3.1函数的概念及其表示（第4课时　分段函数） 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学分段函数核心知识点，前承函数概念、三要素及表示法，后启函数单调性等性质学习。系统梳理分段函数的概念本质（一个函数）、定义域值域要点（各段范围不重不漏）、求值步骤（定段-代入-检验）及max型、阶梯计费等实际应用，构建完整知识支架。 资料特色鲜明，以y=|x|图象直观打破“分段函数是多个函数”的认知误区，结合个税计算、阶梯水价等实例培养数学眼光观察现实世界的能力。通过分层教学（优生班解析法、普通班图象法）和含参讨论题型训练，发展数学思维的逻辑推理与分类讨论能力。课中助力教师突出重点，课后易错点归纳与题型精练帮助学生查漏补缺，强化数学语言表达与应用意识。

3.1　函数的概念及其表示（第4课时） 分段函数·讲义（教师用）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第4课时 一、课标要求与教材位置 本节在人教A版必修第一册第60—73页，是第三章的起点，也是整个高中函数学习的地基。全节共4课时：第一课时学函数的概念与三要素，第二课时学区间、定义域的求法与同一函数的判定，第三课时学函数的三种表示法与解析式的求法，第四课时学分段函数及其应用。本课时对应教材第68—73页，从例5的y＝|x|引出分段函数，再用例6的max型、例7的成绩分析、例8的个人所得税把它落到现实问题上，最后收束整节。 课程标准对这一部分的要求是：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。动词是“了解”和“简单应用”，比函数概念的“理解”低一档——不要求学生说清分段函数的一般理论，要求的是会求值、会画图、会用它刻画阶梯计费一类的问题。 教材没有给分段函数下形式化的定义，只说“像例5中这样的函数称为分段函数”。处理时要抓住三条：它是一个函数、各段范围不重不漏、求值先定段。学生几乎都会把它理解成几个函数拼起来，这个误解不打破，后面讨论单调性、值域时会一直出问题。 高考中分段函数是本节唯一常年直接命题的内容，多以选择题出现：求值、已知函数值求自变量（含参讨论）、求值域、解不等式。失分最集中的一处是含参问题解出根之后不检验是否落在本段范围内。 二、知识精讲 （一）从 y＝|x| 说起 例5（教材第68页）　画出函数y＝|x|的图象。 解： 　　由绝对值的概念，我们有 y＝ 　　所以，函数y＝|x|的图象是两条射线拼成的“V”形：x≥0时是y＝x在第一象限的射线，x＜0时是y＝－x在第二象限的射线，两支在原点相接。 像例5中这样的函数称为分段函数。教材接着说：生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等。 教学处理提示　讲这道题时先问一句“|x|等于什么”，学生会背绝对值的分类，但未必意识到这正是分段。板书时把两段并排写在大括号后面，再画图，让符号和图形对上。图画出来以后立刻追问“分段函数是一个函数还是几个函数”，趁着完整的V形图还在黑板上打破误解。 （二）分段函数的三条要点 ① 分段函数是一个函数，不是几个函数。它只有一个对应关系f，只是这个f在定义域的不同部分用不同的式子表达。 ② 定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集。 ③ 各段的取值范围不能重叠，也不能遗漏，合起来正好铺满定义域。 第③条要举反例说：写成“x≤1”与“x≥1”是错的，x＝1处出现两个函数值，违反“唯一确定”；写成“x＜1”与“x＞1”也是错的，x＝1处没有定义。正确的写法是“x≤1”与“x＞1”，或者“x＜1”与“x≥1”，分界点归到哪一段都行，但只能归一次。 关于值域，学生最容易出错的是把各段的值域直接连成一个区间。例如f(x)在[0，1]上是2x、在(1，2)上恒为2、在[2，＋∞)上恒为3，三段的函数值集合分别是[0，2]、{2}、{3}，取并集是[0，2]∪{3}，不是[0，3]——2与3之间的数一个都取不到。 （三）分段函数的求值 求值三步（作业与考试统一按这个格式写）： 第一步，先定段——看自变量落在哪一段，就用哪一段的式子； 第二步，再代入——含参数时，每一段都要单独列方程； 第三步，解出必检验——每段解出的根都要回头看是否落在本段范围内，最后写“综上”。 嵌套求值如f(f(a))要走两遍：先算里层f(a)得到一个数，再判断这个数落在哪一段，用那一段算外层。学生常犯的错是两层都用同一段。例如f(x)在x＜1时为2x＋1、x≥1时为x²－2，求f(f(0))：f(0)＝1，而1≥1，外层要换到第二段，f(1)＝－1；两层都用第一段就会算成3。 例（含参，本课时的核心题型）　已知f(x)＝若f(a)＝3，求a的值。 解： 　　当a≤－1时，a＋2＝3，得a＝1，不满足a≤－1，舍去； 　　当－1＜a＜2时，a²＝3，得a＝±，其中满足－1＜a＜2，－不满足，舍去； 　　当a≥2时，2a＝3，得a＝，不满足a≥2，舍去。 　　综上，a＝。 方法点拨　三段都要写，一段都不能省，哪怕一眼看出无解也要写出“无解”或“舍去”。“不满足……舍去”这几个字和最后的“综上”都是独立的得分点。这道题的板书格式就是学生答题的样板。 （四）max 型分段函数 例6（教材第68页）　给定函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)²，xR。（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)、g(x)的图象；（2）∀xR，用M(x)表示f(x)、g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}。例如当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9。请分别用图象法和解析法表示函数M(x)。 解： 　　（1）f(x)＝x＋1的图象是过点(0，1)、(－1，0)的一条直线；g(x)＝(x＋1)²的图象是顶点为(－1，0)、开口向上的抛物线。 　　（2）先求两图象的交点。由(x＋1)²＝x＋1，得x(x＋1)＝0， 　　　　解得x＝－1，或x＝0。 　　　　结合图象，在x≤－1与x＞0上抛物线不低于直线，在－1＜x≤0上直线不低于抛物线，得出 　　　　M(x)＝ 　　　　M(x)的图象是抛物线在两端的部分与中间那段线段拼接而成的连续曲线。 方法点拨　三步：作图看高低、解方程定分界、按段写解析式。分界点归到哪一段都可以，因为在分界点处两式相等，写成x≤－1或x＜－1都不算错，但同一份答案里要前后一致。教材旁注问“你能用其他方法求出M(x)的解析式吗”，可以答：直接解不等式(x＋1)²≥x＋1，即x(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥0，这一段取(x＋1)²，其余取x＋1。这个纯代数的走法对优生班更省事。 分层建议　优生班要求写出解析式；普通班只做图象法——把两条图象画出来，用彩笔描出上方的部分，说出M(x)在哪些区间取抛物线、哪些区间取直线即可。min型同理，把“最大者”换成“最小者”，描下方那条。 （五）分段函数刻画实际问题 例7（教材第69页）　表3.1—4是三名同学高一学年第一学期的数学成绩，请对三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析。 教材的处理是把每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来。从图上可以看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。 教学处理提示　例7表面上讲的是“选择恰当的表示法”，实质是让学生体会：表格里藏着的趋势，画成图就看见了。为了更容易看出成绩的变化情况，教材把离散的点用虚线连接——要说明虚线只是辅助视觉，不代表两次测试之间存在函数值。这一点学生容易误解。这道题可以只用三分钟带过，重点放在例8。 例8（教材第70—71页）　2019年1月1日起，个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数。设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y＝f(t)。 解： 　　由于不同的应纳税所得额t对应不同的税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数： 　　y＝ 　　小王全年应纳税所得额为 　　t＝117600－60000－117600×(8％＋2％＋1％＋9％)－9600－560 　　　＝0.8×117600－70160 　　　＝23920。 　　将t的值代入，得 y＝0.03×23920＝717.6。 　　所以小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元。 教学处理提示　这道题课上不必七段全推，重点是让学生看懂“落在哪一段”这件事：t＝23920落在第一段，只用0.03t。计算量集中在求t上，可以让学生对着公式一步步算，教师板书。全课的落点是“分段函数是刻画现实的常用模型”，不是算税。 阶梯计费类问题有一个通用的写法：先找分界点，再逐段写式子，每一段都写成“前面各段的累计费用＋本段超出部分×本段单价”。例如阶梯水价中第三档的表达式是36＋36＋(x－18)×9，化简成9x－90。写完之后一定要核对各段范围不重不漏。 三、概念辨析与易错点 1．分段函数是一个函数。　“分段函数由几个函数构成”是错的。它只有一个对应关系f，只是这个f在不同区间用不同的式子表达。指着y＝|x|的完整图象说这句话最有效。 2．各段的范围不重不漏。　写成x≤1与x≥1是错的（x＝1处两式冲突），写成x＜1与x＞1也是错的（x＝1处无定义）。 3．分段函数各段的函数值集合可以有公共元素。　“各段上的函数值集合的交集为∅”是错的，y＝|x|的两段函数值集合都含正数。 4．求值先定段。　求f(3)时先看3落在哪一段，再用那一段的式子。学生常抓起第一段就代。 5．嵌套求值要走两遍。　f(f(0))先算里层得到一个数，再判断这个数落在哪一段。两层都用第一段是最常见的错。 6．含参必讨论，解出必检验。　每一段都要单独列方程，解出的根都要回头看是否落在本段范围内，最后写“综上”。 7．无解的那一段也要写出来。　“当a≥2时，2a＝3，得a＝，不满足a≥2，舍去”这一行不能省，它是得分点。 8．值域是各段的并集，不能连成一整段。　[0，2]∪{3}不能写成[0，3]，中间的数取不到。 9．解不等式f(a)＜0时逐段解并与本段范围求交。　每段解出的范围要与本段的定义范围取交集，最后把各段结果取并集。 10．分段函数图象的端点要分清空心实心。　解析式里是≤就画实心，是＜就画空心。阶梯型图象每一段左端空心、右端实心（或反过来），要与式子一致。 11．实际问题要写出定义域。　票价与里程的函数、水费与用水量的函数，都要注明x的实际范围，不写要扣分。 12．虚线只是辅助视觉。　例7中把离散的点用虚线连接，不代表两次测试之间存在函数值。 四、题型归纳 题型一　分段函数求值 例1　已知f(x)＝求f(－3)、f(1)、f(3)与f(f(－3))。 解析： 　　因为－3≤－1，用第一段，f(－3)＝－3＋2＝－1； 　　因为－1＜1＜2，用第二段，f(1)＝1²＝1； 　　因为3≥2，用第三段，f(3)＝2×3＝6； 　　又f(－3)＝－1，而－1≤－1，仍用第一段，所以f(f(－3))＝f(－1)＝－1＋2＝1。 方法点拨　每算一个值之前先把自变量写下来，问一句“它落在哪一段”，答完再动笔。嵌套的要走两遍，里层的结果重新判断。 题型二　已知函数值求自变量（含参讨论） 例2　已知f(x)＝若f(a)＝5，求a的值。 解析： 　　当a≤0时，a²＋1＝5，得a²＝4，a＝±2，其中a＝－2满足a≤0，a＝2舍去； 　　当a＞0时，－2a＝5，得a＝－，不满足a＞0，舍去。 　　综上，a＝－2。 方法点拨　三步话术在这里全用上：先定段（分成两段）、再代入（每段各列一个方程）、解出必检验（a＝2不满足a≤0要舍）。最后的“综上”不能省。 题型三　分段函数的值域 例3　求下列函数的值域：（1）f(x)＝（2）f(x)＝ 解析： 　　（1）三段的函数值集合依次是[0，2]、{2}、{3}，取并集得值域[0，2]∪{3}。 　　（2）当x≤0时，x²≥0，所以x²＋1≥1，函数值集合是[1，＋∞)； 　　　　当x＞0时，－2x＜0，函数值集合是(－∞，0)； 　　　　取并集得值域(－∞，0)∪[1，＋∞)。 方法点拨　逐段求值域，再取并集。每一段都要结合本段自变量的范围来定，不能只看式子。并集写出来以后检查一遍：中间有没有取不到的空档，有就必须用∪断开。 题型四　分段函数与不等式 例4　已知f(x)＝若f(a)＜0，求实数a的取值范围。 解析： 　　当a≥0时，a²－a＜0，即a(a－1)＜0，得0＜a＜1，与a≥0取交集得0＜a＜1； 　　当a＜0时，2a＜0恒成立，与a＜0取交集得a＜0。 　　综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)。 方法点拨　逐段解不等式，每段解完与本段范围求交，最后把各段结果取并集。本题的坑在a＝0：f(0)＝0不小于0，所以0要挖掉，答案是两段而不是(－∞，1)。 题型五　实际问题建模 例5（教材第69页练习2）　某市“招手即停”公共汽车的票价规则：5km以内（含5km）票价2元；5km以上，每增加5km票价增加1元（不足5km按5km计算）。某条线路总里程为20km，写出票价与里程之间的函数解析式。 解析： 　　设里程为x km，票价为y元，则 　　y＝ 　　图象是四条水平线段，每段左端空心、右端实心，呈阶梯状。 例6（阶梯水价）　某市实行阶梯水价：不超过12m³的部分3元/m³；超过12m³不超过18m³的部分6元/m³；超过18m³的部分9元/m³。写出水费y与用水量x的函数解析式，并求某户缴费82元时的用水量。 解析： 　　y＝ 　　（第二段：36＋(x－12)×6＝6x－36；第三段：36＋36＋(x－18)×9＝9x－90。） 　　因为x＝18时y＝72＜82，所以用第三段：9x－90＝82，得x＝≈19.1。 　　所以该户用水量约为19.1m³。 方法点拨　阶梯计费三步：找分界点、逐段写“前面累计＋本段超出×本段单价”、核对范围不重不漏。反过来由费用求用量时，先算出各分界点处的费用，判断落在哪一段，再解方程。 ★题型六　max/min 型（优生班） 例7（★）　设f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)²，记M(x)＝max{f(x)，g(x)}，求M(x)的解析式。 解析： 　　解不等式g(x)≥f(x)，即(x＋1)²≥x＋1，得x(x＋1)≥0， 　　解得x≤－1或x≥0，此时M(x)＝(x＋1)²； 　　其余部分即－1＜x＜0，此时M(x)＝x＋1。 　　所以M(x)＝ 方法点拨　两条路都可以：作图看高低，或者直接解不等式g(x)≥f(x)。后者更省事，也更不容易看错。分界点处两式相等，归到哪一段都行，但同一份答案要前后一致。 五、附：常见书写错误例析 1．分段函数漏写各段的范围。　只写两个式子不写x的范围，等于没写函数。范围要写在式子右边，用逗号隔开。 2．分段函数的分界点重复或遗漏。　写成“x≤1”与“x≥1”，x＝1处出现两个函数值；写成“x＜1”与“x＞1”，x＝1处没有定义。 3．含参讨论只写有解的那一段。　无解的那一段也要写出“不满足……舍去”，这一行是得分点。 4．讨论完不写“综上”。　分类讨论的最后必须有一句“综上，……”，把各段结果汇总，这是独立的得分点。 5．把分段函数的值域连成一整段。　[0，2]∪{3}写成[0，3]是错的，中间的数取不到。 6．实际问题不写定义域。　票价函数要写0＜x≤20，水费函数要写x≥0，不写要扣分。 7．图象端点空心实心画错。　解析式里是≤就画实心，是＜就画空心，图与式必须一致。 六、与考试的对应 月考与期中：分段函数是本节最稳定的命题点。选择填空里高频的四类是——求值（含嵌套）、已知函数值求自变量（含参讨论）、求值域、解不等式f(a)＜m。解答题里以阶梯计费类应用题出现，第一问写解析式，第二问求某个具体值或反求自变量。 期末与高考：高考中分段函数常年出现，多在选择题的中后段。近年的考法偏向与单调性、奇偶性结合，例如给一个分段函数问它在R上单调递增求参数范围——那时不仅要每段单调，还要在分界点处满足大小关系。这一层本课时不讲，但可以对优生班提一句，让他们知道后面还有。 为后续铺垫：3.2讨论单调性时，分段函数要分段讨论并注意分界点；绝对值函数、取整函数都是分段函数；第四章讲指数函数、对数函数的实际应用时，阶梯计费模型还会再出现。 七、初高中衔接与教学提醒 学生的初中基础　初中学过绝对值的概念和分类讨论去绝对值，但没有把这件事上升为“函数”。出租车计费、阶梯电价在初中的应用题里见过，也没有和函数联系起来。 最大的认知障碍　“分段函数是几个函数”这个误解。要靠y＝|x|的完整图象打破：一个x只对一个y，这就是一个函数。 进度建议　复习回顾3分钟、分段函数概念10分钟、求值与含参12分钟、max型10分钟（普通班可压到5分钟并把时间还给含参题）、实际应用7分钟、全节小结3分钟。 两班分层　优生班：max型要求写解析式，加“分段函数在R上单调递增求参数”的口头预告；普通班：max型只做图象法，含参题只做一层讨论，实际应用以阶梯计费为主。 当堂过关项　求值三步复述；分段函数求值口答三题；“分段函数是一个函数”齐声念一遍。 全节收束　本课时末尾要把四个课时串一遍：从初中的变量说法走到集合说法，得到定义与三要素；用区间把数集写得更省事；学会求定义域、判断同一函数；知道函数有三种表示法，学会四种求解析式的方法；最后用分段函数刻画现实。下一节3.2研究函数的性质，每一句都要从“定义域内任意x”说起。 八、题型精练（附详解） 一、选择题 1．设f(x)＝则f(3)等于（　　）　A．　B．3　C．　D． 2．已知f(x)＝则f(f(0))＝（　　）　A．－1　B．1　C．3　D．－2 3．已知f(x)＝若f(x₀)＝2，则x₀＝（　　） 　A．　B．－　C．2　D．－2 4．函数f(x)＝的值域是（　　） 　A．R　B．[0，2]∪{3}　C．[0，＋∞)　D．[0，3] 5．已知f(x)＝则y＝f(x)的图象与x轴交点的个数是（　　） 　A．0　B．1　C．2　D．3 6．已知f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围为（　　） 　A．(－3，＋∞)　B．[－3，＋∞)　C．(－∞，－3)　D．(－∞，－3] 二、填空题 7．已知f(x)＝则f(f(－1))＝＿＿＿＿。 8．函数y＝|x－1|写成分段函数的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 9．已知f(x)＝若f(x)＝1，则x＝＿＿＿＿＿＿。 三、解答题 10．已知f(x)＝（1）求f(－2)与f(f(－2))；（2）若f(a)＝1，求a的值。 11．某市出租车计价规则：行程3km以内（含3km）收起步价10元；3km以上每增加1km加收2元。设行程为x km（x{1，2，…，10}），车费为y元。写出y关于x的解析式，并求行程为7km时的车费。 12．（★）设f(x)＝2x＋1，g(x)＝x²＋1，记m(x)＝min{f(x)，g(x)}，求m(x)的解析式。 参考答案与详解 1．C。　因为3＞1，用第二段，f(3)＝。误选A是把3代进了第一段又算错；误选D是代错了段。 2．A。　0＜1，用第一段，f(0)＝2×0＋1＝1；1≥1，用第二段，f(1)＝1²－2＝－1。误选C是两层都用了第一段。 3．A。　当x₀≤0时，x₀＝2，不满足x₀≤0，舍去；当x₀＞0时，＝2，得x₀＝，满足条件。误选C是没有检验x₀＝2是否落在本段范围内。 4．B。　三段的函数值集合依次是[0，2]、{2}、{3}，取并集得[0，2]∪{3}。误选D是把两段连成了一整段，而2与3之间的数取不到。 5．B。　x≥1时＞0，没有零点；x＜1时由－x²＋2＝0得x＝±，其中－＜1满足，＞1不满足，舍去。所以只有1个交点。误选C是漏了检验。 6．C。　当a≤－2时，a＜－3，与a≤－2取交集得a＜－3；当－2＜a＜4时，a＋1＜－3得a＜－4，与本段矛盾，无解；当a≥4时，3a＜－3得a＜－1，与本段矛盾，无解。综上得(－∞，－3)。 7．　－4。因为－1＜0，用第二段，f(－1)＝2×(－1)＝－2；里层结果－2仍小于0，外层还用第二段，f(－2)＝2×(－2)＝－4。若把外层误用第一段会算成(－2)²－1＝3，这正是本题的陷阱。 8．　y＝　由绝对值的分类直接写出，分界点在x＝1处，归到哪一段都行但只能归一次。 9．　1或－5。当x≥－1时，3－2x＝1，得x＝1，满足x≥－1；当x＜－1时，x＋6＝1，得x＝－5，满足x＜－1。两个都要写。 10． 　　（1）因为－2≤0，用第一段，f(－2)＝－2＋1＝－1； 　　　　又－1≤0，仍用第一段，f(f(－2))＝f(－1)＝－1＋1＝0。 　　（2）当a≤0时，a＋1＝1，得a＝0，满足a≤0； 　　　　当a＞0时，－a²＋2＝1，得a²＝1，a＝±1，其中a＝1满足a＞0，a＝－1舍去。 　　　　综上，a＝0或a＝1。 11． 　　当x{1，2，3}时，y＝10； 　　当x{4，5，…，10}时，y＝10＋2(x－3)＝2x＋4。 　　所以y＝ 　　当x＝7时，y＝2×7＋4＝18，车费为18元。 　　（定义域是有限个整数，图象是一串孤立的点，不能画成连续折线。） 12． 　　解不等式f(x)≤g(x)，即2x＋1≤x²＋1，得x²－2x≥0， 　　解得x≤0或x≥2，此时m(x)＝2x＋1； 　　其余部分即0＜x＜2，此时m(x)＝x²＋1。 　　所以m(x)＝ 　　（min型取下方那条，解不等式时不等号方向与max型相反。） 学科网（北京）股份有限公司 $