第6讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第6讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 判别式判断根 韦达定理 求代数式值 因式分解 综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两不等根 Δ=0两等根 Δ<0无实根 概念辨析例题：x2-2x+k=0两等根k= 解析：Δ=4-4k=0 ☆ 2.韦达定理 x1+x2=- x1x2= 先验Δ≥0 概念辨析例题：x2-3x-4=0两根和积 解析：x1+x2=3 ☆ 3.因式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 先求根再分解 概念辨析例题：2x2-7x+5分解 解析：根为1和2.5 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 Δ b2-4ac 判断根 韦达 和=-b/a积=c/a 先验Δ 代数式 对称式变形 整体代入 分解 a(x-x1)(x-x2) 先求根 ⚠️ 核心考点 【考点1】判别式（第1-16题） 算Δ判根 含参讨论 1．（2026•昌平区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4m＝0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m＝0， 解得m＝1， 即m的值为1， 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，根据当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根来解答． 2．（2026•历城区模拟）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据新定义得到x2﹣2x﹣3a＝3，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵x*a＝3， ∴x2﹣2x﹣3a＝3， 方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0， 解得a． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，实数a，b，c满足4a+c＝2b，则（　　） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 【分析】通过给定条件4a+c＝2b代入判别式Δ＝b2﹣4ac，化简得Δ＝（b﹣4a）2≥0，因此方程总有实数根． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，4a+c＝2b， ∴c＝2b﹣4a， Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（2b﹣4a）＝b2﹣8ab+16a2＝（b﹣4a）2≥0， ∴方程ax2+bx+c＝0总有实数根， 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．（2026•庐阳区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣mx＝﹣m有两个相等的正实数根，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【分析】把方程变形为一般形式：x2﹣mx+m＝0，因为方程有两个相等的实数根，则Δ＝m2﹣4m＝0，解关于m的方程即可． 【解答】解：方程化为一般形式为：x2﹣mx+m＝0， ∵关于x的一元二次方程x2﹣mx＝﹣m有两个相等的正实数根， ∴Δ＝m2﹣4m＝0，则m＝0或m＝4． 又∵两个实数根为正实数， ∴m＝0，不合题意，舍去， ∴m＝4． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 5．（2026•济南）若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ≥0时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了根据一元二次方程的根情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2026•松江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是a≤9且a≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根， ∴a≠0且Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4a≥0， 解得：a≤9， ∴a≤9且a≠0． 故答案为：a≤9且a≠0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式的关系是解题的关键． 7．（2025秋•北京期末）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是k≤2且k≠0　 ． 【分析】先根据一元二次方程的定义得出k≠0，再由方程有实数根，利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，最后联立得到结果． 【解答】解：由条件可知k≠0．判别式 Δ≥0． 其中Δ＝16﹣4•k•2＝16﹣8k， ∴16﹣8k≥0， ∴k≤2， 综上，k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定k≠0，再结合根的判别式求出k的取值范围． 8．（2025秋•延边州期末）若关于x的方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤2　 ． 【分析】由原方程有实数根，可得出Δ＝16﹣8m≥0，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣4x+m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×m＝16﹣8m≥0， 解得：m≤2， ∴m的取值范围是m≤2． 故答案为：m≤2． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键． 9．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 　﹣2　 ． 【分析】利用因式分解法，可求出关于x的一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0的解，结合互为“联根方程”的定义，可得出∴x＝2或x＝a是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根，代入x＝2，可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，代入x＝a，可得出关于a的一元二次方程，解之可得出a的值，再结合a﹣1≠0，即可确定a的值． 【解答】解：∵x2﹣（2+a）x+2a＝0， ∴（x﹣2）（x﹣a）＝0， 解得：x1＝2，x2＝a． ∵关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程， ∴x＝2或x＝a关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的根． 将x＝2代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：4（a﹣1）﹣2a2﹣a+2＝0， 整理得：2a2﹣3a+2＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴此时该方程无实数根，即x＝2不是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0的解； 将x＝a代入方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0得：（a﹣1）a2﹣a3﹣a+2＝0， 整理得：a2+a﹣2＝0， 解得：a1＝﹣2，a2＝1， 又∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣2， ∴a的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根以及一元二次方程的定义，将关于x的一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0的两个实数根分别代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0中，找出关于a的一元二次方程是解题的关键． 10．（2025春•蔡甸区校级期末）若关于x的方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比3小的正实数，则实数m的取值范围是m＝2或　 ． 【分析】对m分类讨论，当二次项系数为零时，检查根是否满足条件；当二次项系数不为零时，因式分解方程，得到两个根，根据根的条件建立不等式组求解． 【解答】解：当4﹣m2＝0时， 解得m＝2或 m＝﹣2， 若m＝2，方程化为4x﹣1＝0，解得 ，满足 0＜x＜3，符合题意， 若m＝﹣2，方程化为﹣4x﹣1＝0，解得，不是正实数，不符合题意； 当4﹣m2≠0 时， 方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0可因式分解为[（2﹣m）x+1][（2+m）x﹣1]＝0， 解得，， 由题意，所有根都是比 3 小的正实数，故需满足： ， 解得不等式组的解集为， 综上，实数m的取值范围是m＝2或． 故答案为：m＝2或． 【点评】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数，解不等式组，注意分类讨论是解题的关键． 11．（2026•成都校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　且a≠1　 ． 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再结合“有两个不相等的实数根”的条件得到根的判别式大于0，解不等式后得到a的取值范围． 【解答】解：由条件可知a﹣1≠0解得a≠1， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2a+1）2﹣4•（a﹣1）•a＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1＞0， 解得， 综上，实数a的取值范围是且a≠1． 故答案为：且a≠1． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025秋•黄浦区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣2且k≠0　 ． 【分析】根据题意得出Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，且k≠0，即可求解． 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0； 故答案为：k≥﹣2且k≠0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 13．（2025秋•辉县市期末）已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 【分析】（1）需要根据判别式Δ＝b2﹣4ac的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，计算Δ并分析当b＞6时Δ的取值即可； （2）先根据判别式求出b的值，再求出方程的根，进而计算三角形的周长，同时要注意三角形三边关系的验证即可． 【解答】证明：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵在方程x2+bx+9＝0中，a＝1，c＝9， ∴Δ＝b2﹣4×1×9＝b2﹣36， 当b＞6时，b2＞36，则b2﹣36＞0，即Δ＞0， ∴根据判别式的性质，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数； 解：（2）∵等腰三角形的两条腰长是方程x2+bx+9＝0的两个根， ∴方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣36＝0， 解得b＝±6， ∵方程的根是三角形的边长， ∴根的和﹣b＞0， ∴b＜0，b＝﹣6， 将b＝﹣6代入方程，得x2﹣6x+9﹣0， ∴因式分解为（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的腰长为3，底边长为2，根据三角形周长公式，周长为3+3+2＝8． 【点评】本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系，以及等腰三角形性质和三角形三边关系，熟练掌握判别式与根的个数的关联、结合实际情况对参数取舍，是解题的关键． 14．（2024春•东营区期末）已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①m＝2时，求△ABC的周长； ②当△ABC为等边三角形时，求m的值． 【分析】①根据题意求解方程，再分类讨论即可求解； ②由题意得关于x的方程有两个相等的实数根，据此即可求解． 【解答】解：①m＝2时，原方程为：， 解方程得：， 当等腰三角形ABC的三边长为：时， ∵， ∴此种情况不成立； ∴等腰三角形ABC的三边长为：， ∴△ABC的周长， ②∵△ABC为等边三角形， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：m＝1． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，三角形三边关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，解答本题的关键熟练掌握一元二次方程的解法． 15．（2026春•雨花区期末）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 【分析】（1）依据题意，根据互为“换位方程”的定义，从而可以得解； （2）依据题意，由当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0，则方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根，从而得解； （3）依据题意，，，则，则， 当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，则m≠3，故x0＝﹣1或x0＝1，进而可以计算得解． 【解答】（1）解：由题意，根据互为“换位方程”的定义， ∵方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2， ∴方程①的“换位方程”为（m﹣2）x2+（2m+1）x+1＝0； （2）证明：由题意，∵当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）解：由题意，，， ∴，则， 当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴m≠3． ∴x0＝﹣1或x0＝1， ∴当x0＝﹣1时，代入方程①得m＝﹣2；当x0＝1时，代入方程①得m＝0． 答：公共根为﹣1时，m＝﹣2；公共根为1时，m＝0． 【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解、解一元二次方程﹣公式法、解一元二次方程﹣因式分解法，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 16．（2026•椒江区二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数）， m2＝（2n）2＝4n2， 因为n2是整数， 所以m2能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为　1　 ． 证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数）， … （2）请补全证明过程． 【应用】 （3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由． （注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0） 【分析】（1）举例得出结论； （2）设m＝2n+1（其中n为整数），则m2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1，然后得出结论； （3）根据Δ＝b2﹣4ac，分b为偶数和b为奇数，由（1）（2）得出结论． 【解答】解：（1）∵32＝9，9÷4＝2...1； 52＝25，25÷4＝6...1； 72＝49，49÷4＝12...1； ...， ∴奇数的平方被4除余数为1， 故答案为：1； （2）证明：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数）， ∴m2＝（2n+1）2 ＝4n2+4n+1 ＝4（n2+n）+1， ∵n为整数， ∴n2+n为整数， ∴m2被4除余1； （3）小红计算结果不正确，理由： ∵整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0， ∴Δ＝b2﹣4ac， 当b为偶数时，b2能被4整除，4ac也能被4整除； 当b为奇数时，b2能被4整除余1，4ac能被4整除，即b2﹣4ac被4除余1； ∴2026÷4＝506...2，即2026被4除余2，不符合上述情况， ∴小红计算结果不正确． 【点评】本题考查根的判别式，以及归纳猜想，关键是分情况讨论． 【考点2】韦达定理（第17-34题） 熟记和与积 代数式变形 17．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 18．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 【分析】先根据一元二次方程的解得到a2+a﹣2026＝0，利用根与系数关系得到a+b＝﹣1，则a2+2a+b＝a2+a+a+b，求解即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2026＝0，即a2+a＝2026，a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026﹣1＝2025， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2025秋•菏泽期末）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】先解出一元二次方程，然后通过“倍根方程”的定义进行分类讨论即可． 【解答】解：∵（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）， ∴x﹣2＝0或ax﹣b＝0， 解得：， ∵方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”， ∴分两种情况： 当时，即a＝b， 此时； 当时，即b＝4a， 此时， 综上所述，代数式的值为或． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程以及分式的求值，能够正确解出一元二次方程是解题关键． 20．（2026•宽城县一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故A错误，该选项不符合题意； 设x1、x2是一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+1，x1•x2＝﹣6， 故C正确，该选项不符合题意；D错误，该选项不符合题意； ∴两根的符号相反， 故B错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 21．（2026春•柯桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1 【分析】依据题意，由一元二次方程判别式与韦达定理，可得Δ≥0，进而列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，即可计算得解． 【解答】解：由题意得： ∴． ∴3＜m≤5． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 22．（2026•成都模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　14　 ． 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，关键掌握对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根为x1，x2，则，． 23．（2026春•阿城区期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的两个实数根，则的值为　﹣20　 ． 【分析】先利用根与系数的关系，再把要求值代数式变形后代入得结论． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣20． ∴x1x2（x1+x2）＝1×（﹣20）＝﹣20． 故答案为：﹣20． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，掌握整式的因式分解、一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 24．（2026春•舟山期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是﹣1和1，这个方程可以是x2＝1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【解答】解：由条件可知两根之和为：x1+x2＝﹣1+1＝0， 两根之积为：x1x2＝（﹣1）×1＝﹣1， 对于一元二次方程x2+bx+c＝0，根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 代入得：﹣b＝0，c＝﹣1，即b＝0，c＝﹣1， ∴这个方程可以是：x2﹣1＝0． 故答案为：x2＝1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2024春•双流区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 　　 ． 【分析】设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2，由根与系数得，由新定义得，由此可得b2＝a2+8a，将此代入t，由二次函数的性质即可求解． 【解答】解：设方程ax2+bx+2＝0的两个根为x1，x2， ∴， ∵关于x的方程ax2+bx+2＝0是“邻近根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴， ∴， ∴， 整理得：b2＝a2+8a， ∴t＝b2﹣4a2 ＝a2+8a﹣4a2 ＝﹣3a2+8a ， ∵﹣3＜0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的最值等理解新定义，掌握根与系数的关系，熟练利用完全平方公式进行变形运算是解题的关键． 26．（2026春•江北区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝8，则的值为　4　 ． 【分析】先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出a的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【解答】解：已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）有两个实数根x1，x2， 将原方程x2+2ax＝2（a﹣1）整理为一般形式得x2+2ax﹣2a+2＝0， ∵方程的两个实数根为x1，x2， 根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣2a+2， 已知x1+x2＝8， ∴﹣2a＝8， 解得a＝﹣4， ∴x1x2＝﹣2×（﹣4）+2＝10， ∵x1是方程的根，将x1代入原方程得， 整理得， 将a＝﹣4代入得， 将，x1x2＝10，x1+x2＝8代入所求代数式得： ， ＝8x1﹣10﹣5×10+8x2 ＝8×（x1+x2）﹣10﹣5×10 ＝8×8﹣10﹣5×10 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 27．（2026•双流区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 　4　 ． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根， 所以m+n＝4，mn＝﹣3，且m2﹣4m﹣3＝0， 则m2﹣4m＝3， 所以m2+mn﹣3m+n＝m2﹣4m+mn+m+n＝3+（﹣3）+4＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 28．（2025•达孜区一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求k的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣2）xk2﹣2k＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k）＞0，于是得到结论； （2）根据x1+x2＝k﹣2，x1x2k2﹣2k，代入x1x2＝25，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣2）xk2﹣2k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k）＞0， 解得：k＞﹣1． （2）∵x1+x2＝k﹣2，x1x2k2﹣2k， ∵x1x2＝25， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝25， ∴（k﹣2）2﹣3（k2﹣2k）＝25， 解得：k1＝﹣14，k2＝6， ∵k＞﹣1， ∴k＝6． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． 29．（2026春•通州区期末）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值． 【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可； （2）通过根与系数关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣2） ＝a2﹣4a+8 ＝（a﹣2）2+4， ∵无论a为何实数时（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+4＞0， ∴无论a为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣a，x1x2＝a﹣2， ∵xx2+x1xx1x2（x1+x2）＝﹣3， ∴（a﹣2）×（﹣a）＝﹣3， 化简得a2﹣2a﹣3＝0 解得a＝3或a＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 30．（2025秋•姜堰区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的一个根比另一个根大1，求m的值． 【分析】（1）先计算根的判别式，再利用非负数的性质得你结论； （2）先求出方程的两个根，再根据一个根比另一个根大1求出m的值． 【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m ＝（m﹣2）2≥0． ∴方程总有实数根； （2）x2﹣（m+2）x+2m＝0， ∴（x﹣m）（x﹣2）＝0． ∴x＝m或x＝2． ∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的一个根比另一个根大1， ∴m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1． ∴m＝3或m＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识点是解决本题的关键． 31．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明Δ＞0即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k，根据题意，代入x1+x2﹣x1x2＝6，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k， ∴﹣（k+2）﹣k＝6， 解得：k＝﹣4． 【点评】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． 32．（2025春•天长市期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式的值． 【分析】（1）由根的判别式Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m×2＝（2m﹣1）2即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【解答】解：（1）此方程总有两个实数根． 理由：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m•2＝（2m﹣1）2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）设方程的两个根为x1，x2， 则，， ∵此方程的两个实数根都是整数， ∴m的值为±1， ∴符合条件的整数m的值的和为0； （3）∵x1，x2是方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0的两个实数根， ∴，， ∴①，②， ①+②得，． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟知若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，是解题的关键． 33．（2025秋•杨浦区期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【解答】（1）证明：由题意，∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2． ∵对于任意实数m都有（m﹣5）2≥0， ∴Δ≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）解：由题意，∵两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根， ∴AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）（m＞2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， ∴m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 34．（2025秋•浦东新区校级期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根为α、β，那么α+β，αβ，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如2x2+x﹣3＝0的两个根分别为α、β．则α+β，αβ． （1）小爱同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和． 不解方程，请求一元二次方程2x2+x﹣3＝0的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程2x2﹣3x﹣7＝0，∵a＝2、b＝﹣3、c＝﹣7，∴x1+x2． 设x1k，则，即，解得k＝±． 所以原方程的解为x1． 请利用小艺的方法解方程3x2﹣4x﹣2＝0． （3）小董同学善于发现，他对三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以a可得x30．若该方程的三个根分别为α、β、γ，则（x﹣α）（x﹣β）（x﹣γ）＝0，将其展开后为x3﹣（α+β+γ）x2+（αβ+αγ+βγ）x﹣αβγ＝0，于是α+β+γ、αβ+αγ+βγ、αβγ． 若三次方程x3﹣x2﹣3x﹣10＝0的三个根分别为α、β、γ，且μ＝﹣α+β+γ．请先说明μ+2α＝1，再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为﹣α+β+γ、α﹣β+γ、α+β﹣γ． 【分析】（1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小艺同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得α+β+γ＝1，αβ+αγ+βγ＝﹣3，αβγ＝10，代入即可证出μ+2α＝1，可设新方程为x3+mx2+nx+p＝0，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解． 【解答】解：（1）∵，αβ， ∴（）； （2）由题意，∵3x2﹣4x﹣2＝0， ∴x1+x2，x1x2． 设x1k，x2k， ∴x1x2＝（k）（k）， ∴k2． ∴k＝±． ∴原方程的解为x1，x2； （3）由根与系数的关系，可得α+β+γ＝1，αβ+αγ+βγ＝﹣3，αβγ＝10， ∴μ+2α＝（﹣α+β+r）+2α＝α+β+γ＝1， 由题意得，可设新方程为x3+mx2+nx+p＝0， ∵α+β+γ＝1， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为1﹣2α、1﹣2β、1﹣2γ， ∴（1﹣2α）+（1﹣2β）+（1﹣2γ）＝﹣m，（1﹣2α）（1﹣2β）+（1﹣2α）（1﹣2γ）+（1﹣2β）（1﹣2γ）＝n，（1﹣2α）（1﹣2β）（1﹣2γ）＝p， ∴m＝﹣[3﹣2（α+β+γ）]＝﹣（3﹣2）＝﹣1，3﹣4（α+β+γ）+4（αβ+αγ+βγ）＝n，1﹣2（α+β+γ）+4（αβ+αγ+βγ）﹣8αβγ＝p， ∴n＝3﹣4×1+4×（﹣3）＝﹣13，p＝1﹣2×1+4×（﹣3）﹣8×10＝﹣93， ∴新方程为x3﹣x2﹣13x﹣93＝0． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点，熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【考点3】因式分解（第35-39题） 先求根 35．（2025秋•闵行区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式． 【解答】解：∵对于x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8， ∴根为， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的求根公式；熟练掌握该知识点是关键． 36．（2025•呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy 【分析】利用平方差公式对选项进行判断即可． 【解答】解：A．x2+y2，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B．﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C．﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； D．x2+2xy，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键． 37．（2025秋•同步）在实数范围内因式分解： （1）2x2+4x+1； （2）x2﹣2ax﹣a2． 【分析】（1）根据配方法化为平方差的形式，进行因式分解，即可求解． （2）根据配方法化为平方差的形式，进行因式分解，即可求解． 【解答】解：（1）2x2+4x+1 ＝2x2+4x+2﹣1 ＝2（x2+2x+1）﹣1 ＝2（x+1）2﹣1 ＝[（x+1）+1][（x+1）﹣1] ＝（x1）（x1）； （2）x2﹣2ax﹣a2 ＝x2﹣2ax+a2﹣2a2 ＝（x﹣a）2﹣2a2 ＝（x﹣a）（x﹣a）． 【点评】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 38．（2022秋•浦东新区校级期中）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3． 【分析】先求出方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，再进行因式分解即可． 【解答】解：在方程2x2+4x﹣3＝0中， a＝2，b＝4，c＝﹣3， Δ＝b2﹣4ac＝16+24＝40， ∴， ∴，， ∴． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用求根公式在实数范围内因式分解的方法是解题的关键． 39．已知0，在实数范围内分解因式：6xa2﹣3y． 【分析】根据算术平方根的非负性，求出x，y的值，再对所给代数式进行因式分解即可． 【解答】解：由题知， 因为0， 所以， 解得， 则6xa2﹣3y＝4a2﹣3＝（）（）． 【点评】本题主要考查了实数范围内分解因式、非负数的性质：算术平方根及解二元一次方程组，熟知算术平方根的非负性及因式分解的步骤是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 Δ定根 韦达和积 对称式变形 先验Δ≥0 先求根再分解 【作业 1】（2026•界首市二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 【作业 2】（2026秋•常宁市校级月考）把（x2﹣3）2﹣4在实数范围内因式分解，结果为（　　） A．（x2﹣1）（x2﹣5） B．（x﹣1）（x+1）（x2﹣5） C．（x﹣1）（x+1）（x﹣5）（x+5） D． 【分析】先对原式用平方差公式分解，再对两个因式继续用平方差公式分解即可． 【解答】解：利用平方差公式把（x2﹣3）2﹣4在实数范围内因式分解可得： 原式＝[（x2﹣3）+2][（x2﹣3）﹣2] ＝（x2﹣1）（x2﹣5） ． 故选：D． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，正确进行计算是解题关键． 【作业 3】（2026•英德市二模）当k＝　3　 时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个相等的实数根． 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＝0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＝0， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【作业 4】（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ． 【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解． 【解答】解：由题意Δ＝0， ∴36﹣4（2m﹣1）＝0， 解得m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【作业 5】（2026•玄武区一模）若α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 　1　 ． 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到α2＝3α+4，则α2﹣4α﹣β可化为4﹣（α+β），再根据根与系数的关系得到α+β＝3，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的根， ∴α2﹣3α﹣4＝0， ∴α2＝3α+4， ∴α2﹣4α﹣β＝3α+4﹣4α﹣β＝4﹣（α+β）， ∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根， ∴α+β＝3， ∴α2﹣4α﹣β＝4﹣3＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 【作业 6】（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则　9　 ． 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得3x1+1＝0，即3x1﹣1，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，3x1+1＝0，x1x2＝1， ∴3x1﹣1， ∴3x2+x1x2 ＝3x1﹣1+3x2+1 ＝3（x1+x2） ＝3×3 ＝9． 故填空答案：9． 【点评】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【作业 7】（2024秋•松江区期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣7x+5＝ 　（x﹣1）（2x﹣5）　 ． 【分析】利用十字相乘法因式分解即可． 【解答】解：原式＝（x﹣1）（2x﹣5）， 故答案为：（x﹣1）（2x﹣5）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【作业 8】（2026秋•同步）在实数范围内分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24． 【分析】将（x﹣3）（x+4）与（x﹣1）（x+2）分别相乘得出的结果中都含有（x2+x）这个整体，再用换元法比较简单． 【解答】解：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24 ＝（x﹣3）（x+4）（x﹣1）（x+2）+24 ＝（x2+x﹣12）（x2+x﹣2）+24 令x2+x＝t， ∴原式＝（t﹣12）（t﹣2）+24 ＝t2﹣14t+48 ＝（t﹣6）（t﹣8） ∴原式＝（x2+x﹣6）（x2+x﹣8） ＝（x+3）（x﹣2）（x）（x）． 【点评】本题考查了对于复杂多项式进行因式分解，采用分组相乘，利用系数特点进行分组相乘，再用一元二次方程的求根公式进行求根在分解． 【作业 9】（2022秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：3x2y2+10xy+5． 【分析】将原式变形后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝3（x2y2xy） ＝3（x2y2xy） ＝3[（x2y2xy）] ＝3[（xy）2] ＝3（xy）（xy）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，将原式进行正确的变形是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•泉州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+2x2＝1，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝12m2+4，由偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出12m2+4＞0，即Δ＞0，由此可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，结合x1+2x2＝1，可得出x2＝﹣1，再将x＝﹣1代入原方程，解之即可得出m的值． 【解答】（1）证明：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3m2）＝12m2+4， ∵m2≥0， ∴12m2+4＞0， 即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2， 又∵x1+2x2＝1， ∴x2＝﹣1． 将x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2+2﹣3m2＝0， 解得：m＝±1， ∴m的值为±1． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”． 【作业 11】（2025秋•淇滨区校级期末）若x＝k，代数式ax2+bx+c的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”． （1）判断代数式x2﹣3x+2是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式x2﹣t2+t存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【分析】（1）根据题意，得到x2﹣3x+2＝x，整理得x2﹣4x+2＝0，根据一元二次方程根的判别式判断该方程有解，即代数式x2﹣3x+2存在“x优值”； （2）当x2﹣t2+t＝x时，整理得x2﹣x﹣t2+t＝0，运用公式法求出方程的两个根，结合它们的差为3，求出t值． 【解答】解：（1）代数式x2﹣3x+2存在“x优值”，理由如下： 当x2﹣3x+2＝x时，x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0， ∴代数式x2﹣3x+2存在“x优值”； （2）由条件可知x2﹣x﹣t2+t＝0． ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣t2+t）＝（2t﹣1）2≥0， ∴x1+x2＝1，， ∵， ∴12﹣4（﹣t2+t）＝9， ∴4t2﹣4t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣1， ∴t＝2或t＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，准确地理解题意是解题的关键． 【作业 12】（2026春•长兴县期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+12，则△＞0，从而根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1，再利用乘法公式得到（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算； （3）先根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1，再计算M﹣N得到M﹣N＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2，接着利用整体代入的方法得到M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2，然后利用配方法得到M﹣N＝（k+3）2+4＞0，从而得到M＞N． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+4）2﹣4（2k+1） ＝k2+8k+16﹣8k﹣4 ＝k2+12， ∵k2≥0， ∴k2+12＞0，即△＞0， ∴x2﹣（k+4）x+2k+1＝0总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+1， （x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+1﹣2（k+4）+4 ＝2k+1﹣2k﹣8+4 ＝﹣3； （3）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝k+4x1•x2＝2k+1， ∵M，N＝2﹣x1x2， ∴M﹣N2+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣2， ∴M﹣N＝（k+4）2﹣（2k+1）﹣2 ＝k2+16+8k﹣2k﹣1﹣2 ＝k2+6k+13 ＝（k+3）2+4＞0， ∴M＞N． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【作业 13】（2025秋•南海区校级月考）如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题． （1）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，写出k的取值范围为k　 ； （2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，不解方程求m2+n2的值； （3）已知实数m，n满足2m2+3m﹣1＝0，2n2+3n﹣1＝0且m≠n，直接写出的值． 【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，得到Δ＝32﹣4×≤k≥0，求出k的解集即可； （2）先得到，化简（m+n）2﹣2mn，再代值计算即可； （3）先推导出实数根为m，n可看作一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则，求出，，则，即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝32﹣4×k≥0， 解得k， 故答案为：k； （2）由条件可知， ∴； （3）由条件可知实数为m，n可看作一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根， ∴， ∴，， ∴， 则． 【点评】本题考查一元二次方程的判别式，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 一元二次方程根与系数关系 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 判别式判断根 韦达定理 求代数式值 因式分解 综合应用 📚 知识梳理 ☆ 1.判别式 Δ=b2-4ac Δ>0两不等根 Δ=0两等根 Δ<0无实根 概念辨析例题：x2-2x+k=0两等根k= 解析：Δ=4-4k=0 ☆ 2.韦达定理 x1+x2=- x1x2= 先验Δ≥0 概念辨析例题：x2-3x-4=0两根和积 解析：x1+x2=3 ☆ 3.因式分解 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 先求根再分解 概念辨析例题：2x2-7x+5分解 解析：根为1和2.5 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 Δ b2-4ac 判断根 韦达 和=-b/a积=c/a 先验Δ 代数式 对称式变形 整体代入 分解 a(x-x1)(x-x2) 先求根 ⚠️ 核心考点 【考点1】判别式（第1-16题） 算Δ判根 含参讨论 1．（2026•昌平区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 2．（2026•历城区模拟）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，实数a，b，c满足4a+c＝2b，则（　　） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 4．（2026•庐阳区校级三模）若关于x的一元二次方程x2﹣mx＝﹣m有两个相等的正实数根，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 5．（2026•济南）若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 6．（2026•松江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是____________ ． 7．（2025秋•北京期末）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是____________ ． 8．（2025秋•延边州期末）若关于x的方程2x2﹣4x+m＝0有实数根，则m的取值范围是________ ． 9．（2023秋•新吴区期末）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程x2﹣（2+a）x+2a＝0和（a﹣1）x2﹣a2x﹣a+2＝0互为联根方程，那么a的值为 _______ ． 10．（2025春•蔡甸区校级期末）若关于x的方程（4﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比3小的正实数，则实数m的取值范围是____________________ ． 11．（2026•成都校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是____________________ ． 12．（2025秋•黄浦区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是_____________ ． 13．（2025秋•辉县市期末）已知一元二次方程x2+bx+9＝0． （1）求证：当b＞6时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求b的值以及这个等腰三角形的周长． 14．（2024春•东营区期末）已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①m＝2时，求△ABC的周长； ②当△ABC为等边三角形时，求m的值． 15．（2026春•雨花区期末）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 16．（2026•椒江区二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数）， m2＝（2n）2＝4n2， 因为n2是整数， 所以m2能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为_____ ． 证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数）， … （2）请补全证明过程． 【应用】 （3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由． （注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0） 【考点2】韦达定理（第17-34题） 熟记和与积 代数式变形 17．（2026•苍梧县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 18．（2026•桂林模拟）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2024 D．2027 19．（2025秋•菏泽期末）新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 20．（2026•宽城县一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 21．（2026春•柯桥区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≥5 B．m＞3 C．3＜m≤5 D．m＞1 22．（2026•成都模拟）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 _______ ． 23．（2026春•阿城区期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的两个实数根，则的值为________ ． 24．（2026春•舟山期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是﹣1和1，这个方程可以是________________ ． 25．（2024春•双流区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，|0﹣（﹣1）|＝1，则方程x2+x＝0是“邻近根方程”．若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻近根方程”，令t＝b2﹣4a2，则t的最大值为 ___________________ ． 26．（2026春•江北区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2ax＝2（a﹣1）有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝8，则的值为_____ ． 27．（2026•双流区校级模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+mn﹣3m+n的值为 _____ ． 28．（2025•达孜区一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求k的值． 29．（2026春•通州区期末）已知，关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）求证：a取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2，满足，求a的值． 30．（2025秋•姜堰区期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）若关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0的一个根比另一个根大1，求m的值． 31．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 32．（2025春•天长市期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2＝0． （1）判断此方程根的情况，并说明理由． （2）若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和． （3）若此方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式的值． 33．（2025秋•杨浦区期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 34．（2025秋•浦东新区校级期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根为α、β，那么α+β，αβ，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如2x2+x﹣3＝0的两个根分别为α、β．则α+β，αβ． （1）小爱同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和． 不解方程，请求一元二次方程2x2+x﹣3＝0的两个根的倒数和． （2）小艺同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程2x2﹣3x﹣7＝0，∵a＝2、b＝﹣3、c＝﹣7，∴x1+x2． 设x1k，则，即，解得k＝±． 所以原方程的解为x1． 请利用小艺的方法解方程3x2﹣4x﹣2＝0． （3）小董同学善于发现，他对三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以a可得x30．若该方程的三个根分别为α、β、γ，则（x﹣α）（x﹣β）（x﹣γ）＝0，将其展开后为x3﹣（α+β+γ）x2+（αβ+αγ+βγ）x﹣αβγ＝0，于是α+β+γ、αβ+αγ+βγ、αβγ． 若三次方程x3﹣x2﹣3x﹣10＝0的三个根分别为α、β、γ，且μ＝﹣α+β+γ．请先说明μ+2α＝1，再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为﹣α+β+γ、α﹣β+γ、α+β﹣γ． 【考点3】因式分解（第35-39题） 先求根 35．（2025秋•闵行区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 36．（2025•呼和浩特二模）下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣x2+y2 D．x2+2xy 37．（2025秋•同步）在实数范围内因式分解： （1）2x2+4x+1； （2）x2﹣2ax﹣a2． 38．（2022秋•浦东新区校级期中）在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3． 39．已知0，在实数范围内分解因式：6xa2﹣3y． 💯 课后巩固 复习建议 Δ定根 韦达和积 对称式变形 先验Δ≥0 先求根再分解 【作业 1】（2026•界首市二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【作业 2】（2026秋•常宁市校级月考）把（x2﹣3）2﹣4在实数范围内因式分解，结果为（　　） A．（x2﹣1）（x2﹣5） B．（x﹣1）（x+1）（x2﹣5） C．（x﹣1）（x+1）（x﹣5）（x+5） D． 【作业 3】（2026•英德市二模）当k＝_____ 时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个相等的实数根． 【作业 4】（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 _____ ． 【作业 5】（2026•玄武区一模）若α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为 _____ ． 【作业 6】（2026•相城区二模）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则_____ ． 【作业 7】（2024秋•松江区期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣7x+5＝ ________________ ． 【作业 8】（2026秋•同步）在实数范围内分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24． 【作业 9】（2022秋•普陀区校级期中）在实数范围内因式分解：3x2y2+10xy+5． 【作业 10】（2025秋•泉州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+2x2＝1，求m的值． 【作业 11】（2025秋•淇滨区校级期末）若x＝k，代数式ax2+bx+c的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”． （1）判断代数式x2﹣3x+2是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式x2﹣t2+t存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【作业 12】（2026春•长兴县期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值； （3）若，N＝2﹣x1x2，比较M与N的大小． 【作业 13】（2025秋•南海区校级月考）如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么这就是著名的韦达定理，利用韦达定理要注意先判别根的存在问题． （1）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个实数根，写出k的取值范围为____________________ ； （2）已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，不解方程求m2+n2的值； （3）已知实数m，n满足2m2+3m﹣1＝0，2n2+3n﹣1＝0且m≠n，直接写出的值． 第1页（共1页） 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