ∠AFG=∠B，∠AGF=∠C. ∴△AFG∽△ABC. (2)∵ △AFG∽△ABC， ∴ 设正方形FGHI的边长为xcm，则AE=(40-x)cm. ∴解得x=24. 所以正方形FGHI的边长为24cm. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.相似三角形的性质定理是什么？ 2.相似三角形性质定理的拓展是什么？ 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $