函数的概念及其表示方法 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念及其表示方法 知识梳理 一、函数的概念与三要素 1. 两种定义 初中学习的传统定义：设在一个变化过程中有两个变量 和 ，如果给定一个 值，相应地就有唯一确定的一个 值与之对应，就称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量.它描述的是两个变量之间的依赖关系. 高中的近代定义：一般地，设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，.其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域，且值域是集合 的子集. 2. 函数符号 与 的理解 这里的 表示 是 的函数，其中 是一个整体符号，不是 与 的乘积. 代表对应关系，是函数的本质，可以把它看作一台"数值加工器"：向 的括号里投入一个量，它就按固定的程序输出一个量.因此 是对 实施这一操作， 是对常数 实施同一操作. 表示 时的函数值，是一个确定的数；而 表示以 为自变量的函数，是一个变量.自变量用什么字母无关紧要， 与 描述的是同一对应关系. 3. 四个特征 （1）非空性： 必须为非空数集——不仅非空，还要是数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. （2）任意性：定义域中的每一个元素都要有函数值. （3）单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应，可以多对一，不能一对多. （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，若把这个方向反过来，新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 4. 三要素 构成一个函数的要素为定义域、对应关系、值域.其中对应关系 是核心，它决定"怎么对应"；只要定义域与对应关系确定，值域就随之唯一确定，所以值域不是独立要素. 5. 函数相等 由函数的构成要素可知：两个函数相等（是同一个函数），当且仅当它们的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同.判定时定义域优先：定义域不同，一定不是同一函数；定义域相同，再看对应关系是否一致，且要注意把解析式化简后是否改变了定义域.值域相同不能判定两个函数相等——它由另外两条要素派生. 二、区间及其表示 区间是实数集的又一种表示形式.设 是实数，且 ：满足 的实数 的全体叫做闭区间，记作 ；满足 的叫做开区间. 常见的区间表示如下表. 集合表示 区间 三、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.当函数以解析式给出且未加特殊说明时，定义域就是使解析式各部分都有意义的实数 的集合.常用依据有四条： （1）分式的分母不能为零，即 要求 . （2）偶次方根的被开方数必须大于等于零，即 要求 ；奇次方根对被开方数没有限制， 中 可取全体实数. （3）零次幂的底数不能为零，即 要求 . （4）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集——各部分"同时"有意义，公共部分就是交集. 【注意】定义域用集合或区间表示；若用区间表示，段与段之间不能用"或"连接，而应用并集符号 连接. 四、函数的表示方法与分段函数 1. 函数的三种表示方法 表示法 含义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简明、全面地概括变量之间的关系；利用解析式可求任意函数值 不够形象直观；且并非所有函数都有解析式 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需要计算，可直接看出与自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能形象直观地表示函数的变化情况 只能近似求出与自变量对应的函数值，而且有时误差较大 用三种方法表示函数各有要注意之处：解析法必须注明函数的定义域；列表法必须罗列出所有的自变量取值与对应函数值；图象法要分清图象是"点"还是"线".事实上并非所有函数都能用解析式表示，图象法也不适用于一切函数；列表法理论上适用于所有函数，但当自变量有无数个取值时，它只能表示函数的一个概况或片段. 由已知关系求函数解析式的问题，通常用待定系数法、换元法、配凑法与方程组法. 2.分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 的不同取值范围有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.例如绝对值函数就常写成分段函数的形式 .分段函数是一个函数，而不是几个函数，它有两条基本性质： （1）它的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （2）它的值域是各段在对应自变量取值范围内值域的并集. 作分段函数的图象时，应分别在每一段的自变量取值范围内作出该段的图象，再组合成整体，并注意每段端点处是实心点还是空心点.含绝对值的函数常按绝对值内式子的零点分段去掉绝对值，化成分段函数. 题型一　同一函数的判断 方法：判两个函数是否同一，先求各自定义域，不同即判不同；相同再化简比对应关系，都同才是同一函数.依据：两函数相等当且仅当定义域与对应关系都相同，值域由二者唯一确定、无须比较. 易错：约分或开方改变了定义域，却仍判为同一函数. 例、下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 解：逐项比较定义域与对应关系.A 中 要求分母不为零，即 ，定义域为 ，而 的定义域为 ，两定义域不同，故不是同一函数.B 中 的被开方数 恒成立，定义域为 ， 的定义域也为 ；又由 得 ，两函数定义域与对应关系都相同，故是同一函数.C 中 的定义域为 ， 要求 ，定义域为 ，两定义域不同，故不是同一函数.D 中 的定义域为 ， 要求底数不为零，即 ，两定义域不同，故不是同一函数.所以表示同一函数的是 B. 1、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 2、下列四组函数，表示同一个函数的一组有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】在A选项中，函数，其定义域为， 函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确； 在B选项中，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确； 在C选项中，函数，和的定义域均为，是同一个函数，故选项C正确； 在D选项中，对函数，有，解得，则函数的定义域为， 对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：ABC. 3、下列函数中，与 是相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两个函数是同一函数，当且仅当它们的定义域相同、对应关系也相同，据此逐项检验（已知 的定义域为 ）. 对于A：，定义域为 ，与 相同，但对应关系不同（例如 时它取 ，而 取 ），所以不是同一函数； 对于B：，任意实数都有立方根，故其定义域为 ，且对任意实数 都有 ，对应关系与 也相同，所以是同一函数； 对于C： 的分母不能为零，其定义域为，与 的定义域不同，所以不是同一函数； 对于D：，定义域为 ，但对应关系与 不同（例如 时它取 ，而 取 ），所以不是同一函数. 故选：B. 题型二　给出解析式求函数的定义域 方法：解析式含分式、偶次根式或零次幂时，按各部分限制列不等式（组）：分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零，再取交集.依据：定义域是使解析式有意义的自变量取值范围，即各部分限制条件解集的交集. 易错：多个限制条件求交集时漏掉某个条件，或端点开闭写错. 例、求函数 的定义域. 解：使 有意义的条件有三.偶次根式 要求被开方数非负，即 ，解得 ；分式 要求分母不为零，即 ，解得 ；零次幂 要求底数不为零，即 ，解得 .三者须同时成立，取三解集的交集，得 且 且 ，即 .所以函数 的定义域为 . 1、函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数有意义，可得，解得或， 所以函数的定义域为． 2、函数y=则该函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以函数的定义域需满足，解得：， 所以函数的定义域是. 故选：A 3、函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得解得且， 函数的定义域是. 故选：B. 题型三　抽象函数求定义域 方法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是解不等式 .依据： 的定义域 固定，同一对应关系对括号内取值的要求恒定. 方法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是求 在 上的值域.依据： 与 括号内的取值范围相同. 方法：同一式中出现 、 时，分别解 、，取两解集的交集.依据：两个抽象式须同时有意义，故取两处限制解集的交集. 易错：把 的定义域误当成 的范围. 例、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域. 解： 是两个抽象式相加，两项都须有意义.由 的定义域为 ，同一对应关系 要求括号内取值落在 内，故对 有 ，解得 ；对 有 ，解得 .两项同时成立，取交集得 .所以 的定义域为 . 1、若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是， 所以 须同时满足 ，解得 且 ，取交集得 . 故选：D. 2、已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数f(x)的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域是 故选：A. 3、已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【详解】因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有，解得，则的定义域为. 故答案为： 4、若函数的定义域为，则的定义域为________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，则， 可得 进而有，解得，故 则的定义域为 5、已知函数的定义域为，则的定义域为______. 【答案】 【详解】由题意知函数的定义域为， 则需满足，解得， 即的定义域为， 故答案为： 6、已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【详解】因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有解得，则的定义域为. 故答案为： 题型四　已知定义域求参数范围 方法：定义域为 求参数时，把条件化归为二次式恒正（恒非负）问题，分二次项系数为零与不为零讨论.依据：二次式恒成立当且仅当开口向上且判别式 （恒非负取 ）. 方法：已知定义域为某区间 求参数时，把被开方数（或分母）对应不等式的解集设为 ，即 、 是对应方程的根，再由韦达定理或代入求参.依据：不等式的解集端点是相应方程的根，可由韦达定理或代回反求参数. 易错：定义域为 求参时漏掉二次项系数为零的讨论. 例、若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 解：定义域为 ，即对任意 都有 .先看二次项系数.当 即 时，不等式化为 ，不能对一切实数成立，舍去.当 时，抛物线开口向下，不能恒非负，舍去.当 即 时，需开口向上且判别式非正，即 ，整理得 ，解得 或 ；与 取交集得 .所以实数 的取值范围是 . 1、若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式为恒成立，满足题意； 若，则，解得． 综上可知，实数k的取值范围是． 故选：B． 2、已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 3、函数的定义域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意知，对任意的，. ①当时，则有，合乎题意； ②当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 4、若函数的定义域为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意可知，对任意的，不等式恒成立. ①当时，则有，该不等式在上不恒成立； ②当时，由于不等式在上恒成立， 则，即， 解得或，此时，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 5、已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 6、设函数. (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若，，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)24. 【详解】（1）因为的定义域为，所以关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根，且，根据韦达定理， 可得，解得. （2）因为，所以，整理得. 又，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为24. 题型五　待定系数法求函数解析式 方法：题中已说明函数类型（一次、二次等）时，设出含待定系数的一般式，代入条件比较对应项系数列方程组，求出系数后回代.依据：两多项式恒等当且仅当各项系数对应相等. 易错：设二次函数时漏写二次项系数不为零，或比较系数时漏掉常数项. 例、已知二次函数 满足 ，，且 ，求 的解析式. 解：由已知 为二次函数，可设 .把三个条件分别代入，由两多项式恒等比较各项系数，得方程组 ，，.前两式相减得 ，即 ；代回第一式得 .再把 代入第三式，得 ，即 .将 与 相减得 ，即 ，进而 .因 ，满足二次函数要求.所以 . 1、若是一次函数，且，则______． 【答案】或 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 2、已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）设，，， 因为，故， 所以， 故，解得， 故二次函数为； （2）当时，， 令， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立， 故．  即最大值为1 题型六　换元或配凑求函数的解析式 方法：已知 的解析式求 ，令 反解 代入得 ，再改记为 ，并注明 的取值范围.依据： 能接受的 恰为 在其定义域上取到的全体值，即 的值域. 方法： 结构简单时，把 直接配成 的表达式，再用 替换 得 .依据：右端与 的表达式恒等，可直接用 替换 . 易错：换元后漏标新元范围（如漏写 ）. 例、已知 ，求 的解析式. 解：右端可配成 的式子，故用配凑法.由 ，令 ，得 .再定 的范围：当 时，由基本不等式 ；当 时，，故 .用 替换 ，得 ，. 1、已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则，所以. 2、已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 由，得 .所以. 3、已知，则___________________． 【答案】 【详解】令，则, 由，得, 所以，即. 题型七　建立方程组求解析式 方法：条件同时含 与 （或 ）时，把 换成 （或 ），与原式联立消元即可.依据：关系式对定义域内任意 成立，把 换成 后仍成立，两式联立即可消元. 易错：以 替换时忘记 . 例、已知函数 满足 ，求 的解析式. 解：已知式对一切 成立，故把 换成 仍成立，得 ，记为式②，原式为式①.将①两边乘 得 ，与②相加，左右两边分别消去含 的项，得 ，两边除以 得 .因原式只在 时有意义，所求 . 1、若，满足，且，则_______． 【答案】8 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 2、若函数满足，则________. 【答案】 【详解】将替换为得. 即①， 又②， 由①②得. 故答案为. 3、已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 题型八　普通分式型——分离常数法求值域 方法：形如 （或可化为它的分式）求值域时，分子凑出分母，写成常数与“常数比分母”之和，由分母不为零得值域挖去 .依据：分母 使该分式取不到 ，故值域须挖去这一点. 易错：给了 的区间限制时，不能只写“挖去单点”. 例、求函数 的值域. 解：在分子中凑出分母，.由 得 ，于是 ，两边乘 得 ，再取相反数得 ，从而 .当 时取到左端点 ，右端点 取不到.所以函数的值域为 . 1、函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 2、函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 3、函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 显然函数在上为减函数， 所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近， 所以的值域为. 故选：D. 4、求函数的值域； 【答案】 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 题型九　换元法求函数的值域 方法：求根式型 且结构简单时，由被开方数非负并结合根式的非负性得初步范围，再由单调性在各端点定出最值.依据：被开方数非负且 定出初步范围，再由单调性在端点取到最值. 方法：求 值域时，令 化归为 的二次函数，由顶点与 范围求值域.依据： 由被开方数非负确定，原式化归为二次函数在 上求值域. 方法：形如 的双根号函数，先由被开方数非负定定义域，两边平方化为二次式求 的范围，再由 开方得值域.依据： 时 与 同增同减，故先求 的范围再开方. 方法：形如 的函数求值域时，令 ，先配方求出 的取值范围，再由 的单调性得值域.依据：换元后 取遍分母的全部取值， 的范围由 的范围唯一确定. 易错：换元求值域时忽略新元范围（如漏写 ）. 例、求函数 的值域. 解：先定定义域.被开方数非负，即 ，解得 .含 的根式换元：令 ，由被开方数非负得 ，且 .代入原式得 .因为当 时 ，所以 ；当 ，即 、 时 .所以函数的值域为 . 1、函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 2、已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 3、函数的值域为______． 【答案】 【详解】由且，得， 所以函数的定义域为， ， 又，所以， 由，得， 所以函数值域为. 4、已知函数，则的值域为_______________. 【答案】 【详解】令，则，所以， 所以，函数在上单调递增， 所以，所以，故答案为：. 5、函数的最大值是_____________. 【答案】 【详解】 当时取最大值，则的最大值是.故答案为：. 题型十　判别式法求值域 方法：分子分母同为二次、且分母恒不为零的二次分式求值域时才用判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，由方程有实根得 ，解出 的范围.依据： 属于值域当且仅当关于 的方程有实数解，而一元二次方程有实根当且仅当 . 方法：用判别式法时还须单独看二次项系数为零的 ：把它代回方程解出 ，检验 是否在原定义域内，在则保留、不在则舍.依据：二次项系数为零时方程退化为一次方程，仍可能有解，须单独代回检验. 易错：解完 后未回代检验二次项系数为零的情形. 例、求函数 的值域. 解：分母 恒成立，故函数定义域为 ，符合判别式法的适用条件.去分母得 ，整理为关于 的方程 .先看二次项系数为零的情形：当 时，方程化为 ，解得 ，在定义域内，故 属于值域.当 时，方程有实根须 ，即 ，解得 .两部分合并，函数的值域为 . 1、函数，的值域为______________． 【答案】 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 2、函数的值域为：______． 【答案】 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 3、函数的值域是______． 【答案】 【详解】先看分母，，由知它对任意实数恒大于零，故函数的定义域为，符合判别式法的适用条件． 把去分母，得，即，按的幂整理，得关于的方程 ． 实数属于值域，当且仅当这个方程有实数解；而方程是否为二次方程取决于二次项系数，故分两种情形讨论． 当，即时，方程退化为，把代入得，无解，所以不属于值域． 当时，方程是一元二次方程，它在实数范围内有根当且仅当．提取公因式，得， 于是条件为，两边同乘化为，解得，再剔除已排除的，得． 最后验证最小端可以取到：当时，分子为，分母为，函数值为，说明左端点确实取到． 所以原函数的值域为． 题型十一　分段函数的求值求参 方法：分段函数求值时，先判断自变量落在哪一段，再代入该段解析式；遇到 由内向外逐层求，每一步都重新判断中间值属于哪段.依据：各段定义域互不相交，自变量必落在唯一一段内. 方法：由 （或不等式）求自变量或参数时，按段分类讨论，每段解出后与该段的取值范围取交集，不合的舍去.依据： 的解集等于各段解集之并，且每段解出的 须落在该段内. 易错：分段解出后未检验是否落在该段内，或求 未先判内层段. 例、已知函数 （1）求 ；（2）若 ，求 的值. 解：（1）因为 ，故代入第二段得 ；再由 ，仍代入第二段得 .（2）按段讨论.当 时，，即 ，解得 或 ，其中 不满足 ，舍去，得 .当 时，，解得 ，不满足 ，舍去.所以 . 1、已知函数 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以 ，所以 .又 ，所以 ，故 .故选：C. 2、已知函数 若 ，则 的值是（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 或 【答案】A 【详解】由题意，当 时，，得 ，又 ，所以 ；当 时，，得 ，舍去.故选：A. 3、已知函数 若 ，则 的取值范围是______． 【答案】 【详解】当 时，，此时 ；当 时，，此时无解；当 时，，此时无解.故 的取值范围是 . 课后作业 1、（多选）下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 2、（多选）下列选项中正确的有（    ） A．已知函数是一次函数，满足，则或 B．与表示同一函数 C．函数的图象与直线的交点最多有1个 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【详解】对于A，设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 对于B，与定义域不同，故不是同一函数，故错误； 对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，故正确； 对于D，由题意得，所以定义域为，故正确. 故选：ACD. 3、（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【详解】因为，且定义域都为，所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 当时，结合不等式有，虽然取不到等号，但不等式是恒成立的，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 故选：ACD 4、（多选）以下判断，其中是正确判断的有（   ） A．与表示同一函数 B．命题，恒成立为真命题，则的一个充分条件的是. C．函数的图象与直线的交点有1个 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BD 【详解】对于A：函数的定义域为，的定义域为， 所以与不是同一函数，故A错误； 对于B：若命题，恒成立为真命题， 则，解得， 因为，所以的一个充分条件是，正确； 对于C：若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，错误； 对于D：因为函数的定义域为， 所以不等式对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，，解得， 综上所述：，故D正确. 故选：BD 5、（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，法一：依题意，， 则 ，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则 ，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 6、（多选）已知函数 满足 的 的值有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设 ，则 .若 ，则 ，解得 或 （舍去），所以 ：当 时，，方程无解；当 时，，解得 或 ，满足条件.若 ，则 ，即 ，，方程无解.故选：AD. 7、函数在上的值域是______. 【答案】 【详解】函数， 当时，； 当时，， 根据对勾函数的性质可知： 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 故答案为： 8、已知，则函数的最小值为_______________． 【答案】11 【详解】令， 由，得，且． 将代入中， 可得， 因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 此时，则，满足题设条件， 故函数的最小值为11． 9、求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）因为 ，① 所以 ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 10、（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【详解】（1）设，则，，且， 所以 ，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以 ， 又， 所以 ，即 或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得： ，即 ，. 11、求的最大值 【答案】 【详解】设， 则，， ，当且仅当时等号成立， 所以. 12、（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $函数的概念及其表示方法 知识梳理 一、 函数的概念与三要素 1.两种定义 初中学习的传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果给定一个x值，相应地就有 唯一确定的一个y值与之对应，就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量它描述的是两个 变量之间的依赖关系 高中的近代定义：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某 种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到 集合B的一个函数，记作y=f(x),xEA其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)IxEA)叫做函数的值域，且值域是集合B 的子集 2.函数符号f与f(x)的理解 这里的y=f(x)表示y是x的函数，其中f(x)是一个整体符号，不是f与x的乘积f代表对应 关系，是函数的本质，可以把它看作一台"数值加工器”：向f()的括号里投入一个量，它就按固定的 程序输出一个量.因此f(x)是对x实施这一操作，f(2)是对常数2实施同一操作f(a表示x=a时 的函数值，是一个确定的数；而f(x)表示以x为自变量的函数，是一个变量.自变量用什么字母无关 紧要，f(x)与f(t)描述的是同一对应关系. 3.四个特征 (1)非空性：A,B必须为非空数集一一不仅非空，还要是数集，定义域或值域为空集的函数是 不存在的 (2)任意性：定义域中的每一个元素都要有函数值， (3)单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应，可以多对一，不能一对多 (4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，若把这个方向反过来，新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系， 4.三要素 1 构成一个函数的要素为定义域、对应关系、值域其中对应关系f是核心，它决定"怎么对应"；只 要定义域与对应关系确定，值域就随之唯一确定，所以值域不是独立要素 5.函数相等 由函数的构成要素可知：两个函数相等（是同一个函数），当且仅当它们的定义域相同，并且对 应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同判定时定义域优先：定义域不同，一定不是同 一函数：定义域相同，再看对应关系是否一致，且要注意把解析式化简后是否改变了定义域.值域相同 不能判定两个函数相等一一它由另外两条要素派生. 二、区间及其表示 区间是实数集的又一种表示形式.设a,b是实数，且a<b:满足a≤x≤b的实数x的全体叫做 闭区间，记作[a,b]=xIa≤x≤b}；满足a<x<b的叫做开区间 常见的区间表示如下表 集合表示 区间 {xIa≤x≤b} [a,b] {xla<x<b (a,b) {xIa≤x<b} [a,b) {xIa<x≤b) (a,b1 {xlx≥a} [a,+∞) xIx>a (a,+∞) xIx≤b) (-∞，b] {xIx<b (-∞，b) 三、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.当函数以解析式给出且未加特殊说明时，定 义域就是使解析式各部分都有意义的实数x的集合.常用依据有四条： (1)分式的分母不能为零，即要求g()≠0 (2)偶次方根的被开方数必须大于等于零，即g(x)(k∈N*)要求g(x)≥0；奇次方根对被 开方数没有限制，2+Vg(中g(x)可取全体实数. (3)零次幂的底数不能为零，即[gx)]°要求g(x)≠0 (4)如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义 域的交集一一各部分"同时"有意义，公共部分就是交集 2 【注意】定义域用集合或区间表示；若用区间表示，段与段之间不能用"或"连接，而应用并集符 号U连接 四、函数的表示方法与分段函数 1.函数的三种表示方法 表示法 含义 优点 缺点 用数学表达式表示两个 简明、全面地概括变量之间的关 不够形象直观；且并非所有函数 解析法 变量之间的对应关系 系；利用解析式可求任意函数值 都有解析式 列出表格来表示两个变 不需要计算，可直接看出与自变 仅能表示自变量取较少的有限值 列表法 量之间的对应关系 量对应的函数值 时的对应关系 用图象表示两个变量之 能形象直观地表示函数的变化情 只能近似求出与自变量对应的函 图象法 间的对应关系 况 数值，而且有时误差较大 用三种方法表示函数各有要注意之处：解析法必须注明函数的定义域；列表法必须罗列出所有的 自变量取值与对应函数值；图象法要分清图象是"点"还是"线"事实上并非所有函数都能用解析式表示， 图象法也不适用于一切函数；列表法理论上适用于所有函数，但当自变量有无数个取值时，它只能表 示函数的一个概况或片段， 由已知关系求函数解析式的问题，通常用待定系数法、换元法、配凑法与方程组法， 2.分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函 数例如丝对信函数就常写成分段的数的形式y==(之8分段函数是一个函数，丽不是几 个函数，它有两条基本性质： (1)它的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； (2)它的值域是各段在对应自变量取值范围内值域的并集， 作分段函数的图象时，应分别在每一段的自变量取值范围内作出该段的图象，再组合成整体，并 注意每段端点处是实心点还是空心点.含绝对值的函数常按绝对值内式子的零点分段去掉绝对值，化成 分段函数 题型一同一函数的判断 方法：判两个函数是否同一，先求各自定义域，不同即判不同；相同再化简比对应关系，都同才 是同一函数， 3 1、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是() A.f(x)=lx与g(x)=Vx2 B.f)=x与g)=号c≠0) C.f(x)=Vx+3V3-xg(x)=v9-x2 D.fo=与)=（￥28 2、下列四组函数，表示同一个函数的一组有() A.y=V(x2+2)3,y=x2+2 B.y=lxl,u=vv2 C.yyx D.y=vx+1.vx-1,y=Vx2-1 3、下列函数中，与y=x是相同的函数是() A.y=vx2 B.y=x3 C.y= D.y=V(x-1)2+1 题型二给出解析式求函数的定义域 依据：分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零，再取交集 例、求函数f()=V5-2x+1+(x+1)°的定义域 解：使f(x)有意义.偶次根式V5-2x要求被开方数非负，即5-2x≥0，解得x≤：分式 要求分母不为零，即x一1≠0，解得x≠1；零次幂(x+1)°要求底数不为零，即x+1≠0，解得 x≠-1.三者须同时成立，取三解集的交集，得x≤且x≠1且x≠-1，即(-，-1)U(-1,1)U (1,.所以函数fx)的定义域为(-0，-1)U(-1,1)U(1,] 1、函数y=V4x2-3x的定义域是() A.0,引 B.（-o,0]Uf+∞）C.(0,) D.(-∞，0)U匠，+∞） 4 2、函数y:+(2-3x)°则该函数的定义域为〈) A.(-U, B.[3] c.[-u D.(-1] 3、函数f侧=Vx+了+婴的定义域是(） A.[3,别 B.[-3,-U(-2) c.-3) D.3,-引 题型三抽象函数求定义域 方法：已知f(x)的定义域为A,求f(g(x)的定义域，就是解不等式g(x)EA.依据：f的定义 域A固定，同一对应关系对括号内取值的要求恒定 方法：已知f(g(x)的定义域为B,求f(x)的定义域，就是求g(x)在B上的值域.依据：f(x) 与f(g(x)括号内的取值范围相同. 易错：把f(g(x)的定义域误当成g(x)的范围. 例、己知函数f(x)的定义域为[1,4]，求g(x)=f(2x-1)+f(x+2)的定义域. 解：g(x)是两个抽象式相加，两项都须有意义.由f(x)的定义域为[1,4]，同一对应关系f要求 括号内取值落在[1,4内，故对f(2x-1)有1≤2x-1≤4，解得1≤x≤3；对fx+2)有1≤ x+2≤4，解得-1≤x≤2两项同时成立，取交集得1≤x≤2.所以g(x)的定义域为[1,2]. 1、若函数y=f(x)的定义域是[0,8，则函数g()=智的定义域是（) A.(1,32) B.(1,2) C.(1,32] D.(1,2] 5 2、已知函数y=f(x)的定义域为[-5,1]，则函数y=f(2x+1)的定义域是() A.[-3,0] B.[-9,3] C.[0,3] D.[-5,1] 3、己知函数f(x)的定义域为[-6,3]，则函数f(x-1)的定义域为 4、若函数f(x+3)的定义域为[-5，-2]，则F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为 5、己知函数f(x)的定义域为[-1,3]，则f(2x)+f(9x2-1)的定义域为 6、已知函数f(x)的定义域为[-2,3]，则函数g(x)=f(2x+1)-f(x-1)的定义域为 题型四已知定义域求参数范围 定义域为R求参数时，把条件化归为二次式恒正（恒非负）问题，分二次项系数为零与不为零讨 论.依据：二次式恒成立当且仅当开口向上且判别式4<0（恒非负取△≤0）· 易错：定义域为R求参时漏掉二次项系数为零的讨论， 6 例、若函数f(x)=√(m+1)x2-2mx+3m的定义域为R,求实数m的取值范围 解：定义域为R,即对任意x∈R都有(m+1)x2-2mx+3m≥0.先看二次项系数.当m+1= 0即m=-1时，不等式化为2x-3≥0，不能对一切实数成立，舍去.当m+1<0时，抛物线开口 向下，不能恒非负，舍去.当m+1>0即m>-1时，需开口向上且判别式非正，即△=(-2m)2- 4m+1)·3m=-8m2-12m≤0，整理得m(2m+3)≥0，解得m≤-号或m≥0：与m>-1取 交集得m≥0.所以实数m的取值范围是[0，+o) 1、若函数f()=x2+kx 1 =的定义域为R,则实数k的取值范围是() A.(0,4) B.[0,4) C.[0,4] D.(0,4 2、已知函数f)=-++的定义域为(-0,1】]U(2,+0),则实数a的值为() x-2 A.1 B.2 C.3 D.4 3、函数)y=kx的定义域为R,则实数k的取值范围为 4、若函数f(x)=√mx2+2(m+1)x+9m+4的定义域为R,则实数m的取值范围是 7 5、己知f()=kx+4kx+3 (1)若f(x)定义域为R,求实数k的取值范围： (2)若f(x)定义域为(-6,2)，求实数k的值： 6、设函数f(x)=Vax2+(b-3)x+2 (1)若f(x)的定义域为[-2,1]，求实数a,b的值： (2)若a>0,b>0,且f(2)=2,求4a2+b2+8ab的最大值. 8 题型五待定系数法求函数解析式 题中已说明函数类型（一次、二次等）时，设出含待定系数的一般式，代入条件比较对应项系数 列方程组，求出系数后回代， 例、已知二次函数f(x)满足f(1)=0,f(-1)=6,且f(2)=3,求f(x)的解析式. 解：由已知f(x)为二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).把三个条件分别代入，由两多 项式恒等比较各项系数，得方程组a+b+c=0,a-b+c=6,4a+2b+c=3.前两式相减得 2b=-6,即b=-3:代回第一式得a+c=3.再把b=-3代入第三式，得4a-6+c=3,即 4a+c=9.将4a+c=9与a+c=3相减得3a=6,即a=2,进而c=1.因a=2≠0，满足二次 函数要求.所以f(x)=2x2-3x+1, 1、若f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x-1,则f(x)= 2、已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2,f(x+2)=f(x)+4x+2. (1)求f(x)的解析式： (②)当x>-1时，求的最大值： 9 题型六换元或配凑求函数的解析式 换元法：己知f(g(x)的解析式求f(x),令t=g(x)反解x代入得f(t),再改记为f(x),并注 明t的取值范围。 配凑法：g(x)结构简单时，把F(x)直接配成g(x)的表达式，再用x替换g(x)得f(x). 易错：换元后漏标新元范围（如漏写t≥0）. 例、已知f(x+=x2+之，求f(x)的解析式。 解：右端可配成x+主的式子，故用配凑法由x2+是=(x+)-2,令t=x+是得f)= t2-2.再定t的范围：当x>0时，由基本不等式t=x+≥2；当x<0时，t≤-2，故t∈ (-∞，-2]U[2,+o).用x替换t,得f(x)=x2-2,x∈(-∞，-2]U[2,+o) 1、已知函数f1-x)=(x≠0)，则f()=（) A.-16≠0)B.-1(x+1)C.4-1(g≠0)D.a-16c≠1) 2、己知函数f白=三+1，则f(x)的解析式为（) A.f(x)=x2+1(x≠0) B.f(x)=x2+1(x≠1) C.f(x)=x2-2x+2(x≠0) D.f(x)=x2-2x+2(x≠1) 3、己知f(x+1)=2x2+1,则f(x-1)= 10 题型七建立方程组求解析式 条件同时含f()与f(-x)(或f白)时，把x换成-x(或)，与原式联立消元即可. 易错：以1替换时忘记x≠0. 例、已知函数f(x)满足3f(x)-f白=2x(x≠0)，求f(x的解析式。 解：已知式对一切x≠0成立，故把x换成是仍成立，得3f白-fx)=,记为式②，原式为 式①.将①两边乘3得9f(x)-3f白=6x,与②相加，左右两边分别消去含f白的项，得8f(x)= 6x+是，两边除以8得f)=x+因原式只在x≠0时有意义，所求f)=x+(x≠0)： 1、若fx),9(x)满足fx)-2f白=3x-生，且fx)+gx)=2x+6,则f(2)+g(-1)= 2、若函数f(x)满足2f(x)-f(2-x)=3x+1,则f(x)=一 3、己知函数f()满足f(x)+2f白=5x+9,求f(x)的解析式. 11 题型八普通分式型一一分离常数法求值域 形如：（或可化为它的分式）求值域时，分子凑出分母，写成常数与“常数比分母”之和，由 分母不为零得值域挖去 易错：给了x的区间限制时，不能只写“挖去单点”. 例、求函数y-x之0)的值域 解：在分子中凑出分母，y-2-=3-由x之0得x+222,于是0<≤ x+2 x+2 两边乘7得0<2≤子再取相反数得一名≤一子2<0，从而-≤y<3.当x=0时取到左端点 -子，右端点3取不到所以函数的值域为[-，3) 1、函数y=x[0,+∞)的值域为（) A.[-1,1) B.(-1,1] C.[-1,+∞) D.[0,+o) 2、函数f)=的值域() A.（-o,3U(G,+∞） B.（-,U,+∞） C.（-∞，-3u(-3,+∞) D.（-∞，3U,+∞） 3、函数f)=导x∈[B,+∞)的值域是（) A.[号，+o) B.[,+∞) c.号，2) D.为 12 题型九含根式的函数求值域 求y=ax+b士√cx+a值域时，令t=V√cx+(t≥0)化归为t的二次函数，由顶点与t范围 求值域.依据：t≥0由被开方数非负确定，原式化归为二次函数在[0，+∞)上求值域 形如√A+√B的双根号函数，先由被开方数非负定定义域，两边平方化为二次式求y2的范围， 再由y≥0开方得值域 易错：换元求值域时忽略新元范围（如漏写t≥0）. 例、求函数y=x-V2x-1的值域， 解：先定定义域被开方数非负，即2x-1≥0，解得x≥含V2x-1的根式换元：令t= V2x-,由被开方数非负得t≥0，且x-生代入原式得y-生-t=化-2t+1)-t- 2 1)2.因为当t≥0时(t-1)2≥0，所以y≥0；当t=1,即2x-1=1、x=1时y=0.所以函数的 值域为[0，+∞) 1、函数f(x)=V1-2x-x的值域为() A.(-∞，-1] B.(-0,-力 C.[-1,+∞) D.[-2,+oo) 2、已知函数f(x)=Vx+2+V2-x,则该函数的值域是() A.[1,2W B.[1,2] C.[4,8] D.[2,2V2 3、函数y=√1+x+√1-x的值域为， 4、已知函数f(x)=3x+3+Vx-1,则f(x)的值域为 13 5、函数y=V2x-1+V5-2x(<x<)的最大值是 题型十判别式法求值域 分子分母同为二次、且分母恒不为零的二次分式求值域时一般选择用判别式法：去分母整理成关 于x的二次方程，由方程有实根得△≥0，解出y的范围 用判别式法时还须单独看二次项系数为零的y:把它代回方程解出x,检验x是否在原定义域内， 在则保留、不在则舍.依据：二次项系数为零时方程退化为一次方程，仍可能有解，须单独代回检验 易错：解完4≥0后未回代检验二次项系数为零的情形 例、求函数y=2r2+3+2的值域 x2+1 解：分母x2+1>0恒成立，故函数定义域为R,符合判别式法的适用条件.去分母得y(x2+ 1)=2x2+3x+2,整理为关于x的方程y-2)x2-3x+(y-2)=0.先看二次项系数为零的情形： 当y=2时，方程化为-3x=0,解得x=0,在定义域内，故y=2属于值域.当y≠2时，方程有 实根须4=(-3)2-40-2)2≥0，即(y-2)2≤，解得≤y≤2两部分合并，函数的值域为 引 1、函数y=6c+7x>0的值域为 x-1 2、函数测=兰的值域为： 3、函数y=-的值域是 14 题型十一分段函数的求值、求参 分段函数求值时，先判断自变量落在哪一段，再代入该段解析式；遇到f(f(α)由内向外逐层求， 每一步都重新判断中间值属于哪段依据：各段定义域互不相交，自变量必落在唯一一段内 由f(xo)=a(或不等式)求自变量或参数时，按段分类讨论，每段解出后与该段的取值范围取 交集，不合的舍去.依据：f(x)=α的解集等于各段解集之并，且每段解出的x须落在该段内， 易错：分段解出后未检验是否落在该段内，或求f(f(α)未先判内层段. 例、已知函数f)-x+28D求fU-0:(2)若f@）=3,求a的植 解：(1)因为-1<0，故代入第二段得f(-1)=3×(-1)+1=-2:再由-2<0，仍代入第 二段得f(f(-1)=f(-2)=3×(-2)+1=-5.(2)按段讨论.当a≥0时，f(a)=a2-2a=3, 即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1,其中a=-1不满足a≥0，舍去，得a=3.当a<0时， f(a)=3a+1=3,解得a=子，不满足a<0,舍去.所以a=3. 1、已知函数f)=十x>2则ff)=() (x2+2,x≤2， A.月 B.2 C.4 D.11 2、已知函数f创=2拉：58若f)=5,则x的检是〈) A.-2 B.2或-月 C.2或-2 D.2或-2或-月 （,x≤-2， 3、己知函数f(x)=x+1,-2<x<4,若f(@)<-3,则a的取值范围是 (3x, X≥4， 15 课后作业 1、（多选)下列说法中正确的是() A.y=x+的最小值为2 B.f(x)=Vx2-1与g(x)=x+1Vx-1是同-个函数 C.函数f(x)满足f(2x-3)=4x-7,若f(a)=-3,则实数a=-1 D.若函数f(x+1)的定义域为[1,4]，则函数f(x)的定义域为[2,5] 2、（多选)下列选项中正确的有() A.已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x)=9x+8,则f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4 B.fW=与g6)=(凸，≥8表示同-函数 C.函数y=f(x)的图象与直线x=2的交点最多有1个 D.函数f(x)的定义域为1,3]，则函数f(2x+1)的定义域为0,1] 3、（多选)下列说法中正确的是() A.函数f(x)=V(x+1)2与g(x)=|x+1|是同一个函数 B.命题“HxER,x2≥0”的否定是xo∈R,05≤0 C.当xe0,1)时，V+左≥2 D.若函数f(x)=Vkx2+kx+1的定义域为R,则实数k的取值范围是[0,4 4、（多选)以下判断，其中是正确判断的有() Af网=以与g)={凸，￥之8表示同一函数 B.命题p:x∈R,x2-(a+1)x+1>0恒成立为真命题，则p的一个充分条件的是0<a<1. C.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点有1个 ax+1一的定义域为R,则实数a的取值范围是[0，) D.若函数y=ax2-4nx+2 16 5、(多选)已知函数f(x)满足f(√+1)=x+2√x,则() A.f(x)=x2-1(x≥0) B.f(x)的值域为[0，+o) C.f(2x+3)的定义域为[-1，+∞) D.f(f(2)=0 6多)已质数四-+经：8满足心)-1府a的雀有() A.0 B.1 C.-1 D.-2 7、函数)-xR上的值域是 8、已知xE(2,+∞)，则函数y=+3的最小值为 x-2 9、求下列函数解析式： (1)函数f(x)满足f(2x-1)=4x2+11; (2)函数g(x)对任意的x都有g(x)-2g(-x)=2x; (3)函数h(x)是一次函数且满足h(h(x)=4x+8. 17 10、(1)已知f(Vx+1)=x+2Vx,求f(x)的解析式. (2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x)=4x+3,求f(x). (3)函数f(x)满足方程2f(x)+f(白=2x,xER且x≠0，求f(x). 11、求y=V3+x+V5-x的最大值 12、(1)已知函数f(2-x)=V4-x2,求函数f(Vx)的定义域； (2)求y=2x-Vx-1的值域； (3)己知f(√x+1)=x+2Vx,求f(x)的解析式. 18 函数的概念及其表示方法 知识梳理 一、函数的概念与三要素 1. 两种定义 初中学习的传统定义：设在一个变化过程中有两个变量 和 ，如果给定一个 值，相应地就有唯一确定的一个 值与之对应，就称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量.它描述的是两个变量之间的依赖关系. 高中的近代定义：一般地，设 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，.其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域，且值域是集合 的子集. 2. 函数符号 与 的理解 这里的 表示 是 的函数，其中 是一个整体符号，不是 与 的乘积. 代表对应关系，是函数的本质，可以把它看作一台"数值加工器"：向 的括号里投入一个量，它就按固定的程序输出一个量.因此 是对 实施这一操作， 是对常数 实施同一操作. 表示 时的函数值，是一个确定的数；而 表示以 为自变量的函数，是一个变量.自变量用什么字母无关紧要， 与 描述的是同一对应关系. 3. 四个特征 （1）非空性： 必须为非空数集——不仅非空，还要是数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. （2）任意性：定义域中的每一个元素都要有函数值. （3）单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应，可以多对一，不能一对多. （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，若把这个方向反过来，新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 4. 三要素 构成一个函数的要素为定义域、对应关系、值域.其中对应关系 是核心，它决定"怎么对应"；只要定义域与对应关系确定，值域就随之唯一确定，所以值域不是独立要素. 5. 函数相等 由函数的构成要素可知：两个函数相等（是同一个函数），当且仅当它们的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同.判定时定义域优先：定义域不同，一定不是同一函数；定义域相同，再看对应关系是否一致，且要注意把解析式化简后是否改变了定义域.值域相同不能判定两个函数相等——它由另外两条要素派生. 二、区间及其表示 区间是实数集的又一种表示形式.设 是实数，且 ：满足 的实数 的全体叫做闭区间，记作 ；满足 的叫做开区间. 常见的区间表示如下表. 集合表示 区间 三、求函数定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.当函数以解析式给出且未加特殊说明时，定义域就是使解析式各部分都有意义的实数 的集合.常用依据有四条： （1）分式的分母不能为零，即 要求 . （2）偶次方根的被开方数必须大于等于零，即 要求 ；奇次方根对被开方数没有限制， 中 可取全体实数. （3）零次幂的底数不能为零，即 要求 . （4）如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集——各部分"同时"有意义，公共部分就是交集. 【注意】定义域用集合或区间表示；若用区间表示，段与段之间不能用"或"连接，而应用并集符号 连接. 四、函数的表示方法与分段函数 1. 函数的三种表示方法 表示法 含义 优点 缺点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简明、全面地概括变量之间的关系；利用解析式可求任意函数值 不够形象直观；且并非所有函数都有解析式 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需要计算，可直接看出与自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能形象直观地表示函数的变化情况 只能近似求出与自变量对应的函数值，而且有时误差较大 用三种方法表示函数各有要注意之处：解析法必须注明函数的定义域；列表法必须罗列出所有的自变量取值与对应函数值；图象法要分清图象是"点"还是"线".事实上并非所有函数都能用解析式表示，图象法也不适用于一切函数；列表法理论上适用于所有函数，但当自变量有无数个取值时，它只能表示函数的一个概况或片段. 由已知关系求函数解析式的问题，通常用待定系数法、换元法、配凑法与方程组法. 2.分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 的不同取值范围有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.例如绝对值函数就常写成分段函数的形式 .分段函数是一个函数，而不是几个函数，它有两条基本性质： （1）它的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （2）它的值域是各段在对应自变量取值范围内值域的并集. 作分段函数的图象时，应分别在每一段的自变量取值范围内作出该段的图象，再组合成整体，并注意每段端点处是实心点还是空心点.含绝对值的函数常按绝对值内式子的零点分段去掉绝对值，化成分段函数. 题型一　同一函数的判断 方法：判两个函数是否同一，先求各自定义域，不同即判不同；相同再化简比对应关系，都同才是同一函数. 1、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2、下列四组函数，表示同一个函数的一组有（    ） A． B． C． D． 3、下列函数中，与 是相同的函数是（　　） A． B． C． D． 题型二　给出解析式求函数的定义域 依据：分母不为零、偶次根式被开方数非负、零次幂底数不为零，再取交集. 例、求函数 的定义域. 解：使 有意义.偶次根式 要求被开方数非负，即 ，解得 ；分式 要求分母不为零，即 ，解得 ；零次幂 要求底数不为零，即 ，解得 .三者须同时成立，取三解集的交集，得 且 且 ，即 .所以函数 的定义域为 . 1、函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2、函数y=则该函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3、函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 题型三　抽象函数求定义域 方法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是解不等式 .依据： 的定义域 固定，同一对应关系对括号内取值的要求恒定. 方法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是求 在 上的值域.依据： 与 括号内的取值范围相同. 易错：把 的定义域误当成 的范围. 例、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域. 解： 是两个抽象式相加，两项都须有意义.由 的定义域为 ，同一对应关系 要求括号内取值落在 内，故对 有 ，解得 ；对 有 ，解得 .两项同时成立，取交集得 .所以 的定义域为 . 1、若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2、已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3、已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 4、若函数的定义域为，则的定义域为________. 5、已知函数的定义域为，则的定义域为______. 6、已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 题型四　已知定义域求参数范围 定义域为 求参数时，把条件化归为二次式恒正（恒非负）问题，分二次项系数为零与不为零讨论.依据：二次式恒成立当且仅当开口向上且判别式 （恒非负取 ）. 易错：定义域为 求参时漏掉二次项系数为零的讨论. 例、若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围. 解：定义域为 ，即对任意 都有 .先看二次项系数.当 即 时，不等式化为 ，不能对一切实数成立，舍去.当 时，抛物线开口向下，不能恒非负，舍去.当 即 时，需开口向上且判别式非正，即 ，整理得 ，解得 或 ；与 取交集得 .所以实数 的取值范围是 . 1、若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3、函数的定义域为，则实数的取值范围为________． 4、若函数的定义域为，则实数的取值范围是______. 5、已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 6、设函数. (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若，，且，求的最大值. 题型五　待定系数法求函数解析式 题中已说明函数类型（一次、二次等）时，设出含待定系数的一般式，代入条件比较对应项系数列方程组，求出系数后回代. 例、已知二次函数 满足 ，，且 ，求 的解析式. 解：由已知 为二次函数，可设 .把三个条件分别代入，由两多项式恒等比较各项系数，得方程组 ，，.前两式相减得 ，即 ；代回第一式得 .再把 代入第三式，得 ，即 .将 与 相减得 ，即 ，进而 .因 ，满足二次函数要求.所以 . 1、若是一次函数，且，则______． 2、已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； 题型六　换元或配凑求函数的解析式 换元法：已知 的解析式求 ，令 反解 代入得 ，再改记为 ，并注明 的取值范围. 配凑法： 结构简单时，把 直接配成 的表达式，再用 替换 得 . 易错：换元后漏标新元范围（如漏写 ）. 例、已知 ，求 的解析式. 解：右端可配成 的式子，故用配凑法.由 ，令 ，得 .再定 的范围：当 时，由基本不等式 ；当 时，，故 .用 替换 ，得 ，. 1、已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2、已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 3、已知，则___________________． 题型七　建立方程组求解析式 条件同时含 与 （或 ）时，把 换成 （或 ），与原式联立消元即可. 易错：以 替换时忘记 . 例、已知函数 满足 ，求 的解析式. 解：已知式对一切 成立，故把 换成 仍成立，得 ，记为式②，原式为式①.将①两边乘 得 ，与②相加，左右两边分别消去含 的项，得 ，两边除以 得 .因原式只在 时有意义，所求 . 1、若，满足，且，则_______． 2、若函数满足，则________. 3、已知函数满足，求的解析式. 题型八　普通分式型——分离常数法求值域 形如 （或可化为它的分式）求值域时，分子凑出分母，写成常数与“常数比分母”之和，由分母不为零得值域挖去 . 易错：给了 的区间限制时，不能只写“挖去单点”. 例、求函数 的值域. 解：在分子中凑出分母，.由 得 ，于是 ，两边乘 得 ，再取相反数得 ，从而 .当 时取到左端点 ，右端点 取不到.所以函数的值域为 . 1、函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2、函数的值域（    ） A． B． C． D． 3、函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 题型九　含根式的函数求值域 求 值域时，令 化归为 的二次函数，由顶点与 范围求值域.依据： 由被开方数非负确定，原式化归为二次函数在 上求值域. 形如 的双根号函数，先由被开方数非负定定义域，两边平方化为二次式求 的范围，再由 开方得值域 易错：换元求值域时忽略新元范围（如漏写 ）. 例、求函数 的值域. 解：先定定义域.被开方数非负，即 ，解得 .含 的根式换元：令 ，由被开方数非负得 ，且 .代入原式得 .因为当 时 ，所以 ；当 ，即 、 时 .所以函数的值域为 . 1、函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2、已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3、函数的值域为______． 4、已知函数，则的值域为_______________. 5、函数的最大值是_____________. 题型十　判别式法求值域 分子分母同为二次、且分母恒不为零的二次分式求值域时一般选择用判别式法：去分母整理成关于 的二次方程，由方程有实根得 ，解出 的范围. 用判别式法时还须单独看二次项系数为零的 ：把它代回方程解出 ，检验 是否在原定义域内，在则保留、不在则舍.依据：二次项系数为零时方程退化为一次方程，仍可能有解，须单独代回检验. 易错：解完 后未回代检验二次项系数为零的情形. 例、求函数 的值域. 解：分母 恒成立，故函数定义域为 ，符合判别式法的适用条件.去分母得 ，整理为关于 的方程 .先看二次项系数为零的情形：当 时，方程化为 ，解得 ，在定义域内，故 属于值域.当 时，方程有实根须 ，即 ，解得 .两部分合并，函数的值域为 . 1、函数，的值域为______________． 2、函数的值域为：______． 3、函数的值域是______． 题型十一　分段函数的求值、求参 分段函数求值时，先判断自变量落在哪一段，再代入该段解析式；遇到 由内向外逐层求，每一步都重新判断中间值属于哪段.依据：各段定义域互不相交，自变量必落在唯一一段内. 由 （或不等式）求自变量或参数时，按段分类讨论，每段解出后与该段的取值范围取交集，不合的舍去.依据： 的解集等于各段解集之并，且每段解出的 须落在该段内. 易错：分段解出后未检验是否落在该段内，或求 未先判内层段. 例、已知函数 （1）求 ；（2）若 ，求 的值. 解：（1）因为 ，故代入第二段得 ；再由 ，仍代入第二段得 .（2）按段讨论.当 时，，即 ，解得 或 ，其中 不满足 ，舍去，得 .当 时，，解得 ，不满足 ，舍去.所以 . 1、已知函数 则 （ ） A． B． C． D． 2、已知函数 若 ，则 的值是（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 或 3、已知函数 若 ，则 的取值范围是______． 课后作业 1、（多选）下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 2、（多选）下列选项中正确的有（    ） A．已知函数是一次函数，满足，则或 B．与表示同一函数 C．函数的图象与直线的交点最多有1个 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 3、（多选）下列说法中正确的是（   ） A．函数与是同一个函数 B．命题“，”的否定是， C．当时， D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 4、（多选）以下判断，其中是正确判断的有（   ） A．与表示同一函数 B．命题，恒成立为真命题，则的一个充分条件的是. C．函数的图象与直线的交点有1个 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 5、（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 6、（多选）已知函数 满足 的 的值有（ ） A． B． C． D． 7、函数在上的值域是______. 8、已知，则函数的最小值为_______________． 9、求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 10、（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 11、求的最大值 12、（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $