专题2.2 求解一元二次方程 培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题2.2 求解一元二次方程 知识点1：直接开平方法 　　1.定义：根据平方根的意义，直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法，本质是降次。 　　2.适用形式：方程可化为或的形式。 　　3.求解要点：当时，，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，无实数根（负数没有平方根）。 知识点2：配方法 　　1.定义：先把方程的常数项移到右边，再把左边配成含未知数的完全平方式，化为的形式，再直接开平方求解，这种通过配成完全平方形式解方程的方法叫做配方法。 　　2.理论依据：完全平方公式，配方时左右两边同时加上一次项系数一半的平方。 步骤 名称 操作 实例（以为例） 一移 移项 把常数项移到等号右边 二化 二次项系数化为 1 两边同除以二次项系数 三配 配方 两边加上一次项系数一半的平方 四开 开平方 利用平方根的意义开平方 五解 求解 写出两个一元一次方程并解出根 ， 知识点3：公式法与求根公式 　　1.求根公式：当时，一元二次方程的实数根为，这个式子叫求根公式，把系数直接代入求根公式求解的方法叫做公式法。 　　2.一般步骤：①把方程化为一般形式，确定 a、b、c；②计算；③若，代入求根公式求出根；若，则方程无实数根。 根的情况 说明 两个不相等的实数根 ， 两个相等的实数根 无实数根 不能开平方，方程无实数解 知识点4：因式分解法 　　1.定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再令两个一次式分别等于 0，从而降次求解，这种方法叫做因式分解法。 　　2.理论依据：若，则 a=0 或 b=0。 　　3.一般步骤：①移项，使等号右边为 0；②把左边因式分解；③化为两个一元一次方程；④分别求解写出两根。 知识点5：四种解法对比 方法 基本形式 适用特征 注意点 直接开平方法 或 方程一边是完全平方式 开平方要取±，不要漏负根 配方法 二次项系数为 1 且一次项系数为偶数较简 二次项系数须先化为 1 公式法 任意一元二次方程，通用 先化一般形式，代准 a、b、c 因式分解法 (x−m)(x−n)=0 方程便于分解因式 移项后右边必须为 0 【基础必考题型】 【题型1】直接开平方法解方程 1.核心知识点 　　平方根的意义；直接开平方法降次求解； 的条件判断。 2.解题方法技巧 　　①把方程整理为 或 的形式； 　　②开平方时两边同时取±，确保不遗漏负根； ③若 则方程无实数根，不必强行开方。 【例题1】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）方程 的解是______． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． 【变式题1-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题1-3】.（2026九年级上·河北·专题练习）用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． （3）解：， ， ， ，． （4）解：， ， ，． 【题型2】配方法解方程 1.核心知识点 　　完全平方公式；配方法的五步流程；配方后开平方。 2.解题方法技巧 　　①若二次项系数不为 1，先化为 1； 　　②配方时两边同时加上一次项系数一半的平方； ③注意等号两边同加同减，保持等式成立。 【例题2】.（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 【变式题2-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ∴，， 则． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，   第一步 所以，即，   第二步 所以方程没有实数根．   第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，   第一步 两边都除以，得．   第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法： ， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 配方得， ， 即， ． （2）解：， ， 配方得， ， 即， ． 【题型3】因式分解法解方程 1.核心知识点 　　提取公因式、公式法、十字相乘分解因式； 型降次。 2.解题方法技巧 　　①先移项使右边为 0，再分解因式； 　　②令每个因式分别为 0，分别求解； ③不可两边同除以含未知数的因式，以免漏根。 【例题3】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 【变式题3-1】.（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程两根为，则 ，代入已知条件即可得到结果． 【详解】∵关于的一元二次方程的两根为， ∴根据一元二次方程根与因式分解的关系可得 因此代数式因式分解的结果对应选项D． 【变式题3-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】把（1）、（2）的方程先分解因式，再根据“，则或”解出即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴， ． （2）解：， ， 或， ∴， ． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 【答案】(1)一；因式分解法 (2)解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴或， 解得：，． 【分析】（1）对照第一步展开后的二次三项式与原方程左边不一致，即可判断出错误发生在第一步；根据 “化为两个一次因式乘积等于零” 的形式即可确定所用方法为因式分解法； （2）将原方程转化为，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，与原方程左边不相等， ∴嘉嘉的解法从第一步开始出现错误； 又∵嘉嘉将原方程转化为“两个一次因式的乘积等于零” 的形式， ∴嘉嘉所用方法为因式分解法； （2）略． 【培优高频题型】 【题型4】根的判别式判断根的情况 1.核心知识点 　　判别式 ； 符号与根的情况的对应；不解方程判断根。 2.解题方法技巧 　　①先化为一般形式，求出 a、b、c； 　　②计算 并判断正、零、负； ③根据 的正负直接写出根的情况，无需解方程。 【例题4】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 【变式题4-2】.（2026·吉林长春·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列方程求解即可得到的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 【变式题4-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：方程可化为， ∵关于的方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 【题型5】公式法解方程 1.核心知识点 　　一般形式；求根公式的识别与代入； 与根的关系。 2.解题方法技巧 　　①把方程化为一般形式，准确确定 a、b、c（含符号）； 　　②先算 ，判断是否； ③把 a、b、c 代入求根公式，化简得到两根。 【例题5】.（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 【答案】 4 41 ， 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 原方程无实数根 (4) ， (5) ， (6) ， 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， ； （2）解：， ， ， ， 解得， ； （3）解：； ， ， ∴原方程无实数根； （4）解：； ， ， ， 解得， ； （5）解：， ， ， ， ， 解得， ； （6）解：， 整理得， ， ， ， 解得， . 【压轴素养题型】 【题型6】换元法解特殊结构方程 1.核心知识点 　　整体换元思想；降次转化；回代与检验。 2.解题方法技巧 　　①把重复出现的整体部分设为新元 t； 　　②将原方程化为关于 t 的一元二次方程并求解； ③回代求 x，检验是否满足原式与取值范围。 【例题6】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)、、、 【分析】（1）设，则原方程化为，可求得y的值，然后求x的值即可； （2）设，则原方程化为，可求得y的值，然后求x的值即可； （3）设，则原方程化为，可求得y的值，然后求x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无解，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，． （2）解：设，则原方程化为， 解得， 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，． （3）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，， 整理得：， 解得：，； 当时，， 解得，． 所以原方程的解为、、、． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 【题型7】配方法的应用 1.核心知识点 　　配方求最值；完全平方式的判定；整体思想。 2.解题方法技巧 　　①对代数式配方成 的形式； 　　②利用 判断最值：n 为最小值（）或最大值（）； ③判断某式为完全平方式，令一次项系数的平方等于 4 倍二次项与常数项的积。 【例题7】.（25-26九年级上·全国·课后作业）当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 【答案】 5 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）将二次项与一次项组合，利用完全平方公式配成完全平方式，调整常数项即可得到配方形式； （2）将等式中含x、y的项分别分组配方，根据平方的非负性求出x、y的值，代入代数式计算； （3）将等式左边拆项后分组配方，根据平方的非负性求出a、b、c的值，代入代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的结构特征确定常数项； （2）按照题干给出的配方法，先凑出完全平方式，再利用平方差公式分解因式； （3）先提取公因式，利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：设括号内的常数为， 由于是完全平方式， 则， 解得：， 因此，括号内的常数应为； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）． (2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由． (3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价． 【答案】(1)， (2)能，售价为元 (3)元 【分析】（1）用实际售价减去进价即可表示利润；塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，则塑料椅降价x元，销售量增加把，即可得到塑料椅的销售量； （2）根据利润公式建立一元二次方程求解，并检验是否符合题意即可； （3）根据利润公式表示出利润，再利用配方法求解最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，每把塑料椅的实际利润为元；塑料椅的销售量为把； （2）解：能让每月利润达到3750元， 由题意得， 整理得， 解得， 当时，销售量为，符合题意； 当时，销售量为，不符合题意， 则此时的售价为（元） 答：能让每月利润达到3750元，此时的售价为元； （3）解：令利润为元，由题意得， ∵， ∴， ∴， 即，当时，取得最大值， 那么此时的售价为（元） 答：经销商想让每月利润达到最大值，此时塑料椅的售价为元． 【题型8】阅读材料与新定义探究 1.核心知识点 　　新定义运算规则；按定义转化为一元二次方程；迁移应用。 2.解题方法技巧 　　①圈出定义中的运算规则与限定条件； 　　②把所给运算按定义展开，列出一元二次方程； 　　③选择合适方法求解，必要时用判别式判断根的情况。 【例题8】.（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)的值为0或； (2)或； (3) ∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； （3）解：略． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”   请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． (1)我们在解方程时用到的数学思想方法是（  ）． A．数形结合的思想         B．整体的思想      C．分类讨论的思想        D．特殊到一般的思想 (2)解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【详解】（1）解：观察题目例题的解答过程，发现分或两种情况， ∴在解方程时用到的数学思想方法是：分类讨论的思想． （2）解：①当，即时，原方程可化为： ，解得：（舍去），． ②当，即时，原方程可化为： ，解得：，（舍去）， ∴原方程的解是，． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是 其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 【答案】(1)③ (2)解：如图， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，解得． (3)或 【分析】（1）通过方程变形找到两个正数的积与差，验证构图结构，选出正确答案即可； （2）模仿材料的几何法，构造大正方形，利用面积和差列方程求解，再画图并标注； （3）分析构图的边长关系，大正方形由四个全等小矩形和中间小正方形组成，先从图中提取边长关系，再进一步推导对应的二次方程． 【详解】（1）解：方程可变形为，即每个小矩形面积为21，观察图形①②③，三个图形中小矩形面积分别为12，12，21，再进一步进行验证，可得方程的正确构图为③； （2）略； （3）解：由图①可设对应的方程为或，其中， ∴图①对应的方程为或． 易错点 1、直接开平方时只取正根，遗漏负根。 2、配方时忘记加一次项系数一半的平方，或二次项系数不为 1 时未先化为 1。 3、公式法未把方程化为一般形式，a、b、c 确定错误或漏带符号。 4、含参方程忘记判别式 ，或忽略二次项系数不为 0。 5、因式分解法移项不到位，等号右边不为 0，导致漏解。 6、换元法忘记回代或未检验，得出不符合条件的根。 重点 1、掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法及适用条件。 2、熟练运用配方法五步流程，正确完成配方。 3、会用求根公式解任意一元二次方程，准确确定各项系数。 4、会用根的判别式判断根的情况并求参数取值范围。 难点 1、配方法的灵活应用：求最值、判断完全平方式。 2、含参方程的分类讨论：判别式与二次项系数的双重约束。 3、特殊结构方程：换元法、含绝对值方程的转化与检验。 4、跨学科与情境建模：从实际背景中提取等量关系建立方程。 【对应练习题】 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】将原方程展开成一般形式，计算根的判别式，根据计算结果即可解答． 【详解】解：原方程整理，得， ， 原方程有两个不相等的实数根． 3．若代数式的值为0，则x的值为（    ） A．2 B．0 C．或0 D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，解答即可． 【详解】解： 或 ． 二、填空题 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 6．若，则关于的方程必有一根是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： , , , , ， 或， 则方程必有一根为． 三、解答题 7．用适当的方法解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用平方差公式分解运算即可； （2）利用公式法运算求解即可； （3）利用因式分解法分解运算即可； 【详解】（1）解: ∴或 解得：，； （2）解：，， ∴ 解得：，； （3）解: ∴或 解得：，． 8．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】(1)①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立 (2)， 【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； （2）正确利用配方法进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）解：二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 9．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 10．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 求解一元二次方程 知识点1：直接开平方法 　　1.定义：根据平方根的意义，直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法，本质是降次。 　　2.适用形式：方程可化为或的形式。 　　3.求解要点：当时，，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，无实数根（负数没有平方根）。 知识点2：配方法 　　1.定义：先把方程的常数项移到右边，再把左边配成含未知数的完全平方式，化为的形式，再直接开平方求解，这种通过配成完全平方形式解方程的方法叫做配方法。 　　2.理论依据：完全平方公式，配方时左右两边同时加上一次项系数一半的平方。 步骤 名称 操作 实例（以为例） 一移 移项 把常数项移到等号右边 二化 二次项系数化为 1 两边同除以二次项系数 三配 配方 两边加上一次项系数一半的平方 四开 开平方 利用平方根的意义开平方 五解 求解 写出两个一元一次方程并解出根 ， 知识点3：公式法与求根公式 　　1.求根公式：当时，一元二次方程的实数根为，这个式子叫求根公式，把系数直接代入求根公式求解的方法叫做公式法。 　　2.一般步骤：①把方程化为一般形式，确定 a、b、c；②计算；③若，代入求根公式求出根；若，则方程无实数根。 根的情况 说明 两个不相等的实数根 ， 两个相等的实数根 无实数根 不能开平方，方程无实数解 知识点4：因式分解法 　　1.定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再令两个一次式分别等于 0，从而降次求解，这种方法叫做因式分解法。 　　2.理论依据：若，则 a=0 或 b=0。 　　3.一般步骤：①移项，使等号右边为 0；②把左边因式分解；③化为两个一元一次方程；④分别求解写出两根。 知识点5：四种解法对比 方法 基本形式 适用特征 注意点 直接开平方法 或 方程一边是完全平方式 开平方要取±，不要漏负根 配方法 二次项系数为 1 且一次项系数为偶数较简 二次项系数须先化为 1 公式法 任意一元二次方程，通用 先化一般形式，代准 a、b、c 因式分解法 (x−m)(x−n)=0 方程便于分解因式 移项后右边必须为 0 【基础必考题型】 【题型1】直接开平方法解方程 1.核心知识点 　　平方根的意义；直接开平方法降次求解； 的条件判断。 2.解题方法技巧 　　①把方程整理为 或 的形式； 　　②开平方时两边同时取±，确保不遗漏负根； ③若 则方程无实数根，不必强行开方。 【例题1】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）方程 的解是______． 【变式题1-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式题1-3】.（2026九年级上·河北·专题练习）用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【题型2】配方法解方程 1.核心知识点 　　完全平方公式；配方法的五步流程；配方后开平方。 2.解题方法技巧 　　①若二次项系数不为 1，先化为 1； 　　②配方时两边同时加上一次项系数一半的平方； ③注意等号两边同加同减，保持等式成立。 【例题2】.（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，   第一步 所以，即，   第二步 所以方程没有实数根．   第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，   第一步 两边都除以，得．   第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）解方程 (1)； (2)． 【题型3】因式分解法解方程 1.核心知识点 　　提取公因式、公式法、十字相乘分解因式； 型降次。 2.解题方法技巧 　　①先移项使右边为 0，再分解因式； 　　②令每个因式分别为 0，分别求解； ③不可两边同除以含未知数的因式，以免漏根。 【例题3】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式题3-1】.（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解：  ……………第一步 或  ……………第二步 ，  …………………第三步 (1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误，她采用的方法为________；（填写“公式法”、“配方法”、“因式分解法”） (2)请用正确的方法解方程． 【培优高频题型】 【题型4】根的判别式判断根的情况 1.核心知识点 　　判别式 ； 符号与根的情况的对应；不解方程判断根。 2.解题方法技巧 　　①先化为一般形式，求出 a、b、c； 　　②计算 并判断正、零、负； ③根据 的正负直接写出根的情况，无需解方程。 【例题4】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式题4-1】.（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式题4-2】.（2026·吉林长春·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________． 【变式题4-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__________． 【题型5】公式法解方程 1.核心知识点 　　一般形式；求根公式的识别与代入； 与根的关系。 2.解题方法技巧 　　①把方程化为一般形式，准确确定 a、b、c（含符号）； 　　②先算 ，判断是否； ③把 a、b、c 代入求根公式，化简得到两根。 【例题5】.（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【压轴素养题型】 【题型6】换元法解特殊结构方程 1.核心知识点 　　整体换元思想；降次转化；回代与检验。 2.解题方法技巧 　　①把重复出现的整体部分设为新元 t； 　　②将原方程化为关于 t 的一元二次方程并求解； ③回代求 x，检验是否满足原式与取值范围。 【例题6】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【变式题6-1】.（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【变式题6-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【题型7】配方法的应用 1.核心知识点 　　配方求最值；完全平方式的判定；整体思想。 2.解题方法技巧 　　①对代数式配方成 的形式； 　　②利用 判断最值：n 为最小值（）或最大值（）； ③判断某式为完全平方式，令一次项系数的平方等于 4 倍二次项与常数项的积。 【例题7】.（25-26九年级上·全国·课后作业）当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的一种形式的配方； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏常州·期中）对于二次三项式，可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使中的前两项与构成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进一步分解．于是 ．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法． (1)如果（   ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为 ； (2)用“配方法”分解因式：； (3)用“配方法”分解因式：． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）． (2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由． (3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价． 【题型8】阅读材料与新定义探究 1.核心知识点 　　新定义运算规则；按定义转化为一元二次方程；迁移应用。 2.解题方法技巧 　　①圈出定义中的运算规则与限定条件； 　　②把所给运算按定义展开，列出一元二次方程； 　　③选择合适方法求解，必要时用判别式判断根的情况。 【例题8】.（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”   请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． (1)我们在解方程时用到的数学思想方法是（  ）． A．数形结合的思想         B．整体的思想      C．分类讨论的思想        D．特殊到一般的思想 (2)解方程：． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是 其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 易错点 1、直接开平方时只取正根，遗漏负根。 2、配方时忘记加一次项系数一半的平方，或二次项系数不为 1 时未先化为 1。 3、公式法未把方程化为一般形式，a、b、c 确定错误或漏带符号。 4、含参方程忘记判别式 ，或忽略二次项系数不为 0。 5、因式分解法移项不到位，等号右边不为 0，导致漏解。 6、换元法忘记回代或未检验，得出不符合条件的根。 重点 1、掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法及适用条件。 2、熟练运用配方法五步流程，正确完成配方。 3、会用求根公式解任意一元二次方程，准确确定各项系数。 4、会用根的判别式判断根的情况并求参数取值范围。 难点 1、配方法的灵活应用：求最值、判断完全平方式。 2、含参方程的分类讨论：判别式与二次项系数的双重约束。 3、特殊结构方程：换元法、含绝对值方程的转化与检验。 4、跨学科与情境建模：从实际背景中提取等量关系建立方程。 【对应练习题】 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．若代数式的值为0，则x的值为（    ） A．2 B．0 C．或0 D． 二、填空题 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 6．若，则关于的方程必有一根是__________． 三、解答题 7．用适当的方法解方程． (1) (2) (3) 8．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ (2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 9．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 10．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $